第五讲微积分学中应用

bçfÈ31»1‚,pp.17-29«}üƒøøüƒ «}à “5(øô·",Uø. «}í¿“DˆÊ,øƒ úÄ2ƒƒÊ1872Ä,õbÜ í £™ÐO}&ÂX“í®ƒ½A,6™ÐO «}à “í׊µA «}ÛW`‡ÿu J Cauchy,Weierstrass,Riemann ÑH[íbçðb%¬! à “(í$ V)Ÿí ÖͲ%%v7øìÖÄ,O×Öb`‡$ Y H à,øƒƒƒí «}ê í ú¼¨FßÞíÕ «}$ Vƒ «}í`‡ÖÍ ,OYÍ.Ö ó]ÓO vÈíR ,Q§Õ }$ íhõ,1J¤V)Ÿ «}í`‡} V Ö«}! êA7à “5(,I c_bç·Þñøh, «}yÑ¿p yÑ ˜ËÑNƒbçí® }X2 ŸV˛ í}X)ƒ7yÑ¿…íê ,hí}X†.ißÞ OJ }D«}TÑ3bú «Âí «}A™íÜ u5š%‡ê í?w•²S T?J B bí»c J-ú_jÞ:ø_u «}í¿“Dˆ âkŸ «}« íø<ÿ¸MÚéý|V,Ì (7)«}íê Ñ7s ¥<ÿ¸,.â¿“Dˆ «}í!…–1ù_uøõb ,n í «}Økƒµb ,V n «} Ê «}à “J(ê |Ví,H s_jÞ,˛.˘k «}í¸¶ Ĥ,.?TÑ «}ê íh¼¨,7@T ÑÖ ç V nújÞ,àÕ }$ –Ví,z pÖj «}2 }¸«}uø ú «ÂíStokes tdω= ∂ΩωΩu©t «}í õ,/U «}*©t•²ÛH *¤ «}•,7híìi×−,6ÿu ¼$,í «} Ê¥øƒ,øÿ,Hú_jÞT } Ií Ü Ê¥øÄ2lƒ ø_j1718bçfÈ31»1‚¬96Ä3~Þ «}à “5(,ÖÍU bçc_íÞò–7'×퉓,O°vºéÛ|…íø<ÿ¸, 3b J-ûõ(1) «}!…ìÜz:Jƒb f(x)Ê[a,b]ª ,f (x)Ê[a,b],- (Riemann)ª«,† bf (x)dx=f(b)−f(a)aA ¥³b°f(x)Ê[a,b]ª ,f (x)Ê[a,b],- ª«,¥u'#íb° Wà:¹U d f(x)=√√2«}üƒ19J,û_½æ,éý7ŸV «}íÿ¸D Ì4,=UAb5?Dê y¿p y ˜ }D«}í–1DÜ ,V s ¥<ÿ¸,ˆ Ì4 âCantor,Lebesgue A%¬T K훉 7øc PÜ ,U «}íÞò Íøh,w -¶}u Lebesgue«}Ü ¥c PÜ ÛD˚Ñõ‰ƒb Cõ}&,AÑÛH bç2í˝á5ø,/AÑø ½bíbçxk(ÇÕ½bíbçxk´ :H b xk ˆb xk ) 6ÿu z,çAb bÅH C …ø<bç·æ ìÜ c q CÜ v,.âbà¥<bçxk VÅH C…p õ}&Ê–0 bÜ$l |¸}& R }j˙ ® ç 2íTà«ÑéO Cantor ÉÕ¯ í ø¹Õ·4dı[1]ê[k1874Ä;7Lebesgue†Ê1902Ä,ílÊFí²= d[2]³ÅH7Fíh«}ÜJ-B b } ÀË Üø-Lebesgue«} Ñ7 «},l bì2àSV ¾ø_Õ¯í“Å ”,¥ÿu Lebesgue¿ q EÑ ä–È[a,b]íø_äÕ¯,Õ¯2íõ\ Ì_CÌÌ_Ã.½LíÇ–ÈÕd1,d2,...F¨Ö,¥<–ÈíÅ } Ñδ1,δ2,...,ì2 jδjí-äÑÕ¯EíÕ¿ m e(E) b−aÁ EÊ[a,b]2íìÕíÕ¿ ì2ÑEíq¿ m i(E) J m e(E)=m i(E),†˚Eª¿,p¿ Ñm(E) J f(x)uì2ÊE,íõƒb,JúL<õbλ,Õ¯{x∈E:f(x)>λ}ª¿,†˚f(x)u E,ª¿ƒbJ f(x)uª¿Õ¯E, 䪿ƒb,/çx∈E,α≤f(x)≤β,Ê[α,β]¦õy1,y2,...,y n−1,U)α=y0<y1<y2<···<y n−1<y n=βe r={X∈E y r−1≤f(x)≤y r−1},r=1,2,...,n,S=nr=1y r m(e r),s=nr=1y r−1m(e r)J Sí|×-äÑJ,sí|ü,äÑI,à‹I=J,†˚f(x)ÊE,Lebesgueª«, /pI=J= E f(x)dx,˚Ñf(x)ÊÕ¯E,íLebesgue«}*¥_ Àíì2ªJõ|Lebesgue«}D- «} …”,í.° w.