《运筹学研究生辅导课件》第二章 动态规划
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运筹学-动态规划(二)(名校讲义)
§2
二、策略迭代法 先给出初始策略u0(i)，i=1，2，…，N－1。然后逐步求新 策略，当uk(i)=uk－1(i)时，即结束。其步骤为： ①选一无回路的初始策略｛u0(i) ，i=1，2，…，N－1｝,表 示在此策略下i点应到达的下一点。 ②由策略uk(i)，求指标值函数fk(i)。 fk(i)= Ci，u (i ) f u k (i) k i=1，2，…，N－1；k=0，1，2… fk(N)=0 ③由fk(i)，求策略uk+1(i)，令 uk+1(i)= arg min ci，u f k (u )
K4 M
I5
图3-13 [例3-6]结果示意图 图中数字表示从该点到终点M铺设管道的最低费用。例如， A至M的最低费用为14，其路线为：A→B→E→G→I→L→M。
§1 具有隐含阶段和无限阶段 问题的算法（6）
[例3-7]挑硬币问题 N个硬币，有一枚较重，其它等重。现要求用等臂天平来选 出重币。希确定出一定能找出这枚重币的最少称重次数。 [解]令：硬币数为状态变量x I(x)表示使用最优策略在批量为x个硬币中一定能找出重币 中所需最少称量次数。 u为决策变量，放在天平每边的硬币数。 现分析每次u的最佳选择。显然，从x个硬币中选出2u个硬 币分放天平2边，必有下述2种可能： 1）天平平衡，说明重币在剩余的(x－2u)个硬币中。 2）天平不平衡，说明重币在天平重的一边的u个硬币中。
§2
即：u1(i)={5，3，5，5} 然后，以这些策略求出f1(i)，反复迭代，最后求得 u3(i)=u2(i)。故得最优策略为u2(i)，目标函数为f2(i)。 具体计算结果示于表3-10中。 最优策略为 u3(i)=u2(i)={ 5，3，4，5}
通常，策略迭代比函数迭代收敛的更快一些。
二、策略迭代法 先给出初始策略u0(i)，i=1，2，…，N－1。然后逐步求新 策略，当uk(i)=uk－1(i)时，即结束。其步骤为： ①选一无回路的初始策略｛u0(i) ，i=1，2，…，N－1｝,表 示在此策略下i点应到达的下一点。 ②由策略uk(i)，求指标值函数fk(i)。 fk(i)= Ci，u (i ) f u k (i) k i=1，2，…，N－1；k=0，1，2… fk(N)=0 ③由fk(i)，求策略uk+1(i)，令 uk+1(i)= arg min ci，u f k (u )
K4 M
I5
图3-13 [例3-6]结果示意图 图中数字表示从该点到终点M铺设管道的最低费用。例如， A至M的最低费用为14，其路线为：A→B→E→G→I→L→M。
§1 具有隐含阶段和无限阶段 问题的算法（6）
[例3-7]挑硬币问题 N个硬币，有一枚较重，其它等重。现要求用等臂天平来选 出重币。希确定出一定能找出这枚重币的最少称重次数。 [解]令：硬币数为状态变量x I(x)表示使用最优策略在批量为x个硬币中一定能找出重币 中所需最少称量次数。 u为决策变量，放在天平每边的硬币数。 现分析每次u的最佳选择。显然，从x个硬币中选出2u个硬 币分放天平2边，必有下述2种可能： 1）天平平衡，说明重币在剩余的(x－2u)个硬币中。 2）天平不平衡，说明重币在天平重的一边的u个硬币中。
§2
即：u1(i)={5，3，5，5} 然后，以这些策略求出f1(i)，反复迭代，最后求得 u3(i)=u2(i)。故得最优策略为u2(i)，目标函数为f2(i)。 具体计算结果示于表3-10中。 最优策略为 u3(i)=u2(i)={ 5，3，4，5}
通常，策略迭代比函数迭代收敛的更快一些。
运筹学课件--动态规划
J 表示留在左岸的仆人人数
初始状态s1是T(3,3)
结束状态sn是 T(0,0)
可达状态有哪些?(3,J) (2,2) (1,1) (0,J) J 3 2 1 0
2013-6-9
A
1
运筹学课件
2
3
I
阶段指标——每阶段选定决策xk后所产生的效益，记
vk= vk(Sk， xk)。
指标函数——各阶段的总效益，记相应于Pkn的指标函数
2013-6-9 运筹学课件
动态规划模型的分类： 以“时间”角度可分成：
离散型和连续型。
从信息确定与否可分成：
确定型和随机型。
从目标函数的个数可分成： 单目标型和多目标型。
2013-6-9 运筹学课件
8.2基本概念与方程
1.基本概念
阶段（Stage）——分步求解的过程，用阶段变量k表示，k=1，，n 状态（State）——每阶段初可能的情形或位置，用状态变 量Sk表示。 按状态的取值是离散或连续，将动态规划问题分为
当 k 3，f Max f v
3 0
3 3
3
4
Max 3x 5s 13.6(0.9s 0.2x )
0
3 3
3
3
3
3
Max 0.28x 17.24s
0
3 3
3
3
x s , f 17.52s ,即第3年初将全部完好机器都 投入高负荷。
指标函数vkn=
v
5
表示第k至5年的总产量；
1
递推公式：f Max f v
6
f 0, k 5, ,1
2013-6-9
运筹学课件
初始状态s1是T(3,3)
结束状态sn是 T(0,0)
可达状态有哪些?(3,J) (2,2) (1,1) (0,J) J 3 2 1 0
2013-6-9
A
1
