解析江苏省海安高级中学高一下学期期中考试数学试题含解析

高一数学本试卷分填空题和解答题两部分．考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试卷上答题无效．本卷满分160分,考试时间为120分钟． 注意事项：1． 答题前，考生先将自已的姓名、学校、考试号填写在答题卷规定区域内；2． 填空题和解答题均使用0.5毫米的黑色中性签字笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚，作图可用2B 铅笔；3． 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 在ABC ∆中，设角B A ,所对边分别为b a ,，若bBa A cos sin =，则角=B ． 2. 在等差数列{}n a 中，若1120,a =则21S = ． 3. 已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则a ＝________.4.已知等比数列{}n a 公比0>q ，若32=a ，21432=++a a a ，则345____.a a a ++=5. 在△ABC 中，若a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则边c ＝________.6.答曰： 盏．7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .8. 设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ,则y x z 25+=的最大值是 ．9. 0a <,0b <,则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为 ． 10. 已知正项等比数列{}n a 满足:5672a a a +=,若存在两项n m a a ,使得14a a a n m =,则n m 41+的最小值为 ．11．ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，则三角形的 形状为_____________． 12．已知圆内接四边形ABCD 中，2,6,4,AB BC AD CD ====则四边形ABCD 的面积为________．7第题图13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若nnS S 2)(*∈N n 是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列{}n C 是首项为1C ，公差为d （0≠d ）的等差数列，且数列{}n C 是“和等比数列”，则d 与1C 的关系式为_________________．14.已知圆心角为120°的扇形AOB 的半径为1，C 为弧AB 的中点，点D ，E 分别在半径OA ，OB 上．若CD 2＋CE 2＋DE 2＝269，则OD ＋OE 的最大值是________．二、解答题（本大题共6小题，满分90分） 15. （本题满分14分)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0（0a >）.16.（本题满分14分)在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，b cos B 是a cos C ，c cos A 的等差中项． (1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．17.（本题满分15分)对任意函数(),f x x D ∈，可按流程图构造一个数列发生器， 其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端再输出21()x f x =,并且依此规律继续下去.现定义42()1x f x x -=+.(1)若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ，请写出数列{}n x 的所有项；(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（3）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足：对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的 取值范围.18.（本题满分15分）设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，数列{b n }满足b n ＝a na n ＋m(m ∈N *)．(1)若b 1，b 2，b 8成等比数列，试求m 的值；(2)是否存在m ，使得数列{b n }中存在某项b t 满足b 1，b 4，b t (t ∈N *，t ≥5)成等差数列？ 若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由．19．（本题满分16分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。

江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量a ⃑=(2,3)，b ⃑⃑=(x,−6)，若a ⃑//b ⃑ ，则实数x =（ ） A ．9 B ．4C ．−9D ．−42．计算2(1−i )2的结果是（ ）A ．2iB ．−2iC ．iD ．−i3．已知sin(α+π4)=45，α∈(π4,π2)，则cosα=（ ） A ．√210B ．3√210C ．√22D ．7√2104．已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 船沿北偏东30°的方向航行，B 船沿着正北方向航行．若A 船的航行速度为40nmile/h ，1h 后，B 船测得A 船位于B 船的北偏东45°的方向上，则此时A ，B 两船的距离是（ ） A ．20√2nmileB ．20√3nmileC ．20√5nmileD ．20√6nmile5．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =√3，AA 1=1，则AD 1与A 1C 1所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√646．在锐角△ABC 中，C =π6，AC =4，则BC 的取值范围是（ ） A ．(0,8√33) B ．(2√3,8√33) C ．(2√3,+∞)D ．(4,8√33) 7．在平行四边形ABCD 中，AB =3,AD =4,AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−6,DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．16B ．14C ．12D ．108．已知0<α<π2,0<β<π2，且sin(2α+β)=4sinβ，10tan α2=√3(1−tan 2α2)，则α+β的值为（ ） A ．π6B ．5π6C ．2π3D ．π3二、多选题9．下列关于向量的说法正确的是（ ） A ．若a ∥b ⃑ ，b ⃑ ∥c ，则a ∥cB ．若单位向量a ,b ⃑ 夹角为θ，则向量a 在向量b ⃑ 上的投影向量为cosθb ⃑C ．若a 与b ⃑ 不共线，且sa +tb ⃑ =0⃑ ，那么s =t =0 D ．若a →⋅c →=b →⋅c →且c ≠0⃑ ，则a =b⃑ 10．对于△ABC 有如下命题，其中正确的是（ ）A ．若sin 2A +sin 2B +cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形B ．若B =π3，a =2√3，且△ABC 有两解，则b 的取值范围是(√3,2√3)C ．在锐角△ABC 中，不等式sinA >cosB 恒成立D ．在△ABC 中，若B =60°，b 2=ac ，则△ABC 必是等边三角形11．如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =BB 1=2，E,F 分别为棱AB,A 1D 1的中点，则下列说法中正确的有（ ）A ．直线CF 与A 1B 为相交直线 B ．异面直线DB 1与CE 所成角为90°C ．若P 是棱C 1D 1上一点，且D 1P =1，则E 、C 、P 、F 四点共面 D ．平面CEF 截该长方体所得的截面可能为六边形三、填空题12．已知圆台下底面的半径为4cm ，高为4cm ，母线长为2√5cm ，则圆台的体积为 cm 3． 13．计算：tan12°−√3(4cos 212°−2)sin12°= .14．设a ,b ⃑ ,c 都是单位向量，且a ⋅b ⃑ =0，则(c −a )⋅(c −b⃑ )的最小值为 ．四、解答题15．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知a (sinB +cosB )=c ． (1)求A ；(2)若c =√2，a =√5，求△ABC 的面积．16．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若P 为棱BB 1的中点，(1)判断平面D 1PC 与平面ABCD 是否相交．如果相交，在图1作出这两个平面的交线，并说明理由；(2)如图2，求证：DB 1//平面PAC ．17．