概率统计15-16第2学期期末试题A剖析

《概率分析与数理统计》期末考试试题及
解答(DOC)
概率分析与数理统计期末考试试题及解答
选择题
1. 以下哪个选项不是概率的性质？
- A. 非负性
- B. 有界性
- C. 可加性
- D. 全备性
答案：B. 有界性
2. 离散随机变量的概率分布可以通过哪个方法来表示？
- A. 概率分布函数
- B. 累积分布函数
- C. 概率密度函数
- D. 方差公式
答案：B. 累积分布函数
计算题
3. 一批产品有10% 的不合格品。

从该批产品中随机抽查5个，计算至少有一个不合格品的概率。

解答：
设事件 A 为至少有一个不合格品的概率，事件 A 的对立事件
为没有不合格品的概率。

不合格品的概率为 0.1，合格品的概率为 0.9。

则没有不合格品的概率为 (0.9)^5。

至少有一个不合格品的概率为 1 - (0.9)^5，约为 0.409。

4. 一个骰子投掷两次，计算至少一次出现的点数大于3的概率。

解答：
设事件 A 为至少一次出现的点数大于3的概率，事件 A 的对立事件为两次投掷点数都小于等于3的概率。

一个骰子点数大于3的概率为 3/6 = 1/2。

两次投掷点数都小于等于3的概率为 (1/2)^2 = 1/4。

至少一次出现的点数大于3的概率为 1 - 1/4，约为 0.75。

以上是《概率分析与数理统计》期末考试的部分试题及解答。

希望对你有帮助！。

2023~2024学年度第二学期期末质量检测高二数学试卷（答案在最后）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}30,log 113xA xB x x x ⎧⎫=<=-<⎨⎬-⎩⎭∣，则A B ⋃=（）A.{03}x x <<∣B.{13}x x <<∣C.{04}xx <<∣ D.{14}xx <<∣2.设0,0a b >>，则“()lg 0a b +>”是“()lg 0ab >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若随机变量(),0.4X B n ~，且() 1.2D X =，则()4P X =的值为（）A.420.4⨯ B.430.4⨯ C.420.6⨯ D.430.6⨯4.某人研究中学生的性别与成绩､视力､智商､阅读量这四个变量的关系，随机抽查32名中学生，得到如下4个列联表，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）性别成绩合计及格不及格男14620女221032合计361652性别视力合计及格不及格男41620女122032合计163652性别智商合计及格不及格男81220女82432合计163652性别阅读量合计及格不及格男14620女23032合计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量5.已知0,0x y >>，且满足311x y+=，则（）A.xy 的最小值为48B.xy 的最小值为148C.xy 的最大值为48D.xy 的最大值为1486.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列{}na 是由正数组成的等方差数列，且方公差为132,5a =，则数列11nn a a +⎧⎫⎨+⎩⎭的前n 项和为（）A.2112B.2112-1-1-7.某医院要派2名男医生和4名女医生去,,A B C 三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊，要求,,A B C 每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去A 地，则不同的安排方案为（）A.120种B.144种C.168种D.216种8.已知定义在R 上的函数()()2e x axf x x a -+=∈R ，设()f x 的极大值和极小值分别为,m n ，则mn 的取值范围是（）A.e ,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦B.1,2e ∞⎛⎤--⎥⎝⎦C.e ,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.1,02e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知变量x 和变量y 的一组成对样本数据()(),1,2,,i i x y i n =⋯的散点落在一条直线附近，1111,nn i i i i x x y y n n ====∑∑，相关系数()()niix x y y r --=∑()()()121ˆˆˆˆni i i nii x x y y ybx a b x x ==⎛⎫-- ⎪⎪=+= ⎪- ⎪⎝⎭∑∑，则（）A.当r 越大时，成对数据样本相关性越强B.当0r >时，ˆ0b>C.当11n n x x y y ++==时，成对样本数据()(),1,2,,,1i i x y i n n =⋯+的相关系数r '满足r r'=D.当11n n x x y y ++==时，成对样本数据()(),1,2,,,1i i x y i n n =⋯+的线性回归方程ˆˆˆy dx c =+满足ˆˆdb =10.已知(),,a bc a b c <<∈R ，且230a b c ++=，则（）A.0a c<< B.,a c ∃使得22250a c -=C.a c +可能大于0D.212b c a c +<-+11.冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列{}12,,,n x x x ⋯从左往右，依次对相邻两个元素{}()1,1,2,,1k k x x k n +=⋯-比较大小，若1k k x x +>，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列{}2,1,4,3进行冒泡排序，首先比较{}2,1，需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,4,3，然后比较{}2,4，无需交换位置，最后比较{}4,3，又需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,3,4最终完成了冒泡排序，同样地，序列{}1,4,2,3需要依次交换{}{}4,2,4,3完成冒泡排序.因此，{}2,1,4,3和{}1,4,2,3均是交换2次的序列.现在对任一个包含n 个不等实数的序列进行冒泡排序()3n ，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为n a ，只需要交换1次的序列个数为n b ，只需要交换2次的序列个数为n c ，则（）A.序列{}2,7,1,8是需要交换3次的序列B.()12n n n a -=C.1n b n =- D.59c =三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()()ln ,ex xf x f x ='为()f x 的导函数，则()1f '的值为__________.13.()62x x y-+的展开式中53x y 的系数为__________.（用数字作答）14.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且117(,(),()3412P A P B P AB AB ==+=，则()P A B =∣__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合402x M xx ⎧⎫-=⎨⎬-⎩⎭，非空集合{123}N x m x m =-<<-∣，（1）若3m =时，求M N ⋂；（2）是否存在实数m ，使得x M ∈R ð是x N ∈R ð的必要不充分条件？若存在，求实数m 的取值范围；若不恶在，请说朋理由.16.（15分）树人中学对某次高三学生的期末考试成绩进行统计，从全体考生中随机抽取48名学生的数学成绩()x 和物理成绩()y ，得到一些统计数据：484811115280,,6i i i i x y =====∑∑，其中,i i x y 分别表示这48名同学的数学成绩和物理成绩，1,2,,48,i y = 与x 的相关系数0.77r =.（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）从概率统计规律看，本次考试该校高三学生的物理成绩ξ服从正态分布()2,N μσ，用样本平均数y 作为μ的估计值，用样本方差2s 作为2σ的估计值.试求该校高三共1000名考生中，物理成绩位于区间()63.05,95.9的人数Z 的数学期望.附：①回归方程ˆˆˆy a bx=+中：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑②相关系数()()niix x y y r --=∑③若()2,N ημσ~，则()()0.68,220.95P P μσημσμσημσ-+≈-+≈④48221110.9548i i y y =-=≈∑17.（15分）已知等差数列{}n a 的前n 项利为25,6,45n S a S ==，数列{}n b 的前n 项利为()1312nn T =-.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足20,,,u n n c bn ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求()*1222121n n n a c a c a c n -+++∈N.18.（17分）（1）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次向左或向右移动一个单位的概率都为12，设移动n 次后质点位于位置n X .（I)求随机变量4X 的概率分布列及()4E X ；（ii ）求()n E X ；（2）若轨道上只有0,1,2,n ⋯这1n +个位置.质点向左或右移动一个单位的概率都为12，若在0处，则只能向右移动.现有一个质点从0出发，求它首次移动到n 的次数价期望.19.（17分）已知函数()1ex x f x +=.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明()0,x ∞∈+时，12e e ln x x x x f xx --⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭；（3）若对于任意的()0,x ∞∈+，关于x 的不等式22e 2ln x mx x x x --- 恒成立，求实数m 的取值范围.2023~2024学年度第二学期期末质量检测高二数学试卷参考答案1.C2.B3.B4.D5.A6.A7.D8.B9.BCD10.AD11.BCD12.1e13.60-14.1315.解：（1）集合40{24}2x M xx x x ⎧⎫-==<⎨⎬-⎩⎭∣ 当3m =时，非空集合{23}N x x =-<<∣{23}M N x x ∴⋂=<<∣（2）假设存在实数m ，使得x M ∈R ð是x N ∈R ð的必要不充分条件，则N R ð⫋M R ð，即M ⫋N ，则23412m m ->⎧⎨-⎩ ，解得72m >.故存在实数72m >，使得x M ∈R ð是x N ∈R ð的必要不充分条件.16.解：（1）由题中数据可得，48481111110,744848i i i i x x y y ======∑∑由()()480.77i i x x y y r --==∑可得6ˆ0.770.4211b==⨯=8ˆ741100.4227.a=-⨯=∴回归方程为0.4227.8ˆyx =+（2）()24848222111174,1204848i i i i y s y y y y ====-=-=∑∑()74,120N η∴~10.95≈(63.0584.95)0.68,(52.195.9)0.95P P ηη∴<<=<<=0.680.95(63.0595.9)0.8152P η+∴<<==()()74,120,10000.815815Z N E Z ~∴=⨯= 所以物理成绩位于区间()63,96的人数Z 的数学期望为815.17.（1）设{}n a 的公差为d ，由题设得11651045a d a d +=⎧⎨+=⎩.解得13,3a d ==，所以3n a n =当2n 时，11113,1n n n n b T T b T --=-===，也符合上式所以13n n b -=.（2）()*1222121n n n a c a c a c n -+++∈N()()113321n n b b n b -=+++- ()1333213n n n -=+⋅++- 记()1333213nn W n -=+⋅++- ①则()()121333233213n n W n n --=+⋅++-+- ②②-①得，()()()11613232323213212322313n n n n n W n n n ---=+⋅++⋅--=+-=⋅--- 所以11222121333n n n n a c a c a c n +-+++=-- 18.（1）（i ）4X 可能取值为4,2,0,2,4--()44114216P X ⎛⎫=-==⎪⎝⎭()131441112C 224P X ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()222441130C 228P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()313441112C 224P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()44114216P X ⎛⎫===⎪⎝⎭()()()4113114202401648416E X ∴=⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯=（ii ）设质点n 次移动中向右移动的次数为Y ，显然每移动一次的概率为12，则1,2Y B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()2n X Y n Y Y n=--=-所以()()12202n E X E Y n n n =-=⨯⨯-=.（2）设首次从k 到n 的步数期望为k a ，则有()()11111122k k k a a a +-=+++，所以112k k k k a a a a +--=-+，可得1012k k a a k a a +-=+-.又小球在0处，只能向前移动到1，则有011a a -=，所以1200(21)n n k a a k n-=-=+=∑.又有0n a =，则20a n =.19.解：（1）()()()2e 1e e e x xxxx x f x '-+-==当0x <时，()0f x '>；当0x 时，()0f x ' ()f x ∴的增区间为(),0∞-，减区间为[)0,∞+.（2）令1ln (0)t x x x =-->111x t x x-=-='当01x <<时，0t '<；当1x >时，0t '>∴当1x =时，min 00t t =∴ 即1ln 0x x -- 原不等式等价于2e 1e x tt f x -⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭()2e x f t f x -⎛⎫⇔ ⎪⎝⎭()f x 为()0,∞+上的减函数，2e 0,0x t x-> ∴只需证明2e x t x - 即2e 1ln x x x x--- 1e t t -⇐ 令()()()11e01e t t g t t t g t --=-=-' 当01t 时，()0g t '>，当1t >时，()0g t '<()()1min ()100e t g t g g t t -∴==∴∴ ∴原不等式成立.（3）当12m 时，由（2）知2e 1ln x x x x--- 又0x >22e ln x x x x x -∴-- 22ln mx x x x-- ∴原不等式在()0,∞+上恒成立.当12m >时，令()()2ln 110x x x ϕϕ=--=-< .()422ln20ϕ=->()x ϕ∴在()1,4内必有零点，设为0x ，则002ln x x -=020e x x -∴=()0200000000e 12ln 122120x x ax x ax x a x x x -∴+-+=+-+-=-<0220000e 2ln 0x ax x x x -∴-++<而0220000e2ln x ax x x x -<--综上所述实数m 的取值范围是1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

