万州分水中学人教数学必修四教案 弧度制

1.1.2弧度制（一） 教学目标知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．教学重点弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．二、新课： 1．引 入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？2．定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略．3．思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质：①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=r r③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=.r l4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒．②将弧度化为角度：2360p =?；180p =?；1801()57.305718rad p¢=盎??；180()nn p =?．5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．l l r ra a=??弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度．例2．把rad53π化成度．例3．计算：4sin)1(π；5.1tan )2(．例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(．例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-．解: (1),672319πππ+=而67π是第三象限的角,193p\是第三象限角. ORl(2)315316,666p p pp -=-+\-是第二象限角..,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R,∴扇形的圆心角大小为R l rad, ∴扇形面积lRR R l S 21212=⋅=． 证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180R n l π=，∴Rl R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π．可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．22121:R lR S α==扇形面积公式7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．8．课后作业：①阅读教材P6 –P8；②教材P9练习第1、2、3、6题； ③教材P10面7、8题及B2、3题．。

弧度制教案人教版一、教学目标1、知识与技能目标理解弧度制的概念，能熟练地进行角度与弧度的换算。

掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并能运用这些公式解决相关问题。

2、过程与方法目标通过类比角度制，引导学生自主探究弧度制的定义和相关公式，培养学生的观察、分析和归纳能力。

通过弧度制与角度制的换算练习，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。

3、情感态度与价值观目标让学生感受数学知识的内在联系，体会数学的简洁美和统一美。

激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、创新的精神。

二、教学重难点1、教学重点弧度制的概念及与角度制的换算。

弧度制下弧长公式和扇形面积公式的应用。

2、教学难点理解弧度制的定义，体会弧度制引入的必要性。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课回顾角度制：我们在初中已经学习了角度制，知道一个周角等于360°，平角等于 180°，直角等于 90°。

提出问题：在实际应用中，角度制是否存在一些不便之处？比如在计算圆的弧长和扇形面积时。

2、讲授新课弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。

引导学生思考：为什么要用这样的定义来引入弧度制？以半径为 r 的圆为例，若圆心角α所对的弧长为 l，则α的弧度数为α ＝ l ／ r 。

特别地，当弧长等于半径时，圆心角的弧度数为 1 rad 。

角度与弧度的换算：因为一个周角所对的弧长为2πr，而圆的半径为 r，所以一个周角的弧度数为2π rad 。

又因为一个周角等于 360°，所以 360°＝2π rad ，180°＝π ra d 。

由此可得，1°＝π ／ 180 rad ，1 rad ＝（180 ／π)° 。

进行角度与弧度的换算练习，如 60°＝ 60 ×（π ／ 180) rad ＝π ／3 rad ；π ／ 6 rad ＝（π ／ 6) ×（180 ／π)° ＝ 30°。

1.1.2 弧度制教案一：知识准备长度的度量：长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量.重量的度量：物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.（不同的单位制能给解决问题带来方便。

）角度的度量2、思考：同学们以前学过哪些度量角度的方法？（角度制）●用度作为单位来度量角的单位制，称为角度制。

（单位：度，记作“0”）●在平面几何当中：周角（3600） 10的角等于周角的。

为了研究学习的需要，我们除了角度制外，还要学习新的度量角的单位制.弧度制二：学习目标◆理解并掌握弧度制的定义；◆理解1弧度的定义；◆熟练的进行弧度与角度的互化。

三：自主学习请同学们自主学习课本P6、P7、P8，并回答以下问题：1、什么是弧度制？2、弧度制的单位是什么？3、弧度数有无正负之分?4、1弧度的角是多少？5、弧度和角度如何进行互化？四：新知学习•1、什么是弧度制？用弧度做单位来度量角的单位制，称为弧度制。

•2、弧度制的单位是，记作，读作 .（单位可以省略不写）•3、弧度数有无正负之分?☐正角的弧度数是一个正数，☐负角的弧度数是一个负数，☐零角的弧度数为0.☐4、1弧度的角是多少？把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

