2020高考数学复习方法总结：利用函数图像解题

易错警示：可先化简函数解析式，再利用图象的变换作图．
考点二 函数图象的识别(师生共研) [典例] (1)(2016·全国Ⅰ卷)函数 y＝2x2－e|x|在[－2,2]上的图象大 致为( )
[解析] D [f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，图象关于 y 轴 对称
又 f(2)＝8－e2∈(0,1)，排除选项 A，B. 设 g(x)＝2x2－ex，x≥0，则 g′(x)＝4x－ex. 又 g′(0)＜0，g′(2)＞0， ∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点， ∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C，故选 D.]
)
解析：D [当 x＝0 时，y＝2，排除选项 A，B.
y′＝－4x3＋2x＝－2x(2x2－1)，当
x∈0，

22时，y′>0，排除
选项 C.故选 D.]
考点三 函数图象的应用(多维探究) [命题角度 1] 研究函数的零点 1．已知 f(x)＝|2lg|x|，x|，x≤x>00，， 则函数 y＝2f2(x)－3f(x)＋1 的零点 个数是 ________ . [破题关键点] 函数 y＝2f2(x)－3f(x)＋1 的零点就是方程 2f2(x)－ 3f(x)＋1＝0 的实数根，即 f(x)＝12或 f(x)＝1 的实数根，亦即函数 y＝ f(x)的图象与直线 y＝12与 y＝1 交点的横坐标．
(2)(理科)(2018·全国Ⅱ卷)函数 f(x)＝ex－x2e－x的图象大致为(
)
[解析] B [由已知，x≠0，f(－x)＝e－xx－2 ex ＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，舍去 A， ∵f(1)＝e－e－1>0，∴舍去 D； ∵f′(x)＝ex＋e－xx2－x4 ex－e－x2x ＝x－2ex＋x3x＋2e－x， ∴当 x>2 时，f′(x)>0，f(x)在(2，＋∞)上为增函数，所以舍去 C； 故选 B.]

3、画图
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。当然，函数图像解题并仅仅表现在单调性，还有根的个数问题、参数问题、恒成立、不等式等等问题！因为篇幅关系，希望下次有机会跟大家分享啦。

专题10 函数图像一、【知识精讲】1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象――——————————→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )―——————————————————―→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a >0）倍y ＝f (ax ). y ＝f (x )―——————————————————―→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ). (4)翻折变换y ＝f (x )的图象―————————————————―→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象―————————————————―→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象. [微点提醒]记住几个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x ＝a对称.二、【典例精练】考点一作函数的图象例1. 作出下列函数的图象．(1)y＝－2x＋3，x≤1，－x2＋4x－2，x>1；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1.【解析】(1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y＝2x＋2的图象是由y＝2x的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．(3)y＝x2－2x－1，x≥0，x2＋2x－1，x<0，其图象如图③所示．【解法小结】作函数图象的一般方法直接法当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出图象变换法变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换图象变换口诀如下：图象变换有谁知？平移反射和位似；平移左加与右减，上下移动值增减；反射就是轴对称，上下左右玩对称；位似缩小与放大，有个定点叫中心.描点法当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出考点二函数图象的识辨例2. (2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝e x－e－xx2的图象大致为( )【答案】 B【解析】∵y＝e x－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，∴f(x)＝e x－e－xx2是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项；当x＝1时，f(1)＝e－1e>0，排除D选项；又e>2，∴1e<12，∴e－1e>1，排除C选项．故选 B.例3. （1）(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图象大致为( )(2)(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )。

