线代框架

线性代数－知识框架()000,nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E ββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 注：全体n 维实向量构成的集合n叫做n 维向量空间.()0A r A n A A A Ax A λ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量注：()()0a b r aE bA n aE bA aE bA x λ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩0有非零解=-⎫⎪≅⎪−−−→⎬⎪⎪⎭具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量152p 教材；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑1√ 行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-1⑤范德蒙德行列式：()1222212111112n ij nn i j n n n nx x x xx x x x x x x ≥≥≥---=-∏111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m n A a ⨯=或mn A ⨯()1121112222*12n Tn ijnnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:① 1A A A *-= 注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1②1()()AE E A -−−−−→初等行变换③1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m nmnA A =√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⇔i iA c β= ，(,,)i s =1,2⇔iβ为iAx c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇔12,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，T A 为系数矩阵.√ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√ 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O C B B CAB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→初等行变换(I)的解法：构造()()T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得√ 0Ax =与0Bx =同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组0Ax =与0Bx =同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；101p 教材 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔PQ B =（右乘可逆矩阵Q ）. √ 判断12,,,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件：① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη都是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()r A A O =⇔=0.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一. ⑪ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A ； 对A 施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A .如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =向量组12,,,n ααα的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααA 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⑬ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =，,P Q 可逆⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅.⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；p 教材94,例10 ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑱ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.√ 矩阵的秩的性质：①()A O r A ≠⇔若≥1 0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n ②()()()TTr A r A r A A == p 教材101,例15 ③()()r kA r A k =≠ 若0④()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70⑤ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭⑥()r AB ≤{}min (),()r A r B⑦ ,,()()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=⇒+若且0≤n ⑧()()A r AB r B ⇒=若可逆()()B r AB r A ⇒=若可逆⑨若0()()()m n Ax r A n r AB r B ⨯⇔=⎧=⇒⎨=⎩ 只有零解且A 在矩阵乘法中有左消去律0AB B AB AC B C=O ⇒=⎧⎨=⇒=⎩；若()()()n s r B n r AB r B ⨯=⇒= 且B 在矩阵乘法中有右消去律.√初等矩阵的性质：1212,,,0,,,()()A n n Ax n Ax A Ax r A r A Ax n βαααβαααβββ⇔=<⇔⇒⇔=−−−−−→=⇔=⇔=⇔==当为方阵时有无穷多解 表示法不唯一线性相关有非零解0 可由线性表示有解有唯一组解 1212,,,0()(),,,()(A n n Ax A r A r A Ax r A r αααββαααβ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⇔⎪⇒⇔=−−−−−→≠⇒⎪⎩⇔≠⇔=⇔<当为方阵时表示法唯一 线性无关只有零解0克莱姆法则 不可由线性表示无解)()1()A r A r A ββ⎧⎪⎨⎪⇔+=⎩注：Ax Ax ββ⇒=<≠⇒=<≠有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解Ax β=1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11212(,,,)n n x x x αααβ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212),0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解 √ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,⇒()()r A r A β=⇒Ax β=一定有解， 当m n <时,一定不是唯一解⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限.n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α=.√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c c c αβαβαβ==E A λ-.()E A f λλ-=.√ ()f λ是矩阵A 的特征多项式⇒()f A O =E A λ-=0. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关√12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.√ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr ,23n λλλ====0 p 指南358.√ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f A 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；12()()()()n f A f f f λλλ=② 若A 满足()0f A =,则A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0.√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++为A 的一个多项式.√1231122,T A mm k kAa b aA bE A A A A A Aλλλλλλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎨= 是的特征值则:分别有特征值 .⎪⎪⎪⎪⎪⎩ √ 1231122,A mm k kAa b aA bEAx A x A A Aλλλλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪⎩ 是关于的特征向量则也是关于的特征向量.√ 2,mA A 的特征向量不一定是A 的特征向量. √ A 与TA 有相同的特征值，但特征向量不一定相同.1B P AP -= （P 为可逆矩阵） 记为：A B 1BP AP -= （P 为正交矩阵）A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ （称Λ是A√ A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121212112212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n PPA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎛⎫⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭. 注：当i λ=0为A 的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-= 0Ax =基础解系的个数. √ 若A 可相似对角化,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 可相似对角化.√ 若A Λ⇒k A =1k P P -Λ=，1211()()()()()n A P P P P ϕλϕλϕϕϕλ--⎛⎫⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭√ 相似矩阵的性质：① A B =tr tr② A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ③ ()()r A r B = ④TT AB ；11A B -- （若,A B 均可逆）；**A B⑤kk AB （k 为整数）；()()f A f B ，()()f A f B =⑥,A B A B CD C D ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑦E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.注:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量.√ 数量矩阵只与自己相似.√ 对称矩阵的性质： ① 特征值全是实数,特征向量是实向量；② 不同特征值对应的特征向量必定正交；注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；③ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ④ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；⑤ 一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--）.T AA E =√ A 为正交矩阵⇔A 的n 个行（列）向量构成n的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质：① 1TA A -=；② TTAA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ A 是正交阵,则TA ，1A -也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.1211(,,,)n nTn ij i j i j f x x x x Ax a x x ====∑∑ ij ji a a =，即A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x =T B C AC =. 记作：A B （,,A B C为对称阵为可逆阵）二次型的规范形中正项项数p r p -；2p r -. (r 为二次型的秩)√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：AB√ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x xx Ax =经过正交变换合同变换可逆线性变换x Cy =化为21ni i f d y =∑√ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由()r A +正惯性指数负惯性指数唯一确定的.√ 当标准形中的系数i d 为-1或0或1时,√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 惯性定理：任一实对称矩阵A与唯一对角阵11110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭合同.√ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量； ② 对n 个特征向量正交化、单位化；③ 构造C （正交矩阵）,作变换x Cy =,则1112221()()TT T T T n n n y d y y d y Cy A Cy y C ACY y C ACY y d y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭新的二次型为21ni if d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.123,,ααα线性无关,112122111313233121122()()()()()()T TT T T Tβααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎪⎩正交化 单位化：111βηβ=222βηβ= 333βηβ= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。