如右图所示：圆O的半径为r，弧AB =r，那么，就是1弧度的角。

如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是：（注意： α 的正负由角α 的终边旋转方向决定。

）（α 代表圆心角的弧度，l 代表圆心角所对的弧长，r 代表半径。

）3、弧度和角度如何进行互化？• 周角的度数是3600，• 周角所对的弧长是：• 周角的弧度是所以3600 =角度和弧度的换算：练一练：• 猜一猜2 rad=（ ）0 - rad=（ ）01 rad=（ ）0 -2 rad=（ ）001180rad π=01801rad π⎛⎫= ⎪⎝⎭五：例题练习•课本P7 例1把67°30′化成弧度六：随堂练习1、把下列角度化成弧度（课本P9）① 22°30′② -210°③ 1200°2、已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数。

第一章三角函数1．1 任意角与弧度制弧度制一、学习目标1.知识与技能(1)理解弧度的意义.(2)了解角的集合与实数集R之间可建立起一一对应的关系.(3)熟记特殊角的弧度数.2.过程与方法能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题.二、重点、难点重点：弧度的概念.弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明.难点：“角度制”与“弧度制”的区别与联系.三、教学方法自学练习，点拨法四、专家建议通过对新的度量角的单位制(弧度制)的引进学习，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美.五、教学过程●新知探究知识1 度量角的两种单位制(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制，规定周角的1360为1度的角.(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.注：一般地，正角的弧度数是一个正角，负角的弧度数是一个负角，零角的弧度数是0.知识2 角度制与弧度制的换算(1)角度制与弧度制的换算(2)特殊角的弧度数角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0π12π6π4π3512ππ223π34π5π6角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度π76π5π44π332π5π374π11π62π知识探究一 1.我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)． 解：半径为r ，圆心角为n °的扇形弧长公式为l ＝n πr180， 扇形面积公式为S 扇＝n πr 2360. ∵l 2πr ＝|α|2π，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π，∴S 扇＝12|α|r 2. ∴S 扇＝12|α|r 2＝12lr .2.角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α (0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧度数公式：α＝lr ；(2)弧长公式：l ＝αr ；(3)扇形面积公式：S ＝12lr ＝12αr 2. 探究点二用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z)，其中α的单位必须是弧度． 问题1 利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.问题2类型1 角度制与弧度制的互化【例1】将下列各角度与弧度互化. (1)67.5°；(2)112°30′；(3)－7π12；(4)3.【分析】 依据换算关系π rad ＝180°，逐个角进行转化. 【解析】 (1)67.5°＝π180rad ×＝3π8rad. (2)112°30′＝112.5°＝π180rad ×＝5π8rad.(3)－7π12＝－7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－105°.(4)3 rad ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝57.30°×3＝171.90°.【方法探究】角度制与弧度制换算时应注意的三个问题(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写；如果以度(°)为单位表示角的大小时，度(°)不能省略.(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度.(3)有些角的弧度数是π的整数倍时，如无特别要求，不必把π化成小数.跟踪训练1：将下列角按要求转化：(1)300°＝________rad；(2)－22°30′＝________rad；(3)8π5＝________度．答案：(1)5π3(2)－π8(3)288类型2 用弧度表示终边相同的角【例2】已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.【分析】(1)可将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，根据β与α终边相同判断.(2)关键在于由－5π≤β＋2kπ＜0求出k的取值.【解析】(1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π＜7π6＜3π2，所以α与7π6终边相同，是第三象限的角.(2)与α终边相同的角可以写为γ＝7π6＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ＜0，∴当k＝－3时，γ＝－296π；当k＝－2时，γ＝－176π；当k＝－1时，γ＝－5 6π.【方法探究】用弧度来表示终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，这里α应为弧度数.