陀螺定向运动方程的动静法推导

[转载]如何⽤转动量、转动能守恒推导陀螺定点进动⽅程？原⽂地址：如何⽤转动量、转动能守恒推导陀螺定点进动⽅程？作者：陀螺---上帝掷出的骰⼦如何⽤转动量、转动能守恒推导陀螺定点进动⽅程？陀螺—上帝掷出的骰⼦ 2017-05-27 09:31【导⾔】【导⾔】刚体⼒学在处理⾃旋、转动等物体运动现象时是⽤转动惯量、⼒矩等⾮质点概念来描述的，但这种描述似乎与⽜顿⼒学质点思想不相融，⽽且运⽤这种⽅法论在揭⽰陀螺运动形成物理机制问题时显得“⼒不从⼼”，在解决像⾏星进动、量⼦⾃旋等诸多现代物理学问题时则表现出了“⽆奈”——其实，研究刚体“⾃旋+进动”问题⽤⽜顿质点思想要⽐⽤转动惯量、⼒矩等⾮质点概念要⽅便、优越得多。

那么，我们如何才能在不违背刚体⼒学理论原理情况下，将陀螺运动、⾏星进动、量⼦⾃旋等问题的研究融⼊到⽜顿质点⼒学中去呢？......如何⽤转动量、转动能守恒推导陀螺定点进动⽅程？）司今（******************）司今（摘 要：刚体⼒学在处理⾃旋、转动等物体运动现象时是⽤转动惯量、⼒矩等⾮质点概念来描述的，但这种描述似乎与⽜顿⼒摘 要：学质点思想不相融，⽽且运⽤这种⽅法论在揭⽰陀螺运动形成物理机制问题时显得“⼒不从⼼”，在解决像⾏星进动、量⼦⾃旋等诸多现代物理学问题时则表现出了“⽆奈”——其实，研究刚体“⾃旋+进动”问题⽤⽜顿质点思想要⽐⽤转动惯量、⼒矩等⾮质点概念要⽅便、优越得多。

那么，我们如何才能在不违背刚体⼒学理论原理情况下，将陀螺运动、⾏星进动、量⼦⾃旋等问题的研究融⼊到⽜顿质点⼒学中去呢？本⽂正是基于这种思路提出了⼀个将物体⾃旋与转动进⾏质点化描述的“新⽅法”，并在这种⽅法论指导下讨论了陀螺进动变化中的诸多问题及陀螺进动⽅程的物理意义。

关键词：质点 ⾃旋 ⼒矩 ⾓速度 转动惯量转动能转动量守恒关键词：⽂献标识码：A中图分类号： 0441 ⽂献标识码：A中图分类号：引⾔0、0、引⾔在⽜顿质点⼒学中，⼀个没有⾃旋的刚体作平⾯运动时遵守平动动能、动量守恒，即对⼀个有⾃旋和平动的刚体⽽⾔，它作平⾯平⾏运动时也遵守动能、动量守恒，即.但因Ic是⼀个与空间r有关的量，这说明对于mv项可以⽤质点描述，对mIc项就没有办法⽤质点描述，如图-0所⽰。

两自由度陀螺仪的运动方程东南大学微惯性系统及器件研究所东南大学微惯性系统及器件研究所1、刚体绕定点O转动；2为惯性坐标系2、为惯性坐标系；3、oxyz 活动坐标系，与ξηζo 刚体固连，且与刚体在点O的三个惯性主轴重合4、刚体以瞬时角速度ω相对惯性坐标系作定点转动，且在空间的瞬ω东南大学微惯性系统及器件研究所东南大学微惯性系统及器件研究所一、用欧拉动力学方程建立陀螺仪的运动方程设陀螺仪坐标系oxyz 以瞬时角速度相对惯性空间作牵连旋转运动，同时转子ωo ξηζ又以角速度绕自转轴作Ω高速转动。