大一线代重要知识点在线性代数的学习中，大一学生会接触到一些重要的知识点，这些知识点对于理解线性代数的基本概念和方法至关重要。

本文将介绍一些大一线性代数的重要知识点，帮助读者更好地掌握线性代数的基础知识。

一、向量及其运算在线性代数中，向量是一个基本的概念。

向量可以用来表示空间中的点、力、速度等物理量。

向量的运算包括向量的加法、减法、数乘等。

其中，向量的加法满足交换律和结合律，即无论向量相加的顺序如何，结果都是相同的。

二、矩阵及其运算矩阵是线性代数中另一个重要的概念。

矩阵可以看作是一个二维数组，它由行和列组成。

矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵乘法等。

其中，矩阵乘法不满足交换律，注意矩阵乘法的顺序对结果有影响。

三、线性方程组线性方程组是线性代数的重要应用之一。

线性方程组由若干个线性方程组成，其中每个方程都是关于未知量的线性函数。

求解线性方程组的方法有很多，包括高斯消元法、矩阵求逆法等。

解线性方程组的关键是找到合适的消元顺序，使得方程组的解容易求得。

四、行列式行列式是线性代数中的重要工具，它可以用来判断矩阵是否可逆、求解线性方程组的解等。

行列式的计算公式比较复杂，但可以利用一些性质和规律简化计算过程。

行列式的值可以为零，当且仅当矩阵不可逆，即奇异矩阵。

五、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的重要性质。

矩阵的特征值和特征向量可以描述矩阵的运动以及变换的特性。

求解矩阵的特征值和特征向量可以通过求解矩阵的特征方程得到。

特征值和特征向量在物理、工程等领域有广泛的应用。

六、内积与正交内积是线性代数中的重要概念，它可以用来度量两个向量之间的夹角和长度。

内积具有对称性、线性性和正定性等性质。

特别地，当两个向量的内积为零时，它们被称为正交向量。

正交向量在几何学、信号处理等领域有重要应用。

七、线性相关与线性无关线性相关和线性无关是向量集合的重要特性。

当向量集合中存在某个向量，可以线性表示为其他向量的线性组合时，这些向量集合就是线性相关的。

第一章：行列式考试内容：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求：1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．第二章：矩阵考试内容：矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵等价分块矩阵及其运算考试要求：1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．理解矩阵的初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．第三章：向量考试内容：向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间以及相关概念n维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质考试要求：1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系5．了解n维向星空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．6．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．7．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．8．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．第四章：线性方程组考试内容:线性方程组的克莱姆（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解考试要求l．会用克莱姆法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．第五章：矩阵的特征值及特征向量考试内容:矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵考试要求:1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. 2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．第六章：二次型考试内容：二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求：1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变化和合同矩阵的概念了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法概率与统计第一章：随机事件和概率考试内容：随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．第二章：随机变量及其分布考试内容：随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求：1．理解随机变量的概念．理解分布函数的概念及性质．会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为λ（λ>0）的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．第三章：多维随机变量及其分布考试内容：多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求：1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质. 理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布；理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度．会求与二维随机变量相关事件的概率．2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义．4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。

线代知识点总结PPT1. 引言线性代数是高等数学中重要的一门学科，它是数学在其它学科中的一种普遍使用的工具。

线性代数主要研究向量空间及其上的线性变换，是一种广泛运用于各种学科的数学语言和工具。

2. 向量空间•定义：向量空间是指具有加法运算和数乘运算，并满足特定条件的一个集合。

•向量的线性组合：给定一个向量空间V和向量v1, v2, …, vn，向量c1, c2, …, cn的线性组合表示为c1v1 + c2v2 + … + cnvn。