°5T6r àLebesgue AÐíz¶V z pu|Ñ/çí7;F z:càB i7Að'ÖÂ,ÛÊb´,¤v,l Oˆ ÞMí×ü}é,Í(l©øéíÞç,M,yó‹,¥ÿuBí«};¶ à.OÞM×ü}é,7uO*°2Ã|íl(ŸåV lÂ,b,µÿu- «}í;¶ âk20bçfÈ31»1‚¬96Ä3~¥PÜ í ,U «}?Êø_yÑ ðíÙË2êµ…íTà 7ú «}…™íÜj, DŸ íw…óª,6®ƒ7yÑ¿…íË¥,¥PÜ ø «}R²ø_yòíµŸ *,Hì22ªJõ|:ª¿Õuâ–ÈVì2í,/u–ÈíR ;ª¿ƒb.øì©/,u©/ƒbíØk;Lebesgue«}u- «}íR ,- ª«ƒbøìLebesgueª«, O¥5.ö | ÀíWäu Dirichletƒbφ(x),…ì2Ê–È[0,1],çx∈[0,1]Ñ Übv,φ(x)=1;çx∈[0,1],ÑÌÜbv,φ(x)=0,¥uø_TT.©/íƒb,éÍ.u - ª«ƒb,O q c¥u Lebesgueª«ƒb /1f(x)dx=0.F J Lebesgue«}íüR 7Ÿ í- «} 7¥_R ,,H TƒŸ «}íÿ¸D Ì4,«w u‡Þzƒíû_½æ,·)ƒ7Z¾C j²(A)ÊLebesgue«}<2-,Jƒb f(x)uÊ–È[a,b],"ú©/,(cÅ1)†xf (x)dx=f(x)−f(a),x∈[a,b]aA à‡ÞTƒíWä,f(x)=√«}üƒ212.«} R q f(x,y)dy u R p,íLebesgueª«ƒb;3.f(x,y)dxdy= R p dx R q f(x,y)dy= R q dy R p f(x,y)dxR néÍFubiniìÜí‘KªŸ ìÜí‘K[ Ö7(D)B b6zƒ- ª«ƒb˛Èu.êeí,¹.u Banach˛È,O Lebesgue pŸª«ƒb˛ÈL p,(p≥1),(cÅ2)ºuêe˛È,¹Banach˛È,«w u L2˛Èu Hilbert˛È,x 7yÖyßí4”,¥ÿs 7Ÿ - «}íø_½×ÿ¸‡Þzƒ¬ª¿Õ¯D–È ª¿ƒb D©/ƒb íÉ[,1944Ä,J.E.Littlewood (1885-1977){Ÿ¬ø…Ê ƒb ƒ2 íz[3] Êz2ÅH7ú_Ÿ†,×_ª[®Ñ:©_(ª¿)Õ¯ ˛u Ì_–Èí:Õ,©_(ª¿)ƒb ˛u©/í;©_(ª¿)ƒb íY¹å ˛uø_4Y¹í “õ‰ƒb ”2×Öb!‹u¥<òh–1í@à,7çÞb¦³7¥<–1, k¦³7×Öb8”-õ‰bÜ F b°í JªJõƒâø_Ÿ†ªJ“'ߔ˅õø_½æí£ü4,µóAÍb½F‚“ ˛”@v k}Q¡ƒ5ší˙ ,¦³7¥_½æÿªJü~Ëj²7 Littlewoodí¥øJ u u¡ý ćzí,ÛÊèVYÍ>ƒ' <2,uå÷õj5°,ÝÂ5½b F''|R7õ‰ƒb 2ú_|½bí–1:ª¿ÕD Ì_–È5:Õ,ª¿ƒb D©/ƒb;ª¿ƒbå íY¹Dø_Y¹5Èí– D:û ¥.cc N|7j²hÜ 2í½æ5¤ ,7/´N|7híÜ DŸ Ü j à …”,í.°,O s 7Ÿ Ü 2í ÿ¸,7¢ DŸ íÜ */ <2,VƒuóÏ.±í, }fòí¦íÉ[ Êõ}&2,íü.i|ÛJñÛLittlewoodú_Ÿ†$ íìÜ Ô- ú_WäW1:(ñÛŸ†1)J EÑÕ,/Õ¿ m e(E) Ì,†EѪ¿ÕJ/ñJ:L#ε> 0,æÊø_ ÌÇ–È5:ÕV,U)¥³m e(V∇E)<ε,¥³A∇B=(A\B)∪(B\A),¥³A\B={x:x∈A,x/∈B} ÄIËz:Õ¯E D ÌÇ–È5:Õ5ϪJL<ü W2:(ñÛŸ†2)J f(x)uì2k[a,b],íª¿ƒb,f(x)¦±∞íÕ¯í¿ ÑÉ,†L#ε>0,ªJ vƒø_¼Gƒb g(x)£ø_©/ƒb h(x),U)|f(x)−g(x)|<ε£|f(x)−h(x)|<εÊø_¿ ükεíÕ¯5Õ·A ÄIËz:ª¿ƒb D©/ƒb £¼Gƒb5Ï ¥ø_L<üíÕ¯(,ªJL<üW3:(ñÛŸ†3)(EgoroffìÜ)J{f n(x)}Ñx Ì¿ íª¿Õ¯E,íª¿ƒbå , ˛TT Y¹k f(x),†L#ε>0, Eíø_äÕA,m(A)<εU) {f n(x)}ÊE\A,ø_Y¹k f(x) ÄIËz:ÊE, ˛TT Y¹íª¿ƒbå ,ÊE, ¥ø_L<üíÕ¯(,uø_Y¹í22b çf È31»1‚¬96Ä3~çÍ, ÉñÛLittlewood ú_Ÿ†íìÜ,B b ´ªJ Ô|'ÖíWä ,5,Little-wood íú_ŸÜk}z p õ}&D Ÿ «}5Èí– D ¦íÉ[ *J,í H 2,ªJ õ|õ}&íßÞ,íüu “b ç2ö£íª ”,…u “y ^í«x¸y Ýíj¶5êÛ”,1/“ ŒkÜj ˛ íÜ ” ¹ªJ z Ÿ }¸«}íø<Ü ¦7H5,*7øµ<H Ü “ ƒøi ”Å1:J f (x )u [a,b ],íõMƒb ,/úL <ε>0,øì δ>0,Uú[a,b ]2L < Ì_ss.