合成的转子绝对瞬时角速度为：() x y z i j kωωωωω′=Ω+=Ω+++东南大学微惯性系统及器件研究所陀螺仪的完整方程：()()x x z y y z x J J J M ωωωΩ++−=&&&() y y x z x z x z y J J J J M ωωωω+Ω+−=−−=&()z z x y y x y x z J J J J M ωωωωΩ+非陀螺效应项与陀螺效应项刚体绕定点转动的欧拉动力学方程式：⎧&()⎪=−+=−+x z y y z x x M J J J M J J J ωωωωωω&&()()⎪⎩⎨=−+z y x x y z z y z x z x y y M J J J ωωω&东南大学微惯性系统及器件研究所东南大学微惯性系统及器件研究所& y z z x y J H J M ωωωω+−=−&z y y x z J H J M ωωωω+=东南大学微惯性系统及器件研究所二、陀螺仪的技术方程和进动方程 z z x y J H J M ωωωω+−=&y z y y x z J H J M ωωωω−+=&x y zωωωΩ>>、、陀螺仪的技术方程（研究陀螺仪的运动特性）：y z y J H M ωω+=&z y z J H M ωω−=&东南大学微惯性系统及器件研究所定点转动的刚体在空间的位置sin x ωαθ=−⎧⎪&&cos y z ωθωαθ=⎨⎪=⎩&ωθω&&&&&&&&−==y θθαθαsin cos z y z y J H M ωω+=&z y z J H M ωω−=&cos J H M θαθ+=&&&cos yzJ H M αθθ−=&&&&&& y zJ H M J H M θααθ+=−=&&&东南大学微惯性系统及器件研究所陀螺仪的技术方程：y z y J H M ωω+=&z y z J H M ωω−=&J H M θα+=&&&y z J H M αθ−=&&&东南大学微惯性系统及器件研究所陀螺仪的进动方程：z H M ω=y y zH M ω−=y H M α=&& zH M θ−=沿陀螺仪内环轴作用陀螺仪进动运动的十字交叉原则：沿陀螺仪内环轴作用的力矩将引起主轴绕外环轴产生进动角速度；而沿外环轴作用的力矩将引起主轴绕内环轴产生进动角速度。

陀螺仪工作原理
地球以角速度E ω(E ω=1周/昼夜=7.25×10-5rad/s)绕其自转轴旋转，故地球上的一切东西都随着地球转动。

如从宇宙空间来看地轴北端，地球是在作逆时针方向旋转，其旋转角速度的矢量E ω沿其自转轴指向北端。

当陀螺仪在北纬某地设站，其主轴无论是方位角（相对子午线）和高度角（相对水平面）都不停地发生变化。

由此可见，陀螺仪主轴在地球上的视运动，不仅与纬度有关，还与主轴与子午面及水平面之间的夹角有关。

（1）重力矩P M βsin pl M P =
重力矩进动角速度p ω:H pl p /sin βω=
l-陀螺悬挂点O 至重心O ´之间的长度
P-陀螺灵敏部的重量
β-陀螺主轴与地平面之间的夹角（高度角）
H-陀螺转子的动量矩（角动量）重力矩进动角速度p ω。

综合前面所述，摆式陀螺仪围绕子午面左右摆动是重力矩和指向力矩综合作用的结果。

随着地球自转，陀螺仪主轴X 的高度角发生变化形成重力矩，使陀螺仪产生进动效应。

而地球的自转又使陀螺产生指向力矩，使陀螺仪的进动围绕子
午面进行。

当陀螺仪主轴X越接近子午面，指向力矩越小，当X轴指向子午面（即α为零时），则指向力矩为零，但此时陀螺仪因惯性的作用以最快的速度通过子午面。

当陀螺仪主轴X远离子午面时，相反方向的指向力矩使陀螺仪的进动速度慢慢降低，直至达到平衡点而停止。

然后，在指向力矩的作用下，陀螺仪主轴X 又向子午面方向运行，周而复始，使陀螺仪围绕子午面（真北方向）做摆式运动，实现了真北定向的目的。

实验四 陀螺经纬仪定向方法一、实验目的了解陀螺仪定向的原理，熟悉陀螺仪常用的定向方法，学会使用逆转点法和中天法进行精密定向。

二、实验仪器索佳GP-1陀螺全站仪1台，三脚架1个，棱镜1个。

三、陀螺仪一次测定作业流程本实验为演示实验，由指导教师结合PPT 及仪器操作进行演示教学。

1、陀螺仪悬挂带零位观测【原理】悬挂零位是指陀螺马达不转时，陀螺灵敏部受悬带和导流丝扭力作用而引起扭摆的平衡位置，即扭力矩为零的位置。

观测三次。

在陀螺观测开始之前和结束之后，要作悬带零位观测，相应简称为测前零位和测后零位观测。

【方法】测定悬挂零位时，先将全站仪整平并固定照准部，下方陀螺灵敏部（不启动马达），从读数目镜中观测灵敏部的摆动，在分划板上连续读三个逆转点的读数，估读到0.1格。