已知向量a ⃑=(√3sinx,cosx)，b ⃑⃑=(cosx,cosx )，函数f(x)=2a ⃑⋅b ⃑⃑−1． （1）求函数f(x)的最小正周期及最小值； （2）若f (x2)=14，求sin (2x −π6)的值．18．已知△OAB 的两个顶点分别为原点O 和A (4,3)，且∠AOB =90°，OB =OA ． (1)求点B 的坐标；(2)若点B 落在第二象限，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)，点P 是直线OM 上的一个动点，当PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 取最小值时，求OP⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，并求cos∠APB 的值． 19．在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD =90°），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC =120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD =60°，路宽AD =12m ．设灯柱高AB =ℎ(m )，∠ACB =θ(30°≤θ≤45°)．(1)当θ=30°时，求四边形ABCD 的面积；(2)求灯柱的高ℎ（用θ表示）；(3)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．。

江苏高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合，则 .2.函数的定义域为 .3.函数恒过定点 .4.函数是定义在上的奇函数，当时，，则．5.已知幂函数(为常数)的图象经过点，则．6.已知，则这三个数从小到大排列为 .7.已知函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 .8.已知函数若，则实数．9.设集合，要使，则实数的取值范围是．10.函数的值域是．11.若关于的方程的两实根满足，则实数的取值范围是．12.已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调减函数，则不等式的解集是．13.函数在区间上的最大值为4，则实数的值为 .14.定义，若，且直线与的图象有3个交点，横坐标分别为，则的最大值为 .二、解答题1.（本小题满分14分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）.2.（本题满分14分）已知全集，集合，.（Ⅰ）若，求,；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.3.(本小题满分14分)已知函数.（Ⅰ）试判断函数的单调性并加以证明；（Ⅱ）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.4.（本小题满分16分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（千台），其总成本为（万元），其中固定成本为万元，并且每生产1千台的生产成本为万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（Ⅰ）写出利润函数的解析式（利润=销售收入总成本）；（Ⅱ）工厂生产多少千台产品时，可使盈利最多？5.（本小题满分16分）已知函数是定义在上的奇函数．当时，，且图象过点与点.（Ⅰ）求实数的值，并求函数的解析式；（Ⅱ）若关于的方程有两个不同的实数解，请写出实数的取值范围；（Ⅲ）解关于的不等式，写出解集.6.（本小题满分16分）已知函数（a为常数）.（Ⅰ）若，写出的单调增区间；（Ⅱ）若，设在区间上的最小值为，求的表达式；（Ⅲ）设，若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围.江苏高一高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知集合，则 .【答案】【解析】集合包含1,2,3这三个元素，集合包含2,4这两个元素，包含属于或属于的元素组成的集合，所以.【考点】集合的运算.2.函数的定义域为 .【答案】【解析】要是函数有意义应满足所以【考点】函数的定义域.3.函数恒过定点 .【答案】（1,1）【解析】因为函数，恒过定点（1，0），把函数向上平移一个单位可以得到函数的图像，故顶点也向上平移一个单位，所以函数恒过定点（1,1）.【考点】对数函数.4.函数是定义在上的奇函数，当时，，则．【答案】-3【解析】由已知，由题意函数为奇函数，有，所以【考点】奇函数.5.已知幂函数(为常数)的图象经过点，则．【答案】【解析】设幂函数的解析式为，根据题意得所以幂函数的解析式为.【考点】待定系数法求幂函数.6.已知，则这三个数从小到大排列为 .【答案】【解析】,故这三个数从小到大排列为.【考点】指数函数和对数函数的运算性质.7.已知函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】函数在区间上是单调减函数,应满足函数的对称轴在的右侧，即，解得.【考点】函数的单调性.8.已知函数若，则实数．【答案】【解析】若当时，有解得当时，有解得.【考点】分段函数求值.9.设集合，要使，则实数的取值范围是．【答案】【解析】如图所示，要使，应在1的右侧或1的位置上，所以.【考点】集合的运算.10.函数的值域是．【答案】【解析】设则函数可变形为，因为，函数的对称轴为，所以故函数的值域为.【考点】换元法，求函数的值域.11.若关于的方程的两实根满足，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知，可得，应满足且解得【考点】不等式的解集.12.已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调减函数，则不等式的解集是．【答案】【解析】由已知在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数，当，则，有当，则，有不等式的解集是.【考点】函数的单调性.13.函数在区间上的最大值为4，则实数的值为 .【答案】【解析】函数的对称轴为，当时，，则，当时，，则，综上的值为.【考点】函数的最值.14.定义，若，且直线与的图象有3个交点，横坐标分别为，则的最大值为 .【答案】1【解析】作出函数的图象如下图所示：由，解得，由图像可得，当直线与的图象有3个交点时，有，不妨设，则=当且仅当时，等号成立，所以的最大值为1.【考点】分段函数的应用.二、解答题1.（本小题满分14分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）对的运用；（Ⅱ）时，对，的运用.试题解析：（Ⅰ）原式= =[= 7分（Ⅱ）原式== 14分【考点】指数、对数的运算性质.2.（本题满分14分）已知全集，集合，.（Ⅰ）若，求,；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先确定当时的集合，再根据集合的并集、交集、补集求出即可；（Ⅱ）由，即集合包含于，可在数轴上表示出集合，确定出即可得出.试题解析：（Ⅰ），3分5分8分（Ⅱ） 12分14分【考点】1、集合的运算；2、集合的关系.3.(本小题满分14分)已知函数.（Ⅰ）试判断函数的单调性并加以证明；（Ⅱ）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）函数是R上的增函数；（Ⅱ）当【解析】（Ⅰ）根据函数单调性的定义，在定义域范围内，任给，若有则函数是增函数，若有，则函数是减函数，用作差法求，可证出（Ⅱ）求出函数，在R上的值域，若不等式恒成立，只需试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为R，函数在R上是增函数 1分设是R内任意两个值，且则6分，又由即是R上的增函数。

word【答案】B・ 1-/24某某省某某市海安高级中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题〔含解析］参考公式：nn工（曲-可（升-亍）工栅-“巧⑴ 回归方程：y=bx +a ,其中—----------- = --------------- ,a=y-bx £（為-无）2 £才-“（可21=11=1⑵ 球的半径为R.球的外表积S 球=4赧,体积为金=扌肿一、选择题：此题共10小題，每一小题4分，共40分•在每一小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求・1.某校的足球，乐器演奏，航模爰好三个兴趣小组的人数分别为200 , 150,100 ,假如用分层抽样方法抽取n 名学生参加某项活动，从航模小组中抽取了 2名学生，如此n 的值为［）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求出n 的值.「 2 100［详解】由分层抽样的定义得“c 解得n 二9.// 200 + 130 + 100【点睛】此题考查分层抽样的定义和方法，属于根底题.△磁中，角A.B, U 的对边分别为a.b. C f mn2cosAco S C + cosB=0 ,如此⑷G 的形 状为〔〕A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形word5 ，【解析】【分析】 根据两角差的余弦公式可得cos(4 —C) = 0 ,从而得到A ＞彳，即可得到答案； 【详解】••• 2cos A - cos C = -cos B = cos(A + C) = cos A - cos C- sin A • sm Ccos A • cos C + sin 4 ・ sin C = cos(A -C) = 0・•・"尤的形状为钝角三角形. 