高中数学专题1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)教案 2数学教案

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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）

【教学目标】

1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．

2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．

3．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．

4．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．

【教法指导】

本节学习重点：函数的和、差、积、商的求导法则．

本节学习难点：复合函数的求导法则．

【教学过程】

☆复习引入☆

前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．

解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.

☆探索新知☆

探究点一导数的运算法则

思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？

答利用导数的运算法则．

思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？

“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；

(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.

例1 求下列函数的导数：

(1)y＝x3－2x＋3；

(2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝3x－lg x.

解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.

(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1

∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.

(3)函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出

f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝1xln 10，

利用函数差的求导法则可得

(3x－lg

x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－1xln 10.

反思与感悟本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．

跟踪训练1 求下列函数的导数：

(1)y＝x5＋x7＋x9x；

(2)f(x)＝2－2sin2x2.

例2 求下列函数的导数：

(1)f(x)＝x·tan x；

(2)f(x)＝x－1x＋1.

解 (1)f′(x)＝(x·tan x)′＝(xsin xcos x)′

＝xsin x′cos x－xsin xcos x′cos2x

＝sin x＋xcos xcos x＋xsin2xcos2x＝sin xcos x＋xcos2x.

(2)∵f(x)＝x－1x＋1＝x＋1－2x＋1＝1－2x＋1，

∴f′(x)＝(1－2x＋1)′＝(－2x＋1)′

＝－2′x＋1－2x＋1′x＋12＝2x＋12.

跟踪训练2 求f(x)＝sin x1＋sin x的导数．

解 ∵f(x)＝sin x1＋sin x， ∴f′(x)＝cos

x1＋sin

x－sin

x·cos

x1＋sin

x2＝cos x1＋sin

x2.

探究点二导数的应用

例2 (1)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．

答案 3x－y＋1＝0

解析 y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y－1＝3x，即3x－y＋1＝0.

(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．

答案 (－2,15)

(3)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝t－1t2＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速度．

解 ∵s(t)＝t－1t2＋2t2＝tt2－1t2＋2t2＝1t－1t2＋2t2，

∴s′(t)＝－1t2＋2·1t3＋4t，

∴s′(3)＝－19＋227＋12＝32327，

即物体在t＝3 s时的瞬时速度为32327 m/s.

反思与感悟本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，即k＝y′|x＝x0＝f′(x0)；瞬时速度是位移函数s(t)对时间t的导数，即v＝s′|t＝t0.

跟踪训练2 (1)曲线y＝sin xsin x＋cos x－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为( )

A．－12 B.12

C．－22 D.22

答案 B

解析 y′＝cos xsin x＋cos x－sin xcos x－sin xsin x＋cos x2＝1sin x＋cos x2，

故y′|x＝π4＝12，

∴曲线在点Mπ4，0处的切线的斜率为12. (2)设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．

解由题意得，f′(x)＝x2－ax＋b，

∴f′(0)＝b＝0.

由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c上又在切线y＝1上知 f0＝c，y|x＝0＝1，

即c＝1.

综上所述，b＝0，c＝1.

探究点三复合函数的定义

思考1 观察函数y＝2xcos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？

答 y＝2xcos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．所以它们称为复合函数．

思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？

思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？

答 A⊆B.

小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．

例3 指出下列函数是怎样复合而成的：

(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；

(3)y＝cos 3x.

解 (1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的；

(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的；

(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的．

小结分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系．

跟踪训练3 指出下列函数由哪些函数复合而成：

(1)y＝ln x；(2)y＝esin x；(3)y＝cos (3x＋1)．

解 (1)y＝ln u，u＝x；

(2)y＝eu，u＝sin x；

(3)y＝cos u，u＝3x＋1.

探究点四复合函数的导数思考如何求复合函数的导数？

例4 求下列函数的导数：

(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝11－2x；

(3)y＝sin(－2x＋π3)；(4)y＝102x＋3.

解 (1)原函数可看作y＝u4，u＝2x－1的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.

(2)y＝11－2x＝(1－2x)－12可看作y＝u－12，u＝1－2x的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(－12)u－32·(－2)＝(1－2x)－32＝11－2x1－2x；

(3)原函数可看作y＝sin u，u＝－2x＋π3的复合函数，

则yx′＝yu′·ux′＝cos u·(－2)＝－2cos(－2x＋π3)＝－2cos(2x－π3)．

(4)原函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数，

则yx′＝yu′·ux′＝102x＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x＋3.

反思与感悟分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．

复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．

跟踪训练4 求下列函数的导数．

(1)y＝(2x＋3)3；

(2)y＝e－0.05x＋1；

(3)y＝sin(πx＋φ)．

解 (1)函数y＝(2x＋3)2可以看成函数y＝u2，u＝2x＋3的复合函数．

∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(2x＋3)′＝2u·2＝4(2x＋3)＝8x＋12.

(2)函数y＝e－0.05x＋1可以看成函数y＝eu和函数u＝－0.05x＋1的复合函数．

∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05eu＝－0.05 e－0.05x＋1.

(3)函数y＝sin(πx＋φ)可以看成函数y＝sin u，u＝πx＋φ的复合函数．

∴yx′＝yu′·ux′＝(sin u)′·(πx＋φ)′＝cos u·π＝π cos(πx＋φ)．

探究点五导数的应用

例5 求曲线y＝e2x＋1在点(－12，1)处的切线方程．

反思与感悟求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．

跟踪训练5 曲线y＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程．

解

设u＝sin x，则y′＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′.＝cos xesin x.

y′|x＝0＝1.

