广东省广州市荔湾区真光中学2017-2018学年高一12月月考数学试题

2024届广东省广州市真光中学高一数学第二学期期末达标测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的侧面可以是三角形 B ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C ．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D ．棱柱的各条棱都相等2．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，方差是2，则xy 的值为（ ） A ．88B ．96C ．108D ．1103．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递减的是（ ） A ．B ．C ．D ．4．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为（ ）海里/小时．A ．6B ．46C ．6D ．1665．如图是函数()()()sin 0,0,,f x A x A x R ωϕωϕπ=+>><∈的部分图象，则下列命题中，正确的命题序号是 ①函数()f x 的最小正周期为2π②函数()f x 的振幅为23③函数()f x 的一条对称轴方程为712x π= ④函数()f x 的单调递增区间是7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ⑤函数()f x 的解析式为()23sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭A ．③⑤B ．③④C ．④⑤D ．①③6．在△ABC 中，12AN NC =，P 是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+，则实数m 的值为 A ．3B ．1C ．13D ．197．如图，一个边长为4的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了1000粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有350粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）A ．5.6B ．3.56C ．1.4D ．0.358．已知2()sin(),36f x x x N ππ=+∈，则()f x 的值域为 A ．11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．11,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭9．若向量()()1,3,3,MN NP m =-=，且//MN NP ，则MP 等于（ ） A ．()1,3B ．()2,6-C ．()3,2-D ．()3,210．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1BC 所成的角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2016-2017学年广东省广州市荔湾区真光中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求．1．（5分）集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩∁R B=（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣1≤x＜1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|1≤x≤2}2．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．（5分）函数f（x）=xln|x|的大致图象是（）A． B． C．D．5．（5分）已知向量与的夹角为30°，且||=，||=2，则等于（）A．4 B．2 C．13 D．6．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=07．（5分）在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=120则3a9﹣a11=（）A．6 B．12 C．24 D．488．（5分）函数f（x）=x2﹣6x+8，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．﹣3或﹣1 B．3或1 C．﹣3或1 D．﹣1或310．（5分）一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为2的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）若实数x，y满足约束条件则的取值范围是（）A． B．C． D．[1，2]12．（5分）若函数f（x）=sin2x+acosx在（0，π）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）定积分的值为．14．（5分）函数f（x）=的单调递增区间是．15．（5分）已知cos（θ+π）=﹣，则sin（2θ+）=．16．（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣12x．（1）求这个函数在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求这个函数的极值．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差d=2，前n项和为S n，等比数列{b n}满足b1=a1，b2=a4，b3=a13（1）求a n，b n；（2）记数列的前n项和为T n，求T n．19．（12分）在△ABC中，点M是边BC上的一点，BM=3，AC=2，∠B=45°，cos∠BAM=．（I）求线段AM的长度；（Ⅱ）求线段MC的长度．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，过线段AD的中点P作BC的平行线，分别交AB，AC于点M，N．（Ⅰ）证明：MN⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．21．（12分）已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点．（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；（Ⅱ）A、B是椭圆Σ上两点，线段AB的垂直平分线l经过M（0，1），求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）．22．（12分）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（Ⅰ）求f （x）的单调区间；（Ⅱ）若当时，不等式f （x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．2016-2017学年广东省广州市荔湾区真光中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求．