巩固练习_圆的方程_提高
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高二圆与方程基础练习题1. 已知圆心坐标为O(2, 3),半径为r = 5。
求圆的方程。
解答:设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,其中(a, b)为圆心坐标,r为半径。
代入已知数据,得到方程为(x-2)²+(y-3)²=5²。
2. 已知圆心坐标为M(-2, 4),圆上一点的坐标为A(3, -1)。
求圆的方程。
解答:设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,其中(a, b)为圆心坐标,r为半径。
代入已知数据,得到方程为(x+2)²+(y-4)²=6²。
3. 已知圆心坐标为N(0, -5),半径为r = 7。
求圆的方程。
解答:设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,其中(a, b)为圆心坐标,r为半径。
代入已知数据,得到方程为(x-0)²+(y+5)²=7²。
4. 已知圆心坐标为P(-3, 2),过点Q(4, 5)的直线交圆于两点。
求交点坐标。
解答:设直线方程为y=mx+c,其中m为斜率,c为截距。
将直线方程代入圆的方程,得到(x+3)²+(mx-2m+c)²=5²。
代入点Q的坐标,得到(4+3)²+(4m-2m+c)²=25。
化简为49+25m²-20m+c²=25。
化简后得到25m²-20m+c²=-24。
由于过点Q的直线交圆于两点,可以设两个交点的坐标为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)。
根据交点的性质,有以下方程组:(x₁+3)²+(mx₁-2m+c)²=5²,(x₂+3)²+(mx₂-2m+c)²=5².解方程组得到交点坐标为(x₁, y₁)≈(-1.26, 6.37)和(x₂, y₂)≈(-5.42, -2.37)。
《圆的标准方程》作业设计方案一、作业目标1、让学生熟练掌握圆的标准方程的形式和推导过程。
2、能够运用圆的标准方程解决与圆有关的几何问题,如求圆的圆心和半径、判断点与圆的位置关系等。
3、培养学生的数学思维能力和运算能力,提高学生的解题技巧和应用意识。
二、作业内容1、基础知识巩固(1)给出圆的标准方程的表达式:\((x a)^2 +(y b)^2 =r^2\),其中\((a, b)\)为圆心坐标,\(r\)为半径。
要求学生写出圆心为\((2, -3)\),半径为 4 的圆的标准方程,并说明方程中各项的含义。
(2)已知圆的标准方程为\((x + 1)^2 +(y 2)^2 = 9\),求圆心坐标和半径。
2、能力提升(1)已知点\(P(x_0, y_0)\),圆的标准方程为\((x a)^2 +(y b)^2 = r^2\),判断点\(P\)与圆的位置关系。
引导学生通过计算点\(P\)到圆心的距离\(d\),并与半径\(r\)比较:当\(d >r\)时,点在圆外;当\(d = r\)时,点在圆上;当\(d < r\)时,点在圆内。
给出具体的圆方程和点坐标,让学生进行判断。
(2)已知圆的圆心坐标和一点在圆上,求圆的半径。
例如,圆心为\((-2, 1)\),点\((1, 3)\)在圆上,求圆的半径。
3、拓展应用(1)在平面直角坐标系中,已知圆\(C\)经过\(A(1, 1)\)、\(B(2, -2)\)两点,且圆心在直线\(l: x y + 1 = 0\)上,求圆\(C\)的标准方程。
(2)已知圆\(C\)的方程为\((x 3)^2 +(y + 4)^2 = 25\),直线\(l\)经过点\((5, 0)\)且与圆\(C\)相切,求直线\(l\)的方程。
4、探究思考(1)让学生思考圆的标准方程与圆的一般方程之间的关系,如何通过一般方程求出圆心和半径。
(2)引导学生探究在不同的坐标系下,圆的方程的形式是否会发生变化,以及如何进行转换。
2019-2020年高中数学 4.1.2圆的一般方程练习 新人教A 版必修2基础梳理1.圆的一般方程的定义.当D 2+E 2-4F>0时,二元二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0称为圆的一般方程. 2.方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示的图形.已知点M(x 0,y 0)和圆的方程x +y +Dx +Ey +F =0.则其位置关系如下表:练习1:二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0在什么条件下表示圆的方程? 答案:A =C≠0,B =0且D 2+E 2-4AF >0练习2:圆x 2+y 2-2x +10y -24=0的圆心为(1,-5),半径为 ►思考应用1.圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?解析:圆的标准方程(x -a)2+(y -b)2=r 2明确了圆心和半径,方程左边为平方和,右边为一个正数,且未知数的系数为1;一般方程体现了二元二次方程的特点,但未明确圆心和半径,需计算得到.当二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0中的系数A =C ≠0,B =0,D 2+E 2-4AF>0时,二元二次方程就是圆的一般方程.2.求圆的方程常用“待定系数法”,“待定系数法”的一般步骤是什么? 解析:(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组; (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F ,代入标准方程或一般方程.自测自评1.圆x 2+y 2+4x -6y -3=0的圆心和半径分别为(C ) A .(4,-6),r =16 B .(2,-3),r =4 C .(-2,3),r =4 D .(2,-3),r =16解析:由圆的一般方程可知圆心坐标为(-2,3), 半径r =1242+(-6)2+12=4.2.如果方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F>0)所表示的曲线关于y =x 对称,则必有(A )A .D =EB .D =FC .F =ED .D =E =F解析:由题知圆心⎝⎛⎭⎫-D 2,-E 2在直线y =x 上,即-E 2=-D2,∴D =E. 3.若方程x 2+y 2-4x +2y +5k =0表示圆,则实数k 的取值范围是(B )A .RB .(-∞,1)C .(-∞,1]D .[1,+∞)解析:由D 2+E 2-4F =(-4)2+22-4×5k =20-20k >0得k <1.4.圆心是(-3,4),经过点M (5,1)的圆的一般方程为x 2+y 2+6x -8y -48=0. 解析:圆的半径r =(-3-5)2+(4-1)2=73, ∴圆的标准方程为(x +3)2+(y -4)2=73, 展开整理得,x 2+y 2+6x -8y -48=0为圆的一般方程. 5.指出下列圆的圆心和半径: (1)x 2+y 2-x =0;(2)x 2+y 2+2ax =0(a ≠0); (3)x 2+y 2+2ay -1=0.解析:(1)⎝⎛⎭⎫x -122+y 2=14,圆心⎝⎛⎭⎫12,0,半径r =12; (2)(x +a )2+y 2=a 2,圆心(-a ,0),半径r =|a |; (3)x 2+(y +a )2=1+a 2,圆心(0,-a ),半径r =1+a 2. 基础达标1.方程x 2+y 2+4x -2y +5=0表示的曲线是(C ) A .两直线 B .圆 C .一点D .不表示任何曲线2.x 2+y 2-4y -1=0的圆心和半径分别为(C )A .(2,0),5B .(0,-2),5C .(0,2), 5D .