运筹学课件
2
3
I
阶段指标——每阶段选定决策xk后所产生的效益，记
vk= vk(Sk， xk)。
指标函数——各阶段的总效益，记相应于Pkn的指标函数
2013-6-9 运筹学课件
动态规划模型的分类： 以“时间”角度可分成：
离散型和连续型。
从信息确定与否可分成：
确定型和随机型。
从目标函数的个数可分成： 单目标型和多目标型。
2013-6-9 运筹学课件
8.2基本概念与方程
1.基本概念
阶段（Stage）——分步求解的过程，用阶段变量k表示，k=1，，n 状态（State）——每阶段初可能的情形或位置，用状态变 量Sk表示。 按状态的取值是离散或连续，将动态规划问题分为
当 k 3，f Max f v
3 0
3 3
3
4
Max 3x 5s 13.6(0.9s 0.2x )
0
3 3
3
3
3
3
Max 0.28x 17.24s
0
3 3
3
3
x s , f 17.52s ,即第3年初将全部完好机器都 投入高负荷。
指标函数vkn=
v
5
表示第k至5年的总产量；
1
递推公式：f Max f v
6
f 0, k 5, ,1
2013-6-9
运筹学课件
《动态规划》课件
《动态规划》ppt课 件
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
《动态规划课件》课件
应用场景：求解最短路径、背 包问题等
注意事项：避免重复计算子问 题和记忆化搜索
定义：将问题划分为 若干个较小的子问题， 并逐个解决子问题， 最终得到原问题的解
特点：将原问题分解为 更小的子问题，通过求 解子问题的最优解得到 原问题的最优解
应用场景：适用于 具有重叠子问题和 最优子结构特性的 问题
示例：背包问题、 最大子段和问题等
分段算法的代码 实现
分段算法的时间 复杂度分析
避免重复计算：使用备忘录或动态规划表来记录已计算过的子问题 减少子问题的数量：通过合并或减少不必要的子问题来降低计算复杂度 选择合适的递归方式：根据问题的特点选择最优的递归方式 优化递归栈：通过减少递归深度或使用循环代替递归来提高性能
优化算法：动态规划可以优化算法，提高计算效率 避免重复计算：通过记忆化搜索，避免重复计算，提高计算速度
添加标题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
动态规划与分治法比较：分治法将 问题分解为子问题，而动态规划将 子问题联系起来
动态规划与回溯法比较：回溯法会 穷举所有可能解，而动态规划可以 避免不必要的搜索
机器学习与深度 学习中的动态规 划
自然语言处理中 的动态规划
计算机视觉中的 动态规划
推荐系统中的动 态规划
最大子段和问题的定义 最大子段和问题的应用场景 最大子段和问题的解决方法 最大子段和问题的实际应用案例
定义：矩阵链乘法问题是一种优化问题，通过动态规划算法来求解
应用场景：在科学计算、机器学习、图像处理等领域都有广泛的应用
算法原理：通过动态规划算法，将矩阵链乘法问题转化为子问题，从而避免重复计算，提高 计算效率
应用场景：背包问题在计算机科学、运筹学、经济学等领域都有广泛的应用，如资源分配、路径规划、时间表安 排等。
《运筹学07动态规划》课件
组合动态规划：解决组合问题， 如旅行商问题、背包问题等
动态规划的应用场景
资源分配 问题：如 背包问题、 车辆路径 问题等
优化问题： 如最短路 径问题、 最大子数 组问题等
决策问题： 如股票买 卖问题、 投资组合 问题等
游戏问题： 如国际象 棋、围棋 等
生物信息 学：如基 因序列比 对、蛋白 质结构预 测等
优化策略的改进
动态规划的扩展：从线性规划到非 线性规划，从单阶段决策到多阶段 决策
优化策略的改进：引入并行计算， 提高计算效率
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
优化策略的改进：引入启发式算法， 如遗传算法、模拟退火算法等
优化策略的改进：引入智能优化算 法，如神经网络、深度学习等
动态规划与其他 算法的比较
感谢您的观看
汇报人：
动态规划的基本 思想：将问题分 解为更小的子问 题，并利用子问 题的解来求解原
问题
动态规划的步 骤：确定状态、 状态转移方程、 初始状态和边
界条件
动态规划的算 法实现：递归、 迭代、记忆化
搜索等
动态规划的应 用：背包问题、 最短路径问题、 资源分配问题
等
动态规划的经典 案例
最短路径问题
问题描述：在图中找到从起点到终点的最短路径 应用场景：交通网络、物流配送、电路设计等 解决方案：使用动态规划算法，通过状态转移方程求解 经典案例：旅行商问题、最短路径问题等
排班问题
问题描述：如何合理安排员工工作时间，使得员工满意度最高，同时满足 公司业务需求
动态规划方法：使用动态规划算法，通过状态转移方程和递归函数求解
状态转移方程：定义状态变量，表示员工在不同时间段的工作状态
递归函数：根据状态转移方程，递归求解最优解
动态规划的应用场景
资源分配 问题：如 背包问题、 车辆路径 问题等
优化问题： 如最短路 径问题、 最大子数 组问题等
决策问题： 如股票买 卖问题、 投资组合 问题等
游戏问题： 如国际象 棋、围棋 等
生物信息 学：如基 因序列比 对、蛋白 质结构预 测等
优化策略的改进
动态规划的扩展：从线性规划到非 线性规划，从单阶段决策到多阶段 决策