《概率论与数理统计》期末考试试卷（A1）2、下列叙述中正确的是( A ). (A) ()1X EX D DX -= (B) ~(0,1)X EXN DX- (C) 22)(EX EX = (D) 22()EX DX EX =-3、设θ是总体X 中的参数，称),(θθ为θ的置信度a -1的置信区间，下面说话正确的是（ D ）.(A) 以),(θθ估计θ的范围，不正确的概率是a -1 (B) θ 以概率a -1落入),(θθ (C) θ以概率a 落在),(θθ之外 (D) ),(θθ以概率a -1包含θ4、设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积分别为,G D S S ,则{(,)}(B )P x y D ∈=.(A)GD S S (B) ⎰⎰Ddxdy y x f ),( (C) (,)G g x y dxdy ⎰⎰ (D) G G D S S5、设总体分布为),(2σμN ,若μ未知,则要检验20:100H σ≥,应采用统计量( B ).(A)nS X /μ- (B)100)(21∑=-ni iX X(C)100)(21∑=-ni iXμ (D)22)1(σS n -6、有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（ A ）.(A)157 (B)4519 (C)135(D)3019 7、设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( B ). (A) ⎰-=-adx x f a F 0)(1)((B) ∑⎰-=-adx x f a F 0)(21)((C) )()(a F a F =- (D) 1)(2)(-=-a F a F题目 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分一．填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1. 已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体(3,1)N ，X 为样本均值，已知{}0.5P X λ<=，则=λ 3 。