(2,2),5解析:x 2+(y -2)2=5,圆心(0,2),半径 5.3.经过圆x 2+2x +y 2=0的圆心C ,且与直线x +y =0垂直的直线方程是(C ) A .x +y +1=0 B .x +y -1=0 C .x -y +1=0 D .x -y -1=0解析:x 2+2x +y 2=0配方得(x +1)2+y 2=1,圆心为(-1,0),故所求直线为y =x +1,即x -y +1=0.4.如果直线l 将圆x 2+y 2-2x -4y =0平分且不通过第四象限,那么l 的斜率的取值范围是(A )A .[0,2]B .[0,1]C.⎣⎡⎦⎤0,12D.⎣⎡⎭⎫0,12 解析:l 必过圆心(1,2),0≤k ≤2(几何意义知). 5.圆x 2+y 2-6x +4y =0的周长是________. 解析:(x -3)2+(y +2)2=13,r =13,C =2πr =213π. 答案:213π6.(1)已知点M 与两个定点A (4,2)、B (-2,6)的距离的比值为1,探求点M 的轨迹,然后求出它的方程;(2)已知点M 与两个定点A (4,2)、B (-2,6)的距离的比值为12时,M 点的轨迹又是什么?求出它的方程.解析:设M (x ,y )(1)因为点M 与两个定点A (4,2)、B (-2,6)的距离的比值为1,所以(x -4)2+(y -2)2(x +2)2+(y -6)2=1,化简得3x -2y +5=0.所以M 的轨迹是直线,它的方程是3x -2y +5=0;(2)因为点M 与两个定点A (4,2)、B (-2,6)的距离的比值为12,所以(x -4)2+(y -2)2(x +2)2+(y -6)2=12,化简得(x -6)2+(y -23)2=2089,故此时M 的轨迹是以(6,23)为圆心,半径为4313的圆,它的方程是(x -6)2+(y -23)2=2089.巩固提升7.已知A ,B 是圆O :x 2+y 2=16上的两点,且|AB |=6,若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1,-1),则圆心M 的轨迹方程是________________________________________________________________________.答案:(x -1)2+(y +1)2=98.求经过两点P (-2,4),Q (3,-1),并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程. 解析:设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,将P (-2,4),Q (3,-1)代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2D -4E -F =20,3D -E +F =-10. 令y =0得x 2+Dx +F =0.设x 1,x 2为方程x 2+Dx +F =0的两根. 由|x 1-x 2|=6有D 2-4F =36,解得D =-2,E =-4,F =-8或D =-6,E =-8,F =0. ∴圆的方程为x 2+y 2-2x -4y -8=0或x 2+y 2-6x -8y =0. 9.已知点A 在直线2x -3y +5=0上移动,点P 为连接M (4,-3)和点A 的线段的中点,求P 的轨迹方程.解析:设点P 的坐标为(x ,y ), A 的坐标为(x 0,y 0).∵点A 在直线2x -3y +5=0上, ∴有2x 0-3y 0+5=0. 又∵P 为MA 的中点,∴有⎩⎨⎧x =4+x 02,y =-3+y 02,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2x -4,y 0=2y +3. 代入直线方程得2(2x -4)-3(2y +3)+5=0, 化简得:2x -3y -6=0即为所求.1.任何一个圆的方程都可写成x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的形式,但方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示的曲线不一定是圆,只有D 2+E 2-4F >0时,方程才表示圆心为⎝⎛⎭⎫-D 2,-E 2,半径为r =12D 2+E 2-4F 的圆.2.在圆的方程中含有三个参变数,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.求圆的方程时是选用标准方程还是一般方程的依据:当给出的条件与圆心坐标、半径有关,或者由已知条件容易求得圆心和半径时,一般用标准方程.当上述特征不明显时,常用一般方程,特别是给出圆上三点,用待定系数法求圆的方程时,常用一般式,这样得到的关于D,E,F的三元一次方程组,要比使用标准方程简便得多.3.要画出圆的图象,必须知道圆心和半径,因此应掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程.。
第二章 2.3 2.3.2A 级 基础巩固一、选择题1.圆x 2+y 2-2x +y +14=0的圆心坐标和半径分别是 ( B )A .(-1,12);1B .(1,-12);1C .(1,-12);62D .(-1,12);62[解析] 圆x 2+y 2-2x +y +14=0化为标准方程为(x -1)2+(y +12)2=1,圆心坐标为(1,-12),半径是1,故选B . 2.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆,则a 的范围是 ( D ) A .a <-2或a >23B .-23<a <2C .-2<a <0D .-2<a <23[解析] 由题知a 2+(2a )2-4(2a 2+a -1)>0,即(3a -2)(a +2)<0,因此-2<a <23.3.圆x 2+y 2-2x +6y +8=0的周长等于 ( C ) A .2π B .2π C .22πD .4π[解析] 圆的方程x 2+y 2-2x +6y +8=0 可化为(x -1)2+(y +3)2=2,∴圆的半径r =2,故周长l =2πr =22π.4.方程2x 2+2y 2-4x +8y +10=0表示的图形是 ( A ) A .一个点 B .一个圆 C .一条直线D .不存在 [解析] 方程2x 2+2y 2-4x +8y +10=0, 可化为x 2+y 2-2x +4y +5=0, 即(x -1)2+(y +2)2=0,∴方程2x 2+2y 2-4x +8y +10=0 表示点(1,-2).5.若直线mx +2ny -4=0始终平分圆x 2+y 2-4x -2y -4=0的周长,则mn 的取值范围是 ( D )A .(0,1)B .(0,1]C .(-∞,1)D .(-∞,1][解析] 可知直线mx +2ny -4=0过圆心(2,1),有2m +2n -4=0,即n =2-m ,则mn =m ·(2-m )=-m 2+2m =-(m -1)2+1≤1.6.已知点P 是圆C :x 2+y 2+4x +ay -5=0上任意一点,P 点关于直线2x +y -1=0的对称点在圆C 上,则实数a 等于 ( B )A .10B .-10C .20D .-20[解析] 由题意知,直线2x +y -1=0过圆C 的圆心(-2,-a 2),∴2×(-2)-a2-1=0,∴a =-10.二、填空题7.点P (1,-2)和圆C :x 2+y 2+m 2x +y +m 2=0的位置关系是__在圆C 外部__. [解析] 将点P (1,-2)代入圆的方程,得1+4+m 2-2+m 2=2m 2+3>0,∴点P 在圆C 外部.8.若方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F =__4__. [解析] 由题意,知D =-4,E =8,r =(-4)2+82-4F2=4,∴F =4.三、解答题9.