应当选：B.【点睛】此题考查三角形形状的判断、三角恒等变换,考查逻辑推理能力、运算求解能力.3x-4y-l = 0和处-2y + 5 = 0之间的距离是〔〕11 C.—5【答案】C 【解析】 【分析】3此题首先可根据两直线平行求岀/// =-,得岀直线方程为3x-4y+10 = 0 ,然后根据两平行 直线间的距离公式即可得出结果.【详解】因为直线3x-4y-l = 0和皿-2y + 5 = 0平行, 所以3x -2 = -4 xm ,解得〃u*3如此直线方程为-x-2y + 5 = 0 f gp3x-4y + 10 = 0 ,」-1-10|11如线3x-4y-1 = 0与3x-4y + 10 = 0之间的距离心厂=应当选：C.11 78 B.—word【点睛】此题考查根据两直线平行求参数以与两平行直线间的距离公式，假如两平行直线方 程为A.v +By + C = 0、Av + ^v + D = 0 ,如此两平行直线间的足瞞公式为d = •,J A 2 + B 2考查计算能力，表现了根底性，是简单题.4.—组数据90,92,99,97,96 , x 的众数是92 r 如此这组数据的中位数是〔【答案】A 【解析］【分析］ 由于众数为92 ,从而可得x =92 ,然后排列后可求出中位数. 【详解】解：因为数据90,92,99,97,96 , x 众数是92 ,所以这组数据从小到大排列后为:90 f 92 f 92,96,97 r 99 r应当选：Amy+ l + m=0在两坐标轴上的截距相等,如此实数m=( 〕【答案】C 【解析】 【分析】根据荻意，可分直线过原点和不讨原点，两种情况讨论，即可求解.A. 94B. 95C. 96D. 97所以中位数为 92 十96 =94【点睛］此题考查的众数和中位数,属于根底题.A. 1B. -1C. ±1D.l 或 0word【详解】由题意，直线x + 〃A + l +〃心0在两坐标轴上的截距相等，当直线x + 〃》+ l +加=0过原点时，此时在坐标轴上的截3巨都为零，如此1 +加=0 ,解得加=-1 ;当直线x + my +1 +加=0不过原点时，要使得在坐标轴上的截距相等，此时直线的斜率为一1 , BD-- = -l ,解得〃心1 , m综上可得，实数〃心±1.应当选：C.【点睛】此题主要考查了直线方程，以与直线的截距的概念与应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距的概念,列出相应的方程是解答的关健，看重考查运算与求解能力.6.将60个个体按照01,02,03，…，60进展编号，然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数〔下表为随机数表的第8行和第9行〕，63 01 63 78 5916 95 55 671998 105071 7512 86 73 580744 39 52 38 7933 21 12 34 2978 64 56 078252 42 07 44 381551 00 134299 66 02 79 54如此抽取的第11个个体是〔)A. 38B. 13C. 42D. 02【答案】D【解析】【分析】根据随机数表法，判断岀所抽取的个体.【详解】随机数表第9行第9列为2 ,抽取的个体分别为29 , 56,07 , 52,42,44,38 ,15,51,13,02,第□个个体为02.应当选：D【点睛】本小题主要考查随机数表法进展抽样，属于根底题.7.—个箱子中装有4个白球和2个黑球，假如一次摸出两个球，如此摸到两球颜色一样的概率是〔〕1 AI【答案】B 【解析】【分析】 利用组合数计算得到根本事件总数和颜色一样的根本事件个数,由古典概型概率公式计算可 得结果.【详解】一个盒子里装有4个白球，2个黑球，一次摸出两个球, 根本事件总数〃 = C ：=15取到的球颜色一样包含的根本事件个数/w = C ； + C ； = 7 , •••取到的球颜色一样的概率p=-=-n 15应当选：B.【点睛】此题考查古典概型概率问题的求解，涉与到组合数的应用,属于根底题.8.正方体的全面积为1 ,它的顶点都在球面上，如此这个球的夕淒积是〔)【答案】B 【解析】 【分析】首先求得外接球半径，然后求解其外表积即可.【详解】由题意可知，正方体的体对角线为外接球的直径， 设正方体的棱长为x ,由题意可得:6x 2= 1 ,如此,O设外接球半径为R ,由题意可知:F + X + F=(2町，如此/?:=|r ,11这个球的夕淒积为：s = 4叔=3处’=竽=手 应当选：B.【点睛】此题主要考查球的外表积公式,正方体外接球半径的求解等知识，意在考查学生的 转化能力和计算求解能力,属于根底题.9•-个班数学成绩频率分布表［样本容量为60］不小2员坏了一局部，只记得样本中数据在［110J50］上的频率为0.8，如此估计样本在［130,140). ［140,150］内的设样本在［130,140) x ［140J50］内的数据个数分别为，由样本中数据在［110.150］ ±的 频率为0.8 ,求得样本中数据在［110.150］ ±的数据个数，即可求得答案. 【详解】设样木在［130.140)、［140.150］内的数个数分别为心A. 28【答案】B 【解析】B. 30C. 32D. 34・.•数据在［110,150］上的频率为0.860x0.8 = 8 + 10 + /” + 〃解得:m + /? = 30・•・如此样本在［130,140）、［140,150］内的 应当选：B.【点睛】本小题主要考查样本、频数与频率之间的关系，考查分析和解决问题的能力，属于 根底题. "%中，角力，B. U 的对边分别为^b,c,A = 2B ，角C 的平分线交对边于Q,且 G 将三角形的面积分成3: 4两局部，如此cos 8=〔）.11 2 3 A. —B. —C. — D•— 3 2 3 4【答案】C 【解析】 【分析】根据面积关系和角平分线，可得出关系，结合A = 2 B 和正弦定理，即可求出结论. 【详解】••• A=25.・.a>b , CD 将三角形的面积分成3 :4两局部，« CD sin ZBCD &.3 ZCD = 2 _____________________ = _Sg 丄 cA ・ CD sin ZA CD '2又••• CD 是角C 的角平分线，个数共有：30.•MCDj BCD,雋气=sin A 4 sin B 3sin2BsinB应当选：C.【点睛】此题考查面积公式、正弦定理以与三角恒等变换解三角形,注意角平分线的合理应用，考查计算求解能力,属于根底题.二多项选择题：此题共3小题,每一小题4分，共12分•在每一小题给岀的四个选项中, 有多项符合題目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分・^ABC的三边长分别是AC = 3 , BC = 4 , = 5 .如此如下说法正确的答案是〔〕A.以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15兀B.以力〃所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，祈得旋转体的体积为警C.以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的全面积为25兀D.以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16兀【答案】ABD【解析】【分析】以眈所在直线为轴旋转时，所得旋转体是圆锥，求出其侧面积；以仙所在直线为旋转轴，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体，求岀具体积；以力C所在直线为轴旋转时，所得旋转体是圆锥，求出其侧面积和体积，从而可得答案.［详解】以BC所在直线为轴旋转时,所得旋转体是底面半径为3 ,母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为兀X3X5=15/T•故A正确；3x4以A〃所在直线为旋转轴,所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体,其半径为—— .故所得旋转体的体积：v = |;rx[y] X5二警，故B正确；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4 ,母线长为5 ,高为3的圆锥，侧面积为/rx4x5 = 20;r ,体积为gx;rx4：x3 = 16/r ,故Cfgi吴，D正确.应当选:ABD.【点睛】此题考查了旋转体的概念，考查了圆锥的侧面积和体积公式，属于根底题."必■中，内角H U的对边分别为d, b. c.如下条彳牛:①b二3,c = 4,3 = 30 ;②ci = 5、b = &A = 30 ; (3)c = 2,/? = >/3.B = 60°；④c = 12,b =12,C = 120° •其中满足上述条件的三角形有两解的是〔〕A.①B.②C.③D.④【答案】AB【解析】【分析】①先求出顶点Z到亦的距离，再与6 e两边比拟大小可得结论;②先求出顶点0到力3的距离，再与兀力两边比拟大小可得结论；③由正弦定理直接求解即可判断，④由c = b ,可得,从而可判断.【详解】解：对于①，由b = 39C = 49B = 30°，得csm^ = 4xsin30° = 2 ,所以csuiB<b<c ,所以三角形有两个解；对于②,由a = 5,b = 8,A = 30 得,£>sinA = 8xsin30° = 4 ,所以bsmA<a<b ,所以三角形有两个解;对于③，由。