•线性无关：如果向量v1, v2, …, vn的线性组合为零向量的时候，只有所有系数都为零时，才能使等式成立，则称向量v1, v2, …, vn线性无关。

•基底：如果V中的每个向量都可以表示成基底的线性组合，并且基底是线性无关的，那么称基底是向量空间V的一个基底。

3. 矩阵与线性方程组•矩阵：矩阵是按照规定的顺序、列数、行数排列成的矩形数表，用来表示线性关系。

•线性方程组：线性方程组是由一组线性方程组成的方程组。

•齐次线性方程组：如果线性方程组的右端项全为0，即齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。

•矩阵的行、列空间：矩阵的行空间是由所有行向量张成的向量空间，列空间是由所有列向量张成的向量空间。

4. 行列式•定义：行列式是一个标量的特殊函数，它是一个方阵所特有的量，用于描述线性方程组的性质。

•二阶行列式：二阶行列式是一个2x2矩阵的行列式，可以通过交叉相乘再相减的方式计算得到。

•三阶行列式：三阶行列式是一个3x3矩阵的行列式，可以通过Sarrus法则计算得到。

•行列式的性质：行列式具有线性性、交换性、反对称性等性质。

5. 矩阵的运算•矩阵的加法：两个矩阵相加时，只需要对应位置的元素相加即可。

•矩阵的数乘：矩阵的数乘即将矩阵的每个元素乘以一个常数。

•矩阵的乘法：矩阵的乘法是指按照行与列的方式，将一个矩阵的每一行中的元素与另一个矩阵的对应列的元素相乘，再相加得到新矩阵中的元素。

大一线代知识点归纳总结在大一的线性代数课程中，我们学习了很多重要的知识点，这些知识点是我们理解和应用线性代数的基础。

本文将对大一线性代数中的知识点进行归纳总结，帮助同学们复习和回顾这些重要概念。

1. 向量和向量空间在线性代数中，向量是一个具有大小和方向的量，它可以在空间中表示为箭头。

向量之间的运算包括加法和数乘。

向量空间是由向量组成的集合，满足特定的运算规则。

2. 矩阵和矩阵运算矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列。

矩阵可以表示线性变换和方程组。

矩阵之间的运算包括加法、减法和乘法。

矩阵乘法是一个重要的运算，它可以表示线性变换的复合。

3. 行列式和特征值特征向量行列式是一个标量，它可以从一个方阵中计算出来。

行列式的值可以用来判断方阵是否可逆。

特征值和特征向量是方阵的重要性质，它们能够描述线性变换的特征。

4. 线性方程组和矩阵求逆线性方程组是一个包含线性方程的集合。

解线性方程组的方法包括消元法和矩阵求逆法。

矩阵求逆可以将一个方阵转化为其逆矩阵，从而求解线性方程组。

5. 向量空间和子空间向量空间是一组向量的集合，满足一定的运算规则和性质。

子空间是向量空间中的一个子集，并且也满足向量空间的性质。

子空间可以由向量的线性组合生成。

6. 正交性和正交变换正交性是向量之间的一种关系，表示两个向量垂直或者正交。

正交变换是一个保持向量长度和角度的变换，常见的正交变换包括旋转和镜像。

7. 线性相关和线性无关向量集合中的向量是线性相关的，当其中存在一个向量可以表示为其他向量的线性组合。