安徽大学2020-2021学年第二学期数理统计期末考试试卷(A卷)出卷人:王学军1填空题(5小题×2分=10分)1.设X1,X2,···,X n相互独立,且X i∼N(µi,σ2),i=1,2,···,n.则1σ2ni=1(X i−µi)2的分布为.2.设随机变量X∼t(10),已知P(X2>x0)=0.05,则x0=.3.已知某型号的导线电阻值服从N(µ,σ2).现测量16次,算得¯X=1nni=1X i=10.78Ω,S∗=1n−1ni=1(X i−¯X)2=1.40Ω,则均值µ的置信水平1−α=0.95的置信区间为.其中t0.025(15)=2.131,t0.05(15)=1.753.4.设X1,X2,···,X m是来自Bernoulli分布总体B(n,p)的简单随机样本,¯X=1mmi=1X i,S∗=1m−1mi=1(X i−¯X)2.若¯X+kS2∗是np2的无偏估计,则k=.5.设总体X的概率密度函数为f(x;θ),X1,X2,···,X n是来自总体的简单随机样本.考虑假设H0:θ=θ0↔H1:θ=θ1的UMP检验,利用似然比检验法,拒绝域为.2选择题(5小题×2分=10分)6.设X1,X2,···,X n是来自总体U(θ1,θ2)的简单随机样本,其中θ1已知,θ2未知,则是统计量.A.X1+X n+¯X−θ2B.min(X1,X2,X3)+θ1C.¯X−θ1θ22D.S2−θ1θ227.总体X∼N(µ,σ20),σ20已知.样本容量n不变时,若置信度1−α减小,则µ的置信区间.A.长度变小B.长度变大C.长度不变D.以上都有可能8.设X1,X2,X3,X4是来自总体N(0,4)的简单随机样本,若,则随机变量X=a(X1−2X2)2+b(3X3−4X4)2的分布为χ2分布.A.a=112,b=128B.a=120,b=1100C.a=130,b=140D.a=140,b=1609.下列说法正确的是.A.设一个正态总体均值µ的95%置信区间是(8.6,10.4),这意味着µ有95%的概率落在(8.6,10.4)中B.未知参数的最大似然估计是唯一的C.在假设检验中,原假设H0和对立假设H1的地位是平等的D.UMP检验是指在限制第一类错误概率不超过α的条件下,犯第二类错误概率最小的检验10.设X1,X2,···,X n是来自总体X∼N(µ,σ20)的样本,其中σ20已知.若在显著性水平α=0.05下接受了H0:µ=µ0,则在显著性水平α=0.01下,下面结论正确的是.A.必接受H0B.必拒绝H0C.可能接受H0,也可能拒绝H0D.无法求解3解答题(4小题×12分=48分)11.设X1,X2,···,X n是来自总体U(0,θ)的简单随机样本.考虑假设检验问题H0:θ=3↔H1:θ=2,拒绝域W={(X1,X2,···,X n)|max(X1,X2,···,X n)<1.5}.求:(1)功效函数;(2)第一类和第二类错误的概率和检验水平.12.设总体X的概率密度函数为f(x;µ)=χ[µ,+∞)(x)eµ−x.其中µ∈R是未知参数,X1,X2,···,X n是来自总体的简单随机样本.(1)求参数µ的矩估计ˆµ1和最大似然估计ˆµM;(2)判断ˆµ1和ˆµM是否是µ的无偏估计.若否,则进行修正,并求两个无偏估计的均方误差.13.设X1,X2,···,X n是来自Poisson分布总体P(λ)的简单随机样本,其中λ>0为未知参数.(1)求未知参数λ的充分完全统计量;(2)求g(λ)=λ的UMVUE;(3)判断(2)中的UMVUE的方差是否达到Cramer-Rao下界.14.设X1,X2,···,X n是来自总体N(µ,32)的简单随机样本,其中µ∈R为未知参数.求检验问题H0:θ≥0↔H1:θ<0的水平α的UMP检验.4证明题(12分)15.设X1,X2,···,X n是来自正态总体X的简单随机样本,且Y1=166i=1X i,Y2=139i=7X i,S2∗=129i=7(X i−Y2)2,Z=Y1−Y2S∗/√2.求证Z∼t(2).5应用题(2小题×10分=20分)16.在一正20面体的20个面上,分别标以数字0,1,2,···,9,每个数字在两个面上标出.为检验它是否质地匀称,共做了800次投掷试验,数字0,1,2,···,9朝正上方的次数如下.问:能否在显著性水平α=0.05下认为该20面体是匀称的?χ2 0.05(10)=18.307,χ20.05(9)=16.919,χ20.025(10)=20.483,χ20.025(9)=19.023.数字0123456789频数7492837980737775769117.某批矿砂的5个样品中的Ni含量经测定为3.25%,3.27%,3.24%,3.26%,3.24%.设测定值总体服从正态分布,但参数均未知.问:在显著性水平α=0.01下能否认为这批矿砂的Ni含量均值为3.25%?。

四川大学期末考试试题（2020-2020学年第二学期）一、单项选择题（每空2分，共10分）1.设事件A 和B 独立，且,5.0)(,3.0)(==B P A P 则=)(B A P （ ）(A) (B) (C) (D)2.设随机变量X 的密度函数为+∞<<-∞=---x e x f x x ,61)(625102π那么E(X)=（ ）(A)5 (B)3 (C)-3 (D)-53.设X 有散布函数),(x F 令53-=X Y ,那么Y 的散布函数为（ ）(A)⎪⎭⎫ ⎝⎛+3531y F (B))53(+y F (C) )353(-y F (D) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+35y F 4.设整体n X X X ,,,21 是独立同散布的随机变量序列，均服从参数为1的指数散布，令∑==n i i X n X 1221，那么−→−P X 2（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)45.设整体3212,,),,(~X X X N X σμ是来自X 的样本，记 3211414121X X X Z ++=，3212313131X X X Z ++=，2125253X X Z += 这三个对μ的无偏估量量中，（ ）最有效(A)1Z (B)2Z (C)3Z (D)无法判定二、填空题（每空2分，共10分）1.一个袋子中有3个红球，2个白球，从中任取3个球，那么至少取得一个白球的概率是______；2.设),3.0,100(~B X 由切比雪夫不等式，≥<-)10|30(|X P _______；3.设)43;914,1,1(~),(-N Y X 的二维正态散布，记Y X Z 32-=,那么~Z_________散布；4.设)(~λP X ，已知1)]2)(1[(=--X XE ，那么=λ__________； 5.设整体)1,0(~N X ，321,,X X X 别离是来自X 的样本，2321)(31X X X W ++=，那么W~______散布. 三、解答题1.(10分)有甲乙两箱同类型的产品，其中甲箱有11件正品，1件次品，乙箱中有9件正品，1件次品。

