2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数 学(文科)参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|10x +>}，N={x|101x>-}，则M ∩N= A ．{x|-1≤x ＜1} B ．{x|x >1} C ．{x|-1＜x ＜1} D ．{x|x ≥-1}2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b = A ．-2 B ．12-C.21D ．2 3．若函数3()f x x =(x R ∈)，则函数()y f x =-在其定义域上是A ．单调递减的偶函数B .单调递减的奇函数C ．单凋递增的偶函数 D.单调递增的奇函数4．若向量a 、b 满足|a |=|b |=1，a 与b 的夹角为60︒，则a a +a b = A ．12 B ．32 C. 12+．2 5．客车从甲地以60km ／h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km ／h 的速度匀速行驶l 小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是6．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n B ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,l n m n ⊥⊥，则//l m D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ 7．图l 是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右 的各条形表示的学生人数依次记 为1A 、2A 、…、10A (如2A 表示身高(单位：cm )在[150，155) 内的学生人数)．图2是统计图l 中身高在一定范围内学生人数的 一个算法流程图．现要统计身高 在160～180cm (含160cm ，不 含180cm )的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A ．9i <B ．8i <C ．7i <D ．6i <8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 A ．310 B ．15 C ．110 D ．1129．已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为 A ．6,6T πϕ==B ．6,3T πϕ==C ．6,6T ππϕ==D ．6,3T ππϕ==10．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、C 、 D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能 在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件 配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为A ．18B ．17C ．16D ．15二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11．在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ．12．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ．13．已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a = ；若它的第k 项满足58k a <<，则k = ．14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点(2,)6π到直线l 的距离为 ．15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O 的直径AB=6， C 为圆周上一点，3BC =.过C 作圆的切线l ，过A 作l 的 垂线AD ，垂足为D ，则∠DAC= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分14分)已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC =，求c 的值；(2)若5c =，求sin ∠A 的值．17．(本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S.18.(本小题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=)19.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数2()1f x x x =+-，α、β是方程()0f x =的两个根(αβ>)，()f x '是)(x f 的导数.设11a =，1()()n n n n f a a a f a +=-'(1,2,)n =. (1)求α、β的值；(2)已知对任意的正整数n 有n a α>,记ln n n n a b a βα-=-(1,2,)n =.求数列{n b }前n 项和n S .21．(本小题满分l4分)已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围．2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)试题参考答案一、选择题: CDBBC DBAAC二、填空题: 11. 28y x = 12. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 13. 2n -10； 8 14. 2 15. 30︒三、解答题:16.解: (1) (3,4)AB =--, (3,4)AC c =--,由 3(3)162530AB AC c c =--+=-= 得 253c =. (2) (3,4)AB =--, (2,4)AC =-, cos5AB AC A AB AC∠===sin 5A ∠==. 17．解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD.(1) ()1864643V =⨯⨯⨯=. (2) 该四棱锥有两个侧面V AD,VBC 是全等的等腰三角形,且BC 边上的高为1h ==另两个侧面V AB,VCD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高为 25h ==.因此 112(685)4022S =⨯⨯⨯⨯=+18解: (1) 散点图略. (2)4166.5i ii X Y ==∑, 4222221345686ii X==+++=∑, 4.5X =, 3.5Y =,266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯-, ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-⨯=. 所求的回归方程为 0.70.35y x =+.(3) 100x =, 700.3570.35y =+=.预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨). 19解:(1) 设圆C 的圆心为)0)(,(>n n m .则 222m nn =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-=.(2) 由已知可得210a =,5a =.椭圆的方程为221259x y +=,右焦点为 F(4, 0). 假设存在Q 点(,)x y 使QF OF =, 则F 在OQ 的中垂线上，又O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称.直线CF 的方程为340x y +-=，设Q （x,y ），则334022yx x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以存在点Q 412(,)55，使Q 到椭圆的右焦点F 的距离等于线段OF 的长.20解:(1) 由 210x x +-=得x =α∴=β=.(2) ()21f x x '=+, 221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=++.(22112211.n n n n n n n nn a a a a a a a a βαβα++++++-==-⎛⎫ ⎪⎛⎫-== ⎪-⎝⎭∴ 12n n b b +=, 又1111ln4ln2a b a βα-+===-∴数列{}n b 是一个首项为 14ln2公比为2的等比数列.∴)()4ln1212421ln 122n n n S -+==--. 21解1: 若0a =,()23f x x =-, 显然在[1,1]-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440a a a a ∆=++=++=, 得a =当a =, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上； 当()()()()11150f f a a -=--≤,即15a ≤≤时,()y f x =也有零点在[]1,1-上； 当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或32a -<. 因此，a 的取值范围是 1a ≥ 或a ≤. 解2：a =0时，不符合题意，所以a ≠0.又2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解2(21)32x a x ⇔-=-在[-1，1]上有解 212132x a x -⇔=-在[-1，1]上有解，问题转化为求函数22132x y x -=-在[-1，1]上的值域. 设t=3-2x ，x ∈[-1，1]，则t ∈[1,5]，21(3)217(6)22t y t t t --=⋅=+-，设2277(),'()t g t t g t t t -=+=，t ∈时，'()0g t <，g(t)单调递减，t ∈时，'()g t >0,g(t)单调递增，∴y的取值范围是3,1]，∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解⇔1a∈3,1]1a ⇔≥或a ≤.。