专题10函数的图象最新考纲1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数．2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.基础知识融会贯通 1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x ) ―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )．(4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． 【知识拓展】1．关于对称的三个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称．(3)若函数y ＝f (x )的定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．2．函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量． (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．重点难点突破【题型一】作函数的图象 【典型例题】已知函数f （x ）＝a x（a ＞0且a ≠1）在（0，2）内的值域是（1，a 2），则函数y ＝f （x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数f （x ）＝a x（a ＞0且a ≠1）在（0，2）内的值域是（1，a 2）， 则由于指数函数是单调函数，则有a ＞1，由底数大于1指数函数的图象上升，且在x 轴上面，可知B 正确． 故选：B ．【再练一题】函数f（x）sin（2x+φ）（|φ|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）sin（2x+φ）（|φ|）的图象向左平移个单位后，得到g（x）sin（2xφ）（|φ|）的图象，由于平移后的图象关于原点对称，故g（0）sin（φ）＝0，由|φ|得：φ，故选：D．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．【题型二】函数图象的辨识【典型例题】函数f（x）＝x sin x+ln|x|在区间[﹣2π，0）∪（0，2π]上的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，f（x）＝x sin x+ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）+ln|（﹣x）|＝x sin x+ln|x|＝f（x），即函数f（x）为偶函数，在区间[﹣2π，0）∪（0，2π]上关于y轴对称，排除A、D；又由x→0时，x sin x+lnx＜0，排除C；故选：B．【再练一题】函数的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝﹣f（x），即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x＞0时，f（x）＞0，排除D，当x→+∞，f（x）→+0，排除C，故选：A．思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．【题型三】函数图象的应用命题点1 研究函数的性质【典型例题】已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足g（x）＝f（|x﹣1|），则函数y＝g（x）的图象关于（）A．直线x＝﹣1对称B．直线x＝1对称C．原点对称D．y轴对称【解答】解：由y＝f（|x|）关于y轴对称，由y＝f（x）向右平移一个单位可得y＝f（x﹣1），即函数y ＝g（x）的图象关于x＝1对称，故选：B．【再练一题】已知函数f（x）＝sin，则（）A．f（x）在（1，3）上单调递增B．f（x）在（1，3）上单调递减C．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称D．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称【解答】解：∵y＝sinπx关于点（1，0）对称，y关于点（1，0）对称，∴f（x）＝sinπx关于点（1，0）对称．故选：C．命题点2 解不等式【典型例题】已知函数f（x）与其导函数f'（x）的图象如图，则满足f'（x）＜f（x）的x的取值范围为（）A．（0，4）B．（﹣∞，0），（1，4）C．D．（0，1），（4，+∞）【解答】解：由题意可知导函数是二次函数，原函数是3次函数，可知：则满足f'（x）＜f（x）的x的取值范围为：（0，1），（4，+∞）．故选：D．【再练一题】设f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），则使得f（x+1）＜f（2x﹣2）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3）C．（﹣∞，）∪（1，+∞）D．（，1）【解答】解：根据题意，f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）＝﹣（x﹣1）2﹣2（e x﹣1）+1，分析可得：y＝﹣（x﹣1）2+1与函数y＝2（e x﹣1+e1﹣x）都关于直线x＝1对称，则函数f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x＝1对称，f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）＝﹣2x+2﹣（e x﹣1）＝﹣2（x+1+e x﹣1），又由x≥1，则有e x﹣1，即e x﹣10，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．命题点3 求参数的取值范围【典型例题】已知函数g（x）＝a﹣x3（，e为自然对数的底数）与h（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，e3﹣3]C．D．[e3﹣3，+∞）【解答】解：由已知，得到方程a﹣x3＝﹣3lnx⇔﹣a＝3lnx﹣x3在[，e]上有解．设f（x）＝3lnx﹣x3，求导得：f′（x）3x2，∵x≤e，∴f′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，∵f（）＝﹣3，f（e）＝3﹣e3，f（x）极大值＝f（1）＝﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a＝2lnx﹣x2在上有解等价于3﹣e3≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e3﹣3]．故选：B．【再练一题】已知函数y＝a+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点P，函数y＝﹣x2﹣2的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则a的取值范围是（）A．[3，e2] B．[e2，+∞）C．[4，e2] D．[3，4]【解答】解：函数y＝﹣x2﹣2的图象与函数y＝x2+2的图象关于原点对称，若函数y＝a+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点P，函数y＝﹣x2﹣2的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则函数y＝a+2lnx（x∈[，e]）的图象与函数y＝x2+2的图象有交点，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，则f′（x），当x∈[，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，e]时，f′（x）＞0，故当x＝1时，f（x）取最小值3，由f（）4，f（e）＝e2，故当x＝e时，f（x）取最大值e2，故a∈[3，e2]，故选：A．思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．基础知识训练1．函数的大致图像是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】令可得，，即函数仅有一个零点，所以排除B，D选项；又，所以由，可得，由,即函数上单调递增，在上单调递减，故排除C.2．函数的图像大致为A． B． C．D．【答案】C【解析】由，可排除B，D，由，可得，由此可排除A，故选C.3．函数的图像大致为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于函数，可得为奇函数，故排除C、D，当x＝1时，f（1），排除A，故选：B．4．函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线关于轴对称，则 ( ) A． B． C． D．【答案】A函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e-x，然后将所得函数图象向左平移1个单位长度即得到函数f(x)的图像，即f(x)=e-（x+1）=e-x-1故选：A．5．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（）A．10 B．-1 C．2 D．-2【答案】C【解析】关于对称的反函数本题正确选项：6．函数的大致图像为（）A．B．C．D．【答案】D∵f（-x）=f（x），∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，C，当0＜x＜1时，log2x8＜0，x2-4＜0，∴f（x）＞1，故排除A，故选：D．7．函数的图像大致为( )A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为,且即函数为奇函数，图像关于原点对称，排除选项A,D,又f(2)=,排除选项C，故选：B8．设函数定义在上，给出下述三个命题：①满足条件的函数图像关于点对称；②满足条件的函数图像关于直线对称；③函数在同一坐标系中，其图像关于直线对称．其中，真命题的个数是（）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【详解】用代替中的，得．如果点的图像上，则，即点关于点的对称点，也在的图像上．反之亦然，故命题①是真命题．用代替中的，得．如果点的图像上，则，即点关于点的对称点，也在的图像上，故命题②是真命题．由命题②是真命题，不难推知命题③也是真命题．故三个命题都是真命题．9．函数的图像为，而关于直线对称的图像为，将向左平移1个单位后得到的图像为，则所对应的函数为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【详解】，选B.10．已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，若，则的值可能为A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，所以，所以的最小正周期为，由，可知都是函数的最大值3（或都是最小值-3），所以的值为周期的整数倍，所以其最小值为，故选B.11．将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则具有的性质是( ) A．图像关于直线对称且最大值为1B．图像关于点对称且周期为C．在区间上单调递增且为偶函数D．在区间上单调递增且为奇函数【答案】A【解析】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数，则当时，，所以函数关于直线对称，且最大值为1，所以A是正确的；当时，，所以不关于点对称，所以B不正确；当时，则，所以函数上单调递减，在上单调递增，所以C不正确；又由是偶函数，所以D 不正确，故选D.12．将函数的图像向右平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的是A．最小正周期为 B．图像关于直线对称C．图像关于点对称 D．在上是增函数【答案】B【解析】的图像向右平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得，其周期为,选项A错误；由可得对称轴方程为,当时，对称轴为，选项B正确，对称中心为,选项C错误；增区间为, 故选项D错误.故选B.13．若函数图像的对称轴是，则非零实数的值为__________．【答案】【解析】因为，其对称轴为，由.14．将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，若的图像关于轴对称，则的最小值为__________．【答案】【解析】函数可化为，将它的图像向左平移个单位长度后得到函数=，因为的图像关于轴对称，所以，解得：所以，又，所以的最小值为。