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知全集U=R，A={x|x＞1}，B={x|x2＞1}，那么（∁U A）∩B等于（）A. {x|-1＜x≤1}B. {x|-1＜x＜1}C. {x|x＜-1}D. {x|x≤-1}2.直线的倾斜角为（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°3.已知非零向量的夹角为，且，则=（）A. 1B. 2C.D.4.已知函数f（x）=，若f（4）=2f（a），则实数a的值为（）A. -1或2B. 2C. -1D. -25.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=，A=60°，则角B=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°6.如图，为测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）分别为AB=5BC=8，CD=3，DA=5，若A，B，C，D四点共圆，则AC的长为（）A. 5 kmB. 6 kmC. 7 kmD. 8 km7.关于直线a，b，l以及平面α，β，下面命题中正确的是（）A. 若a∥α，b∥β，则a∥bB. 若a∥α，b⊥a，则b⊥αC. 若a⊥α，a∥β，则α⊥βD. 若a⊂α，b⊂β，且l⊥a，l∥b，则l⊥α8.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示．若横坐标分别为-1、1、5的三点M，N，P都在函数f（x）的图象上，则sin∠MNP的值为（）A. B. C. D.9.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A. 点P到平面QEF的距离B. 直线PQ与平面PEF所成的角C. 三棱锥P-QEF的体积D. △QEF的面积10.如图所示，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，令PD=x，∠BPC=θ，则（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.若tan（α+2β）=2，tanβ=-3，则tan（α+β）=______．12.正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于______cm3．13.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5tan B=，则sin B的值是______．14.已知f（x）=是（-∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是______．15.已知坐标原点为O，过点P（2，6）作直线2mx-（4m+n）y+2n=0（m，n不同时为零）的垂线，垂足为M，则|OM|的取值范围是______．16.在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=kAC（k为常数，且0＜k＜1），BD=l为定长，则△ABC的面积最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且a2+c2=b2+ac．（1）若cos A=，求sin C的值；（2）若b=，a=3c，求三角形ABC的面积．18.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（Ⅰ）求证：BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）求证：B1C⊥AC1；（Ⅲ）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由．19.已知直线l1：2x+y+1=0，l2：ax+2y+8+a=0，且l1∥l2．（1）求直线l1与l2的距离；（2）已知圆C与直线l2相切于点A，且点A的横坐标为-2，若圆心C在直线l1上，求圆C的标准方程．20.已知函数f（x）=4x+a•2x，x∈[-1，2]．（1）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；（2）若f（x）的最小值为-1，求a的值．21.如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°．（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的张角分别为∠APB=α，∠DPC=β，问点P在何处时，α+β最小？22.在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x-2）2+（y-1）2=1交于点C，D．（1）若AB=，求CD的长；（2）若直线AB斜率为2，求ABM的面积；（3）若CD的中点为E，求ABE面积的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|x＜-1，或x＞1}，∁U A={x|x≤1}；∴（∁U A）∩B={x|x＜-1}．故选：C．可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.【答案】C【解析】解：因为直线的斜率为-，所以设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tanθ=-，所以θ=120°．故选：C．直线的斜率为-，所以倾斜角为120度．本题考查了直线的倾斜角与斜率，属基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题．运用向量垂直的充要条件和数量积的定义可解决．【解答】解：根据题意得，，∴2•=2，∵的夹角为，∴2×××=2，∴=1.故选：A．4.【答案】A【解析】解：函数f（x）=，则f（4）=2，当a＞0时，f（4）=2f（a）=2，解得a=2．当a≤0时，f（4）=2f（a），2a2=2，解得a=-1，综上a=-1或2．故选：A．利用分段函数对a是否大于0，列出方程求解即可．本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．5.【答案】B【解析】解：将已知代入正弦定理可得：sin B===，∵a=＞b=，由三角形中大边对大角可得：B＜60°，∴可解得：B=45°．故选：B．将已知代入正弦定理可得：sin B=，根据a=＞b=，由三角形中大边对大角可得：B＜60°，即可求得B=45°．本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角的应用，属于基本知识的考查．6.【答案】C【解析】解：四边形ABCD各边的长度（单位：km）分别为AB=5BC=8，CD=3，DA=5，所以：，在△ADC和△ABC中，利用余弦定理：AC2=AD2+CD2-2•AD•CD•cos D，整理得：AC2=25+9-2•5•3•cos D①，AC2=AB2+CB2-2•AB•CB•cos B，整理得：②，若A，B，C，D四点共圆，所以：cos B=-cos D，由①②得：，解得：AC=7故选：C．首先利用余弦定理的应用，建立等量关系式，进一步利用四边形的内接圆定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，四边形内接圆的定理的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】C【解析】解：由直线a，b，l以及平面α，β，知：在A中，若a∥α，b∥β，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a∥α，b⊥a，则b与α相交、平行或b⊂α，故B错误；在C中，若a⊥α，a∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若a⊂α，b⊂β，且l⊥a，l∥b，则l与α相交、平行或l⊂α，故D错误．故选：C．在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，b与α相交、平行或b⊂α；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，l与α相交、平行或l⊂α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8.【答案】D【解析】解：由图象可知，A=1，周期T=8，∴ω=，f（x）=sin（φ），∵f（1）=sin（+φ）=1，且，∴φ=，f（x）=sin（），∴M（-1，0），N（1，1），P（5，-1），=（-2，-1），=（4，-2），cos∠MNP===，∴sin∠MNP=故选：D．由图象最值求解A，由周期T可求ω，由f（1）=1，且，可求φ，进而可求f （x），然后求出M，N，P，利用向量的夹角公式求出cos∠MNP=，再求解sin∠MNP．本题主要考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，及利用向量数量积的性质求解向量的夹角，属于知识的简单综合．9.【答案】B【解析】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P-QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．