已知圆D 与圆C :x 2+y 2-x +2y =0关于直线x -y +1=0对称,求圆D 的一般方程. [解析] 圆C 的圆心坐标为(12,-1),半径r =52,C (12,-1)关于直线x -y +1=0对称的点D (-2,32),故所求圆D 的方程为(x +2)2+(y -32)2=54,即圆D 的一般方程为x 2+y 2+4x -3y +5=0.10.一动点到A (-4,0)的距离是到B (2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程.[解析] 设动点M 的坐标为(x ,y ), 则|MA |=2|MB |, 即(x +4)2+y 2=2(x -2)2+y 2,整理得x 2+y 2-8x =0.∴所求动点的轨迹方程为x 2+y 2-8x =0.B 级 素养提升一、选择题1.一束光线从点A (-1,1)出发经x 轴反射到圆C :x 2+y 2-4x -6y +12=0上的最短路程是 ( A )A .4B .5C .32-1D .2 6[解析] 将方程C :x 2+y 2-4x -6y +12=0配方,得(x -2)2+(y -3)2=1,即圆心为C (2,3),半径为1. 由光线反射的性质可知:点A 关于x 轴的对称点A ′(-1,-1)到圆上的最短距离就是所求的最短路程,即|A ′C |-r =(2+1)2+(3+1)2-1=5-1=4,故选A .2.已知x 2+y 2+4x -2y -4=0,则x 2+y 2的最大值为 ( D ) A .9 B .14 C .14-6 5D .14+6 5[解析] 已知方程表示圆心为(-2,1),r =3的圆. 令d =x 2+y 2,则d 表示(x ,y )与(0,0)的距离,∴d max =(-2-0)2+(1-0)2+r =5+3,∴(x 2+y 2)max =(5+3)2=14+6 5.3.如果直线l 将圆x 2+y 2-2x -6y =0平分,且不通过第四象限,那么直线l 的斜率的取值范围是 ( A )A .[0,3]B .[0,1]C .⎣⎡⎦⎤0,13 D .⎣⎡⎭⎫0,13 [解析] l 过圆心C (1,3),且不过第四象限. 由数形结合法易知:0≤k ≤3.4.已知圆x 2+y 2+kx +2y +k 2=0,当该圆的面积取最大值时,圆心坐标是 ( A ) A .(0,-1) B .(1,-1) C .(-1,0)D .(-1,1)[解析] 圆的半径r =124-3k 2,要使圆的面积最大,即圆的半径r 取最大值,故当k=0时,r 取最大值1,∴圆心坐标为(0,-1).二、填空题5.圆x 2+y 2-4x +2y +c =0与y 轴交于A 、B 两点,圆心为P ,若∠APB =90°,则c 等于__-3__. 导学号 92434810[解析] 圆与y 轴的交点A 、B 的坐标为(0,-1±1-c ),点P 坐标为(2,-1),由∠APB =90°,得k P A ·k PB =-1,∴c =-3.6.若x 20+y 20+Dx 0+Ey 0+F >0,则点P (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的__外部__.导学号 92434811[解析] ∵x 20+y 20+Dx 0+Ey 0+F >0,∴点P (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的外部.三、解答题7.经过两点P (-2,4)、Q (3,-1),且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程. 导学号 92434812[解析] 设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,将P 、Q 两点的坐标分别代入,得⎩⎪⎨⎪⎧2D -4E -F =203D -E +F =-10①②又令y =0,得x 2+Dx +F =0.由已知,|x 1-x 2|=6(其中x 1,x 2是方程x 2+Dx +F =0的两根),∴D 2-4F =36,③ ①、②、③联立组成方程组,解得⎩⎪⎨⎪⎧D =-2E =-4F =-8,或⎩⎪⎨⎪⎧D =-6E =-8F =0.∴所求圆的方程为x 2+y 2-2x -4y -8=0或x 2+y 2-6x -8y =0.C 级 能力拔高1.(2016·唐山调研)已知点A (-3,0),B (3,0),动点P 满足|P A |=2|PB |. 导学号 92434813 (1)若点P 的轨迹曲线C ,求此曲线的方程;(2)若点Q 在直线l 1:x +y +3=0上,直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ,求|QM |的最小值.[解析] (1)设点P 的坐标为(x ,y ),则 (x +3)2+y 2=2(x -3)2+y 2.化简可得(x -5)2+y 2=16,此方程即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图所示.由直线l 2是此圆的切线,连接CQ ,则 |QM |=|CQ |2-|CM |2=|CQ |2-16,当CQ ⊥l 1时,|CQ |取最小值,此时|CQ |=|5+3|2=42,则|QM |的最小值为32-16=4.2.已知方程x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0(t ∈R )的图形是圆. 导学号 92434814(1)求t 的取值范围;(2)当实数t 变化时,求其中面积最大的圆的方程. [解析] (1)方程即(x -t -3)2+(y +1-4t 2)2 =(t +3)2+(1-4t 2)2-16t 4-9.∴r 2=-7t 2+6t +1>0,∴-17<t <1.(2)∵r =-7t 2+6t +1=-7⎝⎛⎭⎫t -372+167, ∴当t =37∈⎝⎛⎭⎫-17,1时r max =477, 此时圆面积最大,所对应的圆的方程是⎝⎛⎭⎫x -2472+⎝⎛⎭⎫y +13492=167.。
《圆》全章复习与巩固—巩固练习(提高)【巩固练习】一、选择题1.如图所示,AB、AC为⊙O的切线,B和C是切点,延长OB到D,使BD=OB,连接AD.如果∠DAC=78°,那么∠ADO等于( ).A.70° B.64° C.62° D.51°2.在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S,S射向地面的光束呈圆锥形,其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示),则光源离地面的垂直高度SO为( ).A.54m B.63m C.93m D.183m第1题图第2题图第3题图第4题图3.设计一个商标图案,如图所示,在矩形ABCD中,AB=2BC,且AB=8cm,以A为圆心、AD的长为半径作半圆,则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24.如图,的半径为5,弦的长为8,点在线段(包括端点)上移动,则的取值范围是( ).A. B. C. D.5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用数学语言可表示为:如图所示,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长为( )A.12.5寸 B.13寸 C.25寸D.26寸6.(2015•贵港)如图,已知P是⊙O外一点,Q是⊙O上的动点,线段PQ的中点为M,连接OP,OM.若⊙O的半径为2,OP=4,则线段OM的最小值是()A.0 B.1 C.2 D.37.一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分,则该弦所对的圆周角为( ).A.80° B.100° C.80°或100° D.160°或200°8.