1．（5分）（2016秋•德州期末）集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩∁R B=（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣1≤x＜1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|1≤x≤2}【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，∴C R B={x|x≥1}，A∩∁R B={x|1≤x≤2}．故选：D．2．（5分）（2016•四川）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0），故选：D3．（5分）（2014•杨浦区三模）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．4．（5分）（2016秋•开福区校级期末）函数f（x）=xln|x|的大致图象是（）A． B． C．D．【解答】解：∵函数f（x）=xln|x|，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D，又f′（x）=lnx+1，令f′（x）＞0得：x＞，得出函数f（x）在（，+∞）上是增函数，排除B，故选A5．（5分）（2017春•荔湾区校级月考）已知向量与的夹角为30°，且||=，||=2，则等于（）A．4 B．2 C．13 D．【解答】解：根据题意，向量与的夹角为30°，且||=，||=2，则•=||||cos30°=3，2=（2﹣）2=42+2﹣4•=12+4﹣12=4，即=2；故选：B．6．（5分）（2014•福建）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，故l的方程是y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，故选：D．7．（5分）（2017春•荔湾区校级月考）在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=120则3a9﹣a11=（）A．6 B．12 C．24 D．48【解答】解：a1+3a8+a15=5a8=120∴a8=24，即a1+7d=24∴3a9﹣a11=2a1+14d=2a8=48故选D8．（5分）（2017春•荔湾区校级月考）函数f（x）=x2﹣6x+8，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=x2﹣6x+8=（x﹣2）（x﹣4），x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的x0的范围是[2，4]，由几何概型的公式得到使f（x0）≤0的概率是=．故选：B．9．（5分）（2009•山东学业考试）直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．﹣3或﹣1 B．3或1 C．﹣3或1 D．﹣1或3【解答】解：∵直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直∴k（k﹣1）+（1﹣k）（2k+3）=0∴k2+2k﹣3=0∴k=﹣3或k=1故选C10．（5分）（2017春•荔湾区校级月考）一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为2的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体的下部是边长为2正方体，上部是球，且半球的半径为1，∴几何体的体积V=V正方体+V球=8+××π×13=8+．故选A．11．（5分）（2017•金凤区校级二模）若实数x，y满足约束条件则的取值范围是（）A． B．C． D．[1，2]【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），联立，解得B（1，2），由，得的取值范围是[]．故选：A．12．（5分）（2016秋•思明区校级期中）若函数f（x）=sin2x+acosx在（0，π）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【解答】解：∵y=sin2x+acosx在区间（0，π）上是增函数，∴y′=cos2x﹣asinx＞0，∴1﹣2sinx2﹣asinx＞0，即﹣2x2﹣ax+1＞0，x∈（0，1），∴a＜﹣2x+，令g（x）=﹣2x+，则g′（x）=﹣2﹣＜0，∴g（x）在（0，1）递减，∴a＜g（1）=﹣1，即：a∈（﹣∞，﹣1）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）（2015秋•莱芜期中）定积分的值为2﹣e．【解答】解：=（x2﹣e x）|=1﹣e+1=2﹣e；故答案为：2﹣e．14．（5分）（2013秋•宝安区期末）函数f（x）=的单调递增区间是（0，e）．【解答】解：由于函数的导数为y′=，令y′＞0 可得lnx＜1，解得0＜x＜e，故函数的单调递增区间是（0，e），故答案为：（0，e）．15．（5分）（2016•广州模拟）已知cos（θ+π）=﹣，则sin（2θ+）=﹣．【解答】解：∵cos（θ+π）=﹣，∴cosθ=，∴sin（2θ+）=cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1=﹣，故答案为：﹣16．（5分）（2015•江西一模）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．【解答】解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，故函数h（x）在R上单调递增．∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），∴x＜﹣3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（3）=﹣h（﹣3）=0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故答案为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）（2017春•荔湾区校级月考）已知函数f（x）=x3﹣12x．（1）求这个函数在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求这个函数的极值．【解答】解：（1）∵f（x）=x3﹣12x，∴f（1）=﹣11，f′（x）=3x2﹣12，f′（1）=﹣9，故函数f（x）在（1，﹣11）处的切线方程是：y+11=﹣9（x﹣1），即9x+y+2=0；（2）∵f（x）=x3﹣12x，∴f′（x）=3x2﹣12，令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递增，在（﹣2，2）递减，∴f（x）极大值=f（﹣2）=16，f（x）极小值=f（2）=﹣16．18．（12分）（2017春•荔湾区校级月考）已知等差数列{a n}的公差d=2，前n项和为S n，等比数列{b n}满足b1=a1，b2=a4，b3=a13（1）求a n，b n；（2）记数列的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）等比数列{b n}满足b1=a1，b2=a4，b3=a13．