优化策略的改进：引入并行计算， 提高计算效率
添加标题
添加标题
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添加标题
优化策略的改进：引入启发式算法， 如遗传算法、模拟退火算法等
优化策略的改进：引入智能优化算 法，如神经网络、深度学习等
动态规划与其他 算法的比较
感谢您的观看
汇报人：
动态规划的基本 思想：将问题分 解为更小的子问 题，并利用子问 题的解来求解原
问题
动态规划的步 骤：确定状态、 状态转移方程、 初始状态和边
界条件
动态规划的算 法实现：递归、 迭代、记忆化
搜索等
动态规划的应 用：背包问题、 最短路径问题、 资源分配问题
等
动态规划的经典 案例
最短路径问题
问题描述：在图中找到从起点到终点的最短路径 应用场景：交通网络、物流配送、电路设计等 解决方案：使用动态规划算法，通过状态转移方程求解 经典案例：旅行商问题、最短路径问题等
排班问题
问题描述：如何合理安排员工工作时间，使得员工满意度最高，同时满足 公司业务需求
动态规划方法：使用动态规划算法，通过状态转移方程和递归函数求解
状态转移方程：定义状态变量，表示员工在不同时间段的工作状态
递归函数：根据状态转移方程，递归求解最优解
运筹学课程动态规划课件
5 A
3
1 B1 3
6
8 B2 7
6
C1 6 8
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
2
D2 1 2
3 D3
3
E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
1
2
3 4 运筹学课程动态规划
5
6
7
示例5（生产与存储问题）：
某工厂生产并销售某种产品。已知今后四个月市场需求 预测及每月生产j个单位产品的费用如下：
上一个阶段的决策直接影响下一个阶段的决策
运筹学课程动态规划
8
示例6（航天飞机飞行控制问题）：
由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因 此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情况， 不断地决定航天飞机的飞行方向和速度（状态）， 使之能最省燃料和实现目的（如软着落问题）。
运筹学课程动态规划
9
所谓多阶段决策问题是指一类活动过程，它可以分为若 干个相互联系的阶段，在每个阶段都需要作出决策。这 个决策不仅决定这一阶段的效益，而且决定下一阶段的 初
1 6
C3
D1
10
E
D2
6
运筹学课程动态规划
12
以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完
全相同，但规模较小的子问题，即分别从 Di 、 Ci 、Bi、
A到E的最短路径问题。
第四阶段：两个始点 D 1 和 D 2 ，终点只有一个；
本阶段始点 （状态）
D1 D2
本阶段各终点（决策） E 10 6
cj30j
j0 j1,2,6
月1 2 3
4
需求 2 3 2
《运筹学动态规划》PPT课件 (2)
７.2 动态规划的基本原理
７.2.1 最优化原理
动态规划方法是由美国数学家贝尔曼 (R.Bellman)等人于本世纪 50 年 代提出的。他们针对多阶段决策问题的特点 ,提出了解决这类问题的”最优 化原理”,并成功地解决了生产管理、工程技术许多方面的实际问题。 最优化 原理可以表述为：“一个过程的最优策略具有这样的性质, 即无论初始状态 和初始决策如何,对于先前决策所形成的状态而言 ,其以后的所有决策必构成 最优策略。”
1 S1
2
3
4
S2
S3
S4
精选PPT
17
第三步, K=2 由于第 3 段各点 C1,C2,C3 到终点 E 的最短距离 f3(C1),
f3(C2), f3(C3),已知,所以要求城市 B1 到 E 的最短距离,只需以它们为基础,
分别加上 B1 到达 C1,C2,C3 的一段距离,加以比较取其最短者即可。
x
* 3
（
C2
）=
D2
1 S1
2
3
4
S2
S3
S4
f 3 （ C3 ）＝min
d (C3 , D1 ) + f4 (D1 ) d (C3 , D2 ) + f4 (D2 )
=min
1+ 4 3+3
=5
即从 C3 到 E 的最短距离为 5,其路径为 C3→D1→E,相应的决策为
x
* 3
（
C
3
）=
D1
。
1
2
3
4
精选PPT
6
3）、 决策（Decision )
当各阶段的状态确定以后，就可以做出不同的决定或选择，从而确 定下一阶段的状态，这种决定就是决策，表示决策的变量称为决策变量。
运筹学课件(动态规划)
（二）、动态规划的基本思想 1、动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。要做到 这一点，就必须将问题的过程分成几个相互联系的阶 段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函 数，从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题， 然后逐个求解。即从边界条件开始，逐段递推寻优， 在每一个子问题的求解中，均利用了它前面的子问题 的最优化结果，依次进行，最后一个子问题所得的最 优解，就是整个问题的最优解。