ó>íÇ–È{(a k ,b k )}1≤k ≤n ,Éb nk =1(b k −a k )<δ,ÿn k =1f (b k )−f (a k ) <ε†˚Ñf (x )Ñ[a,b ],í"ú©/ƒbÅ2:q f (x )u ª¿Õ¯E ,íª¿ƒb ,pf p = E|f (x )|p dx1−1F x íö£íÄÛõ4u ØJ šÃíµ}&mÍu µb ,í «},µó…íqñ@ s_¶M ø¶}u*õb ,í «}òQÃW R ¬V í,¥¶M í %%ÌÖ×˚Ø Çø¶}u õb ,í «}F³ í,.?òQ ËR ¬V í ‡ø¶}çͽb ,O (ø¶}%%yÑùA ·< £à‡ÞÖŸƒ¬,Ÿ «}uâú_¶} A ,¹ } «} N | }D«}u ø ú «Âí «}!…ìÜ,¥<·³ B ó˚Ø˪J òQR ƒµb V M )øTíu , «}!…ì܃7µb ,øAÑ5š?ʵÃÞC ,,¥AÑ7µ$ íGreen t :Jω=ω1dz +ω2d ¯z«}üƒ23Ñ– Ω⊂CíøŸÕ }$ ,¥³ω1=ω1(z,¯z),ω2=ω2(z,¯z)ÌÑz,¯zíª ƒb,dÑÕ }Âä,¹d=∂+¯∂,7∂=∂∂¯z,pΩíiäÑ∂Ω,†∂Ωdω= Ωdω¥ÿu ùƒ úÄ2Stokes t ʵÃÞ,í$ â¤|ê,ÿªJ)ƒO±íCauchy «}t D Cauchy«}ìÜ Cauchy«}t z:J L uø‘M¨mËí¥£Jordan Ã(,f(z)ÊÃ(,£âÃ(¨ˇíq¶©/,/Êwq¶j&,†Ê– qíLøõz,-Þf(z)=1ζ−zdζA Cauchy«}ìÜz:c qà,,†Lf(z)dz=0Cauchy«}ìÜu FÊ1825Ä…pí,Oƒ71874Änê[[4] çÍ,CauchyŸVí…p.uàÕ }$ ,F´c q7f (z)ÊL,©/ Cauchy«}t u FÊ1831Ä…pí[5],F´c q f(z)ÊL,j&,(V Goursat ¥7¥<‘K[6],.Ø…p:Cauchy«}ìÜD Cauchy«}t uóà gí1825Ä£1831ÄCauchy s_ìÜí ,™ÐOµ}&TÑøÆÖ ç íÒÞ, 6™ÐOµ}&2ú_3b qñ5ø,¥Z u CauchyÜ íÇá *¥s_ìÜ|ê,ªJ )ƒøÍ ½bí!!,B V Béý|µ}&DŸ «}5ÈÊ…”,í.° OÇøjÞ, *,ÞíÅH2,B b6ªJõ|CauchyÜ DŸ «}í¦íÉ[ÿÊCauchyÑ µ}&7›‰ív`,ÇÕ´ sP×bçð6£Ê*.°íi Ñ ¥_bç,íhä 7G,Fbí-‰w2øP u Weierstrass FµçÃã,j4Ãò,F*4 b|ê úø_4 b7k,…ÿ Y¹Æ,ÊY¹Æ2©øõ,yâ4 b Ç,ku¢ Y¹Æ,à‹(ø_Y¹Æ |ŸVíY¹Æ,¥ÿu j&ôˆ,¥š¥«øòªW- ,òƒ.?j&ôˆÑ¢,¥šFÿì27ø_êr j&ƒb ¥u F µ}&í|êõ5øÊŸ «}í bÜ 2íTaylor b ·ªJ.'˚ØËR ƒµb 2 Oʵb ,í «}2,´ Laurent b,¥uŸ «}í bÜ 2F³ í Laurent b VÄk1843Äurent(1813-1854) íìÜ:Æ=D= 0≤r<|z−a|<R≤+∞24bçfÈ31»1‚¬96Ä3~qL<ÀM j&ƒb f(z)ÊD qªâø_Y¹íLaurent b ∞k=−∞c k(z−a)k[ý 9õ,Weierstrass k1841IJ%û˝7x £ Š4í b,¹Laurent b,Oòƒ1894Än…éFí!‹k[7],*Laurent b|ê 7øc PÜ ,àcƒb =Óƒb Jæõ M}0Ü7ÇøP bçðRiemann,F* SíhõV5ôµ}&,¹øƒbõT*ø_– ƒÇø_– íø¦ Ñ7û˝ÖMƒbÜ ,F´ùp7ø_r hí S–1,¹- Þ ¥P Ü uŸ «}2F³ í 1851Ä,- í²= dubçÍ,ø¹½bíd.