概率统计大题综合知识点总结1.数字样本特征（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数（2）中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数（3）平均数：x =x 1+x 2+⋯⋯+x nn ，反映样本的平均水平（4）方差：s 2=(x 1−x )2+(x 2−x )2+⋯⋯(x n −x )2n反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；s 2越大，样本波动越大，越不稳定；s 2越小，样本波动越小，越稳定；（5）标准差：σ=s 2，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样（6）极差：等于样本的最大值−最小值2.求随机变量X 的分布列的步骤：(1)理解X 的意义，写出X 可能取得全部值；(2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.3.求随机变量的期望和方差的基本方法：(1)已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；(2)已知随机变量X 的期望、方差，求aX +b a ,b ∈R 的期望与方差，利用期望和方差的性质E aX +b =aE X +b ，D aX +b =a 2D X 进行计算；(3)若能分析出所给的随机变量服从常用的分布(如：两点分布、二项分布等)，可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若ξ~B (n ,p ),则Eξ=np ，Dξ=np (1-p ).4.求解概率最大问题的关键是能够通过P ξ=k ≥P ξ=k +1P ξ=k ≥Pξ=k -1构造出不等关系，结合组合数公式求解结果5.线性回归分析解题方法：(1)计算x ,y,ni =1x i 2 ,ni =1x i y i 的值；(2)计算回归系数a ,b ；(3)写出回归直线方程y =b x +a.线性回归直线方程为：y =b x +a ，b=ni =1x i −x y i −yni =1x i −x2=ni =1x i y i −nx yni =1x i 2−nx2，a =y −b x其中x ,y为样本中心，回归直线必过该点(4)线性相关系数(衡量两个变量之间线性相关关系的强弱)r =n i =1x i −x y i −y n i =1x i −x 2 n i =1y i −y 2 =ni =1x i y i −nx yn i =1x i 2−nx 2ni =1y i 2−ny2r >0，正相关；r <0，负相关r ≤1,且r 越接近于1，线性相关性越强；r 越接近于0，线性相关性越弱，几乎不存在线性相关性6.独立性检验解题方法：(1)依题意完成列联表；(2)用公式求解；(3)对比观测值即可得到所求结论的可能性独立性检验计算公式：K 2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +d模拟训练一、解答题1.(2023·福建三明·统考三模)在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M 对乙队每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.(注：比赛结果没有平局)(1)求甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场的概率；(2)已知甲队2:1获得最终胜利，求种子选手M 上场的概率.【答案】(1)740(2)711【分析】(1)设事件A i =“种子选手M 第i 局上场”i =1,2,3 ，事件B =“甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场”，求出P A i 、P B A i i =1,2,3 的值，利用全概率公式可求得P B 的值；(2)设事件A 0=“种子选手M 未上场”，事件C =“甲队2:1获得胜利”，计算出P C 、P A 0C 的值，利用贝叶斯公式可求得P A 0C 的值.【详解】(1)解：设事件A i =“种子选手M 第i 局上场”i =1,2,3 ，事件B =“甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场”.由全概率公式知，P B =P B A 1 ⋅P A 1 +P B A 2 ⋅P A 2 +P B A 3 ⋅P A 3因为每名队员上场顺序随机，故P A i =15i =1,2,3 ，P B A 1 =34×12×12+14×12×12=14，P B A 2 =12×34×12+12×14×12=14，P B A 3 =C 12⋅12×12×34=38.所以P B =∑3i =1P B A i P A i =14×15+14×15+38×15=740，所以甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场的概率为740.(2)解：设事件A 0=“种子选手M 未上场”，事件C =“甲队2:1获得胜利”，P A 0 =A 34A 35=25，P A 0 =1-25=35，P C A 0 =C 12×12×12×12=14，P C =P B +P C A 0 ⋅P A 0 =740+14×25=1140，因为P A 0 C =P A 0CP C.由(1)知P A 0 C =P B =740，所以P A 0 C =P A 0 C P C =7401140=711.所以，已知甲队2:1获得最终胜利，种子选手M 上场的概率为711.2.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自该中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p 1，p 2，且p 1+p 2=43，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？【答案】(1)分布列见解析，E (ξ)=54(2)11轮【分析】(1)根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；(2)先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.【详解】(1)由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，P (ξ=0)=C 37C 312=744，P (ξ=1)=C 15C 27C 312=2144，P (ξ=2)=C 17C 25C 312=722，P (ξ=3)=C 35C 312=122所以，随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ0123P7442144722122所以E (ξ)=0×744+1×2144+2×722+3×122=54．(2)他们在每轮答题中取得胜利的概率为Q =C 12p 11-p 1 C 22p 22+C 22p 21C 12p 21-p 2 +C 22p 21C 22p 22=2p 1p 2p 1+p 2 -3p 1p 2 2=83p 1p 2-3p 1p 2 2，由0≤p 1≤1，0≤p 2≤1，p 1+p 2=43，得13≤p 1≤1，则p1p2=p143-p1=43p1-p21=-p1-232+49，因此p1p2∈13,49，令t=p1p2∈13,49，Q=83t-3t2=-3t-492+1627，于是当t=49时，Q max=1627．要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值16 27．设他们小组在n轮答题中取得胜利的次数为X，则X∼B n,16 27，E(X)=1627n，由E(X)≥6，即1627n≥6，解得n≥10.125．而n∈N*，则n min=11，所以理论上至少要进行11轮答题．3.(2023·福建宁德·校考二模)某科研团以为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下列联表．患病未患病总计服用药物1045末服用药物50总计30(1)请将上面的列联表补充完整．(2)认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是多少？(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，设其中未服用药物的动物数为ξ，求ξ的分布列与期望．下面的临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.0722706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)【答案】(1)列联表见解析(2)2.5%(3)分布列见解析，数学期望为1.6【分析】(1)根据表中的数据完成列联表即可；(2)由公式K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)计算K2，然后根据临界值表进行判断；(3)由题意可得ξ的值可能为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可求得ξ的分布列与期望．【详解】(1)列联表补充如下：患病末患病总计服用药物104555末服用药物203050总计3075105(2)K2=105×(10×30-20×45)230×75×55×50=33655≈6.109>5.024．∵P K2≥5.024=0.025，∴认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是2.5%．(3)根据题意，10只未患病动物中，有6只服用药物，4只未服用药物，所以ξ的值可能为0，1，2，3，4，则P (ξ=0)=C 46C 410=15210，P (ξ=1)=C 36C 14C 410=80210，P (ξ=2)=C 26C 24C 410=90210，P (ξ=3)=C 16C 34C 410=24210，P (ξ=4)=C 44C 410=1210，ξ的分布列如下：ξ01234P152108021090210242101210则E (ξ)=0×15210+1×80210+2×90210+3×24210+4×1210=1.6．4.(2023·江苏常州·校考一模)设X ,Y 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为a i ,b j ，其中i ,j ∈N *，令p ij =P X =a i ,Y =b j ，称p ij i ,j ∈N * 是二维离散型随机变量X ,Y 的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；X ,Yb 1b 2b 3⋅⋅⋅a 1p 11p 12p 13⋅⋅⋅a 2p 21p 22p 23⋅⋅⋅a 3p 31p 32p 33⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅现有n n ∈N * 个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X ，落入第2号盒子中的球的个数为Y ．(1)当n =2时，求X ,Y 的联合分布列，并写成分布表的形式；(2)设p k =nm =0P X =k ,Y =m ,k ∈N 且k ≤n ，求nk =0kp k 的值．(参考公式：若X ~B n ,p ，则nk =0kC k n p k1-p n -k =np )【答案】(1)答案见解析(2)n 3【分析】(1)X 的取值为0，1，2，Y 的取值为0，1，2，分别计算概率即可；(2)计算得p k =Ckn13k23n -k，则n k =0kp k =nk =0kC k n 13k23n -k，最后利用二项分布的期望公式即可得到答案.【详解】(1)若n =2，X 的取值为0，1，2，Y 的取值为0，1，2，则P X =0,Y =0 =132=19，P X =0,Y =1 =C 12×13×13=29，P X =0,Y =2 =132=19，P X =1,Y =0 =C 12×13×13=29，P X =1,Y =1 =C 12×13×13=29，P X =2,Y =0 =132=19，P X =1,Y =2 =P X =2,Y =1 =P X =2,Y =2 =0，故X ,Y 的联合分布列为X ,Y 0120192919129290219(2)当k +m >n 时，P X =k ,Y =m =0，故p k =nm =0P X =k ,Y =m =n -km =0P X =k ,Y =m =n -km =0P C k n C m n -k ⋅13n=C k n 3n n -k m =0C m n -k =C kn 3n 2n -k =C k n13 k23n -k所以nk =0kp k =nk =0kC k n13k23n -k，由二项分布的期望公式可得nk =0kp k =n 3．5.(2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测)某种疾病可分为A ，B 两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患A 型疾病的人数占男性患者的56，女性患A 型疾病的人数占女性患者的13.A 型病B 型病合计男女合计(1)填写2×2列联表，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型'与‘性别'有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？(2)某团队进行预防A 型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为m m >0 元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为p 0<p <1 ，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若p =23，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.K 2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +d，P K 2≥k 0 0.100.050.010.0050.001k 02.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，被调查的男性患者至少有12；(2)340009m 元【分析】(1)设男性患者有x 人，结合题设写出列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想列不等式求x 范围，再由x 6∈Z ，x3∈Z 确定x 最小值；(2)由题意试验每人的接种费用为ξ的可能取值为3m ，6m ，独立事件乘法公式求出对应概率，进而求出期望，根据总人数求出总费用的期望即可.【详解】(1)设男性患者有x 人，则女性患者有2x 人，2×2列联表如下：A 型病B 型病合计男5x6x 6x 女2x 34x 32x 合计3x 23x 23x假设H 0：患者所患疾病类型与性别之间无关联，根据列联表中的数据K 2=3x 5x 6⋅4x 3-x 6⋅2x 3 23x 2⋅3x 2⋅2x ⋅x =2x 3，要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则2x 3>7.879，解得x >11.8185，因为x 6∈Z ，x3∈Z ，所以x 的最小整数值为12，因此，男性患者至少有12人.(2)设该试验每人的接种费用为ξ元，则ξ的可能取值为3m ，6m .则P ξ=3m =C 23p 21-p +p 3=-2p 3+3p 2，P ξ=6m =1+2p 3-3p 2，所以E ξ =3m ⋅-2p 3+3p 2 +6m ⋅1+2p 3-3p 2 =3m 2p 3-3p 2+2 ，因为p =23，试验人数为1000人，所以该试验用于接种疫苗的总费用为1000E ξ ，所以1000×3m 2×23 3-3×23 2+2 =340009m 元.6.(2023·安徽蚌埠·统考三模)某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计(1)根据所给数据完成上表，依据α=0.001的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为23，这名女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数X 的分布列和数学期望.附：χ2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +dα0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；(2)分布列见解析，数学期望为116.【分析】(1)完善列联表，计算χ2的观测值，再与临界值表比对作答.(2)求出X 的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.【详解】(1)依题意，2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200零假设H 0：该校学生喜欢足球与性别无关，χ2的观测值为χ2=200(60×70-30×40)2100×100×90×110≈18.182>10.828=x 0.001，根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H 0不成立，所以有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.(2)依题意，X 的可能值为0,1,2,3，P (X =0)=1-23 2×1-12 =118，P (X =1)=C 12×231-23 ×1-12 +1-23 2×12=518，P (X =2)=C 12×231-23 ×12+23 2×1-12 =818=49，P (X =3)=23 2×12=29，所以X 的分布列为：X0123P1185184929数学期望E (X )=0×118+1×518+2×49+3×29=116.7.(2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)在以视觉为主导的社交媒体时代，人们常借助具有美颜功能的产品对自我形象进行美化.移动端的美颜拍摄类APP 主要有两类：A 类是以自拍人像、美颜美妆为核心功能的APP ；B 类是图片编辑、精修等图片美化类APP .某机构为调查市民对上述A ，B 两类APP 的使用情况，随机调查了部分市民.已知被调查的市民中使用过A 类APP 的占60%，使用过B 类APP 的占50%，设个人对美颜拍摄类APP 类型的选择及各人的选择之间相互独立.