跟踪训练2：(1)(2014·某某高一检测)把－1 125°化为2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式是()A.－6π－π4B.－6π＋7π4C.－8π－π4D.－8π＋7π4【解析】－1 125°＝－254π＝－8π＋7π4.【答案】D(2)已知α＝1 690°.①把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；②求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π).【解】(2)①1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋25 18π.②∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z ). 又θ∈(－4π，4π)， ∴－4π＜2k π＋2518π＜4π， ∴－9736＜k ＜4736(k ∈Z ). ∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π. 类型3 扇形的弧长、面积公式的应用【例3】已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【分析】先用半径r 表示弧长，再建立扇形面积S 与半径r 之间的函数关系，进而求出最大值.【解析】 设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S . 则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10). ∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2. 此时α＝l r ＝20－2×55＝2(rad).∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为25 cm 2.【方法探究】灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．跟踪训练3：(1)(2014·某某高一检测)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________.(2)(2014·某某高一月考)经过一刻钟，长为10 cm 的分针旋转过程中所扫过的面积是________.【解析】 (1)设扇形的半径为r cm ，圆心角为α rad ，弧长为l cm ， 由题意⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12l ·r ＝4，解得⎩⎨⎧l ＝4，r ＝2，又由l ＝α·r ，所以α＝l r ＝42＝2(rad).(2)设分针旋转过程中所扫过的圆心角为α，弧长为l ，则所扫过的面积是S ＝12lR ＝12|α|R 2＝12×π2×102＝25π(cm 2).【答案】(1)2(2)25π cm 2六、课堂总结1.明确1弧度的含义是掌握本节问题的关键.2.弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可. 3.弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆.4.引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧长和面积公式变得更加简洁，也建立了角与实数间的一一对应关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础.七、板书设计弧度制八、当堂检测1.下列叙述中正确的是() 弧度是1度的圆心角所对的弧 弧度是长度为半径的弧 弧度是1度的弧与1度的角之和弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 【解析】根据弧度制的定义知D 项正确. 【答案】 D2.(2014·某某高一月考)2弧度的角所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【解析】 ∵π2＜2＜π，∴2弧度的角是第二象限角，故选B. 【答案】 B3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是() A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4【解析】设扇形半径为r ，中心角弧度数为α， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝612αr 2＝2，∴⎩⎨⎧ r ＝1α＝4或⎩⎨⎧r ＝2α＝1.【答案】 C4. 把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________． 【解析】－114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π＝2×(－1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π.∴θ＝－34π.【答案】 θ＝－34π.九．课后延伸(1)时钟问题在解决时钟中的时针与分针有关的角度问题时，要注意它们在单位时间内各转了多少圈. 例如：2小时40分钟后，则分针所转的弧度数为______. 【解析】 首先注意到分针转的方向为顺时针，即为负角.word11 / 11 又2小时40分钟＝83小时，而1小时分针转过的弧度数为2π.故分钟转了－2π×83＝－163π.【答案】 －163π(2)角的“周期现象”一个角每旋转一周(顺时针或逆时针)，终边就又回到了原来的位置，终边相同的角周而复始地出现，这正是三角函数具有周期性的本质原因，也是解决某些问题的关键，而且这种周期现象在现实生活中有广泛的应用.例如：今天是星期一，则100天后是星期几？【解】 由于星期几也具有周期性，因而可类似于角的问题来解决，即100＝7×14＋2,100天后是星期三.。