[8] £àO±bçðL.V.Ahlfors(1907-2004)F zí,¥¹ d.c¨Ö7µ‰ƒb 3b¶}íÀZ,7/Çó7ˆbçíÍ$û˝,Õh7H b S,1Ñ- AÐÊ } S,íû˝SÃ7−˜ ʤd2,.cùp7- Þ,´…p7à-íO±í- ø¦ìÜ(Riemann Mapping Theorem):J DѵÃÞC,íÀ©¦– ,w iäõBý sõ,†æÊD ,íÀs rÓƒb,øDø¦ÑÀPÆ∆={z∈C:|z|<1},¦a∈D,b∈∆, 0≤a≤2π,†Å—f(a)=b,arg(f )(a)=αíf(z)uñøí ¥_ìÜz:ˆb g û|rÓ g ¥Êbç2'ý ¥ší!‹,çv- uàDirichletŸÜV…p¤ìÜí O¥_ŸÜ(V\õ|7…è,J B bçðÕÕ_‰k©°ø_£üí…p kÊ1870Ä,âC.G.Neumann D Schwarz vƒ7- ø¦ìÜuµ‰b Sƒb í|êõ,â¤ê –øc P i17½bíÜ - ÞõÒ,ÿuø&µ¼$,yu'Ö¡H bç½bÜ í|êõ1825Ä 1831ÄÇáíCauchyÜ ,1841ÄÇáíWeierstrass bÜ ,1851ÄÇáí- SÜ £- ÞÜ ,¥úPóúÖ ¢'ò:ûOíÜ ,Z A7µb ,í «},Aѵ}&í3b¶} Ê¥úPÜ 2,Cauchy«}Ü í;uÊŸ í «}2,¥õu }ÀUí(jÃ(Vê íÜ ˛DŸ «}ó ݱ);7Weierstrass bÜ íVÄ5øu «}2í bÜ ,¥õ6uªœÀUí;B k- SÜ £- ÞÜ ,†u r híÜ ,DŸ í «}³ BóÉ[ÇøjÞ,Cauchy«}Ü 2׶}í!‹,ªJ R ƒò&˛È,- ÞR Aò&µ¼$,7ÊWeierstrass bÜ 2TÑ|êõíLaurent b£- SÜ í|êõí- ø¦ìÜ,†.?R ƒò&˛È1906Ä,F.M.Hartogs…p7à-íìÜ[9]:JΩ⊂C n(n≥2)Ñ ,KÑΩ2' KäÕ,/Ω\K©¦,J fÊΩ\K,rÓ,†fªJrÓLjƒΩ Ĥ,;z C2íÆ=R A C n(n≥2)2í7’ ø_ü7(í7Á,øÊ7Á,ì2írÓø¦ ÇA x £ ŠŸ4 b˛AÑ…Ì<2í97 Ä5,TÑWeierstrass bÜ 2íTÑ|êõíLaurent b,ÊŸlí «}2u³ í,Êò&˛È26u³ í,É µÃÞ,n Ĥ,µ}&2íWeierstrassÜ 6ÿAÑ7 }ÖÔíÜ 7«}üƒ251907Ä,Poincar´e…p7¥šíìÜ[10]:ÊC n(n≥2)2íÀP7B={z∈C n: |z1|2+|z2|2+···+|z n|2<1}DÖÆ6P={z∈C n:|z1|<1,|z2|<1,···,|z n|<1} 5È.æÊrø¦,øBø¦ÑP,¥³z=(z1,...,z n) 6ÿu z,ƒ7ò&µr«˛ÈC n(n≥2),– 5Èíˆb g.?û|rÓ g Ĥ,TÑÀµ‰ƒb Sƒb í!ùí- ø¦ìÜ,6u‡Ì©A,(ÌV6í ªJ z,- ø¦ìÜubç2ø_Ô íìÜ,â¤7ùêí SƒbÜ 6u }i1íÜã,F H,¥<qñ$A7µb ,í «},6ÿuµ}&,ubç2Ö íÜ ,AÑ 2| «àíbç}X5øøõb ,í «}ˆ ƒµb ,,A7qñîóíµ}&,µóu´ªJøµb y ˆ ,AÑyÑøOí ,Ê¥< ,V «}íÜ á?Frobenius…p7à-½bíìÜ:õb ,F Ì&!¯ªÎH b(Associative di-vision algebra)É ú_,¹:õb µb ûj b(Quaternion)H b;à‹ ¥!¯4b°,†õb ,´ Çø_ªÎH b,Caylay-Dickson H b,¹Octonion H b,!Êõb ,í&bÑÿ çÍ6ªÊûj b H b¸Octonion H b, «}Ü ,O uâkûj b H bu.ª>²í,Octonion H bu.ª>²¢.ª!¯í,Ê¥,Þ «}?•Ö±ÿª;7ø,J BòƒD n wª Ýà°øj «}ˆ ƒÖj «}µš,Àµ‰bƒb ªJˆ ƒÖµ‰ƒb Öj «}Døj «}í;…Ï Êk Õ «}$ ,*¥õ,Võ,¥s6 …”,íÏæ °šÖµ‰ƒb ,CÖjµ}&,DÀµ‰ƒb ,Cøjµ}&óª …”,íÏæ,…" .uøjµ}&íÃW R ,7u×Öbíqñ·u Døjµ}& …”,í.