(1)从样本人群中任选1人，求该人使用过美颜拍摄类APP 的概率；(2)从样本人群中任选5人，记X 为5人中使用过美颜拍摄类APP 的人数，设X 的数学期望为E X ，求P X =E X ；(3)在单独使用过A ，B 两类APP 的样本人群中，按类型分甲、乙两组，并在各组中随机抽取8人，甲组对A 类APP ，乙组对B 类APP 分别评分如下：甲组评分9486929687939082乙组评分8583859175908380记甲、乙两组评分的平均数分别为x 1 ，x 2 ，标准差分别为s 1，s 2，试判断哪组评价更合理.(设V i =s ix i (i =1,2)，V i 越小，则认为对应组评价更合理.)参考数据：0.1925≈0.439，0.2325≈0.482.【答案】(1)0.8(2)256625(3)甲组对A 类APP 的评价更合理.【分析】(1)求出“使用过A 类APP ”和“使用过B 类APP ”的概率，再由对立事件的概率公式求解即可.(2)题意知X ∼B 5,45，由二项分布的数学期望公式可求出E X ，再由二项分布的概率公式即可求出P X =E X .(3)由平均数和方差的公式求解即可得出答案.【详解】(1)设事件A 表示“使用过A 类APP ”，事件B 表示“使用过B 类APP ”，由题意知P A =0.6，P B =0.5.任选一人，该人使用过美颜拍摄类APP 的概率:P =1-P A B=1-0.4×0.5=0.8.(2)由题意知X ∼B 5,45，则X 的数学期望E X =5×45=4.P X =E X =P X =4 =C 4545 4×15=256625.(3)x 1 =94+86+92+96+87+93+90+828=90，x 2 =85+83+85+91+75+90+83+808=84，s 1=1842+-4 2+22+62+-3 2+32+02+-8 2 =19.25≈4.39，s 2=1812+-1 2+12+72+-9 2+62+-1 2+-4 2 =23.25≈4.82，V 1=s 1x 1=4.3990<V 2=s 2x 2=4.8284，故甲组对A 类APP 的评价更合理.8.(2023·广东·统考模拟预测)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是14，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作.(1)对于方案一，设X 为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X 的分布列与数学期望E (X )；(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？【答案】(1)分布列见解析，12(2)7214096，3472048，方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．【分析】(1)根据题意得到随机变量X ~B 2,14，结合独立重复试验的概率计算公式求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；(2)根据题意，分别求得方案一和方案二中，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得机器发生故障时不能及时维修的概率P 1和P 2，根据大小关系，即可得到结论.【详解】(1)解：由题意，车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是14，可得方案一中，随机变量X ~B 2,14，则P X=0=342=916，P X=1=C12⋅14⋅34=38，P X=2=142=116，所以随机变量X的分布列为：X012P 91638116所以期望为E X=2×14=12．(2)解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为P1，则其概率为P1=1-1-P X=23=1-1-1 163=7214096．对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为P2，则P2=1-346-C16⋅14⋅34 5-C26⋅14 2⋅34 4=1-36+6×35+15×344096=3472048，可得P2<P1，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．9.(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.某健身连锁机构对其会员的年龄等级和一个月内到健身房健身次数进行了统计，制作成如下两个统计图.图1为会员年龄分布图(年龄为整数)，其中将会员按年龄分为“年轻人”(20岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或40岁及以上)两类；图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图，其中将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有56是“年轻人”.(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图表数据，补全2×2列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，是否可以认为“健身达人”与年龄有关？年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计(2)该健身机构在今年年底将针对全部的150名会员举办消费返利活动，预设有如下两种方案.方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”给予奖励.其中，健身爱好者和健身达人中的“幸运之星”每人分别奖励500元和800元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球(球只有颜色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为2，则可获得100元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励.如果每位健身爱好者均可参加1次摸奖游戏；每位健身达人均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立).以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.附：χ2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d.α0.100.050.0250.0100.0050.001χα 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，“健身达人”与年龄无关(2)施行方案1投资较少，理由见解析【分析】(1)根据题意计算相关数据填好列联表，利用公式计算χ2，对照参考数据得出结论；(2)按分层抽样计算方案1奖励的总金额ξ1；方案2中，设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0,100,300，计算对应概率，得出分布列，数学期望Eη ，进而计算按照方案2奖励的总金额ξ2，比较ξ1,ξ2即可得出答案.【详解】(1)根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为100×80%=80，非年轻人为20人，根据图2表格得健身达人所占比60%，所以其人数为100×60%=60，根据其中年轻人占比56，所以健身达人中年轻人人数为60×56=50，非年轻人为10人；健身爱好者人数为100-60=40，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为80-50=30，根据非年轻人总共为20人，健身爱好者中非年轻人人数为20-10=10，所以列联表为：年轻人非年轻人合计健身达人501060健身爱好者301040合计8020100零假设为H0：“健身达人”与年龄无关联，根据列联表中的数据，可得χ2=100×(50×10-30×10)280×20×60×40=2524≈1.042<3.841，依据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即“健身达人”与年龄无关.(2)方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”，则“幸运之星”中的健身爱好者和健身达人的人数分别为18.2%+21.8%×20=8,30.1%+19.2%+10.7%×20=12，按照方案1奖励的总金额为ξ1=8×500+12×800=13600(元).方案2：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，全部的150名会员中的健身爱好者和健身达人的人数分别为18.2%+21.8%×150=60,30.1%+19.2%+10.7%×150=90，则η的可能取值为0,100,300.由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为P =C 12C 15=25，所以P η=0 =C 0335 325 0+C 1335 225 1=81125，P η=100 =C 2335 125 2=36125，P η=300 =C 3335 025 3=8125.所以η的分布列为：η0100300P81125361258125数学期望为E η =0×81125+100×36125+300×8125=48(元)，按照方案2奖励的总金额为ξ2=60+3×90 ×48=15840(元)，因为由ξ1<ξ2，所以施行方案1投资较少.10.(2023·云南昭通·校联考模拟预测)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行临床人体试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按0,20 ，20,40 ，40,60 ，60,80 ，80,100 分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现志愿者体内产生抗体的共有160人，其中该项指标值不小于60的有110人.假设志愿者注射疫苗后是否产生抗体相互独立.(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及小概率值α=0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关.抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40名志愿者进行第二次注射疫苗，结果又有m 名志愿者产生抗体.(i )用频率估计概率，已知一名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的概率p =0.9，求m 的值；(ⅱ)以(i )中的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，再进行另一组人体接种试验，记110名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X，求P X=k最大时的k的值.参考公式：χ2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d(其中n=a+b+c+d为样本容量).α0.500.400.250.150.1000.0500.025xα0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【答案】(1)列联表见解析，认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关；(2)(i)20；(ⅱ)99.【分析】(1)完善列联表，计算χ2的观测值，再与临界值表比对作答.(2)(i)利用对立事件、相互独立事件的概率公式求解作答；(ⅱ)利用二项分布的概率公式，列出不等式组并求解作答.【详解】(1)由频率分布直方图，知200名志愿者按指标值分布为：在[0,20)内有0.0025×20×200=10 (人)，在[20,40)内有0.00625×20×200=25(人)，在[40,60)内有0.00875×20×200=35(人)，在[60,80)内有0.025×20×200=100(人)，在80,100内有0.0075×20×200=30(人)，依题意，有抗体且指标值小于60的有50人，而指标值小于60的志愿者共有10+25+35=70人，则指标值小于60且没有抗体的志愿者有20人，指标值不小于60且没有抗体的志愿者有20人，所以2×2列联表如下：抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设H0：注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60无关联，根据列联表中数据，得χ2=200×(50×20-20×110)2160×40×70×130≈4.945>3.841，根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.(2)(i)令事件A=“志愿者第一次注射疫苗产生抗体”，事件B=“志愿者第二次注射疫苗产生抗体”，事件C=“志愿者注射2次疫苗后产生抗体”，记事件A,B,C发生的概率分别为P(A),P(B),P(C)，则P A=160200=0.8,P B =m40,P C =1-P AP B=1-0.2×1-m40=0.9，解得：m=20，所以m=20.(ⅱ)依题意，随机变量X∼B(110,0.9)，P(X=k)=C k110×0.9k×0.1110-k(k∈N,k≤110)，显然P(X=0),P(X=110)不是最大的，即当P(X=k)最大时，k∈N∗,k<110，于是P(X=k)≥P(X=k-1)P(X=k)≥P(X=k+1)，即C k110×0.9k×0.1110-k≥C k-1110×0.9k-1×0.1111-kC k110×0.9k×0.1110-k≥C k+1110×0.9k+1×0.1109-k，则110!k!(110-k)!×0.9≥110!(k-1)!(111-k)!×0.1110!k!(110-k)!×0.1≥110!(k+1)!(109-k)!×0.9，整理得9(111-k)≥kk+1≥9(110-k)，解得98910≤k≤99910，因此k=99，所以P(X=k)最大时，k的值为99.11.(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模)首批全国文明典范城市将于2023年评选，每三年评选一次，2021年长沙市入选为全国文明典范城市试点城市，目前我市正全力争创首批全国文明典范城市，某学校号召师生利用周末从事创建志愿活动.高一(1)班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择，每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12，每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．【答案】(1)8 9(2)E X =1303【分析】(1)根据条件概率求解即可；(2)先求出参加人数的分布列及期望，再根据参加人数与得分的关系求出得分的期望即可.【详解】(1)设事件A为：“至少有一名女生参加活动”，设事件B为：“恰有一名女生参加活动”.则P AB=C14⋅C12C26=815，P A =1-C24C26=35.所以在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率为：P B A=P ABP A=89；(2)因为女生参加活动得分为12×10+12×20=15；男生参加活动得分为12×20+12×30=25.设恰有Y名女生参加活动，则有2-Y名男生参加活动，所以P Y=0=C24C26=25，P Y=1=C14⋅C12C26=815，P Y=2=C22C26=115，所以E Y=1×815+2×115=23，又X=15Y+252-Y=50-10Y，所以E X=50-10E Y=50-10×23=1303.12.(2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测)为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是34且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成．(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好，并说明理由．【答案】(1)189256(2)分布列见解析，3(3)选择小宇，理由见解析【分析】(1)小明至少正确完成其中3道题包含两种情况：一是小明正确完成3道题，二是小明正确完成4道题，然后由互斥事件的概率公式求解即可；(2)由题意得X 的可能取值为2，3，4，然后求各自对应的概率，从而可求出X 的分布列及数学期望；(3)分别计算出他们两人至少完成其中3道题的概率，通过比较概率的大小可得答案.【详解】(1)记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A ，则P A =C 3434 314+C 4434 4=189256．(2)X 的可能取值为2，3，4P X =2 =C 22C 26C 48=1570=314，P X =3 =C 12C 36C 48=4070=47，P X =4 =C 02C 46C 48=1570=314，X 的分布列为；X 234P31447314数学期望E X =2×314+3×47+4×314=3．(3)由(1)知，小明进入决赛的概率为P A =189256；记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B ，则P B =47+314=1114；因为P B >P A ，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛．13.(2023·广东·校联考模拟预测)某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.(1)若甲第一关通过的概率为23，第二关通过的概率为56，求甲可以进入第三关的概率；(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附：若随机变量Z ∼N μ,σ2 ，则P μ-σ≤X ≤μ+σ ≈0.6827；P μ-2σ≤X ≤μ+2σ ≈0.9545；P μ-3σ≤X ≤μ+3σ ≈0.9973.【答案】(1)7081。

