高考数学 第2章 函数与基本的初等函数 第9讲 函数与方程课件

§2.6 函数与方程

1．函数的零点

(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．

(2)函数有零点的几个等价关系：

方程f(x)＝0有实数根

⇔函数y＝f(x)的图象与x轴

⇔函数y＝f(x) ．

由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．

2．函数的零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈ ，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)

自查自纠

1．(1)f(x)＝0 实数根 交点的横坐标

(2)有交点 有零点 零点 函数y＝f(x)

2．f(a)·f(b)＜0 (a，b) (a，b) f(c)＝0

(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )

A．y＝cosx B．y＝sinx

C．y＝lnx D．y＝x2＋1

解：y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A. 函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

解：易知函数f(x)＝2x＋x3－2单调递增，∵f(0)＝1－2＝－1＜0，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f(x)在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B.

课时作业

1．函数y＝1log0.5（4x－3）的定义域为( )

A.34，1 B.34，＋∞

C．(1，＋∞) D.34，1∪(1，＋∞)

A [解析] 使函数有意义需满足4x－3＞0，log0.5（4x－3）＞0，

解得34＜x＜1.

2．(2016·贵州省适应性考试)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是( )

A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

D [解析] 设幂函数f(x)＝xa，则f(3)＝3a＝3，解得a＝12，则f(x)＝x12＝x，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．

3．(2016·高考全国卷甲)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )

A．y＝x B．y＝lg x

C．y＝2x D．y＝1x

D [解析] 法一：(通性通法)函数y＝10lg x的定义域为(0，＋∞)，又当x＞0时，y＝10lg

x＝x，故函数的值域为(0，＋∞)．只有D选项符合．

法二：(光速解法)易知函数y＝10lg x中x＞0，排除选项A、C；又10lg x必为正值，排除选项B.故选D.

4．(2016·贵州省适应性考试)函数y＝ax＋2－1(a＞0且a≠1)的图象恒过的点是( )

A．(0，0) B．(0，－1)

C．(－2，0) D．(－2，－1)

C [解析] 法一：因为函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象恒过点(0，1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝ax＋2－1(a＞0，a≠1)的图象，所以y＝ax＋2－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(－2，0)，选项C正确．

法二：令x＋2＝0，x＝－2，得f(－2)＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(－2，0)，选项C正确． 5．已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )

一、知识梳理

１．函数的零点

函数零点的概念

对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点

方程的根与函数零点的关系 方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点

函数零点的存在性定理 函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f（a）·f（b）<0，则y＝f（x）在（a，b）内存在零点

[注意] 函数的零点是实数，而不是点；零点一定在函数的定义域内．

２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系

Δ＞0 Δ＝0 Δ<0

二次函数

y＝ax２＋bx＋c

（a＞0）的图象

与x轴的交点 （x１，0），（x２，0） （x１，0） 无交点

零点个数 两个 一个 零个

常用结论

有关函数零点的结论

（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．

（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

二、习题改编

１．（必修１P9２A组T５改编）函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的大致范围是（ ） Ａ．（１，２） Ｂ．（２，３）

Ｃ．错误!和（３，４） Ｄ．（４，＋∞）

答案：B

２．（必修１P88例１改编）f（x）＝ex＋３x的零点个数是（ ）

Ａ．0 Ｂ．１

Ｃ．２ Ｄ．３

答案：B

３．（必修１P9２A组T４改编）函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为 ．

答案：１

一、思考辨析

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（ ）

（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0．（ ）

（３）二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠0）在b２—４ac<0时没有零点．（ ）

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第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)

全国卷5年考情图解

高考命题规律把握

1.高考对本章的考查一般为1～3道小题．

2.从考查内容上看主要涉及函数的图象，多为给出具体函数解析式判断函数的图象；函数的性质及函数性质的综合问题；指数、对数、幂函数的图象与性质；分段函数，既有求函数值，也有解不等式，常与指数、对数函数，零点相结合．

3.本章一般不单独涉及解答题，在解答题中多与导数、不等式结合命题，试题难度较大.

第一节函数及其表示

1．函数与映射

函数 映射

两集合A，B 设A，B是非空的数集 设A，B是非空的集合

对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法 y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域❶；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域❷.显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数❸

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．

(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．

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(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.