2019年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(北京卷精编版)【含答案及解析】

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一、选择题1.已知集合{|12}A x x =-<<，{|1}B x x =>，则AB =（ ）A.(1,1)-B.(1,2)C.(1,)-+∞D.(1,)+∞ 【答案】C【解析】由题意知，(1,)AB =-+∞，故选C.2.已知复数2z i =+，则z z ⋅=（ ）3 D.5 【答案】D【解析】∵2z i =+，则2z i =-，∴2(2)(2)45z z i i i ⋅=+-=-=，故选D. 3.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A.12y x = B.2xy -= C.12log y x = D.1y x=【答案】A【解析】根据选项A 可判断12y x =在(0,)+∞上单调递增，选项B ，C ，D 中的函数在区间(0,)+∞上均单调递减，故选A.4.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】B【解析】根据框图进行计算，当1k =，1s =，则221s ==，不合题意，继续循环；2k =，24262s ⨯==-，不合题意，继续循环；3k =，24262s ⨯==-，符合题意，输出2s =，故选B.5.已知双曲线2221(0)x y a a-=>a =（ ）B.4C.2D.12【答案】D【解析】2222215c a e a a +===，∴241a =得12a =，故选D. 6.设函数()cos sin f x xb x =+（b 为常数），则“0b =”是“()f x 为偶函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】当0b =时，()cos f x x =为偶函数，则“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分条件，当()f x 为偶函数时，()cos sin ()=cos sin f x x b x f x x b x -=-=+，则0b =，即“0b =”是“()f x 为偶函数”的必要条件，所以“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A.10.110B.10.1C.lg10.1D.10.110-【答案】A【解析】∵126.7m =-，2 1.45m =-， ∴121222225.25lg()( 1.4526.7)10.1555E m m E ⨯=-=⨯-+==，∴10.11210E E =.8.如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A.44cos ββ+B.44sin ββ+C.22cos ββ+D.22sin ββ+ 【答案】B 【解析】如图所示，当P 运动到o P 时满足o P O AB ⊥，阴影区域面积最大，此时，002OP B OP A β∠=∠=，2AOB β∠=，122242ββ=⨯⨯⨯=， 00122sin()2sin 2OAP OBP S S πββ∆∆==⨯⨯⨯-=，因此44sin ββ=+，故选B.二、填空题9.已知向量(4,3)a =-，(6,)b m =，且a b ⊥，则m = . 【答案】8【解析】∵a b ⊥，∴4630a b m ⋅=-⨯+=，∴8m =.10.若x ，y 满足214310x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩，则y x -的最小值为 ，最大值为 .【答案】3-；1【解析】根据线性约束条件，画出可行域如下，令y x z -=，则y x z =+，画出直线y x =，利用平移直线的方法，可知，在点(2,3)处，y x -取得最大值1，在(2,1)-处，y x -取得最小值3-.11.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 .【答案】22(1)4x y -+=【解析】抛物线焦点F 坐标为(1,0)，准线为直线1x =-，根据题意可知，焦点到准线的距离为圆的半径，∴由圆心(1,0)，半径为2，可得圆的方程为22(1)4x y -+=.12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 .【答案】40【解析】正方体体积为44464⨯⨯=，去掉的四棱柱体积为(24)24242+⨯⨯=，∴几何体体积为642440-=.13.已知l ，m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l m ⊥；②//m α； ③l α⊥.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .【答案】若②③，则①（或若①③，则②）【解析】若l m ⊥且//m α，则l α⊥，//l α，l α⊂，以及l 与α相交均有可能，∴①②¿③，若l m ⊥且l α⊥，∵直线m 是平面α外的直线，∴//m α 若//m α且l α⊥，根据线面垂直的性质，可知l m ⊥.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 .【答案】①130元；②15【解析】①一次购买草莓和西瓜各1盒，需支付608010130+-=元.②设订单总金额为m 元，若120m <，可知所得金额为总金额80%，满足题意. 若120m ≥，则有()80%70%m x m -⨯≥，解得8m x ≤为满足题意，只需x 小于等于8m 的最小值即可，∴120158x ≤=，∴x 的最大值为15. 三、解答题15.在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-. （Ⅰ）求b 、c 的值； （Ⅱ）求sin(+)BC 的值.【解析】（I ）在ABC ∆中，2222cos b a c ac B =+-⋅，有2293b c c =++，又2b c -=，即2b c =+，∴22(2)93c c c +=++，解得5c =，7b =.（II ）由题意得(,)2B ππ∈，∴sin B ==，在ABC ∆中sin sin a b A B=3sin sin 2714a A Bb ⇒=⋅==，又∵A B C π++=，B C A π+=-，∴sin()sin()sin 14B C A A π+=-==.16.设{}n a 是等差数列，110a =-，且210a +，38a +，46a +成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值.【解析】（I ）因为210a +，38a +，46a +成等比数列，所以2324(8)(10)(6)a a a +=++，因为{}n a 是等差数列且110a =-，所以2(1010)(1036)(1028)d d d -++⋅-++=-++，化简得2440d d -+=，解得2d =，所以102(1)212n a n n =-+-=-. （II ）21(1)10(1)112n n n S na d n n n n n -=+=-+-=-，设2()11f x x x =-对称轴为0115.52x ==，因为n N +∈，所以5n =或6n =时，n S 取得最小值30-. 17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元.结合（II ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【解析】（I ）在抽取的100人中，仅使用A 支付方式的有30人，仅使用B 支付方式的有25人，A ，B 两种支付方式都不是用的有5人，则A ，B 两种支付方式都使用的人数为1003025540---=，则该校学生中A ，B 两种支付方式都使用的人数为401000400100⨯=人. （II ）设事件A “样本中仅使用B 的学生中随机抽取1人，月支付金额大于2000元”，样本中仅使用B 的学生有25人，样本中仅使用B 的学生中，月支付金额大于2000元有1人，则1()25P A =. （III ）不能，根据（II ）的结果，在仅使用B 的学生中随机抽取1人，月支付金额大于2000元的概率为4%，概率表现的是事件发生的可能性，而本月的抽取为随机事件，仅抽取一次不能认为样本中仅使用B 的学生中月支付金额大于2000元的人数有变化.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若60ABC ∠=︒，求证：平面PAB ⊥平面PAE ； （Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得//CF 平面PAE ？ 说明理由.【解析】（I ）PA ⊥平面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥，在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A ⋂=，∴BD ⊥平面PAC . （II ）PA ⊥平面ABCD 且AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，即60ADC ∠=︒，∴ADC ∆为等边三角形，且E 为CD 中点，∴AE CD ⊥，又//AB CD ，AE AB ⊥，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，PA AB A ⋂=，∴AE ⊥平面PAB ，且AE ⊂平面PAE ，∴平面PAB ⊥平面PAE .