如图所示,AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点,∠A =50°,点P 是圆上异于B 、C 的一动点,则∠BPC的度数是( ).A .65°B .115°C .65°或115°D .130°或50°二、填空题 9.如下左图,是的内接三角形,,点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合),则的变化范围是__ ________.第9题图 第10题图10.如图所示,EB 、EC 是⊙O 是两条切线,B 、C 是切点,A 、D 是⊙O 上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,那么∠A 的度数是________________. 11.已知⊙O 1与⊙O 2的半径1r 、2r 分别是方程2680x x -+= 的两实根,若⊙O 1与⊙O 2的圆心距d =5.则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 __ __ .12.(2015•巴彦淖尔)如图,AB 为⊙O 的直径,AB=AC ,BC 交⊙O 于点D ,AC 交⊙O 于点E ,∠BAC=45°,给出以下五个结论:①∠EBC=22.5°;②BD=DC ;③AE=2EC ;④劣弧是劣弧的2倍;⑤AE=BC ,其中正确的序号是 .13.两个圆内切,其中一个圆的半径为5,两圆的圆心距为2,则另一个圆的半径是_______ ________. 14.已知正方形ABCD 外接圆的直径为2a ,截去四个角成一正八边形,则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为____ ____,面积为_____ ___.15.如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n 边形,分别以它们的各顶点为圆心,以l 为半径画弧与两邻边相交,得到3条弧,4条弧,……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____,图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___;(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为____ ____(用n表示).16.如图所示,蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成,如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm2,高为3.5m,外围高4 m的蒙古包,至少要____ ____m2的毛毡.三、解答题17. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,FH是⊙O 的切线,切点为F,FH∥BC,连结AF交BC于E,∠ABC的平分线BD交AF于D,连结BF.(1)证明:AF平分∠BAC;(2)证明:BF=FD.18.(2015•南京)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BC的延长线与AD的延长线交于点E,且DC=DE.(1)求证:∠A=∠AEB;(2)连接OE,交CD于点F,OE⊥CD,求证:△ABE是等边三角形.19.如图,相交两圆的公共弦长为120cm,它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景:课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题:①如图(1),在正△ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN;②如图(2),在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则BM=CN.然后运用类似的思想提出了如下命题:③如图(3),在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,则BM=CN.任务要求:(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明;(2)请你继续完成下面的探索;①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,试问当∠BON等于多少度时,结论BM=CN成立(不要求证明);②如图(4),在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,∠BON=108°时,试问结论BM=CN是否成立.若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.【答案与解析】一、选择题1.【答案】B;【解析】由AB为⊙O的切线,则AB⊥OD.又BD=OB,则AB垂直平分OD,AO=AD,∠DAB=∠BAO.由AB、AC为⊙O的切线,则∠CAO=∠BAO=∠DAB.所以,∠DAB=∠DAC=26°.∠ADO=90°-26°=64°.本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等.2.【答案】C;【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形.由题意,SO⊥AB于O,∴∠SOA=∠SOB=90°.又SA=SB,∠ASB=120°,∴∠SAB=∠SBA=180120302=°-?°,设SO=x m,则AS=2x m.∵ AO=27,由勾股定理,得(2x)2-x2=272,解得93x=(m).3.【答案】A.;【解析】对图中阴影部分进行分析,可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中,AB=2BC,AB=8cm,∴ AD=BC=4cm,∠DAF=90°,,,又AF=AD=4cm,∴,∴. 4.【答案】A;【解析】OM最长是半径5;最短是OM⊥AB时,此时OM=3,故选A.5.【答案】D;【解析】因为直径CD垂直于弦AB,所以可通过连接OA(或OB),求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧”,知(寸),在Rt△AOE中,,即,解得OA=13,进而求得CD=26(寸).故选D.6.【答案】B.【解析】设OP与⊙O交于点N,连结MN,OQ,如图,∵OP=4,ON=2,∴N是OP的中点,∵M为PQ的中点,∴MN为△POQ的中位线,∴MN=OQ=×2=1,∴点M在以N为圆心,1为半径的圆上,当点M在ON上时,OM最小,最小值为1,∴线段OM的最小值为1.故选B.7.【答案】C;【解析】圆周角的顶点在劣弧上时,圆周角为5136010092⨯⨯=°°;圆周角的顶点在优弧上时,圆周角为413608092⨯⨯=°°.注意分情况讨论.8.【答案】C;【解析】连接OC 、OB ,则∠BOC =360°-90°-90°-50°=130°.点P 在优弧上时,∠BPC =12∠BOC =65°;点P 在劣弧上时,∠BPC =180°-65°=115°. 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理.二、填空题 9.【答案】; 10.【答案】99°;【解析】由EB=EC ,∠E=46°知,∠ECB= 67°,从而∠BCD=180°-67°-32°=81°, 在⊙O 中,∠BCD 与∠A 互补,所以∠A=180°-81°=99°. 11.【答案】相交;【解析】求出方程2680x x -+= 的两实根1r 、2r 分别是4、2,则1r -2r <d <1r +2r ,所以两圆相交.12.