基本初等函数求导公式
(1) 0)(='C (2) 1
)(-='μμμx x
(3) x x cos )(sin ='
(4) x x sin )(cos -='
(5)
x x 2
sec )(tan =' (6)
x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='
(8) x x x cot csc )(csc -='
(9)
a a a x
x ln )(=' (10) (e )e x
x '=
(11)
a x x a ln 1
)(log =
'
(12)
x x 1)(ln =
',
(13)
211)(arcsin x x -=
' (14)
211)(arccos x x --
=' (15)
21(arctan )1x x '=
+
(16)
21(arccot )1x x '=-
+
函数的与、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则
(1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 就是常数)
(3) v u v u uv '+'=')(
(4) 2v v u v u v u '-'='
⎪⎭⎫ ⎝⎛
反函数求导法则
若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ,则它的反函数)(x f y =在对应区
间
x
I 内也可导,且
)(1)(y x f ϕ'=
' 或 dy dx dx dy 1=
复合函数求导法则
设)(u f y =,而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导,则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为
dy dy du dx du dx =g
或()()y f u x ϕ'''=g
２、 双曲函数与反双曲函数的导数、
双曲函数与反双曲函数都就是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式与求导法则求出.
可以推出下表列出的公式:
在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念,并且指出了不经过显化直接由方程
),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理,并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式、
隐函数存在定理1 设函数),(y x F 在点
),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数,且0),(00=y x F ,, 0),(00≠y x F y ,则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确
定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =,它满足条件)(00x f y =,并有
y x F F dx dy
-= (2)
公式(2)就就是隐函数的求导公式
这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入,得恒等式 0))(,(≡x f x F ,
其左端可以瞧作就是x 的一个复合函数,求这个函数的全导数,由于恒等式两端求导后仍
然恒等,即得
,0=∂∂+∂∂dx dy y F x F
由于
y
F 连续,且
),(00≠y x F y ,所以存在(x 0,y 0)的一个邻域,在这个邻域内
≠y F ,于就是得
.y x F F dx dy
-=
如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续,我们可以把等式(2)的两端瞧作x 的复合函数而再
一次求导,即得
dx
dy F F y F F x dx y d y x y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=22
.23
2222y
x yy y x xy y xx y x y
x yy y xy y x
yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=
例1 验证方程012
2
=-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时,1=y 的隐函数)(x f y =,并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值。
解 设=),(y x F 122-+y x ,则y F x F y x 2,2==,0
2)1,0(,0)1,0(≠==y F F 、因此由定理1可知,方程
012
2=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时,1=y 的隐函数)(x f y =。
下面求这函数的一阶与二阶导数
y x F F dx dy -==y x -, 0
==x dx dy ;
22dx y d =
,1)
(332222y y x y y y x
x y y y x y -=+-=---='--
1
22-==x dx y
d 。
隐函数存在定理还可以推广到多元函数、既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数,那末一个三元方程
F (z y x ,,)=0 (3)