A．由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF 即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．由于点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P-QEF的体积为定值；B．用排除法即可得出．本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．10.【答案】A【解析】解：∵PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，∴可求得：AC=，AB=，PA=，PC=，BP=，∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ==，∴tan2θ=-1=-1=，∴tanθ=．故选：A．由PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，利用x表示PA，PB，PC，由余弦定理得到关于x的解析式，进一步利用x表示tanθ．本题考查直线与平面垂直的性质，余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．11.【答案】-1【解析】【分析】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，是基本知识的考查．直接利用两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解：tan（α+2β）=2，tanβ=-3，则tan（α+β）=tan（α+2β-β）===-1．故答案为：-1．12.【答案】π【解析】解：由题意知，弧长为×8=2π，即围成圆锥形容器底面周长为2π，所以圆锥底面半径为r=1，可得圆锥高h=3，所以容积V=πr2×h=π×1×3=πcm3；故答案为：π根据已知分别求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知分析出圆锥的底面半径和高是解答的关键．13.【答案】【解析】解：∵cos B=，∴==∴5sin B=3∴sin B=故答案为利用余弦定理可得 cos B=，代入已知，化简后即可得结果本题考查了余弦定理的应用，解题时要认真观察，发现已知条件和余弦定理的关系，整体代入解决问题14.【答案】【解析】解：根据题意，f（x）=是（-∞，+∞）上的增函数，必有，解可得≤a＜7，即a的取值范围为：故答案为：根据题意，由分段函数的单调性分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的单调性，注意分段函数分段分析．15.【答案】[5-，5]【解析】解：根据题意，直线2mx-（4m+n）y+2n=0，即m（2x-4y）-n（y-2）=0，则有，解可得，则直线l恒过点（4，2），设Q（4，2），又由MP与直线垂直，且M为垂足，则点M的轨迹是以PQ为直径的圆，其方程为（x-3）2+（y-4）2=5，则有5-≤|OM|≤5；即|OM|的取值范围是[5-，5]；故答案为：[5-，5]．根据题意，将直线变形为m（2x-4y）-n（y-2）=0，分析可得该直线恒过点（4，2），设Q（4，2），进而分析可得点M的轨迹是以PQ为直径的圆，其方程为（x-3）2+（y-4）2=5，据此分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及关于圆的轨迹问题，属于基础题．16.【答案】【解析】解：如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设A（x，y），y＞0，∵AB=AC，∴AD=kAC=kAB，即AD2=k2AB2，∴（x-l）2+y2=k2（x2+y2），整理得：y2==≤，∴y max=，∵BD=l，∴（S△ABD）max=，则（S△ABC）max=（S△ABD）max=．故答案为：如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设A（x，y），y＞0，根据题意得到AD=kAB，两边平方得到关系式，利用勾股定理化简后表示出y2，变形后利用二次函数的性质求出y的最大值，进而确定出三角形ABD面积的最大值，根据AD=kAC 即可得出三角形ABC面积的最大值．此题考查了二次函数的性质，坐标与图形性质，弄清题意是解本题的关键．17.【答案】解：∵a2+c2=b2+ac，由余弦定理，cos B==．又B为三角形内角，则B=．（1）∵cos A=，且A为三角形内角，则sin A=，故sin C=sin（B+A）=sin（+A）=cos A+sin A=．（2）由a=3c，b=，由余弦定理知：b2=a2+c2-2ac cos B，则7=9c2+c2-3c2，解得c=1，则a=3．故得三角形ABC的面积S=ac sin B=．【解析】（1）根据a2+c2=b2+ac．由余弦定理求出cos B，cos A=，在求解sin A，sin B，根据sin C=sin（B+A）打开即可求解．（2）由a2+c2=b2+ac．b=，a=3c，根据余弦定理求解a，c的值，即可求出三角形ABC 的面积．本题考查了余弦定理的运用和三角形ABC的面积的计算．属于基础题．18.【答案】证明：（Ⅰ）在菱形BB1C1C中，BC∥B1C1，因为BC⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，所以BC∥平面AB1C1；…（3分）（Ⅱ）连接BC1，在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1，因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1，AB⊂平面ABB1A1，所以AB⊥平面BB1C1C；…（5分）又因为B1C⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1C；…（6分）在菱形BB1C1C中，BC1⊥B1C；因为BC1⊂平面ABC1，AB⊂平面ABC1，且BC1∩AB=B，所以B1C⊥平面ABC1；…（8分）因为AC1⊂平面ABC1，所以B1C⊥AC1；…（10分）（Ⅲ）E，F，H，G四点不共面，理由如下；…（11分）因为E，G分别是B1C，B1C1的中点，所以GE∥CC1，同理可证：GH∥C1A1；因为GE⊂平面EHG，GH⊂平面EHG，GE∩GH=G，CC1⊂平面AA1C1C，A1C1⊂平面AA1C1C，所以平面EHG∥平面AA1C1C；又因为F∈平面AA1C1C，所以F∉平面EHG，即E，F，H，G四点不共面．…（14分）【解析】（Ⅰ）由BC∥B1C1，证明BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）先证明AB⊥平面BB1C1C，得AB⊥B1C，再证明B1C⊥平面ABC1，得出B1C⊥AC1；（Ⅲ）E，F，H，G四点不共面，通过证明点F∉平面EHG，即F∈平面AA1C1C，且平面AA1C1C∥平面EFH即可．本题考查了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题，也考查了判断空间中的四点是否共面问题，是综合性题目．19.【答案】解：（1）∵l1∥l2，∴=，解得a=4，∴l1：2x+y+1=0，l2：2x+y+6=0，故直线l1与l2的距离d===．（2）当x=-2代入2x+y+6=0，得y=-2，所以切点A的坐标为（-2，-2），从而直线AC的方程为y+2=（x+2），得x -2y-2=0，联立2x+y+1=0得C（0，-1）．由（1）知⊙C的半径为，所以所求圆的标准方程为：x2+（y+1）2=5．【解析】（1）先由两直线平行解得a=4，再由平行直线间的距离公式可求得；（2）代x=-2得A（-2，-2），可得AC的方程，与l1联立得C（0，-1），再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．20.【答案】解：（1）因为f（x）≤0恒成立，所以4x+a•2x≤0，x∈[-1，2]，化得a≤-2x，所以，所以a≤-4，即a的取值范围为（-∞，-4]．（6分）（2）令t=2x，则，f（x）=t2+at开口向上，对称轴为直线，①当，即a＞-1时，，则，不满足条件；②当，即-8≤a≤-1时，，则a=-2；③当，即a＜-8时，f（x）min=f（4）=16+4a=-1，则a=-，不满足条件．综上所述，a的值为-2．（12分）【解析】（1）通过f（x）≤0恒成立，得到4x+a•2x≤0，x∈[-1，2]，利用核对最值转化求解即可．（2）令t=2x，则，f（x）=t2+at开口向上，对称轴为直线，通过a的范围转化求解函数的最值推出结果．本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．21.【答案】解：（1）如图作AN⊥CD于N．∵AB∥CD，AB=9，CD=15，∴DN=6，NC=9．设AN=x，∠DAN=θ，∵∠CAD=45°，∴∠CAN=45°-θ．在Rt△ANC和Rt△AND中，∵tanθ=，tan（45°-θ）=∴=tan（45°-θ）=∴=，化简整理得x2-15x-54=0，解得x1=18，x2=-3（舍去）．BC的长度是18 m．（2）设BP=t，所以PC=18-t，tanα=，tanβ=，所以tan（α+β）===-=-≥当且仅当t+27=，即t=时，α+β最小．P在距离B时，α+β最小．