2013年研究生数学建模竞赛A题全国三等奖论文
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参赛密码（由组委会填写）第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛学校参赛队号队员姓名1.2.3.参赛密码（由组委会填写）第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛题目变循环发动机部件法建模及优化摘要变循环发动机可以实现超音速时的高推力与亚音速时的低油耗，其内在性能的优势引起了各航空强国的高度重视，因此是目前航空发动机的重要研究方向。
研究的重中之重是燃气涡轮发动机的特性，本文在了解变循环发动机的构造及工作原理的基础上，运用线性插值、遗传算法、多目标规划等方法给出各部件的出口总温、总压、流量和功率的算法、程序，进一步给出了平衡方程组成的非线性方程组的算法及其有效性分析，得到了发动机性能最优的相关约束条件，进而解决了发动机性能最优时的参数取值。
针对问题一，运用Matlab软件进行线性插值得到相应换算转速下增压比、流量、效率。
1）对附录4中风扇特性数据表中增压比进行标准化处理得到对应压比值，根据附录1中2.2.2得到相应换算转速下的流量，通过Matlab软件中Spline插值方法画出了相应换算转速下流量随压比函数值变化的图形。
2）根据附录1中2.1.2得到了进气道出口总温、总压，再由压气机（风扇、CDFS）进口总温、总压和物理转速得到的换算转速，利用线性插值得到对应增压比、流量、效率，再由附录1中2.2.2求出了压气机（风扇、CDFS）的出口总温、总压和流量。
针对问题二，给出了求解由发动机7个平衡方程组成的非线性方程组的遗传算法，进一步运用Matlab软件编写了子程序并进行有效性分析。
对于发动机7个平衡方程涉及的变量进行分类处理，结合附录1中变循环发动机各部件的计算公式给出对应类的算法及程序。
再将变量代入相应平衡方程，得到关于发动机参数的非线性方程组。
针对问题三，依据附录1给出的发动机性能参数：推力、单位推力和耗油率，建立了多目标规划模型。
根据所建模型，找出了发动机CDFS导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量与推力、单位推力和耗油率之间的关系，进而通过Lingo求解出3个量为多少时，发动机的性能最优。
除此之外，我们通过导入附录4中的数据表，利用Matlab程序取代了人工查表并进行插值的繁琐工作。
关键词：线性插值；遗传算法；有效性分析；多目标规划；目录一、问题重述 (3)1.1 问题的背景 (3)1.2 问题的提出 (4)二、问题分析 (4)三、问题假设 (5)四、符号说明 (6)五、模型的建立及求解 (10)5.1问题一的模型建立与求解 (10)5.1.1风扇特性数据表中流量随压比函数值变化的图形 (10)5.1.2进气道出口总温、总压 (11)5.1.3风扇的出口总温、总压和流量 (12)5.1.4 CDFS的出口总温、总压和流量 (13)5.2问题二的模型建立与求解 (14)5.2.1压轴（低、高）功率平衡方程 (14)5.2.2涡轮（高压、低压）进口截面流量平衡方程 (15)5.2.3后混合器静压平衡方程 (16)5.2.4尾喷管面积平衡方程 (17)5.2.5风扇出口流量平衡方程 (17)5.2.6发动机平衡方程组成的非线性方程组 (18)5.2.7求解非线性方程组的算法 (18)5.3问题三的模型建立与求解 (23)六、模型评价与总结 (24)6.1 模型优势 (24)6.2模型的不足 (24)6.3 小结 (24)七、参考文献 (26)变循环发动机部件法建模及优化一、问题重述1.1 问题的背景由飞机/发动机设计原理可知，对于持续高马赫数飞行任务，需要高单位推力的涡喷循环，反之，如果任务强调低马赫数和长航程，就需要低耗油率的涡扇循环。
双涵道变循环发动机可以同时具备高速时的大推力与低速时的低油耗。
变循环发动机的内在性能优势，受到了各航空强国的重视，是目前航空发动机的重要研究方向。
1.2 问题的提出燃气涡轮发动机的特性可以用实验方法和计算方法获得。
但实验的方法需要研制复杂的设备、投入巨额的资金和消耗巨大的能源，因此实验的方法不可能经常采用【1】。
随着计算能力的不断提高，发动机数学模型研究的不断深入，计算机仿真精度也在不断提高，一定程度上弥补了实验方法的不足，尤其是在发动机型号研制过程中，燃气涡轮发动机计算机仿真技术发挥了不可替代的作用【2】。
燃气涡轮发动机是由进气道、压气机、主燃烧室、涡轮、喷管等部件组成的，如果计算机能够对这些部件的性能进行准确的模拟，那么也就能准确地模拟整个发动机的性能。
这种建立在准确模拟发动机各部件性能基础上的发动机性能计算方法，称为部件法【3】。
该方法是建立在发动机各部件特性已知的基础上的，因此是计算精度较高的一种方法。
1.3 要解决的问题请你们完成以下几个问题：一、1）请画出附录4中风扇特性数据表中流量随压比函数值变化的图形。
2) 设在发动机飞行高度11H km=，飞行马赫数0.8Ma=的亚音速巡航点，导叶角度均设置为0°，风扇和CDFS的物理转速都为0.95，风扇和CDFS的压比函数值都为0.5,求风扇和CDFS的出口总温、总压和流量。
二、设在发动机飞行高度11H km=，飞行马赫数0.8Ma=的亚音速巡航点，采用双涵道模式，导叶角度均设置为0°，选择活门完全打开，副外涵道面积设为1.8395e+003，后混合器出口总面积设置为2.8518e+004，尾喷管喉道面积89.5544e+003A=，=0.85Ln。