∴=a1a13，d=2．∴=a1（a1+12×2），解得a1=3．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．公比q===3．∴b n=3n．（2）S n==n（n+2）．∴==．∴T n=+++…++==﹣．19．（12分）（2016•松山区校级模拟）在△ABC中，点M是边BC上的一点，BM=3，AC=2，∠B=45°，cos∠BAM=．（I）求线段AM的长度；（Ⅱ）求线段MC的长度．【解答】解：（I）∵cos∠BAM=，∴sin∠BAM=．在△ABM中，由正弦定理得：，即，解得AM=3．（II）cos∠AMB=﹣cos（∠BAM+∠B）=sin∠BAMsinB﹣cos∠BAMcosB==﹣．∵∠AMB+∠AMC=π，∴cos∠AMC=﹣cos∠AMB=．在△AMC中，由余弦定理得cos∠AMC=，即=，解得MC=1或MC=5．20．（12分）（2016•广州模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，过线段AD的中点P作BC的平行线，分别交AB，AC 于点M，N．（Ⅰ）证明：MN⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴BC⊥AD，∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC，∴MN⊥AD，∵AA1⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，∴AA1⊥MN，∵AD，AA1⊂平面ADD1A1，且AD∩AA1=A，∴MN⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设AA1=1，如图：过A1作A1E∥BC，建立以A1为坐标原点，A1E，A1D1，A1A分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A1（0，0，0），A（0，0，1），∵P是AD的中点，∴M，N分别为AB，AC的中点．则M（，，1），N（﹣，，1），则=（，，1），=（0，0，1），=（，0，0），设平面AA1M的法向量为=（x，y，z），则，得，令x=1，则y=﹣，则=（1，﹣，0），同理设平面A1MN的法向量为=（x，y，z）则，得，令y=2，则z=﹣1，则=（0，2，﹣1），则cos＜，＞===﹣，∵二面角A﹣A1M﹣N是锐二面角，∴二面角A﹣A1M﹣N的余弦值是．21．（12分）（2016•江门模拟）已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点．（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；（Ⅱ）A、B是椭圆Σ上两点，线段AB的垂直平分线l经过M（0，1），求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）．【解答】解：（Ⅰ）依题意，2c=4，椭圆Σ的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=+=3+=4，即有a=2，则b2=a2﹣c2=4，则椭圆Σ的方程为+=1；（Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=kx+m，由得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，O到直线AB的距离，△OAB的面积，依题意，|AM|=|BM|，即，即有（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2）=0，，即为（k2+1）（x1+x2）+k（2m﹣2）=0，代入整理得，k（2k2+m+1）=0，若k=0，则，等号当且仅当时成立；若k≠0，则2k2+m+1=0，，等号当且仅当m=﹣2，时成立．综上所述，△OAB面积的最大值为．22．（12分）（2011•聊城二模）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（Ⅰ）求f （x）的单调区间；（Ⅱ）若当时，不等式f （x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣1，+∞）．（1分）∵，由f′（x）＞0，得x＞0；由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜0．（3分）∴f（x）的递增区间是（0，+∞），递减区间是（﹣1，0）．（4分）（Ⅱ）∵由，得x=0，x=﹣2（舍去）由（Ⅰ）知f（x）在上递减，在[0，e﹣1]上递增．高三数学（理科）答案第3页（共6页）又，f（e﹣1）=e2﹣2，且．∴当时，f（x）的最大值为e2﹣2．故当m＞e2﹣2时，不等式f（x）＜m恒成立．（9分）（Ⅲ）方程f（x）=x2+x+a，x﹣a+1﹣2ln（1+x）=0．记g（x）=x﹣a+1﹣2ln（1+x），∵，由g′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1（舍去）．由g′（x）＜0，得﹣1＜x＜1．∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增．为使方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实数根，于是有∵2﹣2ln2＜3﹣2ln3，∴实数a的取值范围是2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．（14分）:zlzhan；豫汝王世崇；刘长柏；danbo7801；caoqz；zhwsd；lcb001；吕静；sxs123；海燕；zcq；whgcn；沂蒙松；刘老师；zhczcb；maths；双曲线；zhiyuan（排名不分先后）菁优网2017年7月11日。

2018高考高三数学12月月考试题06（满分150分，完卷时间120分钟）一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．223lim 2n n n n n→∞+=- ． 2．已知集合{}0,A a =,{}21,B a =，若{}0,1,4,16A B =，则a = ．3．若行列式,021421=-x 则=x ． 4．若函数()23x f x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(5)g ＝ ．5．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 ．6．己知(1,2sin )a θ=，cos 1b θ=-（，），且⊥，则tan θ= ． 7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ．8．已知lg lg 1x y +=，则25x y+的最小值为 ． 9．现有20个数，它们构成一个以1为首项，-2为公比的等比数列，若从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是 ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a bc +=+，且8bc =，则△ABC 的面积等于 ．11．若二项式7()+x a 展开式中5x 项的系数是7，则)(lim 242n n a a a +++∞→ = ．