【答案】①②④;【解析】连接AD ,AB 是直径,则AD ⊥BC ,又∵△ABC 是等腰三角形,故点D 是BC 的中点,即BD=CD ,故②正确; ∵AD 是∠BAC 的平分线,由圆周角定理知,∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°,故①正确;∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ,故④正确; ∵∠EBC=22.5°,2EC ≠BE ,AE=BE ,∴AE ≠2CE ,③不正确; ∵AE=BE ,BE 是直角边,BC 是斜边,肯定不等,故⑤错误. 综上所述,正确的结论是:①②④.13.【答案】7或3;【解析】两圆有三种位置关系:相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时,圆心距,题中一圆半径为5,而d=2,所以有,解得r=7或r=3,即另一圆半径为7或3.14.【答案】(21)a -; 2(222)a -;【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线,由此求得正方形边长为a .如图所示,设正八边形的边长为x .在Rt △AEL 中,LE =x ,AE =AL =22x ,∴ 222x x a ⨯+=,(21)x a =-, 即正八边形的边长为(21)a -.222224[(21)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=--=-△正方形正八边形.15.【答案】(1)π; 2π; (2)(n-2)π;【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°,前n 条弧的弧长的和为(2)1801(2)3602n n -=-个以某定点为圆心,以1为半径的圆周长,∴ n 条弧的弧长的和为121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-.本题还有其他解法,比如:设各个扇形的圆心角依次为1α,2α,…,n α, 则12(2)180n n ααα+++=-…°,∴ n 条弧长的和为1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-.16.【答案】720π;【解析】∵ S =πr 2,∴ 9π=πr 2,∴ r =3.∴ h 1=4,∴ 2215l h r =+=,∴ 223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱,2036720S ππ=⨯=总.所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积,不包括底面积.三、解答题17.【答案与解析】(1)连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ,∴OF 垂直平分BC∴BF FC =∴AF 平分∠BAC .(2)由(1)及题设条件可知∠1=∠2,∠4=∠3,∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBDA B CDEFO 12345HA BCD EFO 12H∴BF =FD.18.【答案与解析】 证明:(1)∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠A+∠BCD=180°, ∵∠DCE+∠BCD=180°, ∴∠A=∠DCE , ∵DC=DE ,∴∠DCE=∠AEB , ∴∠A=∠AEB ;(2)∵∠A=∠AEB , ∴△ABE 是等腰三角形, ∵EO ⊥CD , ∴CF=DF ,∴EO 是CD 的垂直平分线, ∴ED=EC , ∵DC=DE , ∴DC=DE=EC ,∴△DCE 是等边三角形, ∴∠AEB=60°,∴△ABE 是等边三角形.19.【答案与解析】解:∵公共弦AB =120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20. 【答案与解析】(1)如选命题①.证明:在图(1)中,∵∠BON=60°,∴∠1+∠2=60°.∵∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3.又∵ BC=CA,∠BCM=∠CAN=60°,∴△BCM≌△CAN,∴ BM=CM.如选命题②.证明:在图(2)中,∵∠BON=90°,∴∠1+∠2=90°.∵∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3.又∵ BC=CD,∠BCM=∠CDN=90°,∴△BCM≌△CDN,∴ BM=CN.如选命题③.证明:在图(3)中,∵∠BON=108°,∴∠1+∠2=108°.∵∠2+∠3=108°,∴∠1=∠3.又∵ BC=CD,∠BCM=∠CDN=108°,∴△BCM≌△CDN,∴ BM=CN.(2)①答:当∠BON=(2)180nn°时结论BM=CN成立.②答:当∠BON=108°时.BM=CN还成立.证明:如图(4),连接BD、CE在△BCD和△CDE中,∵ BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE,∴△BCD≌△CDE.∴ BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠ECD.∵∠CDE=∠DEN=108°,∴∠BDM=∠CEM.∵∠OBC+∠OCB=108°,∠OCB+∠OCD=108°.∴∠MBC=∠NCD.又∵∠DBC=∠ECD=36°,∴∠DBM=∠ECM.∴△BDM≌△CEN,∴ BM=CN.。
教学过程1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式,定参数”是求圆的方程的基本方法,即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数,同时注意利用几何法求圆的方程时,要充分利用圆的性质.2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算.3.求圆的方程时,一般考虑待定系数法,但如果能借助圆的一些几何性质进行解题,不仅能使解题思路简化,而且还能减少计算量.如弦长问题,可借助垂径定理构造直角三角形,利用勾股定理解题.课堂巩固一、填空题1.(2014·南京模拟)已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是________.2.若圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,那么直线x+ay+b=0一定不经过第________象限.3.(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是________.4.两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是________.5.(2014·东营模拟)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是________.6.已知点M(1,0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.7.(2014·南京调研)已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上各点到l的距离的最小值为______.8.若圆x2+(y-1)2=1上任意一点(x,y)都使不等式x+y+m≥0恒成立,则实数m的取值范围是________.教学效果分析。
《圆的标准方程》作业设计方案一、作业目标1、使学生熟练掌握圆的标准方程的形式和特点,能够根据给定的圆心坐标和半径写出圆的标准方程。
2、培养学生运用圆的标准方程解决实际问题的能力,提高学生的数学应用意识。