【解析】（1）作AN⊥CD于N，问题转化为求△ACD边CD上的高．设AN=x，只要建立起关于x的方程，则问题可解．（2）利用（1）设出BP为t，直接求出α、β的正切值，然后求出∠ADB的正切值，利用基本不等式求解表达式的最小值，推出BP是值即可．考查了解三角形的实际应用．解这类题的关键是建立数学模型，设出恰当的角．考查两角和与差的三角函数，考查计算能力．22.【答案】解：（1）由题可知，直线AB斜率显然存在，设其斜率为k，则直线AB的方程为y=kx+1．因为O点到直线AB的距离d1=，则+=4，变形可得AB=2，又由AB=，则2=，解可得k2=15．因为直线AB与直线CD互相垂直，则直线CD：y=x+1，则M点到直线CD的距离d2=，又由=1-，则CD=2=2=．（2）根据题意，若直线AB斜率为2，则直线AB方程为2x-y+1=0，则O到直线AB距离d1==，则，M到直线AB距离d==，故；（3）当直线AB的斜率不存在时，ABE的面积S=×4×2=4；当直线AB的斜率存在时，设为k，则直线AB：y=kx+1（k≠0），直线CD：y=-x+1．由＜1得k2＞3，所以k∈（-∞，-）∪（，+∞）．因为+=4，所以AB=2．因为E点到直线AB的距离即M点到直线AB的距离d==，所以ABE的面积S=AB•d=2．令t=k2+1＞4，则S=，又由t＞4，则0＜＜，故S∈．综上，ABE面积的取值范围是．【解析】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题．（1）根据题意，设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程，由AB的值结合直线与圆的位置关系分析可得k2=15，因为直线AB与直线CD互相垂直，分析可得直线CD的方程，据此分析可得答案；（2）根据题意，求出直线AB的方程，结合直线与圆相交的性质求出AB的长，进而求出M到AB的距离．由三角形面公式计算可得答案；（3）根据题意，分直线AB的斜率存在与不存在2种情况讨论，求出ABE面积，综合2种情况即可得答案．。

2019级创新实验班期中考试数学试卷一.选择题(每题5分)1.若集合M={x|x≤6}，a=2，则下面结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据元素与集合的关系，以及集合之间的包含关系，即可求解，得到答案．【详解】根据实数的性质，可得，所以，则，所以B、D不正确；又根据集合的包含关系可得，即，故选A．【点睛】本题主要考查了元素与集合，集合与集合的关系的判定，其中解答中熟记元素与集合的关系，以及集合间的包含关系的概念与判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．2.已知函数g（x）=，函数f（x）=|x|·g（x），则f（-2）=（）A. 1B.C. 2D.【答案】D【解析】【分析】直接代入x=－2，求出f（－2）的值.【详解】解：因为函数g（x）=，函数f（x）=|x|•g（x），所以f（－2）=|－2|•g（－2）=2×（－1）=－2．故选：D．【点睛】本题考查了分段函数的取值，属于基础题.3.函数f（x）=的定义域为（）A. B.C. 或D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解函数的定义域，得到答案．【详解】由题意，函数，则满足，解得，即函数的定义域，故选B．【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4.下列函数中哪个与函数是同一个函数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数相等的条件，判断函数的三要素，其中有一个不同即可排除，逐一检验即可.【详解】函数的定义域和值域均为函数的定义域为，定义域不同（也可以通过值域判断），排除A；函数与函数相等；函数的定义域，定义域不同（也可以通过值域判断），排除C；的值域为，值域不同（也可以通过解析式判断），排除D；故选B【点睛】本题考查函数是否相等的判断方法，从函数的三要素入手，其中有一个不相同则两个函数不相等，特别要注意函数的定义域为未经过化简的函数解析式有意义的自变量的取值范围.5.若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域和值域，以及函数的图象之间的关系，分别进行判定，即可求解，得到答案．【详解】由题意，对于A中，当时，函数有意义，不满足函数的定义域为，所以不正确；对于B中，函数的定义域和值域都满足条件，所以是正确的；对于C中，当时，函数有意义，不满足函数的定义域为，所以不正确；对于D中，当时，函数有意义，不满足函数的定义域为，所以不正确；【点睛】本题主要考查了函数的定义域、值域，以及函数的表示方法，其中解答中熟记函数的定义域、值域，以及函数的表示方法，逐项进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.若f（x）=4x2-kx-8在[5，8]上为单调递减函数，则k的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】结合二次函数的开口和对称轴很容易判断函数单调性，再由函数在[5，8]上为单调递减得出不等关系解出答案.【详解】解：二次函数f（x）=4x2－kx－8开口向上，对称轴x=,因为函数f（x）=在[5，8]上为单调递减函数所以对称轴x=，解得k≥64．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，属于基础题.7.若函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）．A. 且B. 且C. 且D. 且【解析】，经过二、三、四象限，则其图像应如图所示：所以，，即，故选B.8.若定义在上的函数满足：对任意，有（为非零常数），则下列说法一定正确的是（）A.为偶函数 B. 为奇函数C.偶函数 D. 为奇函数【答案】D【解析】【分析】本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+a进行赋值研究，先令x1＝x2＝0，得f（0），再令x1＝x，x2＝﹣x，即可得解.【详解】∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+a，∴令x1＝x2＝0，得f（0）＝﹣a∴令x1＝x，x2＝﹣x，得f（0）＝f（x）+f（﹣x）+a，∴f（x）+a＝﹣f（﹣x）﹣a＝﹣[f（﹣x）+a]，∴f（x）+a为奇函数．故选：D．【点睛】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．9. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y="[x](" [x]表示不大于x的最大整数)可以A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据规定每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时增加一名代表，即余数分别为时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加，因此利用取整函数可表示为，也可以用特殊取值法，若，排除C，D，若，排除A，故选B．考点：函数的解析式及常用方法．【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式问题，其中解答中涉及到取整函数的概念，函数解析式的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中主要是读懂题意，在根据数学知识即可得到答案，对于选择题要选择最恰当的方法，试题有一定的难度，属于中档试题．10.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数为奇函数，得到，又由函数为偶函数，得出，进而得到函数是周期为4的周期函数，即可求解．【详解】由函数为奇函数，则函数关于点对称，则，又由函数为偶函数，则，则有，变形可得，则函数是周期为4的周期函数，所以，故选B．【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性、周期性和对称性的判定与应用，熟练应用函数的基本性质作答是解得的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二.填空题(每题5分)11.设集合A={0，1，2}，B={2，3}，则A∪B=_______．【答案】{0，1，2，3}【解析】【分析】由集合A、B可直接写出A∪B.【详解】解：设集合A={0，1，2}，B={2，3}，则A∪B={0，1，2，3}故答案为：{0，1，2，3}．【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.12.________．【答案】.【解析】【分析】根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算，其中解答中熟记实数指数幂的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．13.已知函数是奇函数，且，若，则______.【答案】-1【解析】【分析】根据是奇函数，求出f（﹣1）的值，然后根据条件关系即可求出g（﹣1）．