相反，向量集合中的向量是线性无关的，当其中任意向量不可表示为其他向量的线性组合。

8. 线性映射和矩阵表示线性映射是一种保持向量空间结构的映射关系。

矩阵可以表示线性映射，其中矩阵的列向量是映射后的基向量。

9. 最小二乘法和正交投影最小二乘法是一种求解最佳拟合解的方法，它可以用来处理过完备方程组或者存在误差的方程组。

正交投影是一种将向量投影到子空间上的操作。

大学线代知识点总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间、线性变换和矩阵的基本性质和应用。

它是大学数学课程中的一门重要课程，为学习高等数学和其他数学专业课程打下基础。

本文将对大学线性代数的基本知识点进行总结，包括向量、矩阵、线性变换和特征值等。

1. 向量向量是线性代数中的基本概念之一，具有大小和方向。

向量可以表示为列向量或行向量，可以进行加法和数乘运算，遵循向量空间的定义。

向量的长度称为向量的模，两个向量之间的夹角可以通过向量的内积来计算。

2. 矩阵矩阵是线性代数中的另一个基本概念，是由数字按照矩形排列形成的一个矩形阵列。

矩阵可以进行加法、数乘和乘法运算，乘法运算需要满足矩阵的乘法规则。

矩阵可以表示为方阵或矩阵组成的矩阵。

3. 线性变换线性变换是线性代数中的重要概念，指的是一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数乘运算的性质。

线性变换可以由矩阵表示，矩阵的列向量是线性变换后的基向量。

线性变换有许多重要性质，如零空间、核和像等。

4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。

矩阵的特征向量是指矩阵与一个非零向量相乘得到的向量，特征向量的方向不变。

特征值是特征向量对应的标量，表示特征向量在变换前后的缩放比例。

通过特征值和特征向量可以分析矩阵的性质，比如对角化和对称矩阵的性质。

5. 行列式行列式是矩阵理论中的一个重要工具，用于描述矩阵的性质。

行列式可以用来判断矩阵是否可逆，计算矩阵的逆矩阵和求解线性方程组。

行列式的定义是矩阵的一个标量值，通过对矩阵的行或列进行适当的运算得到。

6. 线性方程组线性方程组是线性代数中的另一个核心概念，它是由一系列线性方程组成的方程组。

线性方程组的解集表示了满足所有方程的向量集合。

通过矩阵的系数矩阵和增广矩阵可以表示线性方程组，通过高斯消元法和矩阵的行列式可以求解线性方程组的解。

7. 正交与正交投影正交是线性代数中一个重要的概念，指的是两个向量之间的夹角为90度，或者内积为0。

线性代数时隔一年，总算把特征值特征向量以及二次型部分给大家补上了：）还是那句话，个人水平有限，加上不同人的不同的思维习惯，所以只能说我把自己的思路提供出来给大家作为参考，希望能起到点提纲挈领的作用吧。

说实话，写最后这部分时，还是感觉到有些压力，最主要怕写出来不如前四章那样让大家满意，呵呵，不过无论如何，我已经尽力了，线代的知识框架总结也算是形成了一个完整的篇章，至少有始有终吧。