请运用或设计适当的算法求解由发动机7个平衡方程（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）组成的非线性方程组。
要求陈述算法的关键步骤及其解释，尽可能讨论算法的有效性。
如果你们队还有时间，请研究下面的问题：三、1）设在发动机飞行高度11H km=，飞行马赫数 1.5Ma=的超音速巡航点，发动机采用单涵道模式，将选择活门面积设置为0，风扇导叶角度、高压压气机导叶角度、高压涡轮导叶角度均设置为0，后混合器面积设置为2.8518e+004。
请问发动机CDFS导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量为多少时，发动机的性能最优?即要使单推力尽可能大同时耗油率尽可能小。
2）试研究发动机飞行高度11H km=，飞行马赫数从 1.1Ma=变化到1.6Ma=,发动机特性最优时，CDFS导叶角度、低压涡轮导叶角度,尾喷管喉道面积随飞行马赫数的变化规律。
此时发动机采用单涵道模式，将选择活门面积设置为0，风扇导叶角度、高压压气机导叶角度、高压涡轮导叶角度均设置为0，后混合器出口总面积设置为 2.8518e+004，后混合器内、外涵道面积可调（即不受附录1后混合器给定的内、外涵道面积值的约束）。
二、问题分析本文研究的内容是变循环发动机部件法建模及优化，需要解决以下三个问题：一、1）画出附件4中风扇流量随增压比对应的标准化变量——压比数据变化的图形。
所需做的工作是将增压比标准化处理，流量、压比两组数据关系的图形。
2）给定飞行高度和马赫数，导叶角、物理转速和压比函数值，求各部件的出口总温、总压和流量。
具体的，给出风扇和CDFS 的出口总温、总压和流量。
所需做的工作分以下几步：①代入飞行高度和马赫数，得到进气道出口总温、总压；②进气道出口总温、总压作为风扇进口总温、总压，根据相应算法得到风扇出口总温、总压、流量；③风扇出口总温、总压作为CDFS 进口总温、总压，根据相应算法得到风扇出口总温、总压、流量；二、1）给定已知参数值，根据附录提供的各部件出口总压、总温、流量和功率计算步骤和相关平衡方程，设计算法求解参数对应的非线性方程组，并讨论算法有效性。
算法设计分以下几步：①针对7个平衡方程涉及的变量进行分类，转化为各部件的出口总压、总温、流量和功率；②针对分类后的具体部件，结合附录1计算步骤给出具体算法；③根据算法，将变量代入对应平衡方程，转化为解方程问题；④将7个方程联立起来，给出求解算法；⑤试给出参数值，检验算法的有效性；三、1）给定某些部件参数值，求发动机性能最优时，发动机CDFS 导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量的取值。
2）通过给定马赫数变化范围，求发动机CDFS 导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量的变化规律。
通过分析附录1中的三个计算参数算法，通过各个部件匹配工作时的平衡制约方程来建立数学模型。
具体过程如下：①以飞行高度11H km =，飞行马赫数 1.5Ma =的超音速巡航点发动机为研究对象，选取推力、单位推力和耗油率为目标函数，并建立多目标优化模型：②选取变量：这里我们选取的变量是发动机CDFS 导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量。
③计算目标约束关系式：我们可以把目标函数看做是一个复合的函数，而要得到选取的三个变量与目标函数的关系，我们需要通过对制衡方程进行化简与整合。
三、 问题假设1. 为了简化计算，题中各量的单位不需要转换，直接运算认为是合理的。
2. 附录4中，当转速为某个给定值时，在相邻两个压比函数值之间，我们认为增压比、效率和换算流量都和压比函数值成线性关系。
3．附录4中，在相邻两个转速之间，我们认为压比函数值和转速呈线性关系。
4. 高压涡轮进口截面气体流量等于主燃烧室出口气体流量。
即忽略冷却空气流量。
其余类似。
5. 发动机各部件参数之间相互独立。
6.算法中发动机部件的出口值作为下一相邻部件的进口值。
7.各部件的换算转速不会超出附录4所给的范围。
五、 模型的建立及求解5.1问题一的模型建立与求解5.1.1风扇特性数据表中流量随压比函数值变化的图形 1、风扇压比函数值设风扇某换算转速cor n 所对应的增压比数据,c map pr （见附录4）的最大值为max pr 最小值为min pr ,则定义该换算转速对应的增压比,c map pr 的压比函数值CL z 为: ,min max min=c map CL pr pr z pr pr -- （1）即压气机（风扇）增压比的标准化变量。
2、风扇特性数据表中流量风扇某换算转速cor n 所对应的特性数据表中流量,c map W （见附录4） 3、风扇特性数据表中流量随压比函数值变化的图形由（1）知，固定风扇换算转速cor n 下，压比函数值CL z 与流量,c map W 对应数值，通过Matlab 软件中Spline 插值方法值得到风扇特性数据表中流量,c map W 随压比函数值CL z 变化的图形【4】，如图1。
图1()max min min =zz pr pr pr pr ⨯-+ 5.1.2进气道出口总温、总压1、计算标准大气条件下环境压力，环境温度当高度H km ≤11时：5.2553001.01325144.308288.15 6.5H p T H ⎧⎛⎫=⨯-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-⨯⎩ (2) 其中，高度H 的单位为km ，温度的单位为K ，压力的单位为bar 。
