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实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设nE ⊂¡是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈¡，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ）A ()\B A A =∅I B ()\A B A =∅IC ()\A B B A =UD ()\B A A B =U2．若nR E ⊂是开集，则（ ）A E E '⊂B 0E E =C E E =DE E '=3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ）A ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰C ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ D ()()lim lim n n EE n n f x dx f x →∞→∞≤⎰⎰三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE =2．设nE ⊂¡是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数）C E '≠∅D *0mE >3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩L L ，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE =3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则lim ()0nE n f x dx →∞=⎰实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，[]()41331000,11|44x x dx R x dx ===⎰⎰ 因此()[]0,114f x dx =⎰.2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明(\)()c A B B A B B =U I U ()()()c c A B A B B A B B B A B ===I U I U I U U U2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]cE F F ==I ，故E 是可测集.由于E F =∅I ，所以1[0,1]()0m m E F mE mF mF ===+=+U ，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则()11[|()()][|()()][|()][|()]n n n n n E x f x g x E x f x r g x E x f x r E x g x r ∞∞==>=≥>=≥<I U U因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =L ，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，[|()|][|()|]|()||()|E x f x a E x f x a Eadx f x dx f x dx ≥≥≤≤⎰⎰⎰而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E 上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。
![实变函数积分理论部分复习试题[附答案解析版]](https://img.taocdn.com/s1/m/7896f486284ac850ad02427c.png)
2011级实变函数积分理论复习题一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例）1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1()()nn f x fx ∞==∑是[0,1]上的Lebesgue可积函数。
（×）2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1()()nn f x fx ∞==∑是[0,1]上的Lebesgue可测函数。
（√）3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞→∞=⎰⎰。
（×）4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{}()k n f x ，使得，[0,1][0,1]lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞→∞<⎰⎰。
（×，比如{}()n f x 为单调递增时，由Levi 定理，这样的子列一定不存在。
） 5、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{}()k n f x ，使得，[0,1][0,1]lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞→∞=⎰⎰。
（×，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。
） 6、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞→∞≤⎰⎰。
（√）7、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞→∞≥⎰⎰。
（×）8、设()f x 是[0,1]上的黎曼可积函数，则()f x 必为[0,1]上的可测函数。
习题1解答（A 组题）一、选择题1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、C ；6、A ；7、A ；8、B ；9、D ；10、C 二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×； 10、× 三、填空题1、＝；2、∅；3、()0,1；4、[]1,1-；5、,EF EF ；6、()2,3-；7、≥；8、c9、设有两个集合A 和B ，若≤A B ，≥A B ，则=A B 。
四、证明题1、（1）()()()()()\\====C C CC A A B A A B AAB A A AB A B ；（2）()()()()()()\\==C C CC A B CD A B CD A C B D()()()()\==CA C BD A C BD 。
2、111\lim \∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C Cn n n n n N n N N n N N n N A B A B A B AB ()111lim(\)∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C C C n n n n n N n N N n N N n N A B A B A B A B 。
同理可证第2个集合等式。
3、当A =∅时，{}∅张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A X =时，{}X张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A 为X 的非空真子集时，{}A 张成的环和σ-环均为{},A ∅；张成的代数和σ-代数均为{},,,cA A X∅。
4、首先，令()()tan 12π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦f x x ，由于()f x 是()0,1上的严格单调递减的连续函数，且()()()0,10,=+∞f，所以()f x 是()0,1到()0,+∞的一一映射。