则切线方程为y－1＝x－0，

即x－y＋1＝0.

若直线l与切线平行可设直线l的方程为x－y＋c＝0.

两平行线间的距离d＝|c－1|2＝2⇒c＝3或c＝－1.

故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.

☆课堂提高☆

1．函数y＝cos x1－x的导数是( )．

A.－sin x＋xsin x1－x2 B.xsin x－sin x－cos x1－x2

C.cos x－sin x＋xsin x1－x2 D.cos x－sin x＋xsin x1－x

【答案】 C

【解析】 y′＝cos x1－x′＝－sin x1－x－cos x·－11－x2＝cos x－sin x＋xsin x1－x2.

2．已知直线y＝x＋b是曲线y＝f(x)＝ln x的切线，则b的值等于( )

A．－1 B．0 C．1 D．e

【答案】 A

3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是( )

A.nn＋1 B.n＋2n＋1

C.nn－1 D.n＋1n

【答案】 A

【解析】 ∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，

即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和为：

人教A版选修2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》教案及教学反思

一、教学目标

通过本节课的学习，让学生： 1. 熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2. 掌握导数的常数因子、和差、积、商的运算法则； 3. 能够应用所学知识求出初等函数的导数； 4. 培养学生的逻辑思维能力和应用能力。

二、教学内容

2.1 基本初等函数的导数公式

（1）常数函数的导数公式：[𝐶]′=0 （2）幂函数的导数公式：[𝑥𝑛]′=𝑛𝑥𝑛−1 （3）指数函数的导数公式：[𝑒𝑥]′=𝑒𝑥 （4）对数函数的导数公式：$[\\ln{x}]'=\\dfrac{1}{x}(x>0)$ （5）三角函数的导数公式：

$$\\begin{aligned} [\\sin{x}]'&=\\cos{x}\\\\

[\\cos{x}]'&=-\\sin{x}\\\\ [\\tan{x}]'&=\\sec^2{x} (x\

eq n\\pi+\\frac{\\pi}{2})\\\\ [\\cot{x}]'&=-\\csc^2{x}

(x\ eq n\\pi) \\end{aligned}$$

2.2 导数的运算法则

（1）常数因子法则：设𝐶为常数，则[𝐶𝑓(𝑥)]′=𝐶𝑓′(𝑥) （2）和差法则：$[f(x)\\pm g(x)]'=f'(x)\\pm g'(x)$ （3）积法则：[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]′=𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) （4）商法则：$[\\dfrac{f(x)}{g(x)}]'=\\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} (g(x)\ eq0)$ 三、教学过程

3.1 导入

教师通过数字游戏，引导学生探讨“导数”的概念，并由此引出本节课的教学内容。

3.2 讲授

教师对基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则进行一一讲解，强调注意事项和易错点。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在给定点处的变化率。在微积分中有许多基本的初等函数，它们都有对应的导数公式和导数的运算法则。下面，我将介绍一些常见的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。

1.常数函数导数公式：

如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。

2.幂函数导数公式：

如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

例如：f(x)=x^3，则f'(x)=3x^2

3.指数函数导数公式：

如果f(x)=e^x，则其导数为f'(x)=e^x。

例如：f(x)=e^2，则f'(x)=e^2

4.对数函数导数公式：

如果f(x) = ln(x)，则其导数为f'(x) = 1/x。

例如：f(x) = ln(2)，则f'(x) = 1/2

5.三角函数导数公式：

(1) 如果f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。

(2) 如果f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。 (3) 如果f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = sec^2(x)。

6.反三角函数导数公式：

(1) 如果f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。

(2) 如果f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。

(3) 如果f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。

导数的运算法则：

1.常数乘法法则：

设c为常数，f(x)为可导函数，则(cf(x))' = c*f'(x)。

例如：如果f(x)=2x，则f'(x)=2*1=2

2.求和差法则：

设f(x)，g(x)为可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

例如：如果f(x)=2x，g(x)=x^2，则(f(x)+g(x))'=2+2x。

选修2-2——基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

1．问题导航

(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？

(2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？

2．例题导读

通过P15例2学会利用导数的运算法则及导数公式求函数的导数，P15例3为导数的实际应用问题，P17例4为复合函数的求导问题，注意复合函数的求导法则．

1．导数的四则运算法则

(1)条件：f(x)，g(x)是可导的．

(2)结论：①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

③f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0)．

2．复合函数的求导公式

(1)复合函数的定义：

①一般形式是y＝f(g(x))．

②可分解为y＝f(u)与u＝g(x)，其中u称为中间变量．

(2)求导法则：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为：y′x＝y′u·u′x．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( )

(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( )

答案：(1)√ (2)×

2．函数y＝xln x的导数为( )

A．y′＝ln x＋1 B．y′＝ln x－1

C．y′＝ln x D．y′＝1

解析：选A.y′＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.

3．y＝sin2x的导数是( )

A．y′＝2sin x B．y′＝2cos x

C．y′＝sin 2x D．y′＝cos 2x

解析：选C.y′＝(sin2x)′

＝2sin xcos x＝sin 2x.

4．求下列函数的导数：

(1)若f(x)＝2x＋3，则f′(x)＝________；