3、通过作业练习,加深学生对圆的几何性质的理解,强化学生的逻辑思维和运算能力。
二、作业内容(一)基础巩固1、已知圆的圆心为(2, -3) ,半径为 4 ,写出圆的标准方程。
2、若圆的标准方程为(x 5)²+(y + 6)²= 9 ,求圆心坐标和半径。
(二)能力提升1、点 P(3, 4) 到圆心为(1, 0) 的圆的距离为 5 ,求该圆的标准方程。
2、已知圆的标准方程为(x + 2)²+(y 3)²= 25 ,判断点 M(1, 1) 是否在圆上。
(三)拓展应用1、求过点 A(2, 4) 且与圆 C :(x 1)²+(y 3)²= 1 相切的直线方程。
2、一艘轮船以每小时 20 海里的速度向正东方向航行,上午 8 时在A 处测得一座灯塔在北偏东 60°方向上,上午 10 时到达B 处,此时测得灯塔在北偏东 30°方向上,求从 A 处到灯塔的距离。
(提示:可通过建立直角坐标系,利用圆的标准方程求解)三、作业形式1、书面作业:要求学生在作业本上规范书写作业,包括解题过程和答案。
2、在线作业:利用在线学习平台发布作业,学生在线完成并提交,系统自动批改客观题,教师批改主观题。
四、作业时间安排1、基础巩固作业:建议学生在课堂学习后的当天完成,预计完成时间为 20 分钟。
2、能力提升作业:安排在基础巩固作业完成后的第二天进行,预计完成时间为 30 分钟。
3、拓展应用作业:作为周末作业布置,学生可利用较充裕的时间思考和探究,预计完成时间为 40 分钟。
五、作业批改与反馈1、批改方式(1)教师全批全改:对于书面作业,教师认真批改每一位学生的作业,指出错误和不足之处,并给予相应的评语和建议。
中考总复习:圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—巩固练习(提高)【巩固练习】一、选择题1. 已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米,圆心距是3厘米,则这两个圆的位置关系是()A.相交B.外切C.外离D.内含2.如图,AB为⊙ O 的直径,CD 为弦,AB⊥CD ,如果∠BOC=70°,那么∠A的度数为()A. 70°B.35°C. 30°D. 20°3.已知AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一个动点,过P作⊙O的切线,切点为C,∠A PC的平分线交AC于点D,则∠CDP等于()A.30°B.60°C.45°D.50°第2题第3题第4题第5题4.如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB 上的动点,则线段OM长的最小值为()A. 5B. 4C. 3D. 25.如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为()A. 14B. 15C. 32D. 236. 如图,O为原点,点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),⊙D过A、B、O三点,点C为0AB 上一点(不与O、A两点重合),则cosC的值为()A.34B.35C.43D.45二、填空题7.已知⊙O 的半径为1,圆心O 到直线l 的距离为2,过l 上任一点A 作⊙O 的切线,切点为B ,则线段AB 长度的最小值为 . 8.如图,AD ,AC 分别是⊙O 的直径和弦.且∠CAD=30°.OB⊥AD,交AC 于点B .若OB=5,则BC 的长等于 .9.如图所示,已知⊙O 中,直径MN =10,正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上,并且∠POM =45°,则AB 的长为________.第8题 第9题 第10 题 10.如图所示,在边长为3 cm 的正方形ABCD 中,1O 与2O 相外切,且1O 分别与,DA DC 边相切,2O 分别与,BA BC 边相切,则圆心距12O O = cm .11.如图所示,,EB EC 是O 的两条切线,,B C 是切点,,A D 是O 上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°那么∠A 的度数是 .12.在圆的内接等腰三角形ABC (三角形ABC 三个顶点均在圆周上)中,圆心到底边BC 的距离为3cm ,圆的半径为7cm ,则腰AB 的长为 .三、解答题13.如图所示,AC 为⊙O 的直径且PA⊥AC,BC 是⊙O 的一条弦,直线PB 交直线AC 于点D ,DB DC 2DP DO 3==.(1)求证:直线PB 是⊙O 的切线; (2)求cos∠BCA 的值.14.如图所示,点A、B在直线MN上,AB=11厘米,⊙A、⊙B的半径均为1厘米.⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r =1+t(t≥0).(1)试写出点A、B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式;(2)问点A出发后多少秒两圆相切?15. 如图所示,半径为2.5的⊙O中,直径AB的不同侧有定点C和动点P.已知BC:CA=4:3,点P在AB上运动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q.(1)当点P运动到与点C关于AB对称时,求CQ的长;(2)当点P运动到AB的中点时,求CQ的长;(3)当点P运动到什么位置时,CQ取到最大值,并求此时CQ的长.16. 如图1至图4中,两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点.思考如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P 为半圆上一点,设∠MOP=α.当α=度时,点P到CD的距离最小,最小值为.探究一在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,得到最大旋转角∠BMO=度,此时点N到CD的距离是.探究二将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转.(1)如图3,当α=60°时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋转角∠BMO的最大值;(2)如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定α的取值范围.(参考数椐:sin49°=34,cos41°=34,tan37°=34.)【答案与解析】一、选择题1.【答案】B;【解析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差).∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米,∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米.∵圆心距是1+2=3厘米,∴这两个圆的位置关系是外切.故选B.2.【答案】B;【解析】如图,连接OD,AC.由∠BOC = 70°,根据弦径定理,得∠DOC = 140°;根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠DAC = 70°.从而再根据弦径定理,得∠A的度数为35°.故选B.3.【答案】C;【解析】连接OC,∵OC=OA,,PD平分∠APC,∴∠CPD=∠DPA,∠CAP=∠ACO.∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC.∵∠CPD+∠DPA+∠CAP +∠ACO=90°,∴∠DPA+∠CAP =45°,即∠CDP=45°. 故选C.4.