实变函数试题库及参考答案IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设nE ⊂是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ⊂是开集，则（ ）3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE =2．设nE ⊂是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数）3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限 4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题1. 设()[]230,1\x x E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB 三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系， 因此()[]0,114f x dx =⎰. 2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于EF =∅，所以1[0,1]()0m m EF mE mF mF ===+=+，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E 上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
《实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、下列各式正确的是( )_________ oo oo oo oo(A) limA = u n A ; (B) lim A = n u A ;n—H=1k=n，?一z?=l k=n00 00 00 00(C) limA" = n u ; (D) lim= A k ;打一＞oo z:=l k=n z?=l k=n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A) ~P= c (B) mP = 0 (C) P = P (D) P=P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设以(4是£上的E有限的可测函数列，则下而不成立的是( )(A)若又(x)=>/(x),则又(x) + /(x) (B)sup{/…Cr)}是可测函数(O inf{//%)}是可测函数；(D)若/T H又⑺=>/U)，则/(X)可测5、设f(X)是上有界变差函数，则卜*面不成立的是()(A) /(X)在［6Z，/7］上有界(B) /(X)在［6/，刎上儿乎处处存在导数c b(C) / (X)在上L 可积(D) J a f\x)cbc=f(b)-f(a)二.填空题(3分X 5=15分)1、(C s AuC v5)n(A-(A-B))= ________________2、设£是［0，1］上有理点全体，则E - ______ , E- ________ , E- _______ .3、设£是/?。
中点集，如果对任一点集r都,贝1J称£是£可测的4、/⑶可测的________ 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设/(x)为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_____________________________________ ，则称/(x)为［6Z，/7］上的有界变差函数。
实变函数积分理论部分复习题（附答案版）2022级实变函数积分理论复习题一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例）1、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则f(某)可积函数。
（某）2、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则f(某)可测函数。
（√）3、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则fn1n(某)是[0,1]上的Lebeguefn1n(某)是[0,1]上的Lebegue[0,1]nlimfn(某)d某limn[0,1]fn(某)d某。
（某）4、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在fn(某)的一个子列fnk(某)，使得，[0,1]klimfnk(某)d某limk[0,1]fnk(某)d某。
（某，比如fn(某)为单调递增时，由Levi定理，这样的子列一定不存在。
）5、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在fn(某)的一个子列fnk(某)，使得，[0,1]klimfnk(某)d某limk[0,1]fnk(某)d某。
（某，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。
）6、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1]nlimfn(某)d某limn[0,1]fn(某)d某。
（√）7、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1]nlimfn(某)d某limn[0,1]fn(某)d某。
（某）8、设f(某)是[0,1]上的黎曼可积函数，则f(某)必为[0,1]上的可测函数。
（√，Lebegue积分与正常黎曼积分的关系）9、设f(某)是[0,)的上黎曼反常积分存在，则f(某)必为[0,)上的可测函数。
（√，注意到黎曼反常积分的定义的前提条件，对任意自然数n>0，f(某)在[0,n]上黎曼可积，从而f(某)是[0,n]上的可测函数，进而f(某)是[0,)n1[0,n]上的可测函数）10、设fn(某)是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，G([0,1],fn)表示fn(某)在[0,1]上的下方图形，f(某)=limfn(某)，则G([0,1],fn)单调递增，且nnlimG([0,1],fn)=UG([0,1],fn=1￥n)=G([0,1],f)，mG([0,1],f)=nlimmG([0,1],fn)。
2011级实变函数积分理论复习题一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例）1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1()()nn f x fx ∞==∑是[0,1]上的Lebesgue可积函数。
（×）2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1()()nn f x fx ∞==∑是[0,1]上的Lebesgue可测函数。
（√）3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞→∞=⎰⎰。
（×）4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{}()k n f x ，使得，[0,1][0,1]lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞→∞<⎰⎰。
（×，比如{}()n f x 为单调递增时，由Levi 定理，这样的子列一定不存在。
） 5、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{}()k n f x ，使得，[0,1][0,1]lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞→∞=⎰⎰。
（×，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。
） 6、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞→∞≤⎰⎰。
（√）7、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞→∞≥⎰⎰。
（×）8、设()f x 是[0,1]上的黎曼可积函数，则()f x 必为[0,1]上的可测函数。
（√，Lebesgue 积分与正常黎曼积分的关系）9、设()f x 是[0,)+∞的上黎曼反常积分存在，则()f x 必为[0,)+∞上的可测函数。