°í à‡ÞT ƒíHartogsìÜD Poincar´eìÜÿu s_péíWä úÖµ‰ƒbíÌ ÜÊ¥ss íüŸÆƒ52.ª?dƒ, E íè6ª¡© ÉízÀ,Wà[11]ú.¼$,í «}Ê,øÄ2 } ÀË Ü7øõb ,í «}ˆ ƒµb , 6ªJ¥šz,øõr«˛È,í «}ˆ ƒµr«˛È, * Síi V z,Çø_½bíˆ uøõr«˛Èˆ ƒ }¼$,,¹ – }¼$,í «}, }¼$uÛH bç2|ѽbí!…–15ø ×¾íÛH bç·uÊ¥,ÞÇ í O bà ËzÀU Bóu }¼$,í «}bI'×í‰−,6õÊØ‘¹Ù,Ê¥ssíüŸÆƒ52m.ª?6..b d¥K9,É? }ÄIË .à Ëz_×<Bóu }¼$?¥uø_x }!Zí ¶r«˛È ¥³bj…íu:Bóu ¶r«˛È?Bóu }!Z?26b çf È31»1‚¬96Ä3~ø_n &í ¶r «˛ÈM u ø_F.Hausdorff(1868-1942)ˆb ˛È,…íL <øõx ø_¹ ° k n &r «˛ÈR n íø_ÇÕ¯ B óu ˆb ˛È,×_,V ƒ,¥u ø_ùp ˆb íÕ¯X B óÊùp7ˆb ,ÄI ˃,ÿu ÊX ,ì27ÇÕ¯í,…Å—7¦ÂÇÕ¯íF b °í‘K ø_ˆb ˛È˚Ñu Hausdorffˆb ˛È,à‹x,y ∈X ,/x =y ,† ¨ x íÇÕ¯G ,¨ y íÇÕ¯H ,7G ∩H =∅ ÄI ˃,Hausdorffˆb ˛È2L <s_.°íõu ªJ}ÇíJ X ,Y u s_ˆb ˛È,f u øX øƒY í©/ø¦,/f (X )=Y ,f −16u ©/ø¦/f Ñøúøø¦,†˚f Ñ° ø¦(homeomorphism),X D Y u ° í J φu ¥ší° ,øM 2ø_©¦ÇÕ¯U øƒR n 2íø_ÇäÕ¯ ÊR n 2,r j [ý¦R n 2øõí j _Á™,p x j =r j ◦φ,˚φÑÁ™ø¦,x j ÑÁ™ƒb ,j =1,2,...,n ,˚(U,φ)(C p T (U,x 1,...,x n ))ÑÁ™ÍÊø_ ¶r «˛ÈM ,íø_C k ,1≤k ≤n ,é }!Z ,u Á™Ííø_Õ¯{(U α,φα):α∈A }=F ,…Å—- ú_‘K :(i)∪α∈A U α=M ;(ii)úF íα,β∈A ,φα◦φ−1β∈C k ;(iii)óú(ii)V ƒ,F u|×í,¹à‹(U,φ)u øÁ™Í,/úF α∈A ,φ◦φ−1α£φα◦φ−1·˘k C k ,†(U,φ)∈F ¥³A u ø_N™Õ¯ J f =(f 1,...,f n )u R n 2ø_– D ,íø¦,˚f ∈C k í<2u ,f í©_}¾f j ,j =1,2,...,n ,ÊD ,·u k Ÿª í,/f (k )ÊD ,©/Ç5.1*,H ¥<ì22ªJ õ|:ÄI Ëz ,ø_¶r «˛ÈÿuâD r «˛È° í©_õí¹Êø–F Aí,7 }!Z u z¥ ò¶uà}ó:û–V í[12],[13](c Ç5.1) 7¥u}¼$í×<,øO n í }¼$·u k =∞í8$,6ÿu m Ëí$Ç5.12µ«¶}[ýU α∩U β,φα£φβ} ø¤øB Ç$-jíµ«¶},7ø-Ǭi íµ«¶}øÑ-Ç˝i íµ«¶}íø¦φα◦φ−1βu C k ,k ≥1 à‹úF α,β∈A ·A ,¥ÿu }¼$ ½b íu :ÛH b ç2n íúï%%u }¼$ à:õr «˛ÈR n ,µr «˛ÈC n , Ì&õ²¾˛È, Ì&µ²¾˛È,n &7Þ ·u }¼$;‡ÞT ƒí- Þu ù&«}üƒ27}¼$ ân×nÝæõä³írñ AíøO(4ˇGL(n,R)6u }¼$ 7ÛH bç2”ѽbí†(Lie)ˇ,Wà½R&ˇ(Heisenberg group)[14]¸ûj b H$ˇ(Quaternion H-type group)[15]ÿu s_x C∞ˇ!Zí }¼$ }¼$íWä. (Ô,O*,Þzƒí¥<,—Jõ|w½b47Ê }¼$, «},ÿbÊ¥,Þì2 }D«} bà íVì2¥<õÊØ‘¨I,O u* }¼$íì22,ªJ;ƒ,Ê }¼$,ì2 }D«}øìu¦¬Á™ø¦φ,øøõË¡í¹ øƒr«˛È2ªW ¥³J.