课题：1.1.2 弧度制教学设计一、教学目标知识与技能1.理解1弧度的角，弧度制的定义，熟记特殊角的弧度数；2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的换算；3.了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系；4.掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式.过程与方法1.经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想.2.通过设置问题启发，发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力.情感态度与价值观1.使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美.2.使学生体会弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣.二、教学重点、难点1.教学重点：理解弧度制意义,能进行角度制与弧度制的互化.2.教学难点：弧度制的概念及弧度与角度的换算.三、教学方法与教学手段1.教学方法：问题教学法、合作学习法.2.教学手段：多媒图片、几何画板、PPT课件.四、教学过程（一）创设情境1.师提出问题：2019年10月1日中华人民共和国成立70周年，同学们有没有看阅兵式?【设计意图】以时政热点为话题导入新课，极大地调动了学生的学习热情，而且能提高学生的参与度，对培养学生的综合能力和提升课堂效率都很有帮助.2.问题情境1：中国国土面积960万平方千米，故宫面积约1080亩；中国领海宽度12海里；中国高铁运营里程达到3万公里，位居世界第一；中国黄金储备6245盎司；中国钢铁产量超过10亿吨，连续16年位居世界第一.【设计意图】以祖国的成就设为问题情境，调动学生的学习积极性，同学们都能够感受到祖国的强大，激起同学们浓烈的爱国思想；类比研究面积、长度、质量可以选择不同的单位，不同的单位制能为我们解决问题带来方便，引出度量角的另一种单位制.3.问题情境2：回忆初中学习的锐角三角函数定义，教师引出其他版本教材有不一样的定义.提出问题：为什么有的教材将锐角的正弦、余弦、正切定义成三角比呢？请你结合高中函数的定义进行分析.【设计意图】通过引出其他版本教材有不一样的定义，利用新旧知识所蕴含的矛盾引发认知冲突一方面引出本节课的主题，另一方面学生发现问题、提出问题的能力在潜移默化中得到培养，这个问题是本节知识的切入点是引发学生思考，培养学生素养的关键.（二）探究新知，得到概念1.教师提出问题：在半径为r 的圆O 中，当B 点在圆周上运动时，你发现了什么？（教师几何画板演示）学生活动1：学生讨论后总结，弧长变大，圆心角变大，因为我们要用实数度量圆心角，所以由180r n l π=，变形得r l n ⋅π=180. 师继续追问：当半径发生变化时，你发现了什么？能不能仅用弧长或者半径来度量圆心角？（教师几何画板演示）学生活动2：学生讨论后总结，不能仅用弧长或者半径来度量圆心角的大小. 教师再总结：仅用半径和弧长中的一个量不能度量圆心角的大小，但它又与半径r 和弧长l 相关.AA 教师继续追问：同学们觉得圆心角可能会由谁的值控制？ 学生得出与rl 有关后，继续追问这个猜想合理吗？教师几何画板演示. 学生活动3：从理论上证明猜想的正确性,由弧长公式180r n l π=，稍作变形得r l n ⋅π=180，这说明当圆心角确定时，rl 就确定；r l 是随着圆心角的确定而唯一角确定.【设计意图】通过设置问题启发，发展发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力.在探索的过程中,让学生总结归纳出当角确定时，r l 是随着圆心角的确定而唯一角确定.学生体会用r l 度量角的合理性，从而比较顺利的引出1弧度角的概念.2.教师总结：rl 来度量圆心角的大小就是今天要学习的度量角的另一种单位制——弧度制.3.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，单位也可以省略不写.用弧度作为角的单位制来度量角的单位制称为弧度制.（三）深入探究，理解概念1.度量角的弧度数通过度量使学生进一步感受到r l 2=时，2=α；r l 3-=时，3-=α； rl π=时，π=α；r l π=2时，π=α2；动点从点A 逆时针经过的弧长为l 则这段弧所对的圆心角为多少弧度？学生活动：得出 r l =α 教师追问：这个等式能否推广为求解任意角弧度数的一般公式呢？【设计意图】通过不断追问，引导学生得出任意角弧度数的一般公式，rl =α,并加以强调l 为动点经过的弧长.2.引入弧度制数学史，向学生介绍角度制到弧度制的跨越有千年，我们就是引用数学家的思想方法进行探究的.【设计意图】数学史的引入，将弧度制的由来置于丰富的数学文化内涵之中，进一步表明引入弧度制解决了进位制统一的问题，让学生真正感受到现实世界需要这种文化内涵以及引入弧度制的可能性.