12．给出四个函数：①xx x f 1)(+=，②x x x g -+=33)(，③3)(x x u =，④x x v sin )(=，其中满足条件：对任意实数x 及任意正数m ，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>的函数为 ．（写出所有满足条件的函数的序号）13．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为11(,)P x y ,22(,)Q x y 两点之间的“折线距离”．则原点)0,0(O 与直线05=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距离”的最小值是 ．14.某同学对函数x x x f sin )(=进行研究后，得出以下结论：①函数)(x f y =的图像是轴对称图形；②对任意实数x ，x x f ≤)(均成立；③函数)(x f y =的图像与直线x y =有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④当常数k 满足1>k 时，函数()y f x =的图像与直线kx y =有且仅有一个公共点. 其中所有正确结论的序号是 ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．220x y +-=D ．210x y --=16．对于原命题：“已知a b c R ∈、、，若a b > ，则22ac bc >”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个17．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，1()()12x f x =-．若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A ．(1,2)B ．(2,)+∞C ．D ．三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）已知(2cos ,1)a x =，(cos )b x x =，其中x R ∈.设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最小正周期、最大值和最小值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知z C ∈，且满足2()52z z z i i ++=+．（1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：1w ≥．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分对于双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>，定义1:C 22221x y a b+=为其伴随曲线，记双曲线C 的左、右顶点为A 、B .（1）当a b >时，记双曲线C 的半焦距为c ，其伴随椭圆1C 的半焦距为1c ，若12c c =，求双曲线C 的渐近线方程；（2）若双曲线C 的方程为221x y -=，过点(M 且与C 的伴随曲线相切的直线l 交曲线C 于1N 、2N 两点，求12ON N ∆的面积（O 为坐标原点）（3）若双曲线C 的方程为22142x y -=，弦PQ ⊥x 轴，记直线PA 与直线QB 的交点为M ，求动点M 的轨迹方程.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列．（1） 求数列{}n a 的通项公式n a ；（2） 设数列}{n c 对任意*n N ∈，都有1212222n n n c c c a ++++=成立，求122012c c c +++的值．（3）在数列{}n d 中，11d =，且满足11n n n d a d ++=*()n N ∈，求下表中前n 行所有数的和n S . 112d d d 123d d d 213d d d…… 11n n d d d + 211n n d d d -+ ...... 11k n k n d d d -++ (11)n n d d d +参考答案1． 21 2． 4 3．2 4． 1 5． 20 6．21 7． 24yx = 8．29． 2510． 11．21 12．③13．． ①②④15．D 16． C 17．C 18．D19．解：由题意知2()2cos 2f x a b x x =⋅= ……………………… 3分cos 21222x x +=⋅+cos221x x =+2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ………………………………… 6分 ∴最小正周期 22T ππ== ………………………… 8分 当2262x k πππ+=+，即(),Z 6x k k ππ=+∈时，max ()213f x =+=…………………10分 当32262x k πππ+=+，即()2,Z 3x k k ππ=+∈时，()min 211f x =-+=-…………12分 20．解：（1）设(,)z a bi a b R =+∈，则222z a b =+，()2z z i ai += ………… 2分 由22252a b ai i ++=+ 得22522a b a ⎧+=⎨=⎩……………………………4分 解得12a b =⎧⎨=⎩ 或 12a b =⎧⎨=-⎩……………………………… 5分 ∴12z i =+或12z i =-……………………………… 7分（2）当12z i =+时，(12)2w zi m i i m i m =+=++=-++=1≥…………………… 10分当12z i =-时，(12)2w zi m i i m i m =+=-+=++=1≥……………………… 13分 ∴w 1≥ ……………………………… 14分21．解：（1）由题意：当04x <≤时，()2v x =； …………………………2分 当420x <≤时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[4,20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………………………4分 故函数()x v =**2,04,15,420,82x x N x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ …………………………6分（2）依题意并由（1）可得()=x f *2*2,04,15,420,.82x x x N x x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ ……8分 当04x ≤≤时，()x f 为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=； ……………10分当420x ≤≤时，()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+， ()max (10)12.5f x f ==． ……………………………12分 所以，当020x <≤时，()x f 的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．……………………………14分22．