()132122L a a a =++⎡⎤⎣⎦2、陀螺仪粗定向在测定已知边和定向边的陀螺方位角之前，首先进行粗略定向，即把全站仪望远镜视准轴置于近似北方向。

3、精密定向（逆转点法）粗定向后，全站仪转到粗定向的北方向，再次下放陀螺，控制摆幅在5~8格之间，用逆转点法通过全站仪精确跟踪逆转点。

[]131224*********a a N a a a N a N N n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=-……4、精密定向（中天法）首先通过逆转点法确定陀螺北方向在±20′内，然后托起陀螺；再放陀螺使其摆幅在8~10格之间，用中天法开始观测；至少测量2个周期。

5、测后零位。

四、陀螺仪一次定向作业流程1、在地面已知边上测定仪器常数由于陀螺轴衰微弱的摆动系数保持不变，故其摆动的平衡位置可以仍未是假想的陀螺主轴稳定的位置。

陀螺主轴虽然指示出真北方向，但是这个方向必须借助陀螺仪光学系统读数。

由于陀螺主轴与陀螺仪光学系统的光轴以及经纬仪视准轴不在同一竖直面捏，因而陀螺仪的指向与地理子午线N 不重合，两者之间的差值称为仪器常数∆（与磁偏角概念不同）。

水平陀螺进动的初步分析一．问题的提出。

1.陀螺如果没有自转，则在重力矩作用下将直接加速倒下。

设陀螺所受重力矩为M ，陀螺对通过支点的水平轴的转动惯量为H ，陀螺倒下的角加速度为HM=α。

只要重力矩不变，则陀螺倒下的角加速度也不变。

某时刻的角速度为Ω，则根据刚体转动的角动量定理，有M t H ∆=∆Ω。

其方向水平如图1所示。

图 12.当陀螺高速自转时，则有另外的现象：陀螺将产生进动。

设陀螺所受重力矩为M ，对自转轴的转动惯量为J ，以角速度为ω逆时针自转。

其角动量为L J ω=，则根据角动量定理，有：M t J ω∆=∆其方向水平如图2所示。

他将只改变L 的方向而不改变其大小，因此陀螺将水平进动。

同时在Δt 时间内的进动角M tJ ϕω∆∆=。

所以得出其进动的角速度MJ ωΩ=。

或M t J ωϕ∆=∆图 2以上两种情况都符合角动量定理。

那么怎能说明陀螺必然产生水平进动而不加速倒下？又其水平进动的能量从何而来？上述的计算并没有回答。

虽然如此，但是在没有办法的时候，我们也只能相信他。

3.近一步在飞机和轮船等具有三个自由度的交通工具，其发动机在强制进动的情况下会产生陀螺力矩M J ω=⨯Ω，如下图例题所示：飞机的螺旋桨作为高速自转的陀螺沿x 轴的方向自转，当飞机左转弯时即沿y 轴方向转弯时，伴随有抬头，即沿z 轴方向的转动运动。

（飞机陀螺力矩1.gif ）这种现象我们也可以用简单的实验来验证：取一个高速旋转的陀螺，如下图所示：（进动轴.gif）用手握住其外框的A.B两点沿y轴方向稍微转动一下外框，即强制其进动，则可看到整个陀螺沿z轴方向旋转，右侧向上，左侧向下，直到整个陀螺直立起来。