【答案】C;【解析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质,知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段.如图,过点O作OM⊥AB于M,连接OA.根据弦径定理,得AM=BM=4,在Rt△AOM 中,由AM=4, OA=5,根据勾股定理得OM=3,即线段OM长的最小值为3.故选C.5.【答案】B;【解析】以A为圆心,AB长为半径作圆,延长BA交⊙A于F,连接DF.根据直径所对圆周角是直角的性质,得∠FDB=90°;根据圆的轴对称性和DC∥AB,得四边形FBCD是等腰梯形.2222-=-故选B.BF DF41156.【答案】D ;【解析】如图,连接AB ,由圆周角定理,得∠C =∠ABO ,在Rt △ABO 中,OA =3,OB =4,由勾股定理,得AB =5, ∴4cos cos 5OB C ABO AB =∠==.二、填空题 7.【答案】3;【解析】如图所示,OA ⊥l ,AB 是切线,连接OB ,∵OA ⊥l ,∴OA=2,又∵AB 是切线,∴OB ⊥AB ,在Rt △AOB 中,AB =22OB OA -=2212-=3.8.【答案】5;【解析】∵在Rt△ABO 中,00OB 5OB 5AO 53,AB 10tan CAD tan30sin CAD sin30C ======∠∠,∴AD=2AO=103. 连接CD ,则∠ACD=90°.∵在Rt△ADC 中,0AC ADcos CAD 103cos3015=∠==,∴BC=AC-AB=15-10=5. 9.【答案】5;【解析】设正方形ABCD 边长为x ,∵ ∠POM =45°,∴ OC =CD =x ,∴ OB =2x ,连接OA ,在Rt △OAB 中,222(2)5x x += ∴ 5x =.10.【答案】632-;【解析】本题是一个综合性较强的题目,既有两圆相切,又有直线和圆相切.求12O O 的长就要以12O O 为一边构造直角三角形.过1O 作CD 的平行线,过2O 作BC 的平行线,两线相交于12,M O O 是1O 和2O 的半径之和,设为d ,则123,O M O M d ==-在12Rt O MO 中222(3)(3),d d d -+-=解得63 2.d =±由题意知6+33不合题意,舍去.故填632-.11.【答案】99°;【解析】由EB EC =,46E ∠=︒知67,ECB ∠=︒从而180673281,BCD ∠=︒--︒=︒在O 中,BCD ∠与A ∠互补,所以1808199.A ∠=︒-︒=︒故填99︒.12.【答案】235 cm ,或214 cm ;【解析】①当圆心O 在ΔABC 内时,由题意可知|OD|=3,|OC|=7∴|DC|=4094922=-=-OD OC在Rt ΔADC 中,AC 2=AD 2+DC 2=102+40=140,∴AC =352140=②当圆心O 在ΔABC 外时,OD =3,OC =7,∴DC =4094922=-=-OD OC∵AO =7,∴AD =4在Rt ΔADC 中,AC 2=AD 2+DC 2=16+40=56 ∴AC =14256=故ΔABC 的腰AB 长为235 cm ,或214 cm.三、解答题13.【答案与解析】(1)证明:连接OB 、OP∵DB DC 2DP DO 3==且∠D=∠D,∴ △BDC∽△PDO. ∴∠DBC=∠DPO.∴BC∥OP. ∴∠BCO=∠POA ,∠CBO=∠BOP.∵OB=OC,∴∠OCB=∠CBO.∴∠BOP=∠POA. 又∵OB=OA, OP=OP , ∴△BOP≌△AOP(SAS ). ∴∠PBO=∠PAO.又∵PA⊥AC, ∴∠PBO=90°. ∴ 直线PB 是⊙O 的切线 . (2)由(1)知∠BCO=∠POA. 设PB a =,则BD=a 2, 又∵PA=PB a =,∴AD=22a . 又∵ BC∥OP ,∴DC2CO =.∴1DC CA 2222a a ==⨯=.∴2OA a = . ∴6OP a = ∴cos∠BCA=cos∠POA=3.14.【答案与解析】(1)当0≤t≤5.5时,函数表达式为d=11-2t;当t>5.5时,函数表达式为d=2t-11.(2)两圆相切可分为如下四种情况:①当两圆第一次外切,由题意,可得11-2t=1+1+t,t=3;②当两圆第一次内切,由题意,可得11-2t=1+t-1,113t=;③当两圆第二次内切,由题意,可得2t-11=1+t-1,t=11;④当两圆第二次外切,由题意,可得2t-11=1+t+1,t=13.所以,点A出发后3秒、113秒、11秒、13秒两圆相切.15.【答案与解析】解:(1)当点P运动到与点C关于AB对称时,如图所示,此时CP⊥AB于D.又∵ AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∵ AB=5,BC:CA=4:3.∴ BC=4,AC=3.又∵ AC·BC=AB·CD,∴125CD=,245PC=.在Rt△PCQ中,∠PCQ=90°,∠CPQ=∠CAB,∴ CQ=PC·tan∠CPQ=43 PC.∴42432355 CQ=⨯=.(2)当点P运动到AB的中点时,如图所示,过点B作BE⊥PC于点E.∵ P是弧AB的中点,∠PCB=45°,∴ CE=BE=22.又∠CPB=∠CAB,∴ tan∠CPB=tan∠CAB=43,即332tan4BEPE BECPB===∠,从而722 PC=.由(1)得,414233CQ PC==.(3) ∵点P在AB上运动中,在Rt△PCQ中,4tan3CQ PC P PC =∠=.∴ PC最大时,CQ取到最大值.∴当PC过圆心O,即PC取最大值5时,CQ最大,最大值为203.16.【答案与解析】解:思考:90,2.探究一:30,2.探究二:(1)当PM⊥AB时,点P到AB的最大距离是MP=OM=4,从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2.当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时,弧MP与AB相切,此时旋转角最大,∠BMO的最大值为90°.(2)如图4,由探究一可知,点P是弧MP与CD的切线时,α大到最大,即OP⊥CD,此时延长PO交AB于点H,α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°,如图5,当点P在CD上且与AB距离最小时,MP⊥C D,α达到最小,连接MP,作HO⊥MP于点H,由垂径定理,得出MH=3.在Rt△MOH中,MO=4,∴sin∠MOH=MH3 OM4=.∴∠MOH=49°.∵α=2∠MOH,∴α最小为98°.∴α的取值范围为:98°≤α≤120°.∴a的取值范围是98120a≤≤.11。
【巩固练习】1.圆(x ―1)2+y 2=1的圆心到直线y =的距离是( )A .12 B C .1 D 2.点P (m 2,5)与圆x 2+y 2=24的位置关系是( )A .点P 在圆外B .点P 在圆上C .点P 在圆内D .不确定3.曲线220x y ++-=关于( )A .直线x =B .直线y x =-轴对称C .点(-中心对称D .点()中心对称4.(2016春 福建期中)若方程x 2+y 2+2λx +2λy + 2λ2―λ+1=0表示圆,则λ的取值范围是( )A .(1,+∞)B .1[,1]5C .1(1,)(,)5+∞-∞ D .R5.已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0),B (5,0),此圆的标准方程为( )A .22(3)4x y -+=B .22(3)(1)4x y -+-=C .22(1)(1)4x y -+-=D .22(1)(1)4x y +++=6.方程1x -= )A .一个圆 B.圆 C . 半个圆 D . 四分之一个圆7.点P (4,―2)与圆x 2+y 2=4上任一点连结的中点轨迹方程是( )A .(x ―2)2+(y+1)2=1B .(x ―2)2+(y ―1)2=4C .