解：（1）∵c =1c =………………………1分 由12c c ==，即22224()a b a b +=-可得 2235b a = ………………………3分 ∴C的渐近线方程为y x = ………………………4分 （2）双曲线C 的伴随曲线的方程为221x y +=，设直线l的方程为(y k x =，由l 与圆1= 即 2231k k =+解得2k =± ……………………………6分当2k =时，设1N 、2N 的坐标分别为111(,)N x y 、222(,)N x y由221y x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得221(12x x -+=，即250x --=，∵24(5)320∆=-⋅-=>，x =∴12x x -=∴1212N N x =-==………………………8分∴1212112ON N S N N ∆=⨯⨯=由对称性知，当2k =时，也有12ON N S ∆=…………………………10分 （3）设00(,)P x y ，00(,)Q x y -，又(2,0)A -、(2,0)B ，∴直线PA 的方程为00(2)2y y x x =++…………① 直线QB 的方程为00(2)2y y x x -=--…………② …………………………12分 由①②得0042x x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………14分 ∵ 00(,)P x y 在双曲线22142x y -=上 ∴222244142y x x -= ∴22142x y += ……………………………………16分23．解：（1）∵{}n a 是递增的等差数列，设公差为d (0)d >……………………1分1a 、2a 、4a 成等比数列，∴2214=a a a ……………………2分由 2(1)1(13)d d +=⨯+ 及0d >得 1d = ……………………………3分∴(*)n a n n N =∈……………………………4分 （2）∵11n a n +=+，1221222n n c c c n +++=+ 对*n N ∈都成立 当1n =时，122c =得14c = ……………………………5分 当2n ≥时，由1221222n n c c c n +++=+①，及11221222n n c c c n --+++=② ①－②得12n n c =，得2n n c = …………………7分 ∴4(1)2(2)n n n c n =⎧=⎨≥⎩…………………8分 ∴2201123201220131220122(12)42224212c c c -+++=++++=+=- ……………10分 (3)∵111n n n d a n d ++==+ ∴3122341234(1)n n d d d d n d d d d +⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅+ 又∵11d = ∴1!n d n = ………………………………13分∵111(1)!(1,2,)!(1)!k k n k n k n d d n C k n d k n k -+-+++===-+ ………………………………14分 ∴第n 行各数之和121121111111122(1,2)n n n n n n n n n n n d d d d d d C C C n d d d +-+++++++++=++⋅+=-=…………16分 ∴表中前n 行所有数的和231231(22)(22)(22)2222n n n S n ++=-+-++-=+++- 222(21)222421n n n n +-=-=--- ……………………………18分。

2015-2016学年广东省广州市真光中学高一（上）期中数学试卷一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合M={﹣1，0，1}，集合N={0，1，2}，则M∪N等于（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{4，6，7，8}3．若，则f（2）等于（）A．B．C．D．4．下列各对函数中，图象完全相同的是（）A．B．C．D．5．函数y=的定义域是（）A．[，+∞）B．[，2）∪（2，+∞）C．（，2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）6．已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数，a+b的值是（）A．0 B．C．1 D．﹣17．若函数f（x）=（a2﹣a﹣2）x2+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，则（）A．a=2或a=﹣1 B．a=2 C．a=﹣1 D．a不存在8．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）9．若函数y=a x+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限，则有（）A．a＞1且b≤0 B．a＞1且b≤1 C．0＜a＜1且b≤0 D．0＜a＜1且b≤110．已知函数f（x）=在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．2＜a＜4 B．2≤a＜4 C．3＜a＜4 D．3≤a＜411．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．12．已知lg2=0.3010，由此可以推断22014是（）位整数．A．605 B．606 C．607 D．608二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填入答题纸相应位置）13．计算：=．14．函数f（x）=x2﹣6x+m的最小值为1，则m=．15．函数y=log2（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间是．16．集合A={x|x2+x﹣6=0}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则a=．三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17．计算（1）（2）﹣（﹣7.8）0﹣（3）+（）﹣2（2）（lg2）2+lg2•lg5+．18．已知全集U=R，A={x|x≥3}，B={x|x2﹣8x+7≤0}，C={x|x≥a﹣1}（1）求A∩B，A∪B；（2）若C∪A=A，求实数a的取值范围．19．已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x．（1）求f（x）的表达式；（2）判断函数g（x）=在（0，+∞）上的单调性，并证之．20．某商场的一种商品每件进价为10元，据调查知每日销售量m（件）与销售价x（元）之间的函数关系为m=70﹣x，10≤x≤70．设该商场日销售这种商品的利润为y（元）．（单件利润=销售单价﹣进价；日销售利润=单件利润×日销售量）（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求该商场销售这种商品的日销售利润的最大值．21．已知函数（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）对于x∈[2，6]，恒成立，求实数m取值范围．22．已知函数f（x）=|x+1|+ax，（a∈R）．（1）当a=0，2时，分别画出函数f（x）的图象．