让学生感知数学家探求知识的艰难，培养学生探索科学的精神.3.推导出任意角的弧度数公式后，再去度量一个角，既可以用原有的角度制，也可以用弧度制，教师抛出问题：构建起角度与弧度互化的等式是什么呢？ 学生活动：rad 2360π=︒，rad 180π=︒师追问：用类似的方法，你能够求出特殊角的弧度数吗？rad 290π=︒，rad 360π=︒，rad 445π=︒，rad 630π=︒， rad 00=︒ 从而很顺利得出角度与弧度互化的关系式.d ra 1801π=︒rad 017450.≈； rad 1︒≈︒π=30.57)180( 用弧度制表示角时，“弧度”可略去不写.如2=α表示2弧度的角，3π就表示3π弧度的角；角度表示角时，单位“度”不能省略.【设计意图】抛出问题让学生尝试不同方法求出相应的弧度数，实现角度与弧度的换算，让学生经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想.（四）巩固新知，应用概念1.练习1：把下列角从角度化为弧度：（1）︒-210 （2）0367'︒练习2：把下列角从弧度化为角度： (1) 54π （2）5.3- 结论：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.这样就在任意角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.这也是引入弧度制的意义.【设计意图】使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系，相互统一的，更容易看清楚与实数的一一对应关系.2.教师追问：在弧度制下，你能推导出弧长公式和扇形面积公式吗？（用r 表示半径，l 表示弧长，S 表示扇形面积，α表示圆心角的弧度数）（π≤α2）（师生共同回忆初中扇形的弧长与面积公式，学生尝试推导弧度制下的公式过程） 解：弧长公式：由公式rl =||α可得：r l α=. 扇形面积公式：22212r r S α=π⋅πα=（用弧长表示扇形面积） 又因为r l α=，所以有lr S 21=（用圆心角的弧度数表示扇形面积） 【设计意图】通过对比让学生发现：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式简单了，这也是引入弧度制的好处.3.师生总结：回过头来再去看问题情境2：通过弧度制的学习，可以将角转化成实数，它不再是三角比，它就是真正意义上的三角函数.追问学生：我们后面将要研究什么？【设计意图】前后呼应，再一次让学生体会到引入弧度制的必要性，为我们今后学习三角函数奠定了基础.五、课堂小结：(1)1弧度的角，弧度制定义，任意角的弧度数公式rl =||α； (2)弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系；(3)角度制与弧度制是度量角的两种单位制，它们之间可以进行换算；(4)掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式.六、课后作业：课本第9页练习1到6题七、板书设计：八、教学设计说明通过通过时政话题创设教学情境，极大地调动了学生的关注度，积极性，拉近与学生的距离，运用几何画板课件动态演示作图过程，实施信息技术与学科课程整合教学设计，引发学生学习兴趣，从而较好地完成教学任务.几何画板动态效果的展示形成对视觉的强刺激，把通常惯用的语言描述生动形象地刻画出来，促进学生对重点难点知识的理解掌握．建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授获得的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的．本课教学设计重点是学习环境的设计，强调学生自主学习．关注学生的学习兴趣和经验，引导学生主动参与、乐于探究、培养学生处理信息的能力．本节课的设计思想中体现着由特殊到一般，由具体到抽象的化归思想．本节本人遵循由浅入深，循序渐进的原则，从学生熟悉的基本单位入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便引导学生去思考，寻找另一种度量角的单位制. 经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想.通过设置问题启发，发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力 . 使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美.使学生体会弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣.同时，本课的教材也是培养学生逻辑思维能力、观察、分析、归纳等数学能力的重要素材．。