d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) 3+1 f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 4 = min 6 = 4 (最短路线为B1→C1 →D) 5
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
最优策略为（30，20），此时最大利润为105万元。
f 2 ( 40)
g2 ( y) y 0 ,10 ,, 40
max
f1 ( 40 y )
90
最优策略为（20，20），此时最大利润为90万元。
f 2 (30)
g2 ( y) y 0 ,10 , 20 , 30
max
f1 (30 y )
70
最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。
f 2 ( 20) ma 0 ,10 , 20
50
最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。
f 2 (10) maxg 2 ( y ) f1 (10 y )
3 2 A 4 B2 B1 2 3 1 3 1
C1 C2 4 3
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f4(D2)=2
f3(C3)=12
f2(B2)m i((n B B22,,C C2 1)) ff3 3((C C1 2)) m i16 n 0 87 m i1 1n 7 414 (B2,C3)f3(C3) 41 2 1 6
最优B决 2 C 策 1
ppt课件
10
f2(B1)=21
ppt课件
13
f1(A)=19
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
第二章 动态规划
动态规划作为运筹学的一个重要分支是解决多
阶段决策过程最优化的一种非常有效的方法。1951 年，美国数学家贝尔曼（ R . Bellman ）等人，根 据一类多阶段决策问题的特点，把多阶段决策问题变
换为一系列相互联系的单阶段决策问题，然后分阶段
逐个加以解决。贝尔曼等人在研究和解决了大量实际
(B3,C3)f3(C3) 11 1 2 2 3
最优B决 3 C 策 2
ppt课件
11
f2(B1)=21
f3(C1)=8
f1(A)=19
A
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
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B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
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C2
5 8
C3
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f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
B3
12 11
C1
3
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5 8
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f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f 4 ( D 1 ) d ( D 1 E ) f 5 ( E ) 5 0 5
ppt课件
4
2
A5
1
B1
12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
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C1
3
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C3
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f4(D1)=5
D1
f3(C1)=8
2
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B1 12 14
10
6
B2 10
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B3
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C1
3
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f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
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f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