(x ―4)2+(y ―2)2=1D .(x ―2)2+(y ―1)2=18. 若直线10(0,0)ax by a b ++=>>过圆222210x y x y ++++=的圆心,则ab 的最大值为( ) A.116 B.14C.4D.16 9.直线3x+4y-12=0和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是 .10.已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线y =2x +1上,若圆C 与两个坐标轴都相切,则圆C 的标准方程是________.11.已知圆x 2+y 2+kx+2y+k 2=0,当该圆面积取得最大值时,圆心坐标为________.12.设P 为圆221x y +=上的动点,则点P 到直线34100x y --=的距离的最小值是 . 13.已知圆O 的方程为x 2+y 2=9,过点A (1,2)作圆的弦,求弦的中点P 的轨迹. 14.已知圆C :(x ―3)2+(y ―4)2=1,点A (0,―1),B (0,1),设P 是圆C 上的动点,令d=|PA|2+|PB|2,求d 的最大值及最小值.15.(2016 福建龙岩模拟)已知点P 到两个顶点M (―1,0),N (1,0(1)求动点P 的轨迹C 的方程(2)过点M 的直线l 与曲线C 交于不同的两点A ,B ,设点A 关于x 轴的对称点Q (A ,Q 两点不重合),证明:点B ,N ,Q 在同一条直线上. 16.(2015年 江苏泰州区一模)已知圆C 的圆心在直线y =2x 上,且与直线l :x +y +1=0相切于点P (-1,0).(Ⅰ)求圆C 的方程;(Ⅱ)若A (1,0),点B 是圆C 上的动点,求线段AB 中点M 的轨迹方程,并说明表示什么曲线.【答案与解析】 1.【答案】A【解析】 圆(x ―1)2+y 2=1的圆心为(1,0),由点到直线的距离公式得12d ==. 2.【答案】A【解析】 因为(m 2)2+52=m 4+25>24,所以点P 在圆外. 3.D 4.【答案】A【解析】因为方程x 2+y 2+2λx +2λy +2λ2―λ+1=0表示圆,所以D 2+E 2―4F >0,即4λ2+4λ2―4(2λ2―λ+1)>0, 解不等式得λ>1,即λ的取值范围是(1,+∞). 故选A . 5.【分析】由已知得圆心坐标为(3,0),圆半径2r ==,由此能求出圆的方程. 【答案】A【解析】∵圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0),B (5,0),∴圆心坐标为(3,0),圆半径2r =, ∴圆的方程为 22(3)4x y -+=.故选:A .【点评】本题考查圆的标准方程的求法,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运用. 6.【答案】C【解析】方程1x -=22(1)(1)1x y -+-=,且210,1(1)0x y -≥--≥.即22(1)(1)1x y -+-=,且1,02x y ≥≤≤.所以,方程1x -=7.【答案】A【解析】 设圆上任意一点为(x 1,y 1),中点为(x ,y ),则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,112422x x y y =-⎧⎨=+⎩,代入x 2+y 2=4,得(2x ―4)2+(2y+2)2=4,化简得(x ―2)2+(y+1)2=1.8. 【答案】B【解析】圆心为(-1,-1),所以10a b --+=.则1b a =-.则2211(1)()24ab a a a a a =-=-+=--+. 由于0a >,所以当12a =时,ab 取得最大值为14.故选B. 9.【答案】425)23()2(22=-+-y x【解析】直线与两坐标轴的交点是A 、B ,AB 为圆的直径,即AB 的中点为圆心,AB 长的一半为圆的半径.10.【分析】与坐标轴相切,所以圆心到两个坐标轴距离相等,结合圆心在y =2x +1上,求出圆心坐标,可得圆的半径,从而可得圆的标准方程. 【答案】22111()()339x y ++-=【解析】与坐标轴相切,所以圆心到两个坐标轴距离相等,所以x =y 或x =―y ,又圆心在y =2x +1上,若x =y ,则x =y =―1;若x =―y ,则13x =-,13y =, 所以圆心是(―1,―1),或11(,)33-, ∵圆心位于第二象限, ∴圆心坐标为:11(,)33-,因为半径就是圆心到切线距离,即到坐标轴距离, 所以13r =, 所以所求圆的标准方程为:22111()()339x y ++-=, 故答案为:22111()()339x y ++-=.11.【答案】(0,―1)【解析】 当圆的半径长最大时,圆的面积最大.由x 2+y 2+kx+2y+k 2=0得,2223(1)124k x y k k ⎛⎛⎫+++=-<< ⎪ ⎝⎭⎝⎭.当k=0时,2314k -最大,半径长也最大,此时圆心坐标为(0,―1).12.【答案】1【解析】圆221x y +=的圆心是O(0,0),圆心O 到直线34100x y --=的距离是2d ==,所以点P 到直线34100x y --=的距离的最小值是211d r -=-=.故填1.13.【答案】以1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由垂径定理可知OP ⊥PA ,故P 点的轨迹是以OA 为直径的圆.而O (0,0),A (1,2),所以点P 的轨迹方程为x 2+y 2―x ―2y=0,点P 的轨迹是以1,12⎛⎫⎪⎝⎭为圆心,半径长为2的圆. 14.【答案】74,34【解析】 设点P 的坐标为(x 0,y 0),∴22220000(1)(1)d x y x y =++++- 222002()22||2x y PO =++=+.问题转化为求点P 到原点O 的距离的最值,如图,∵O 在圆外,∴|OP|max =|CO|+1=5+1=6, |PO|min =|CO|―1=5―1=4,∴d max =2×62+2=74,d min =2×42+2=34. 15.【答案】(1)x 2+y 2―6x +1=0;(2)略 【解析】(1)设P (x ,y ),则∵点P 到两个顶点M (―1,0),N (1,0=整理得x 2+y 2―6x +1=0,∴动点P 的轨迹C 的方程是x 2+y 2―6x +1=0;(2)证明:由题意,直线l 存在斜率,设为k (k ≠0),直线l 的方程为y =k (x +1) 代入x 2+y 2―6x =1=0,化简得(1+k 2)x 2+(2k 2―6)x +k 2+1=0, Δ>0,可得―1<k <1. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则Q (x 1,―y 1),且x 1x 2=1, ∴211221122(1)011(1)(1)BN QN y y k x x k k x x x x ---=⋅==----, ∴B ,N ,Q 在同一条直线上. 16.【分析】(Ⅰ)根据题意,可得圆心C (a ,b )满足b =a +1且b =2a ,解出a =1且b =2.直线l 与圆相切,由点到直线的距离公式算出半径r =C 的方程;(Ⅱ)设M (x ,y )、00(,)B x y ,由中点坐标公式算出021x x =-且02y y =,代入圆C方程化简即可得到M 的轨迹,表示以(1,1 【解析】(Ⅰ)设圆心C (a ,b )半径为r ,则有b =2a ,又∵C 落在过P 且垂直于l 的直线y =x +1上,∴b =a +1,解得a =1,b =2,从而r =∴圆C 的方程为:22(1)(2)8x y -+-= (Ⅱ)设M (x ,y ),00(,)B x y ,则有012x x +=,02yy =, 解得021x x =-,02y y =,代入圆C 方程得:22(22)(22)8x y -+-=, 化简得 22(1)(1)2x y -+-=表示以(1,1。