桂林电子工业学院试卷学年第 学期 课号课程名称 概率论与数理统计 适用班级（或年级、专业） 考试时间 120 分钟 班级 学号 姓名一、 填空题（每小题4分，共20分）1、 若ˆˆ(,......)12X X X n θθ=是未知参数θ的一个估计量，满足ˆE θθ=，则称ˆθ是θ的___________估计 2、111P(A),P(B),P(AB),P(AB)328====若则___________3、设n 21X X ,X 独立同分布，且2i i DX ,EX σμ==，对任意的R b ,a ∈，当n 充分大时，由中心极限定理nX n i P(a b)μ∑-<<≈___________ 4、设X 2**EX,DX 0,X ,DX μμσσ-==>==则___________5、来自总体X 的简单随机样本,......12X X X n 具有两个特点①___________②___________二 选择题（每小题４分，共12分）1 已知X 服从参数为λ的泊松分布，且()2X (P ,2)X (E ===则 ） （A ） 2e - (B) 22e- (C) 23e - (D) 24e-2．设ηξ,独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，而服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是（ ）（A ）);,(ηξ (B) ;ηξ+ (C) 2ξ (D) ;ηξ-3. =-==)32(,3)(,2)(Y X D Y D X D 则若( ) (A) 30 (B)35 (C) 32 (D) 28三（10分，）大学工科学生学习概率论课程有三种态度：一 是不想上课（常逃课）；二是上课而不听课，作业不独立完成；三是听课作业均较认真。

