2019届广东省佛山市高三1月教学质量检测(一)数学文试题(word版)

- 1 - 2018~2019学年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）

数学（文科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

2.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

3.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）

A. 7 B. 8 C. 15 D. 16

【答案】B

4.命题“，”的否定形式是（ ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

5.不透明的布袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只黄球，2只红球，从中随机摸出2只球，则这两只球颜色不同的概率为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

6.在中，是边上的点，且，则（ ）

A. B. C. 2 D. 3

【答案】C

7.若曲线在处的切线，也是的切线，则（ ）

A. B. 1 C. 2 D.

【答案】C - 2 - 8.设，则的大小关系是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

9.执行如图所示程序框图，若输出的值为，在条件框内应填写（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

10.已知函数两条相邻对称轴为和，若，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

11.已知抛物线：和直线：，是的焦点，是上一点，过作抛物线的一条切线与轴交于，则外接圆面积的最小值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

12.设为常数，函数.给出以下结论：

①若，则在区间上有唯一零点；

②若，则存在实数，当时， ；

③若，则当时，.

其中正确结论的个数是（ ） - 3 - A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】D

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线为_______．

【答案】

14.已知，则满足的的取值范围为_______．

【答案】

15.已知矩形，，，为的中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，则几何体的外接球表面积为______．

【答案】

16.等腰直角内（包括边界）有一点，，，则的取值范围是______．

【答案】

三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.数列中，，，其中为常数.

（1）若成等比数列，求的值；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）可令n＝1，2，3，解得，再由等比数列中项性质解方程得p值；

（2）由已知an+an+1＝n+1，讨论n为偶数或奇数，结合数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，即可得到所求和．

【详解】（1）由可得

所以，，

又成等比数列，

所以，即，又，故.

（2）时， - 4 - 当为偶数时，

当为奇数时，

综上所述，.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，以及数列的求和方法：并项求和，考查运算能力，属于中档题．

18.下表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：

用这44人的两科成绩制作如下散点图：

学号为22号的同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将两同学的成绩（对应于图中两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：

数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩

与物理成绩的相关系数为，回归直线（如图所示）的方程为.

（1）若不剔除两同学的数据，用全部44人的成绩作回归分析，设数学成绩与物理成绩的相关系数为，回归直线为，试分析与的大小关系，并在图中画出回归直线的大致位置；

（2）如果同学参加了这次物理考试，估计同学的物理分数（精确到个位）； - 5 - （3）就这次考试而言，学号为16号的同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平，可按公式统一化成标准分再进行比较，其中为学科原始分，为学科平均分，为学科标准差）．

【答案】（1），理由见解析（2）81（3）

【解析】

【分析】

（1）不剔除两同学的数据，44个数据会使回归效果变差，从而得到，描出回归直线即可；（2）将x=125代入回归直线方程，即可得到答案；（3）利用题目给出的标准分计算公式进行计算即可得到结论.

【详解】(1)，

说明理由可以是：

①离群点A,B会降低变量间的线性关联程度；

②44个数据点与回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小；

③42个数据点与回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大；

④42个数据点更加贴近回归直线；

⑤44个数据点与回归直线更离散，或其他言之有理的理由均可.

要点：直线斜率须大于0且小于的斜率，具体为止稍有出入没关系，无需说明理由.

（2）令，代入

得

所以，估计同学的物理分数大约为分.

（3）由表中知同学的数学原始分为122，物理原始分为82，

数学标准分为

物理标准分为

，故同学物理成绩比数学成绩要好一些. - 6 - 【点睛】本题考查散点图和线性回归方程的简单应用，考查数据处理与数学应用能力.

19.如图，在矩形中，，，分别是边上的三等分点，将分别沿、折起到、的位置，且使平面底面，平面底面，连结．

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）过D′，C′作AF，BE的垂线，垂足为M，N，连结MN，推出D′M⊥平面ABEF，C′N⊥平面ABEF，从而D′M∥C′N，得到四边形D′MNC′为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可得到证明；（2）连结DD′，设点A到平面EFD′C′的距离为h，由，能求出点A平面EFD′C′的距离．

【详解】（1）分别过点作的垂线，垂足为，连接

因为平面底面，且平面底面，

所以平面，

同理可证，平面，

所以，

又 ，所以

从而四边形为平行四边形，则，

又平面，

所以平面.

- 7 - （2）连结，在中， ，所以.

因为，

所以.

设点到平面的距离为，因为，

，.

所以，

由得，

所以，故点到平面的距离为.

【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20.已知过点的直线与椭圆：交于不同的两点，其中，为坐标原点．

（1）若，求的面积；

（2）在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率互为相反数？

【答案】（1）（2）在轴上存在定点，使得直线与的斜率互为相反数.

【解析】

【分析】

（1）由题意不妨设点A(0,1),写出直线AB方程，与椭圆方程联立，得点B坐标，根据面积公式即可得结果；（2）设过点D的直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理，即可得到定点T的坐标.

【详解】(1)当时，或，

由对称性，不妨令，此时直线：，

联立，消去整理得，

解得，，

故.

所以的面积为.

（2）显然直线的斜率不为0，设直线：， - 8 - 联立，消去整理得

所以，即，

，，

设，则

因为直线与的斜率互为相反数，所以，

即，

故，故在轴上存在定点，使得直线与的斜率互为相反数.

【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.

21.已知是常数，函数．

（1）讨论函数在区间上的单调性；

（2）若，证明：．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）求函数求导,对a进行讨论，解导数不等式即可求出函数的单调区间；

（2）将化简整理得，构造函数，根据函数g(x)的单调性证明即可．

【详解】（1），

①若，则由解得，且，，

所以在上递减，在递增.

②当，则由解得或，

（i）若，即，，

或 ， - 9 - 所以在上递减，在，上递增.

（ii）若，即时，，在区间上递增.

（iii）若，即时，，

或 ，

所以在上递减，在，上递增.

（2）（*）

注意到，故（*）式 ，

令，则，

故在上递增，所以，故.

【点睛】本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．

22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），直线的参数方程为（为参数）.

（1）若，求曲线与的普通方程；

（2）若上存在点，使得到的距离为，求的取值范围．

【答案】（1），（2）

【解析】

【分析】

（1）利用平方和等于1消去参数，得到曲线C的普通方程，消去参数t得到直线l的普通方程；（2）设出曲线C上点P坐标，写出点到直线的距离公式，然后对a进行讨论即可得到a的范围.

【详解】(1)当时，曲线的普通方程为

消参得直线的普通方程为.

（2）设点，

则到的距离为（其中），