【详解】∵是奇函数，∴设y＝F（x）＝，∵F（1）＝f（1）+1+1＝1+1+1＝3，∴F （﹣1）＝f （﹣1）+1-1＝﹣F （1）＝﹣3， ∴f （﹣1）＝﹣3， 则∵g （x ）＝f （x ）+2，∴g （﹣1）＝f （﹣1）+2＝﹣3+2＝﹣1， 故答案为：-1．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，属于中档题． 14.已知，则________．【答案】-4. 【解析】 【分析】根据题意，平方求得，进而得到，再根据幂函数的单调性，得到，即可求解． 【详解】由，则，解得，又由因为，根据幂函数的单调性，可得，即， 所以， 故答案为：．【点睛】本题主要考查了幂函数的性质及其应用，其中解答中根据题意，求得，进而得到，再利用幂函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15.若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________． 【答案】【解析】由题意知，函数f(x)＝x 2－|x ＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，故1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，所以a ＝0.16.已知都是质数，且则的值为________．【答案】78. 【解析】【分析】由，得5为的约数，得出其中必有一个是5，再由对称性，不妨设，则，即，分类讨论，求得这三个数字，即可求解．【详解】由题意知都是质数，且，可得5为的约数，而都是质数，所以其中必有一个是5，由对称性可知，不妨设，则，即，根据6的约数分解的情况可得，（1）和各对应着1和6中的某一个，例如，解得，（2）和各对应着2和3中的某一个，例如，解得（舍去），因此这三个数字应用，所以，故答案为．【点睛】本题主要考查了质数的性质，以及归纳推理的应用，其中解答中根据题意得到中必有一个是5，再分类讨论，确定的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．三.解答题(共80分)17.设全集U=R，集合，．（1）当时，求集合；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出集合后可得到；（2）就分类讨论，再根据建立不等式组，解这个不等式组可得要求的范围．【详解】（1）当时，，所以，而，故．（2）当时，，符合；当时，因为，所以，解得且．综上，．【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．注意解中的不等式时可根据包括关系直接得到两个不等根满足的不等式组．18.已知函数f (x) = ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设．（1）求a，b的值；（2）若不等式g（2x）-k•2x ≥ 0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为1，最大值为4，列出方程可得实数a，b的值；（2）若不等式g（2x）-k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，分离变量k，在x∈[1，2]上恒成立，进而得到实数k的取值范围．【详解】(1）∵函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）其图象对称轴为直线x=2，函数的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，∴，解得：a=3，b=12；（2）由（Ⅰ）得：f（x）=3x2-12x+13，g（x）==．若不等式g（2x）-k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，则k≤（）2-2（）+1在x∈[1，2]上恒成立，2x∈[2，4]，∈[，]，当=，即x=1时，（）2-2（）+1取最小值，故k≤．【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，是中档题．19. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知的两条角平分线和相交于H，，F在上，且。

江苏省南通市海安中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题（普通班）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 函数()πsin 23y x =-最小正周期为 ▲ ．2. 已知集合{}2320A x x x =-+>，则A =R ð ▲ ．3. 圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，则原圆锥的高被截面分成的两段之比为 ▲ ． 4．函数y =的定义域为 ▲ ． 5. 关于x 的不等式211(1)0(1)x x a a a-++<>的解集为 ▲ ． 6. 已知，且，，则的值为 ▲ ． 7. 若函数2(e )()e 1x x x m f x +=-（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值为 ▲ ．8. 设{a n }*()n ∈N 是等比数列，有下列四个判断：①{a n 2}*()n ∈N 是等比数列；②{}1n n a a +*()n ∈N 是等比数列；③{}1n n a a ++*()n ∈N 是等比数列；④{}lg n a *()n ∈N 是等差数列.其中正确判断的序号是 ▲ .9. 已知向量,a b满足1,2,a b a b ==+=则向量,a b 的夹角为 ▲ ． 10. 如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为 ．11. 设x ，y ，z 均是不为0的实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z z x+的值是 ▲ ．12. 在△ABC 中，已知BC =2，AB AC ⋅ =1，则△ABC 面积的最大值是 ▲ ．() 0 αβ∈π，，()1tan 2αβ-=1tan 5β=-tanα13. 在斜三角形ABC 中，若114tan tan tan A B C+=,则sin C 的最大值为 ▲ ． 14. 设,,a b c 是三个正实数，且()b a b c ac ++=，则ba c+的最大值为 ▲ .二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解关于x 的不等式2260x ax a --<（a ∈R ）.16. （本题满分14分）已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.17．（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()12n n n S a +=，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有()1122121n n n a b a b a b n +++=-⋅+，求数列n n S b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项．18. （本题满分16分）如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．19. （本题满分16分）已知函数()21f x x mx m =-+-．（1）当[]2,4x ∈时，()1f x -≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）是否存在整数a 、b （其中a 、b 是常数，且a ＜b ），使得关于x 的不等式()a f x b ≤≤的解集为{}x a x b ≤≤？若存在，求出a 、b 的值，若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，31=a ，且)(32*1N ∈-=+n a S n n ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数)(,,k j i k j i <<，已知k i j a a a μλ,6,成等差数列，求正整数μλ,的值； （3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式1121321333n n n n n a b a b a b a b n +--++++=--成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n .【参考答案】一、填空题 1.π2.[1， 2]14.()1 12，5.1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭6.3117.18.①②④9.2π310.15或7511.341514.12二、解答题15. 解： {}0,|23a x a x a >-<<，0,a =∅，{}0,|32a x a x a <<<-.16.解：（1）因为m //n ,所以3sin (sin )02A A A ⋅+-=.所以1cos232022A A --=12cos212A A -=，即 ()πsin 216A -=.因为(0,π)A ∈ , 所以()ππ11π2666A -∈-，. 故ππ2A -=，πA =. （2）由余弦定理，得 224b c bc =+-.