若三种学生的比例分别为0.1，0.1，0.8；根据经验在期末考试中上述三种情况考试不能及格的可能性分别为０．８，０．６，０．2现已知某学生在期末考试中概率论不能通过，求该生属第一种情况的概率。

【新结构】2023-2024学年浙江省浙南名校联盟第二学期期末联考数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，集合，则()A. B. C. D.2.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点不同于A、且，则二面角的大小为()A. B.C. D.3.已知M，N，P，Q是平面内四个互不相同的点，，为不共线向量，，，，则()A.M，N，P三点共线B.M，N，Q三点共线C.M，P，Q三点共线D.N，P，Q三点共线4.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数k的取值范围是()A. B. C. D.5.已知复数，则()A. B. C.2 D.6.函数，若在区间上是单调函数，且则的值为()A. B.或2 C. D.1或7.若，则()A. B.C.D.8.正项数列中，为实数，若，则的取值范围是()A.B.C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知x ，，且，，则()A.B.C. D.10.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A ，B ，C ，D ，E 五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有()A.所有可能的方法有种B.如果社区A 必须有同学选择，则不同的安排方法有61种C.如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有25种D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种11.已知定义在R 上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有()A.若2为的周期，则为奇函数B.若为奇函数，则2为的周期C.若4为的周期，则为偶函数D.若为偶函数，则4为的周期三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若随机变量，，若，，则__________.13.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上正方形ABCD内部，含边界，则的取值范围为__________.14.已知函数，若函数有三个极值点，，，若，则实数a的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。