f3(C3)=12
(B1,C1)f3(C1) 12 8 2 0 f2(B1)m i(n B1,C2)f3(C2) m i1n4 7 m i2n 120
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
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B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
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f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
f3(C3)=12
f3(C3)m i(n(C C33,,D D21)) ff4 4((D D12))
m i1n80 52 mpp it课1 1n件2 3 12最优C 决 3 策 D2 8
f2(B1)=20
f4(D2)=2
f3(C1)min((C C11,,D D21)) ff44((D D12))
35 8 min92mppit课n1件18
最优决 C1 策 D1
6
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5
8
C3
10
f4(D1)=5
D1
f3(C1)=8
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
A5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
Байду номын сангаасC2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
f2(B3)=19
f3(C3)=12
(B3,C1)f3(C1) 13 8 2 1 f2(B3)m i(n B3,C2)f3(C2) m i1n2 7 m i1n 919
问题之后，提出了解决这类问题的——所谓“最优性 原理”，通常称为“贝尔曼最优化原理”，从而创建
了解决最优化问题的一种新的方法 —— 动态规划 — —（Dynamic Programming ）。
ppt课件
1
为了说明动态规划的基本思想方法和特点，以 下图所示为例，讨论求最短路问题的方法。
2
A5
1
B1
12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
6
C2
5 8
C3
10
D1
5
E
D2 2
求从A到E的最短路径
ppt课件
2
2
A5
1
B1
12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
6
C2
5 8
C3
10
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
ppt课件
3
2
A5
1
B1
12 14
10
6
B2 10
4 13
E
D2 2
f4(D2)=2
f2(B3)=19
f3(C3)=12
(A,B1)f2(B1) 221 2 3 f1(A)m i(nA,B2)f2(B2) m i5 n1 4m i1n 919
(A,B3)f2(B3) 119 2 0
最优A 决 B 策 2
ppt课件
12
f1(A)=19
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
f3(C2)min((C C22,,D D21)) ff4 4((D D12))
65 11 min52mpipt课n7件7
最优决 C2 策 D2
7
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
(B1,C3)f3(C3) 10 1 2 2 2
最优B决 1 C 策 1
ppt课件
9
f2(B1)=21
f3(C1)=8
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
A5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
f 4 ( D 2 ) d ( D 2 E ) f 5 ( E ) 2 0 2
ppt课件
5
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
f3(C1)=8
C1
3
9
6
C2
5
8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f3(C3)=12
f2(B2)m i((n B B22,,C C2 1)) ff3 3((C C1 2)) m i16 n 0 87 m i1 1n 7 414 (B2,C3)f3(C3) 41 2 1 6
最优B决 2 C 策 1
ppt课件
10
f2(B1)=21
ppt课件
13
f1(A)=19
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
第二章 动态规划
动态规划作为运筹学的一个重要分支是解决多
阶段决策过程最优化的一种非常有效的方法。1951 年，美国数学家贝尔曼（ R . Bellman ）等人，根 据一类多阶段决策问题的特点，把多阶段决策问题变