（√，注意到黎曼反常积分的定义的前提条件，对任意自然数0n，()f x 在[0,]n 上黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1[0,)[0,]n n ∞=+∞=上的可测函数）10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，[0,1],n G f 表示()n f x 在[0,1]上的下方图形，()lim ()n nf x f x ，则[0,1],n G f 单调递增，且1lim [0,1],[0,1],[0,1],nnnn G f G f G f ，[0,1],lim [0,1],n nmG fmG f 。
（√，用集合关系的定义，单调递增可测集列的极限性可以证明。
）二、叙述题（请完整地叙述以下定理或命题） （自己在书上找答案，务必要跟书上一模一样）1、单调收敛定理（即Levi 定理）2、Fatou 引理（法都引理）3、非负可测函数的Fubini 定理和Lebesgue 可积函数的Fubini 定理4、Lebesgue 控制收敛定理（两个）5、Lebesgue 基本定理（即非负可测函数项级数的逐项积分定理）6、积分的绝对连续性三、计算题（请完整写出计算过程和结果）1、设0D 为[0,]π中的零测集，30sin ,(),x x x D f x e x D ∉⎧⎪=⎨∈⎪⎩ ，求[0,]()d f x x π⎰。
解：由题设()sin f x x =，..a e 于[0,]π，而sin x 在[0,]π上连续，于是由积分的惟一性和L 积分与R 积分的关系得[0,][0,]()d sin d ()sin (cos )2f x x x x R xdx x ππππ===-=⎰⎰⎰。
2、设Q 为[0,+)∞中有理数全体，23sin ,[0,)\(),x x xxe x Q f x ex Q-⎧∈+∞⎪=⎨∈⎪⎩ ，求[0.)()d f x x +∞⎰。
解：因为Q 为可数集，所以0mQ =，从而2()x f x xe -=，..a e 于[0,)+∞，而2x xe-在[0,)+∞上非负连续，且22011()()d ()d 22x xR f x x R xe x e +∞+∞--+∞==-=⎰⎰， 所以由积分的惟一性和L 积分与R 积分的关系得222[0.)[0.)11()d d ()d 22x x x f x x xex R xex e+∞---+∞+∞+∞===-=⎰⎰⎰。
3、设P 为[0,1]上的Cantor 三分集，2,[0,)\()sin(),x x xe x Pf x e x P-⎧∈+∞⎪=⎨∈⎪⎩ ，求[0.)()d f x x +∞⎰。
解：因为0mP =，所以2()x f x xe -=，..a e 于[0,)+∞，而2x xe -在[0,)+∞上非负连续，且22011()()d ()d 22x xR f x x R xe x e +∞+∞--+∞==-=⎰⎰， 所以由积分的惟一性和L 积分与R 积分的关系得222[0.)[0.)11()d d ()d 22x x xf x x xe x R xe x e +∞---+∞+∞+∞===-=⎰⎰⎰。
4、计算20lim(1)d nn x n x e x n-→∞+⎰。
解： 令2[0,]()(1)()n xn n x f x e x nχ-=+，易见()n f x 在[0,)+∞非负可测，且()n f x 单调上升lim ()xn n f x e-→∞=，故由单调收敛定理200lim (1)d d 1n x x n xe x e x n+∞+∞--→∞+==⎰⎰。
5、积分计算（1）设为全体有理数所成的集合，在[0,1][0,1]E =⨯上函数f 定义如下：1,,(,)sin ,.xyx y f x y x y e x y +∉⎧=⎨++∈⎩求 ()d Ef z z ⎰。
（2）设为全体有理数所成的集合，在[0,1][0,1]E =⨯上函数f 定义如下：sin ,(,),(,)ln(1||),(,).xx y x y f x y e xy x y ∉⨯⎧=⎨++∈⨯⎩ 求 ()d Ef z z ⎰。
解：（1）记12{,,}r r ，令{(,):}k k A x y E xyr ，则()0,k m A 故10,kk mA 从而(,)1f x y 几乎处处于E 。
显然，1是E 上的连续函数，从而在E上有界且Riemann 可积，故由Riemann 积分与Lebesgue 积分的关系定理，1在E 上Lebesgue 可积且1d (R)1d d 1.EEz x y由于(,)1f x y 几乎处处于E ，故由积分的基本性质.(d )d 11EEf z z z ==⎰⎰（2）解：因0,m从而(,)sin f x y x y 几乎处处于E 。
显然，sin x y 是E上的连续函数，从而在E 上有界且Riemann 可积，故由Riemann 积分与Lebesgue 积分的关系定理，sin x y 在E 上Lebesgue 可积且1101sin d(,)(R)sin d d d sin d (1cos1).2EEx y x y x y x yx xy y由于(,)sin f x y x y 几乎处处于E ，故由积分的基本性质1sin d(,)(1co ()d s1).2E Ef x y z y x z =-=⎰⎰三、证明题（请完整地写出以下命题的证明）1、用Fubini 定理证明：若(,)f x y 为2R =(,+)(,+)-∞∞⨯-∞∞上的非负可测函数，则d (,)d d (,)d x yx f x y y y f x y x +∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰。
证明：记00{(,)}{(,)}0x y D x y x y y xy x ≤<+∞≤<+∞==≤≤≤≤+∞，令(,),(,)(,)0,(,)f x y x y DF x y x y D ∈⎧=⎨∉⎩，由题设易知(,)F x y 也是2R 上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的Fubini 定理2d (,)d d (,)d (,)d d x R x f x y y x F x y y F x y x y +∞+∞+∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰⎰d (,)d d (,)d yy F x y x y f x y x +∞+∞+∞+∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰。
2、设E 是R n中的可测集，若（1）1k k E E ∞==⋃，其中k E 为可测集，12E E ⊂⊂；（2）()f x ，()n f x (12)n =都是E 上的可测函数，且lim ()()n n f x f x →∞= ..a e 于E ；（3）存在E 上的Lebesgue 可积函数()F x ，使得n ∀，()()n f x F x ≤ ()x E ∈。
证明：()f x 在E 上也Lebesgue 可积，且 lim()d ()d nn n E Ef x x f x x →∞=⎰⎰。
证明：记()()()n n n E f x f x x χ=⋅，由题设知lim ()()n n f x f x →∞= ..a e 于E （事实上x E ∀∈，存在0n ，当0n n ≥时，总有n x E ∈，从而()1n E x χ=，于是()()()()n n n E n f x f x x f x χ=⋅=。
）又 ()()()()()n n n E n f x f x x f x F x χ=⋅≤≤，()F x 在E 上Lebesgue 可积 所以 由Lebesgue 控制收敛定理，并注意到()()()()n nn n E n EEE f x dx f x x dx f x dx χ=⋅=⎰⎰⎰可得lim ()lim ()()nn n n n E EEf x dx f x dx f x dx →∞→∞==⎰⎰⎰。
3、设E 是Lebesgue 可测集，()n f x (12)n =，()f x 都是E 上的Lebesgue 可积函数，若lim ()()n n f x f x →∞= ()x E ∈，且lim ()d ()d n n EEf x x f x x →∞=⎰⎰，证明：（1）()()()()()n n n F x f x f x f x f x =+--在E 上非负可测；（2）用Fatou 引理证明：lim()()d 0n n Ef x f x x →∞-=⎰。