北京交通大学2018~2019学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（B 卷）一．（本题满分8分）将三封信随机投入编号为1、2、3、4的四个信箱，记X 为1号信箱内信的数目，Y 表示有信的信箱数目，求：二维随机变量()Y X ，的联合分布律（5分）及随机变量X 与Y 各自的边缘分布律（3分）．解：X 的可能取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为1，2，3．()Y X ，的联合分布律以及X 与Y 各自的边缘分布律为YX123⋅i p 0643641864664271064964186427206490649364100641jp ⋅64464366424二．（本题满分8分）设二维随机变量()Y X ，的联合密度函数为()⎩⎨⎧<≤=其它，0122y x ycx y x f ⑴试确定常数c （4分）；⑵求随机变量X 的边缘密度函数()x f X （4分）．解：⑴()211214121x f x y dxdy dx cx ydy +∞+∞-∞-∞-===⎰⎰⎰⎰，所以，421=c ．⑵当11<<-x 时，()()()421218214212x x ydy x dy y x f x f xX -===⎰⎰+∞∞-，因此，X 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其它011182142x x x x f X 三．（本题满分8分）某人有n 把钥匙，其中只有一把能打开他的房门，他逐个试开，试过的不再重试．令X 表示试开次数，求随机变量X 的数学期望()X E （4分）与方差()X D （4分）．解：随机变量X 的取值为n ,,2,1 ，并且{}nk X P 1==，()n k ,,2,1 =．(){}()2121111111+=+⋅=⋅=⨯==⨯=∑∑∑===n n n n k n n k k X P k X E n k nk nk ，(){}()()()()612161211111212122++=++⋅=⋅=⨯==⨯=∑∑∑===n n n n n n k n n k k X P k XE n k nk nk ，所以，()()()()()()1212161212222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=-=n n n n X E XE X D ．四．（本题满分8分）设随机变量()2,~σμN X ，再设μ-=X Y ．求随机变量Y 的数学期望()Y E （4分）与方差()Y D （4分）．解：随机变量X 的密度函数为()()22221σμσπ--=x X e x f ，()+∞<<∞-x ．所以，()()()()⎰⎰∞+∞---∞+∞--=-=-=dxe x dx xf x X E Y E x X 22221σμμσπμμ()()222xx eμσμμ-+∞-=-⎰，令σμ-=xu，则σdxdu=，代入上式，得()σππσσπ222222222=-==+∞-∞+-⎰uueduueYE，()()()222σμ==-=XDXEYE，所以，()()()()⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=πσσπσ21222222YEYEYD．五．（本题满分8分）设甲、乙两种电器的使用寿命X与Y都服从指数分布，其密度函数分别为()⎩⎨⎧≤>=-xxexfxXλλ与()⎩⎨⎧≤>=-yyeyfyYμμ其中0>λ，0>μ都是参数．并且X与Y相互独立．试求甲种电器的使用寿命不超过乙种电器的使用寿命的概率．解：因为随机变量X与Y相互独立，所以()YX,的联合密度函数()()()()⎩⎨⎧>>==+-其它,0,yxeyf xfyx fyxYXμλλμ．所求概率为()YXP≤，则有()()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞+-≤==≤,xyxyxdyedxdxdyyx fYXPμλλμ()()⎰⎰⎰⎰+∞+-+∞∞+--+∞+∞--=-==dxedxeedyedxe xxyxxyxμλμλμλλλλμ()μλλμλλμλ+=+-=+∞+-xe．六．（本题满分8分）某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为70件、20件、10件．现从中抽取一件产品，记⎩⎨⎧=其它若抽到为一等品01X ⎩⎨⎧=其它若抽到为二等品1Y 试求X 与Y 的相关系数ρ，并判断X 与Y 是否相互独立？解：()Y X ，的联合分布律及各自的边缘分布律为YX01⋅i p 00.10.20.310.700.7jp ⋅0.80.2所以，()7.0=X E ，()21.0=X D ，()2.0=Y E ，()16.0=Y D ．又()0=XY E ，所以，()()()()()()14.0cov -=-=Y E X E XY E Y X ，()7638.016.021.014.0cov -=-==DYDX Y X ，ρ，由于0≠ρ，所以随机变量X 与Y 相关，从而随机变量X 与Y 不独立．七．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 满足：()2=X E ，()3=Y E ，()4=X D ，()16=Y D ，()14=XY E ，试用Chebyshev （切比雪夫）不等式估计概率{}323≥-Y X P ．解：()()()032232323=⨯-⨯=-=-Y E X E Y X E ，()()()()Y X Y D X D Y X D ,cov 2324923⨯⨯-+=-()()()()Y E X E XY E -⨯-⨯+⨯=1216449()4614126436=-⨯-+=，所以，由Chebyshev （切比雪夫）不等式，有{}()(){}32323323≥---=≥-Y X E Y X P Y X P ()94923=-≤Y X D ．八．（本题满分8分）设随机变量n X X ,,1 相互独立，都服从区间()1,0上的均匀分布，令()n X X U ,,max 1 =，求U 的密度函数()x f U （4分）以及()U E （4分）．解：i X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它0101x x p ，分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=111000x x x x x F ．所以，随机变量U 的密度函数为()()()()()⎩⎨⎧<<==--其它01011x nx x p x F n x p n n U ．所以，()()()1111+==⋅==⎰⎰⎰-+∞∞-n n dx x n dx nx x dx x xp U E nn n ．九．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立而且具有相同的分布，其中X 的分布律为X 012P313131令：()Y X U ,min =，()Y X V ,max =．求二维随机变量()V U ,的联合分布律，以及U 与V 各自的边缘分布律（6分）．并说明随机变量U 与V 是否相互独立（2分）．解：()V U ,的联合分布律以及U 与V 各自的边际分布律为VU12⋅i p 0919292951091929329191jp ⋅919395由于{}{}{}91910200,2⨯===≠===V P U P V U P ，所以，随机变量U 与V 不相互独立．十．（本题满分8分）一商店经销某种商品，每周进货的数量X 与顾客对该商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间[]2010，上的均匀分布，商店每售出一单位该商品可得利润1000元，若需求量超过了进货量，商品可从其它商店调剂供应，这时每单位该商品可获利润500元，试求此商店经销该商品所得利润的数学期望．证明：由于X 与Y 相互独立，且都服从区间[]2010，上的均匀分布，所以()Y X ，的联合密度函数为．()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤==其它，，0201020101001y x y f x f y x f Y X 再设Z 为商店所得利润，则有()⎩⎨⎧<-+≥=YX X Y X Y X Y Z 50010001000所以，()()()⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdyy x f y x h Z E ，，()⎰⎰=201020101001dxdyy x h ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰⎰⎰⎰20201010201050010001001x x dy y x dx ydy dx 67.141667500320000=+=十一．（本题满分8分）向平面区域(){}0402≥-≤≤=x x y y x D ，：，内随机地投掷一点，即二维随机变量()Y X ,服从平面区域D 上的均匀分布．⑴.试求二维随机变量()Y X ,的联合密度函数；⑵.点()Y X ,到y 轴距离的概率密度函数；⑶.设()D Y X ∈，，过点()Y X ,作y 轴的平行线，设S 为此平行线与x 轴、y 轴以及曲线24x y -=所围成的曲边梯形的面积，求()S E ．解：⑴．平面区域D 的面积为()3164202=-=⎰dx x A 所以，二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()()⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=Dy x Dy x y x f ，，0163,⑵.点()Y X ,到y 轴距离的概率密度函数，即是分量X 的边缘密度函数，当20≤≤x 时，()()()24041631632x dy dy y x f x f x X -===⎰⎰-+∞∞-，所以，分量X 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它02041632x x x f X ⑶.由题设，所作曲边梯形的面积为()344302X X dx x S X-=-=⎰所以，()()⎰+∞∞-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dxx f x x X X E S E X 343433()384163342023=-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰dx x x x 十二．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布()1,0N ．令随机变量22Y X Z +=．试求随机变量Z 的密度函数()z f Z ．解：由题意，得()2221x X ex f -=π()∞<<∞-x ，()2221y y ey f -=π()∞<<∞-y ．设随机变量22Y X Z +=的分布函数为()z F Z ，则(){}{}z Y X Pz Z P z F Z ≤+=≤=22当0≤z 时，(){}()022=∅=≤+=P z Y X P z F Z；当0>z 时，(){}()()⎰⎰≤+=≤+=zy x YXZdxdyy f x f z Y X P z F 2222⎰⎰≤++-=zy x y x dxdye 2222221π作极坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，则有()⎰⎰⎰--==zr zr Z rdrerdr ed z F 022202221πθπ所以，随机变量22Y X Z +=的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-000022z z rdre z F z rZ 所以，随机变量22Y X Z +=的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-0022z z zez F z f z Z Z ．十三．（本题满分4分）设随机变量X 与Y 相互独立，都服从正态分布⎪⎭⎫⎝⎛21,μN ．求数学期望Y X E -．解：因为随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布，所以其差Y X -也服从正态分布．而()()()0=-=-=-μμY E X E Y X E ，()()()12121=+=+=-Y D X D Y X D ，因此，()1,0~N Y X U -=．()ππππ22222210222222=-====-+∞-∞+-∞+∞--⎰⎰u u u e uedu eu U E Y X E ．。

2020-2021学年度高一数学期末复习卷（一）——统计与概率一、单选题1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】A 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确． ①原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ①()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由①易知，C 不正确．①原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.2．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10①8①7，从中随机抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A ．280 B ．320C ．400D ．1000【答案】C 【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果 【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++每人被抽取的概率为0.2，∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C 【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题． 3．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ） A ．至多有1次中靶 B ．2次都中靶 C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶【答案】C 【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件． 【详解】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件.再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”.故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”， 故选：C .4．掷一枚骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥【答案】B 【详解】事件{2,4,6}A =，事件{3,6}B =，事件{6}AB =，基本事件空间{1,2,3,4,5,6}Ω=，所以()3162P A ==，()2163P B ==，()111623P AB ==⨯，即()()()P AB P A P B =，因此，事件A 与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．故选B ．5．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为 A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C 【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,列出样本空间，有9个样本点，“齐王的马获胜”包含的样本点有6个，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,Ω={()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c }，9)(=Ωn ，因为每个样本点等可能，所以这是一个古典概型。