最近一段时间课题任务比较重，可能要过个把月才有空把高数部分重新修订了。

最后一个小说明，因为这个系列文章的重点是挖掘、梳理各知识点之间的相互联系和脉络，所以内容上并没有全盘覆盖课本，而是有所侧重，打个比方，相当于是勾勒出的一个线性代数的基本框架，那么建议大家在此基础上多开阔思路，通过发散思维把框架之外的剩余部分囊括到自己的脑海中来：）线性代数知识点框架（五）由矩阵乘法的特点可知，计算一个矩阵A的n次方，相对于数乘运算来说要繁琐得多。

我们注意到，如果存在可逆矩阵P和对角矩阵∧，使得A=P*∧*P逆，那么有：A^n=（P*∧*P逆）^n=（P*∧*P逆）（P*∧*P逆）…（P*∧*P逆）=P*∧^n*P 逆由于对角矩阵的乘方容易计算，从而问题得到大幅简化。

对矩阵A、B来说，如果存在着可逆矩阵P，使得A=P *B*P逆，我们称A与B是相似的。

特别地，如果A与对角矩阵∧相似，则称A可对角化。

由此可见，如果矩阵A可对角化，那么A^n的计算将变得简单许多。

故可把相似的说法理解为一个在寻找矩阵乘方简便运算的过程中提出来的概念。

相似的矩阵有许多共同的性质，如有相同的秩和相同的行列式值，相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆，等等。

设矩阵A相似于对角矩阵∧，那么：A=P*∧*P逆＜＝＞AP=P∧，其中P为可逆矩阵＜＝＞ A*（a1, a2, …, an）=（a1, a2, …, an）*∧，其中a1, a2, …, an 分别为可逆矩阵P的列向量，λ1, λ2, …, λn分别为对角矩阵∧的主对角线上元素＜＝＞ A*a1=λ1*a1，A*a2=λ2*a2，…，A*an=λn*an也就是说，矩阵A能对角化的关键，在于找到n个常数λ1, λ2, …, λn和n 个线性无关的向量a1, a2, …, an（因为这些向量构成的矩阵可逆，这也决定了零向量不是特征向量），使得A*ai=λi*ai（i=1，2，3，…，n）。

线代知识点概念总结1.向量空间向量空间是线性代数的基础概念之一，它是一个集合，其中的元素称为向量，同时该集合还具有向量加法和数量乘法的结构。

向量空间具有多种性质，例如：对于任意的向量a，b和c，满足加法交换律、结合律、零元素和负元素等。

2.线性方程组线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，例如：a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b是一个线性方程，它可用矩阵表示。

解线性方程组是线性代数中的一个重要内容，可以用高斯消元法、矩阵求逆、克拉默法则等方法来求解。

3.矩阵矩阵是线性代数中的重要工具，它由一组按照矩形排列的数所组成的，其中每一个数称为一个元素。

矩阵可以进行加法、数乘和矩阵乘法等运算。

矩阵的性质和运算规则很多，例如：矩阵的转置、逆矩阵、矩阵的秩等。

4.线性变换线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，同时满足线性函数的性质。

线性变换具有很多性质和运算规则，例如：线性变换的复合、线性变换的逆等。

5.特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的一个重要性质，它们可以描述矩阵在某种变换下的特定性质。

特征值和特征向量在许多领域有广泛的应用，例如：物理学、工程学和计算机科学等。

6.内积空间内积空间是线性代数的一个重要分支，它是一个向量空间，并且在其上定义了一个内积运算。

内积空间具有很多性质和运算规则，例如：内积的线性性、正定性等。

7.正交、标准正交正交和标准正交是内积空间中的重要概念，它们描述了向量空间中向量之间的关系，具有很多性质和运算规则，例如：正交矩阵、标准正交基等。

8.奇异值分解奇异值分解是矩阵分解的一种重要方法，它可以将一个任意的矩阵分解为奇异值矩阵、左奇异向量和右奇异向量的乘积，具有重要的应用价值。

9.特征值分解特征值分解是一种重要的矩阵分解方法，它可以将一个对称矩阵分解为特征向量和对角元素的乘积，具有很多应用。

10.广义逆矩阵广义逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是对非方正矩阵的逆矩阵的推广，具有很多应用。