如同上题中的飞机抬头一样，可见此陀螺力矩并非源于外界，而是陀螺内部相互作用的结果。

即此力矩就来源于高速旋转的盘片。

首先使盘片自身沿z轴翻转，才带动其轴和外框的旋转。

如果我们把陀螺稍微改变一点方向，即如下图所示：（章动轴.gif）同样，握住A,B两点，顺时针稍稍转动外框，则整个陀螺便沿z轴方向旋转。

三自由度陀螺的进动方程推导三自由度陀螺是一个常见的力学系统，它由一个可以绕三个互相垂直的轴自由旋转的刚体构成。

为了推导三自由度陀螺的进动方程，我们需要考虑陀螺的动力学方程和进动运动的描述。

首先，我们定义陀螺的角速度矢量为ω = (ω₁, ω₂,ω₃)，其中ω₁、ω₂、ω₃分别表示陀螺绕x、y、z轴的角速度。

陀螺的动力学方程可以由欧拉动力学方程给出：I₁(dω₁/dt) + (I₃ I₂)ω₂ω₃ = τ₁。

I₂(dω₂/dt) + (I₁ I₃)ω₃ω₁ = τ₂。

I₃(dω₃/dt) + (I₂ I₁)ω₁ω₂ = τ₃。

其中，I₁、I₂、I₃分别表示陀螺绕x、y、z轴的转动惯量，τ₁、τ₂、τ₃分别表示陀螺绕x、y、z轴的外力矩。

为了推导进动方程，我们需要考虑陀螺的进动运动。

进动是指陀螺整体以一个固定的角速度绕某个固定轴旋转的运动。

假设陀螺的进动角速度为Ω = (Ω₁, Ω₂, Ω₃)，其中Ω₁、Ω₂、Ω₃分别表示进动角速度的分量。

进动角速度可以通过陀螺的动力学方程求解。

我们可以将陀螺的角速度表示为进动角速度和自旋角速度的和，即ω = Ω + ω'，其中ω'为陀螺的自旋角速度。

将上述等式代入陀螺的动力学方程中，我们可以得到：I₁(dΩ₁/dt) + (I₃ I₂)Ω₂Ω₃ + I₁(dω'₁/dt) +(I₃ I₂)ω'₂ω'₃ = τ₁。

I₂(dΩ₂/dt) + (I₁ I₃)Ω₃Ω₁ + I₂(dω'₂/dt) +(I₁ I₃)ω'₃ω'₁ = τ₂。

I₃(dΩ₃/dt) + (I₂ I₁)Ω₁Ω₂ + I₃(dω'₃/dt) +(I₂ I₁)ω'₁ω'₂ = τ₃。

由于进动角速度Ω是一个常量，所以dΩ₁/dt = dΩ₂/dt = dΩ₃/dt = 0。

此外，进动角速度的分量与自旋角速度的分量相互独立，即Ω₁、Ω₂、Ω₃与ω'₁、ω'₂、ω'₃无关。

陀螺逆转点法定向及精度评定摘要隧道或井巷工程测量导线布设的形式因受巷道形状的制约，若单纯采用改变导线布设形式或提高测角次数与精度等方法，往往难以满足工程施工对于测量的精度要求。