高中必修四数学弧度制教案教学内容：弧度制的概念和应用
教学目标：
1. 理解弧度制的概念，掌握弧度和角度的相互转换关系；
2. 能够应用弧度制解决与圆相关的问题；
3. 能够灵活运用弧度制解决实际问题。

教学重点：
1. 弧度和角度的互相转换；
2. 弧度制在三角函数中的应用；
3. 弧度和圆角之间的关系。

教学难点：
1. 弧度和角度的互相转换；
2. 如何应用弧度制解决实际问题。

教学准备：
1. 一块黑板或白板；
2. 教室中心的圆；
3. 教学PPT或相关教学资源。

教学步骤：
第一步：导入（5分钟）
1. 引入圆的概念，介绍角度的度量单位；
2. 引导学生思考：是否有其他方法来度量圆的角度？
第二步：讲解弧度制的概念（15分钟）
1. 介绍弧度的概念，解释为何需要引入弧度制；
2. 讲解弧度与角度的转换公式；
3. 通过示例讲解弧度制在三角函数中的应用。

第三步：练习与讨论（20分钟）
1. 给学生几个练习题让他们转换弧度和角度；
2. 学生相互讨论解题思路，老师进行点评和指导。

第四步：实际应用（15分钟）
1. 老师设计一个实际问题，并引导学生用弧度制解决；
2. 学生展示解题思路和方法，老师进行指导和讨论。

第五步：总结与作业布置（5分钟）
1. 总结本节课的内容，强调弧度制的重要性；
2. 布置作业：完成课后习题，并思考如何应用弧度制解决更多问题。

教学反思：
1. 教师要注意引导学生理解弧度制的概念和方法，帮助他们建立相关知识的联系；
2. 鼓励学生在实际问题中灵活运用弧度制，提高解决问题的能力。

一、教学目标重点：角度制与弧度制的互化；弧度制的运用. 难点：:弧度的概念及其与角度的关系.知识点：角度制与弧度制的互化公式；弧长公式；扇形面积公式. 能力点：建立角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.教育点：使学生通过弧度制的学习，理解并认识角度制与弧度制是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.自主探究点：利用对应成比例关系得出结论.训练（应用）点：角度制与弧度制的互化换算，弧度制的运用. 考试点：掌握角度制与弧度制的换算，并熟练的进行换算操作. 易错点：角度与弧度的单位写法易错. 易混点：角度和弧度的转换易混 二、引入新课：【师生活动】：教师：我们学习了角的概念的推广知道角可以分为哪几类？学生回答 “正角”与“负角”“0角”教师：要描述一个角的大小，通常用什么表示呢？ 学生回答：是用度来表示的。

教师引出角度制的概念，那么1︒的角是如何定义的？学生：1︒的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1︒.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.有了它，可以计算弧长，公式为180n rl π=. 【设计意图】：温故而知新，引导学生切身感受角的弧度制引入的必要性. 三、探究新知: （一）弧度制的概念【师生活动】：教师：角除了以度为单位，还有分和秒，他们是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也能用不同的单位制？学生分组讨论.教师引导：我们能用等于半径的弧所对的圆心角作为角的度量单位吗?这个弧度数是否与圆半径的大小有关?教师引导学生画出图形.在圆内作出AOB COD α∠=∠=当半径为1r 时,弧长1180n r AB π=(n α=︒) ,弧长与半径的比值为111180180n r AB n r r ππ==. 当半径为2r 时,弧长2180n r CD π=, 弧长与半径的比值为222180180n r CD n r r ππ==. 两比值相等.讨论结果:能.当圆心角一定时,它所对弧长与半径的比值是一定的,与半径大小无关.【设计意图】：学生亲手作图，感受角的弧度制与角度制是角的度量单位，都可以刻画角的大小，与角所在的圆半径无关。

高中数学必修4弧度值教案
课题：弧度值
目标：学生能够掌握弧度值的概念，能够转换角度和弧度的关系
教学重点：弧度的定义，角度和弧度的转换
教学难点：角度和弧度的转换
教学准备：教材、黑板、粉笔、教学PPT
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师通过引导学生回顾之前学过的角度的概念，让学生思考什么是角度，并与圆相关联。

二、讲解（15分钟）
1. 弧度的定义：引导学生思考圆周角的度量方式，并介绍弧度的定义为圆周的长度等于半径的角。

2. 角度和弧度的关系：通过示意图和实际问题，让学生理解角度与弧度的转换关系。

三、练习（25分钟）
1. 让学生完成几道简单的练习题，巩固弧度的概念及与角度的转换。

2. 让学生通过实际问题应用角度和弧度的计算方法。

四、总结（5分钟）
老师带领学生总结本节课学到的知识点，并强调弧度值在数学中的重要性。

五、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对弧度值的理解和运用。

板书设计：
1. 弧度的定义：圆周的长度等于半径的角
2. 角度和弧度的关系：1弧度=180°
3. 角度和弧度的转换公式：θ(弧度)=θ(角度) × π/180
反思：
通过本节课的教学，学生对弧度值的概念有了更深入的认识，能够灵活运用角度和弧度的转换公式进行计算。

同时，本节课难度适中，但为了更好地巩固和理解弧度值的知识，可以设计更多场景化的问题，提高学生的实际运用能力。