à íì2 ¼D«}ÑWV z p¥ j ¶J M uø_n& }¼$,(U,φ)u…íÁ™Í,Á™ƒbÑx1,...,x n,à‹G⊂M uø_ÇÕ¯,f:G→R u G,íø_õMƒb,J p∈G∩Uα,†f◦φ−1αuì2ÊÇÕ¯φα(G∩Uα), B b˚fÊpõª ,à‹f◦φ−1αÊφα(p),ª ;B b˚fÊG∩Uα,ª ,à‹f◦φ−1αÊφα(G∩Uα),ª ;B b˚fÊG∩Uα,u C k,k≥1,à‹f◦φ−1αÊφα(G∩Uα),u C k Ĥ,úÊ }¼$,ì2íø_ƒb°ûb,u¦¬φ−1,úÊr«˛È,ùû|Víƒb°ûb Vì2íàóNíd¶,â }¼$,ƒbí ¼|ê,ªJì2ó@í } Õ«} Õ }$ Õ }Âä °š,ªJú }¼$ªWì²,J Uα∩Uβݲ,/φα◦φ−1βíJacobiW u£ìí,†#8UαD UβJó°íì²,´†#…bJó¥íì² ì2ø_¼$uªì²í,à‹úL<s_α,β∈A,/Uα∩UβÝ˛Õ¯,†φα◦φ−1βíJacobi W u £ìí ´†¼$Ñ.ªì² B b n í·uªì²í¼$ ¦¬φ,úªì²í }¼$,í_çí– ,ì2íÕ }$ Vì2«} Ñ7 À–c,c q¼$u'K(Compact)í F‚'K uNø_Õ¯Kí©ø_ÌÌäÕ·ÊK2 ”Ìõ,†˚K u'Kí J M uø_n&'Kªì²í¼$ âk M u'Kí,âHeine-BorelìÜø−,úM ø_ Ì_Á™¹ íºQJÑU1,...,U m úk¥_ºQªJ…p,æÊJ-íD5óú@í1í}j F1,...,F m,Å—(1)F j(p)≥0,p∈M,j=1,2,...,m;(2)F j(p)=0,p/∈U j,j=1,2,...,m;(3) m j=1F j(p)≡1,p∈MJωu M,íø_n¼Õ }$ ,à‹U jí ¶Á™Ñ(x1,x2,...,x n),†ÊU j,,ω=a j(x1,...,x n)dx1∧dx2∧···∧dx nòhË,ÄIËõ,â,H(3),ω= Mω·1= Mωm j=1F j=m j=1 MωF j,M28bçfÈ31»1‚¬96Ä3~â,H(2),ωF j= m k=1U kωF j= U jωF j,M]@vø Mωì2Ñ m j=1 U jωF j,7 U jωF jì2ÑF j(x1,...,x n)a j(x1,...,x n)dx1∧···∧dx n.φj(U j)¥u n&r«˛È2Õ }$ í«} ¥šÿì2ß7'Kªì²í¼$M,Õ }$ í«},Hí ì2·.u }à í âk bà #|¥<ì2,Ø‘¹Ù,Éß. }Ã Ë Ü_×– Ê }¼$,í «}2||½bíìÜEÍu StokesìÜ,¥³u ùƒ úÄ2StokesìÜíR ¥v`,StokesìÜ×<Ñ,J M u n&ì² }¼$,D u w2íø_– ,ωÑø_mËí(n−1)¼Õ }$ ,†dω= ∂DωDA B b5F J z¥_ìÜí“×<u¥š”,3bÄÑ¥vúD,∂D Dω´b‹,ø<¯Üíb°,¥<b°ÿ.xñz p7 ¥_ }¼$,íStokesìÜ,z p7Ê }¼$,, }D«}¥ ú «Âu5šñÛí*‡ÞÔ|í }¼$íµ<Wä2ªJõ|, }¼$uø_ } ˜í–1,r«˛È.¬u…|Ñ ÀíWä,F Jø «}*õr«˛Èˆ ƒ }¼$u…”,íø<ˆ , z p «}˛*©t•²7ÛH,…í«à±±Ä¬7}&í¸ˇ ¥íüu“bç2ö£íª ” …u“‘y ^í«x¸y Ýíj¶5êÛ”,.OªJú˛ í}&Ü y¿…íÜj,7/â¤ßÞ7'Ö.°}Xíi1íÜ ,U)bçÂÇ7ìhíøÜ É }¼$ ,í «}ÿ }ÄIË Ü¥<, 'ÖŸ)'ßízªX¡©,à[16],[17],[18],[19], [20] Ê «}à “5(,TÑ «}A™Ü íê 6ÿ ܃¥³Ñ¢;âk¥<qñ·˛.˘k¦ÂÜjí «}í¸ˇ,7u} AÑøÆÆÖ íç ,Ĥ,…b·.?TÑ «}ê íø_¼¨Võ& Ê «}à “5(,´ ø_½bíˆ Ê¥³³ ƒƒí,µÿu Ì&õr«˛È,í «}ˆ ƒÌ¤&˛È, ,¥u˘k˜ƒ}&íqñ,¥ø¶}6ÿÉßG&øV7¡5d.1.G.Cantor:Uber eine eigenschaft das Inbegriffes aller,reelen alge braischen Zahlen,Crelles Journal fur Mathematik,77(1874),258-262.。