陀螺经纬仪是测量井下导线边方位角、提高测量精度的重要仪器。

尤其是在贯通测量中陀螺经纬仪的应用非常广泛。

贯通测量是一项十分重要的测量工作,必须严格按照设计要求进行。

巷道贯通后,其接合处的偏差不能超过一定限度,否则就会给采矿工程带来不利影响,甚至造成很大的损失。

本文对陀螺经纬仪工作原理介绍，以及陀螺经纬仪在贯通测量中的精度评定。

陀螺经纬仪在不同领域的贯通测量工作中运用实例的分析，总结出在贯通测量导线加测陀螺定向边的最佳位置。

关键词：陀螺定向，贯通测量，陀螺经纬仪，精度评定ABSTRACTTunnel or shaft engineering measurement wires for the form of roadway, if simple shape by changing arrangement forms or improve wires and precision Angle measurement methods, and often difficult to satisfy the measurement accuracy for engineering construction. Gyro theodolite is measured in wire edge Angle, improve the measuring precision instruments. Especially in the measurement of the photoelectric theodolite gyro breakthrough is used extensively. Through measurement is a very important measurement work, must strictly according to the design requirements. The roadway expedite, its joint deviation cannot exceed a certain limit, otherwise they will be detrimental to the mining project, and even cause great losses. This paper introduces working principle of gyro theodolite, as well as the breakthrough in the measurement of the gyro theodolite accuracy assess. Gyro theodolite in different fieldsof the measurement of the examples, this paper leads in breakthrough measurement on the edge of the directional gyro adds the best position.Key words: directional gyro; through measurement; gyro theodolite; Accuracy Assessment目录1 绪论 (1)1.1陀螺定向的研究现状 (1)1.2研究陀螺定向的目的 (1)1.3陀螺定向的应用领域及发展趋势 (2)2 陀螺经纬仪定向测量原理与方法 (3)2.1陀螺经纬仪的类型与结构 (3)2.1.1 陀螺经纬仪定向的优点及应用领域 (3)2.1.2 陀螺经纬仪的基本结构 (3)2.1.3 陀螺经纬仪的类型 (4)2.2陀螺经纬仪定向的基本步骤 (5)2.3跟踪逆转点法测定陀螺方位角的作业过程 (7)2.3.1 陀螺仪悬带零位观测 (7)2.3.2 粗略定向 (8)2.3.3 精密定向 (9)3 陀螺定向的误差分析 (13)3.1陀螺定向的误差来源 (13)3.2陀螺定向在贯通测量中的精度评定 (14)3.2.1 陀螺方位角一次测定中误差 (14)3..2.2 一次定向中误差 (14)3.3陀螺定向在贯通测量中导线的平差 (15)3.3.1 具有两条陀螺定向边导线的平差 (15)3.3.2 具有三条陀螺定向边导线的平差 (17)4 陀螺定向在贯通测量中的应用实例分析 (20)4.1陀螺定向在道路贯通测量中的应用实例分析 (20)4.1.1 工程概况 (20)4.1.2 陀螺定向技术 (20)4.1.3 精度评定 (22)4.1.4 工程分析 (23)4.2陀螺定向在矿山贯通测量中的应用实例分析 (24)4.2.1 工程概况 (24)4.2.2 陀螺定向技术 (24)4.2.3 精度评定 (26)4.2.4 工程分析 (27)4.3陀螺定向在水利贯通测量中的应用实例分析 (27)4.3.1项目概况 (27)4.3.2 陀螺定向技术 (28)4.3.3 陀螺定向精度评定 (29)4.3.4 坐标解算及成果对比分析 (30)4.3.5 工程分析 (35)5 结论 (38)参考文献 (39)致谢...................................................... 错误!未定义书签。

陀螺的力学原理及其生活中的应用陀螺的力学原理及其生活中的应用目录目录 (2)摘要 (3)1 陀螺的力学特点 (3)1.2陀螺原理： (4)1.3陀螺效应： (4)2 陀螺效应的实际应用 (5)2.1 直升机的陀螺理学： (5)2.2 弹丸稳定飞行 (5)2.3 机动车的陀螺应用： (6)2.4自行车的陀螺力学： (6)本文总结 (6)参考文献 (7)摘要陀螺与地面只有一个接触点，但是却不会翻倒，就是因为其在绕轴不停旋转，本文运用理论力学中的动力学知识来对其进行分析。

此外陀螺力学在生活中有各种各样的应用。

在我们开得车，骑的自行车，乘坐的飞机中都有着广泛的应用。

相信将来陀螺效应在科学研究上产生更重要更深远的影响。

关键词：陀螺 理论力学 进动 翻转不倒1 陀螺的力学特点1.1 陀螺的定义：绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体 结构特征：有质量对称轴.运动特征：绕质量轴高速转动（角速度大小为常量）。

陀螺的动力学特征：陀螺力矩效应，进动性，定向性。

进动性是陀螺仪在外力矩的作用下的运动特征，然而陀螺仪是一个定点转动的刚体，因而，它的运动规律必定满足牛顿第二定律对于惯性原点的转动方程式,即定点转动刚体的动量矩定理.进动本为物理学名词，一个自转的物体受外力作用导致其自转轴绕某一中心旋转，这种现象称为进动。

进动(precession)是自转物体之自转轴又绕著另一轴旋转的现象，又可称作旋进。

下面就右图就进动分析：陀螺绕起对称轴以角速度w 高速旋转，如右图对固定点O ，它的动量矩L 近似（未计及进动部分的动量矩）表示为0r J L ω=式中J 为陀螺绕其对称轴Z 0的转动惯量，0r 为沿陀螺对称轴线的单位矢量其指向与陀螺旋转方向间满足右螺旋法则作用在陀螺上的力对O 点的力矩只有重力的力矩M 0(P)，其大小为M 0(P)=ϕsin mgb(b 为o 点到转动物体质心的距离，m 为物体的质量) 按动量矩定理有)(0p dt dL m =，可见在极短的时间dt 内,动量矩的增量dL 与M 0(P)平行，也垂直与L,见上图。