（III ）棱PB 上存在F 点，且F 为PB 中点，取PA 中点为M ，连接MF ，ME ，FC ，∵MF 分别PA ，PB 中点，∴//MF AB ，12MF AB =，∵底面ABCD 为菱形，∴//CE AB ，12CE AB =，∴//MF CE 且MF CE =，∴四边形MFCE 为平行四边形，∴//FC EM ，∵EM ⊂平面PAE ，FC ⊄平面PAE ，∴//FC 平面PAE .即棱PB 上存在一点F ，且F 为PB 中点，使得//CF 平面PAE .19.已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若||||2OM ON ⋅=，求证：直线l 经过定点.【解析】（I ）由题意得2222111c ba b c=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2212x y +=. （II ）由2222y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，得222(21)4220k x ktx t +++-=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y 由韦达定理12221224212221kt x x k t x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，111AP y k x -=，∴直线AP 为1111y y x x -=⋅+，令0y =得111x x y -=-，∴11(,0)1x M y --，221AQ y k x -=，∴直线AQ 为2211y y x x -=⋅+，令0y =得221x x y -=-，∴22(,0)1x N y --，∴12121212||||||||||11(1)(1)x x x x OM ON y y y y --⋅=⋅=----， 121212)(1)(1)(1y y y y y y --=-++1212()()()1kx t kx t kx t kx t =++-++++22121212((2)1)k x x kt x x t k x x t =+++-+-+221212()()21k x x kt k x x t t =+-++-+，代入韦达定理得22222224()212121t kt k kt k t t k k --⋅+-⋅+-+++222121t t k -+=+， ∴22|2||||21|22t O t t M ON --+==⋅，整理得，0t =， ∴直线l 为y kx =，即直线恒过定点(0,0).20.已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为()M a .当()M a 最小时，求a 的值.【解析】（I ）由题意得，23()2114f x x x '=-+=，解得10x =，283x =，当10x =时，(0)0f =，切点为(0,0)，∴0x y -=，当283x =时，88()327f =切点为(88,)327，∴88273y x -=-，整理得64027x y --=，综上，切线方程为0x y -=或64027x y --=. （II ）要证()6x f x x -≤≤，即证6()0f x x -≤-≤，设231()()4g x f x x x x =-=-，23()204g x x x '=-=，10x =，283x =，得到()g x ，()g x '随x 的变化情况如下表： 其中(2)6g -=-，(0)0g =，864()327g =-，(4)0g =，∴当[2,4]x ∈-时，6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤.（III ）()|()||()|F x f x x a g x a =--=-，[2,4]x ∈-，∵()[6,0]g x ∈-，∴当(3,)a ∈-+∞时，2x =-，()|6|3M a a =-->，当(,3)a ∈-∞-时，0x =或4，()|0|3M a a =->，当3a =-时，2x =-或0或4，()3M a =，∴()M a 最小值为3时，3a =-.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟，。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.15输出5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时间t （单位：分钟）2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图 记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=（A）（–1，1）（B）（1，2）（C）（–1，+∞）（D）（1，+∞）（2）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A）3（B）5（C）3 （D）5（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A）12y x=（B）y=2x-（C）12logy x=（D）1yx=（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（5）已知双曲线2221xya-=（a>05a=（A ）6 （B ）4 （C ）2 （D ）12（6）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10.110-（8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年全国普通高等学校招生统一考试数学（文）（北京卷）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、单选题1．已知集合A={(|||<2)},B={−2,0,1,2},则A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {−2,0,1,2}D. {−1,0,1,2}【答案】A【解析】分析：将集合化成最简形式，再进行求交集运算.详解：故选A.点睛：此题考查集合的运算，属于送分题.2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3．执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.4．设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分析：证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.详解：当时，不成等比数列，所以不是充分条件； 当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件故选B.点睛：此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题.5．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以()12,n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种： （1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中， 0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数. 详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，， 由勾股定理可知：， 则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.7．在平面直角坐标系中， ,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A. ABB. CDC. EFD. GH【答案】C【解析】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在AB 上时， cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时， cos ,sin x y αα==， tan y x α=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时， cos ,sin x y αα==， tan y xα=， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限， tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较. 8．设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.二、填空题9．设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若，则m=_________.【答案】【解析】分析：根据坐标表示出，再根据，得坐标关系，解方程即可.详解：，，由得：，，即.点睛：此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则①；②.10．