换为一系列相互联系的单阶段决策问题，然后分阶段
逐个加以解决。贝尔曼等人在研究和解决了大量实际
(B3,C3)f3(C3) 11 1 2 2 3
最优B决 3 C 策 2
ppt课件
11
f2(B1)=21
f3(C1)=8
f1(A)=19
A
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
B3
12 11
C1
3
9
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f 4 ( D 1 ) d ( D 1 E ) f 5 ( E ) 5 0 5
ppt课件
4
2
A5
1
B1
12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
f3(C3)=12
(B1,C1)f3(C1) 12 8 2 0 f2(B1)m i(n B1,C2)f3(C2) m i1n4 7 m i2n 120
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
f3(C3)=12
f3(C3)m i(n(C C33,,D D21)) ff4 4((D D12))
m i1n80 52 mpp it课1 1n件2 3 12最优C 决 3 策 D2 8
f2(B1)=20
f4(D2)=2
f3(C1)min((C C11,,D D21)) ff44((D D12))
35 8 min92mppit课n1件18
最优决 C1 策 D1
6
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5
8
C3
10
f4(D1)=5
D1
f3(C1)=8
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
A5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
Байду номын сангаасC2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
f2(B3)=19
f3(C3)=12
(B3,C1)f3(C1) 13 8 2 1 f2(B3)m i(n B3,C2)f3(C2) m i1n2 7 m i1n 919
问题之后，提出了解决这类问题的——所谓“最优性 原理”，通常称为“贝尔曼最优化原理”，从而创建
了解决最优化问题的一种新的方法 —— 动态规划 — —（Dynamic Programming ）。
ppt课件
1
为了说明动态规划的基本思想方法和特点，以 下图所示为例，讨论求最短路问题的方法。
2
A5
1
B1
12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
6
C2
5 8
C3
10
D1
5
E
D2 2
求从A到E的最短路径
ppt课件
2
2
A5
1
B1
12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
6
C2
5 8
C3
10
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
ppt课件
3
2
A5
1
B1
12 14
10
6
B2 10
4 13
E
D2 2
f4(D2)=2
f2(B3)=19
f3(C3)=12
(A,B1)f2(B1) 221 2 3 f1(A)m i(nA,B2)f2(B2) m i5 n1 4m i1n 919
(A,B3)f2(B3) 119 2 0
最优A 决 B 策 2
ppt课件
12
f1(A)=19
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
f3(C2)min((C C22,,D D21)) ff4 4((D D12))
65 11 min52mpipt课n7件7
最优决 C2 策 D2
7
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
(B1,C3)f3(C3) 10 1 2 2 2
最优B决 1 C 策 1
ppt课件
9
f2(B1)=21
f3(C1)=8
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
A5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
f 4 ( D 2 ) d ( D 2 E ) f 5 ( E ) 2 0 2
ppt课件
5
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
f3(C1)=8
C1
3
9
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5
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C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2