基本计数原理

两个基本计数原理练习

1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有 种.

2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有 种.

3.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有 种不同的选法.

4.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有 种.

5.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？

（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？

（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？

6 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

7、已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:

(1)P可表示平面上多少个不同的点?

(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?

(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?

8、（16分）现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.

（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？

（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

9、.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?

10、某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？

11、某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.

《基本计数原理》 讲义

一、计数原理的引入

在我们的日常生活中，经常会遇到需要计算数量的情况。比如，安排一次旅行，要考虑不同的交通方式和住宿选择；组织一场活动，要确定参加人员的组合方式；甚至在玩游戏时，计算获胜的可能性等等。这些看似简单的问题，其实都隐藏着深刻的数学原理——计数原理。

计数原理是组合数学的重要组成部分，它为我们提供了一种系统的方法来计算各种可能的情况数量。通过学习计数原理，我们能够更加高效、准确地解决这类问题，并且能够培养我们的逻辑思维和分析能力。

二、分类加法计数原理

首先，我们来了解分类加法计数原理。

假设完成一件事有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋ … ＋ mn 种不同的方法。

为了更好地理解这个原理，我们来看一个例子。假如要从甲地到乙地，有 3 趟火车和 2 趟汽车可以选择。那么从甲地到乙地一共有多少种不同的交通方式呢？ 很显然，我们可以通过火车或者汽车到达乙地。选择火车有 3 种方法，选择汽车有 2 种方法。根据分类加法计数原理，从甲地到乙地一共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种不同的交通方式。

再比如，在一个班级里选班长，候选人有男生 5 人，女生 3 人。那么选班长一共有 5 ＋ 3 ＝ 8 种不同的选择。

需要注意的是，每一类办法中的每一种方法都能够独立完成这件事情，而且各类办法之间是相互独立的，互不影响。

三、分步乘法计数原理

接下来，我们学习分步乘法计数原理。

完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2

步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。

我们通过一个例子来理解分步乘法计数原理。比如，要从 A 城市到

计数原理知识点总结高中

一、基本原理

计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。

1. 加法原理

加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。加法原理可以用于求解排列组合等问题。

举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。

2. 乘法原理

乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。

举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。

二、排列组合

排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。

1. 排列

在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。

2. 组合

组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。

排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。

三、分配原理

分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。

举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。 按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。

分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。

《基本计数原理》 讲义

一、引言

计数问题在我们的日常生活和数学研究中都有着广泛的应用。无论是计算物品的数量、安排活动的方案，还是解决概率问题，都离不开基本的计数原理。掌握这些原理，将为我们解决各种复杂的计数问题提供有力的工具。

二、基本计数原理的分类

（一）加法原理

如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m₁ 种不同的方法，在第二类方式中有 m₂ 种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁ ＋ m₂

＋ … ＋ mₙ 种不同的方法。

比如说，从甲地到乙地，可以坐火车、汽车或者飞机。如果坐火车有 3 种车次可选，坐汽车有 2 种车次可选，坐飞机有 4 种航班可选，那么从甲地到乙地一共有 3 ＋ 2 ＋ 4 ＝ 9 种不同的交通方式可供选择。

（二）乘法原理

如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m₁ 种不同的方法，做第二步有 m₂ 种不同的方法，……，做第 n 步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。 例如，从 A 城市到 C 城市需要经过 B 城市中转。从 A 到 B 有 2 条路线，从 B 到 C 有 3 条路线，那么从 A 城市到 C 城市就有 2×3 ＝ 6 条不同的路线。

三、加法原理与乘法原理的区别与联系

（一）区别

加法原理是分类计数，每一类中的方法都能独立完成这件事；而乘法原理是分步计数，每一步都不能独立完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成。

（二）联系

加法原理和乘法原理常常结合使用。在解决复杂的计数问题时，需要先判断是分类还是分步，或者是分类与分步相结合。

四、基本计数原理的应用

（一）排列问题

从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记为 A(n, m) 。其计算公式为：A(n, m) ＝ n × （n 1) × （n 2) × … × （n m ＋ 1) 。