已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.【答案】【解析】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点，将点坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.详细：由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得：，，由抛物线方程可得：，焦点坐标为.点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.11．能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】分析：根据原命题与命题的否定的真假关系，可将问题转化为找到使“若，则”成立的，根据不等式的性质，去特值即可.详解：使“若，则”为假命题则使“若，则”为真命题即可，只需取即可满足所以满足条件的一组的值为（答案不唯一）点睛：此题考查不等式的运算，解决本题的核心关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换，对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难.12．若双曲线的离心率为，则a=_________.【答案】4【解析】分析：根据离心率公式，及双曲线中的关系可联立方程组，进而求解参数的值.详解：在双曲线中，，且点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点，根据双曲线的离心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式，找到之间的关系.13．若,y满足，则2y−的最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值.详解：不等式可转化为，即满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.14．若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.【答案】【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.详解：，，即，，则为钝角，，故.点睛：此题考查解三角形的综合应用，余弦定理的公式有三个，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.三、解答题15．设是等差数列，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求.【答案】（I）（II）【解析】分析：（1）设公差为，根据题意可列关于的方程组，求解，代入通项公式可得；（2）由（1）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解.详解：（I）设等差数列的公差为，∵，∴，又，∴.∴.（II）由（I）知，∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.∴.∴点睛：等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.16．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.详解：（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.【解析】分析：（1）分别计算样本中电影总部数及第四类电影中获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（2）利用古典概型公式，计算没有获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（3）根据每部电影获得好评的部数做出合理建议..详解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，故所求概率为.（Ⅱ）设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.由古典概型概率公式得.（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.点睛：本题主要考查概率与统计知识，属于易得分题，应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.18．（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A=PD，E，F分别为AD，PB的中点.（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面P AB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】分析：（1）欲证，只需证明即可；（2）先证平面，再证平面P AB⊥平面PCD；（3）取中点，连接，证明，则平面.详解：（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.∵底面为矩形，∴，∴.（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.∵平面平面，∴平面.∴.又,∵平面，∴平面平面.（Ⅲ）如图，取中点，连接.∵分别为和的中点，∴，且.∵四边形为矩形，且为的中点，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.点睛：证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.19．设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；（2）对分及两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得取得极值的可能，进而可求参数的取值范围.详解：解：（Ⅰ）因为，所以.，由题设知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极大值，不合题意.③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.（3）当a<0时，令得.随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题.解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.20．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k .【答案】（Ⅰ）2213x y +=（Ⅲ）1【解析】分析：（1）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程；（2）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出AB ，求其最值；（3）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 详解：（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=． （Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由22{ 13y x mx y =++=消去y 可得2246330x mx m ++-=，则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则1232mx x +=-， 212334m x x -=，则12AB x =-=， 易得当20m =时， max ||AB =AB （Ⅲ）设()11,A x y ， ()22,B x y ， ()33,C x y ， ()44,D x y ，则221133x y += ①， 222233x y += ②，又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()1222{ 13y k x x y =++=消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=，则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712,4747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理可得2222712,4747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．故3371,44QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 4471,44QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 因为,,Q C D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．点睛：本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式21AB x =-变形为AB =再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.。