又1sin ABC S bc A ∆==， 而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤，（当且仅当b c =时等号成立）所以1sin 42ABC S bc A ∆==.当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形.17. 解：（1）由12n n n S a +=得1122n n n S a +++=，两式做差得11n n an a n++=，所以324123234,,,123a a a a a a === (11)n n a n a n -=-，叠乘可得,n a n n *=∈N . （2）()1122121n n n a b a b a b n +++=-⋅+，当2n ≥时1122a b a b ++…111(2)21n n n a b n ---=-⋅+，两式做差11(1)2(2)22,2n n n n n a b n n n n --=-⋅--⋅=⋅≥，1n =时，111a b =，满足12n n n a b n -=⋅，所以12,n n n a b n n -*=⋅∈N ，又,n a n n *=∈N ，所以12,n n b n -*=∈N ，所以1(1)(1)222n n nn n n S n n b -++==， 而21111(1)(2)(1)20222n n n n n n n S S n n n n n n b b +++++++-++-=-=≥，得2n ≤， 所以3512412345S S S S S b b b b b <=>>， 所以，当2n =或3n =时数列n n S b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭有最大项为32.18. 解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ)．在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)．AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ＝163sin 2(θ＋60°)－1633 sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23． 答：设计∠AMN 为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．解法二：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． 因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝y sin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4．cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4，在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ， 即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y 4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4．所以AP 2≤12，即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． 19. 解：（1）函数()f x 的对称轴为2mx =． ①22m≤，即4m ≤，()f x 在[]2,4上为增函数，()f x 的最小值为3m -， 即31m -≥-，4m ≤；②242m<<，即48m <<，()f x 在[]2,4上的最小值为2(1)4m m --， 即2(1)14m m --≥-，04m ≤≤，∴m 无解． ③42m≥，即8m ≥，()f x 在[]2,4上为减函数，()f x 的最小值为315m -+， 即3151m -+≥-，163m ≤，∴m 无解．综上，4m ≤．（2）假设存在适合题意的整数，则必有min ()a f x ≤（否则，不等式的解集是两个关于对称轴对称的区间的并集），这时的解集为[](),,,f b b a b a b m =⎧⇔⎨+=⎩由()f b b =，得21b mb m b -+-=，即21(1)b b m b --=-，因1b =时此式不成立，故21111b b m b b b --==---，∵,a b Z ∈，∴m a b Z =+∈，故11Z b ∈-，只有11b -=±，当11b -=-时，0,1,1b m a ===，不符合a b <；当11b -=时，min 2,1,1()b m a f x ===-<，符合题意．综上知，存在1,2a b =-=适合题意．20.解：（1）由)(3-2*1N ∈=+n a S n n 得3-221++=n n a S ，两式作差得121-2+++=n n n a a a ， 即)(3*12N ∈=++n a a n n .31=a ，93212=+=S a ，所以)(3*1N ∈=+n a a n n ，0≠n a ，则)(3*1N ∈=+n a a nn ，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以)(3*N ∈=n a n n ；,a b ()a f x b ≤≤（2）由题意i k j a a a 62⋅=+μλ，即ik j 36233⋅⋅=+μλ，所以1233=+--ik i j μλ，其中12j i k i --≥，≥，所以333399j i k i λλμμ--≥≥，≥≥， 123312j i k i λμ--=+≥，所以1,21===-=-μλi k i j ，；（3）由3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 得3)1(33211213211-+-=+++++++-+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)(3212112111-+-=++++++--+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)333(32111-+-=--++++n n b a n n n ，所以)333(33)1(333121----+-=+++n n b n n n ，即3631+=+n b n ，所以)(12*1N ∈+=+n n b n ， 又因为331331111=-⋅-=+b a ，得11=b ，所以)(12*N ∈-=n n b n ， 从而)(2121)12(531*2N ∈=-+=-++++=n n n n n T n ，)(3*2N ∈=n n a T n n n当1=n 时3111=a T ；当2=n 时9422=a T ；当3=n 时3133=a T ；下面证明：对任意正整数3>n 都有31<n n a T ，)122(31)3)1((313131)1(2122121211++-⎪⎭⎫⎝⎛=-+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+++++n n n n n n a T a T n n nn n n n n ，当3n ≥时，0)2()1(12222<-+-=++-n n n n n ，即011<-++nnn n a T a T ，所以当3n ≥时，nn a T 递减，所以对任意正整数3>n 都有3133=<a T a T n n ；综上可得，满足等式13n nT a =的正整数n 的值为1和3.。

2024届江苏省南通市海安市海安高级中学高一数学第二学期期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列{}n a 为等比数列，且263a a π⋅=，则35a a ⋅=（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．43π 2．计算:2sincos12122cos 112πππ=- A．B．3C．3D．3．已知函数sin y x =和cos y x =在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭4．若直线1l ：260ax y ++=与直线2l ：(1)10x a y +--=垂直，则实数a =( ). A ．23B ．1-C ．2D ．1-或25．已知2x >，函数42y x x =+-的最小值是（ ） A ．5B ．4C ．8D ．66．已知α、β为锐角，3cos 5α=，()1tan 3αβ-=-，则tan β=（ ） A ．13B ．3C ．913D ．1397．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．189．若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 03a b c A +B +=，则角（ ）A ．90B ．60C ．45D ．3010．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下： 排队人数12345≥概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.10.04则至少有两人排队的概率为（ ） A ．0.16B ．0.26C ．0.56D ．0.74二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。