第五讲 定积分的微元法 定积分在几何中的应用(一)一、定积分的微元法由引入定积分概念的两个实例不难看出， 可用定积分所求的量 A 具有以下 三个特点：1、量A 是分布在区间［a,b ］上的整体量，即A 与区间［a,b ］有关，在［a,b ］上连续分布。

3、量A 在区间［a,b ］上的分布是非均匀的。

现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。

复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。

设f(x)在区间［a,b ］上连续，且f(x) 0，求以曲线取近 似 计算每 个小 区 间 上 面 积 A i 的 近 似 值 A if( i ) x i2、量A 具有可加性，即整体量等与部分量的和:nA i ；i1f (X )为曲边的［a,b ］上的曲边梯形的面积A .把这个面积A 表示为定积分A a bf (x)dx，求面积A 的思路是“分割、 取近似、求和、取极限”即: 1、分割 将［a,b ］分成n 个小区间，相应地把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记作 A(i 1,2,,n),则 A A ；i12、(x i 1ix n ) ；3、求和求和得A 的近似值A nf( i )i1x i ；4、 n取极限 取极限得 A limi1f( i ) x ibf(x)dx ．为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步， 设所求量为A ，区间yA 「为[a,b],1、无限细分，化整为零A f x dx ;2、连续求和，积零为整xbbbdA dA x d f x dx f x dx ， A dA dA x faaaa由此不难看出，f x dx 实际上就是量A 在点x 出的微分，将dA f x dx 称为量A 的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。

二、定积分在几何中的应用(一)平面图形的面积1、直角坐标系下面积的计算在dx 0时，将A 从a 到b 连续求和，则有：A f(x)dx. y n由于A 与区间［a,b ］有关，且在［a,b ］上连续分布,上限函数的定义则有：A x f x dx ，从而， x有积分axb X1、当平面图形是由曲线f(x)及直线xb 、y 0所围成时;bb细分区间［a,b ］，从中任取一小区间［x,x dx ］(dx x )，并求出相应于这个小区间的部分量a oA 的近似值///Jx X dx b Xx dx ；xxxf x dxd f x dx f x dxacbf x dx .d2、当平面图形是由曲线 伞yy iX 、y 2 f 2 x 及直线x a 、x b 所围成时;yy i f i xy 2 To xb x若y i y 2时，则有：A f 2 xf i xdxb bf 2 x dxf i aax dx般地,f 2 xf l x dxacf i x af 2 xd dxcf 2 bxf i x dxdf i x f 2 x dx3、当平面图形是由曲线 X i f i y 、 X 2 f 2 y 及直线yd 所围成时;d则：A 2 y 1 y dy .cx 例1、计算由两条抛物线y 2x例2、计算抛物线y22x与圆x2寸8所围平面图形的面积。

定积分中微元法及其应用研究1. 引言1.1 什么是定积分中微元法及其应用研究定积分中微元法是微积分学中的重要概念，它通过将被积函数分割成无穷小的微元，然后对这些微元进行求和，从而得到整个函数的定积分值。

