1.3.3 函数的最值

1.3.3 函数的最值与导数编写人：田勇 审核：高二数学组 时间：2013-03-27班级 组别 组名： 姓名【学习目标】A 级目标：借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念B 级目标：掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。

【重点难点】重点：求函数的最值.难点：弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系【学习过程】一、 创设情境 引入新知问题1、复习引入（1） 可导函数)(x f 在x=x o 出取得极值的充要条件是什么？（2） 求函数极值的基本步骤是什么？问题2、函数最值的探究（1）观察函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象，找出函数在此区间上的极大值、极小值和最大值、最小值．（2）（见教材P30面图1．3－14与１．３－15）观察函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象，找出函数在此区间上的极大值、极小值和最大值、最小值．（3）思考：⑴ 极值与最值有何关系？⑵ 最大值与最小值可能在何处取得？⑶ 怎样求最大值与最小值？二、独学探究 归纳结论问题3、函数最值的概念及其求法（1）函数的最大值与最小值一般地，设y ＝f (x )是定义在[a ，b ]上的函数，在[a ，b ]上y ＝f (x )的图象是一条 的曲线，那么它必有 值与 值。

函数的极值是从 考察的，函数的最大值与最小值是从 考察的。

y x b x 2y=f (x )O a x 1（2）求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值，可分为两步进行：① （这一步又分为哪几步？）；② 将y ＝f (x )的各极值与 ， 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．三． 对学互学，交流展示例1求函数y ＝44313+-x x 在区间[0, 3]上的最大值与最小值．并画出它在区间[0, 3]上的图象。

练习1、求函数y ＝x 4－2x 2＋5在区间[－2, 2]上的最大值与最小值．（试画出图象）2、求函数]4,0[,2)(∈+=x x x x f 的最大值和最小值. （试画出图象）四．合作互助 攻克疑难例2、求函数21()ln(1),[0,2]4f x x x x =+-∈的最大值和最小值. （试画出图象）【当堂检测】1．下列说法中正确的是（ ）A 函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B 闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C 若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D 若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值2．函数]4,0[,)(∈=-x xe x f x 的最小值是（ ）A 0B e 1C 44eD 22e3．函数),2[,3+∞∈+=x xx y 的最小值为____________。

《1.3.3 函数的最大（小）值与导数（2）》教学案2教学目标：⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 教学过程：一．创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在点0x 附近找不到比()0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果0x 是函数的最大（小）值，那么()0f x 不小（大）于函数()y f x =在相应区间上的所有函数值．二．新课讲授观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．1．结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y f x =在这个区间上连续．（可以不给学生讲） x 3x 2x 1baxOy⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）2．“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3．利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值三．典例分析例1．（课本例5）求()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值 解： 由例4可知，在[]0,3上，当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为4(2)3f =-，又由于()04f =，()31f =因此，函数()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值是4，最小值是43-．y=x 4-2x 2+512108642-4-242xOy上述结论可以从函数()31443f x x x =-+在[]0,3上的图象得到直观验证．四．课堂练习1．下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( ) A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3．函数y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( )A.0B.－2C.－1D.12134．求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值．5．课本 练习 五．回顾总结1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2．函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3．闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值4．利用导数求函数的最值方法．六．布置作业。

§1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、教学内容分析1.在教材中的位置：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》人教A版，第一章。

第三节“导数在研究函数中的应用”2.学习的主要工具：基本初等函数的识图能力与函数的极值与导数知识。

3.学习本节课的主要目的：本节内容是在学生学习完导数基本概念与基本初等函数求导公式后的应用性知识，强调在应用中进一步理解导数，并为以后内容“生活中的优化问题”打好基础。

4.本节课在教材中的地位：函数的最值是基本初等函数的重要性质，是历年高考的热点问题，也是解决实际问题，如成本最低，产量最高，效益最大等的重要工具。

学好本节内容对学生的可持续发展具有重要意义，可进一步完善学生知识结构，培养学生应用数学的意识。

二、学情分析学生已经在高一阶段必修一的学习中，学习了函数基础知识，并初步具备应用函数单调性求最值的基础，但是对于运用刚刚学习的导数工具研究函数性质，还不熟练，应用导数在思维上有很大的局限性。

三、课堂设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。

而问题驱动，问题引导，主动观察，主动发现又是帮助学生学会学习的重要好手段。

本节教学，将遵循这个原则而进行设计，让学生领会到知识的产生过程。

四、教学目标1．知识和技能目标（1）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。

（2）掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的方法和步骤。

（3）复习巩固求函数最值的其他方法，例如单调性，基本不等式等。

2．过程和方法目标（1）问题驱动，自主探究，合作交流。

（2）培养学生在生活中学习数学的方法。

3．情感和价值目标（1）通过观察认识到事物的表象与本质的区别与联系．（2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神． （4）通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。