微元法在定积分中的应用非常广泛，可以解决各种形式的积分计算问题，同时也可以帮助我们更好地理解积分的几何意义。

微元法在实际问题中的应用也非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域都有重要的应用价值。

通过微元法，我们可以更准确地描述和分析各种现实问题，为科学研究和工程实践提供有力的支持。

虽然微元法在定积分中有着重要的作用，但它也存在一定的局限性，例如在处理复杂函数或高维度的积分问题时会比较困难。

我们在使用微元法时需要结合具体情况，选择合适的方法和技巧来求解问题。

定积分中微元法是微积分学中的重要工具，它不仅可以简化积分计算的过程，还可以帮助我们更深入地理解函数的性质和应用。

在未来的研究中，我们可以进一步探讨微元法在更复杂问题中的应用，以及不同类型积分的求解方法，从而拓展微元法在定积分中的应用范围。

2. 正文2.1 定积分的基本概念定积分是微积分中的一个重要概念，是对曲线下面积的一种计算方法。

在定积分中，我们将给定的区间分成许多小区间，并在每个小区间内取一个点，然后求出这些小区间上的面积之和，最后取极限得到整个区间的面积。

在进行定积分运算时，我们通常利用微元法来计算。

微元法是一种运用微小部分求和的方法，将函数进行分割，然后在每个微小的部分上进行计算，最后将所有微小部分相加得到整体的结果。

在定积分中，微元法能够帮助我们将曲线下的面积分解成无穷个微小的长方形或梯形，进而求得整个区间的面积。

需要注意的是，定积分的基本概念中还包括对积分上下限的理解和确定，以及对被积函数的理解和计算。

通过对定积分的基本概念的理解和掌握，我们可以更好地应用微元法进行定积分的计算，并进一步应用到实际问题的求解中。

2.2 微元法在定积分中的应用微元法在定积分中的应用是定积分中非常重要和常见的方法之一。

微积分学讲义微积分学讲义微积分学是数学的一个分支，了解这门学科的重要性和理解这门学科的要点是非常重要的。

本讲义将重点讨论一些基本概念和原理，帮助学习者更好地了解微积分的概念，并在学习中做出更快的发展。

一、定义和概念1. 定义：微积分是研究函数的变化以及该变化如何影响其及其构成成分之间的关系的学科。

2. 常用概念：直线曲线、导数和积分；微分方程和定积分等。

3. 常用公式：求导法则、椭圆公式和柯西定理等。

二、应用1. 图形的抽象表示：微积分可以帮助我们抽象表达日常面对的一些几何形状；直线曲线以及更复杂的二参数曲线可以通过微积分的函数表示出来。

2. 分析和理解复杂系统：复杂系统中的物理关系式抽象，可以通过微积分来分析理解，决策出最优控制方案。

3. 数值计算：微积分也广泛用于数值计算，如数值积分、数值微分、归纳法、概估法等。

三、实践1. 定义来自数学的变量：首先要明确变量的定义，例如定义函数y = f (x)，然后通过函数解决特定问题。

2. 尝试性解决问题：对于一个微积分问题，比如求导等，要结合实际情况，尝试着动手解决问题，不同的算法可能会收效不同，甚至可能在解决一个问题的过程中发现其他的有趣概念。

3. 关注实践场景：实践中锻炼微积分的能力也是非常重要的，要联系实际，提出自己的问题，利用微积分的理论加以解答，并且灵活应对不同的实际场景。

四、方法和技巧1. 学习先学习理论基础：理论知识是最重要的，学习微积分需要先从小学一点点知识开始，了解概念，具备基本的推导能力，而不是记住公式。

2. 熟悉考试技巧：微积分中需要熟悉FAQ考试策略，对于考试中出现的新问题尽量进行抓大放小，定位问题，准备有效地解决问题。

3. 不断累积实践经验：微积分的解决问题，需要很多的实践经验，锻炼自己的处理能力，也要反复练习曾经见过的题目，以及多思考如何用微积分处理实际问题。

以上就是有关微积分的基本概念和原理的简单介绍，希望能够帮助到大家学习微积分，以及在平时的学习实践中明白微积分的应用。

数学分支之微积分学微积分学是微分学和积分学的总称。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。

因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。

微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

微积分学的建立从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。

作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。

比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。

”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。

为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

定积分中微元法及其应用研究定积分是微积分学中的重要内容，而微元法是研究定积分的一种求解方法。

微元法也称为微分法，其基本思想是将被积函数进行分割，然后对每个小区间进行近似计算，再将所有小区间的结果求和，最终得到定积分的结果。

微元法在定积分的求解中起到了至关重要的作用。

通过将函数进行分割，我们可以将被积函数在每个小区间上近似看作是常数函数，这样就可以将复杂的定积分问题转化为简单的求和问题。

通过逐步累加每个小区间的结果，最终得到的就是原函数在整个区间上的定积分。

微元法的应用非常广泛，其中最经典的应用之一是求曲线下的面积。

通过将曲线进行分割，我们可以得到多个矩形的面积，再将这些矩形的面积求和，最终得到的结果就是曲线下的面积。

这个应用非常有实际意义，例如在物理学中，可以用微元法求解物体的质量、压力等物理量。

另一个常见的应用是求弧长。

通过将曲线进行分割，我们可以得到多个小线段，再求出每个小线段的长度，最终将这些长度求和，就可以得到整个曲线的弧长。

这个应用在几何学中常见，可以用来求解曲线的长度、曲率等问题。

微元法还可以用来求解旋转体体积和曲面旋转体积。

通过将旋转体或曲面进行分割，我们可以得到多个圆柱体或圆锥体的体积，再将这些体积求和，最终得到整个旋转体或曲面旋转体的体积。

这个应用在几何学和物理学中非常常见。

微元法是定积分中一种重要的求解方法，其应用非常广泛。

通过将函数进行分割，我们可以将复杂的定积分问题转化为简单的求和问题，从而求解各种与曲线、曲面相关的物理量。

微元法在实际应用中具有重要的意义，为数学建模和实际问题的求解提供了有力的数学工具。