（2）若函数f（x）是R上的单调函数，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省广州市真光中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合M={﹣1，0，1}，集合N={0，1，2}，则M∪N等于（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】集合M和集合N都是含有三个元素的集合，把两个集合的所有元素找出写在花括号内即可，注意不要违背集合中元素的互异性．【解答】解：因为M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，所以M∪N={﹣1，0，1}∪{0，1，2}={﹣1，0，1，2}．故答案为D．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了并集的概念，是会考题型，是基础题．2．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{4，6，7，8}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，根据集合的运算求解即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，∵C U A={4，6，7，8}，∴（C U A）∩B={4，6}．故选B．【点评】本题考查集合的基本运算和韦恩图，属基本题．3．若，则f（2）等于（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数表达式，直接代入即可求值．【解答】解：∵，∴f（2）=1﹣，故选：B．【点评】本题主要考查函数求值问题，利用函数的解析式直接代入即可，比较基础．4．下列各对函数中，图象完全相同的是（）A．B．C．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】计算题；规律型．【分析】先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．【解答】解：对于A、∵y=x的定义域为R，的定义域为R．两个函数的对应法则不相同，∴不是同一个函数．对于B、∵的定义域[0，+∞），y=|x|的定义域均为R．∴两个函数不是同一个函数．对于C、∵的定义域为R且x≠0，y=x0的定义域为R且x≠0．对应法则相同，∴两个函数是同一个函数．对于D、的定义域是x≠±1，的定义域是x≠1，定义域不相同，∴不是同一个函数．故选：C．【点评】本题考查两个函数解析式是否表示同一个函数，需要两个条件：①两个函数的定义域是同一个集合；②两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可，必须同时满足．5．函数y=的定义域是（）A．[，+∞）B．[，2）∪（2，+∞）C．（，2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出x的不等式组，求解即可．【解答】解：要使原式有意义只需：，解得且x≠2，故函数的定义域为[）∪（2，+∞）．故答案为B．【点评】求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意的x的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式．6．已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数，a+b的值是（）A．0 B．C．1 D．﹣1【考点】偶函数．【分析】根据偶函数的特点：不含奇次项得到b=0，偶函数的定义域关于原点对称，列出方程得到a 的值，求出a+b．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数∴a﹣1=﹣2a，b=0解得，b=0∴a+b=故选B．【点评】解决函数的奇偶性问题，一般利用奇函数、偶函数的定义列出恒成立的方程；注意具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．7．若函数f（x）=（a2﹣a﹣2）x2+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，则（）A．a=2或a=﹣1 B．a=2 C．a=﹣1 D．a不存在【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】函数f（x）=（a2﹣a﹣2）x2+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，可判断必须为一次函数．根据条件可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=（a2﹣a﹣2）x2+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，可判断必须为一次函数．∴a2﹣a﹣2=0，且a+1≠0即a=2，故选：B【点评】本题考查了函数的性质，对函数解析式的熟练理解掌握．8．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】函数的零点；对数函数的图像与性质．【专题】计算题．【分析】可先构造出函数f（x）=lnx+x﹣4，带入可得f（2）＜0，f（3）＞0，据此解答．【解答】解：设f（x）=lnx+x﹣4，则f（2）=ln2+2﹣4=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3+3﹣4=ln3﹣1＞0，所以x0属于区间（2，3）．故选：C．【点评】本小题主要考查简单的构造函数求出函数零点的方法，注意灵活运用，属于基础题．9．若函数y=a x+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限，则有（）A．a＞1且b≤0 B．a＞1且b≤1 C．0＜a＜1且b≤0 D．0＜a＜1且b≤1【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的图象和性质，以及图象的平移即可得到答案．【解答】解：当0＜a＜1时，y=a x的图象经过第一二象限，且恒经过点（0，1），∵函数y=a x+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限，∴y=a x的图象向下平移大于等于一个单位，即1﹣b≥1，即b≤0，当a＞1时，函数，y=a x的图象经过第一二象限，无论如何平移都进过第一象限，综上所述，函数y=a x+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限，则有0＜a＜1且b≤0．故选：C【点评】本题主要考查了指数函数的图象的性质和图象的平移，属于基础题．10．已知函数f（x）=在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．2＜a＜4 B．2≤a＜4 C．3＜a＜4 D．3≤a＜4【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=在R上是增函数，可知每段上都为增函数，且两段的最值比较，得出解出a的范围即可．【解答】解：当x=2时y=6﹣a，∵函数f（x）=在R上是增函数，∴解不等式组可得：3≤a＜4，故选：D【点评】本题考查了分段函数单调性的判断，及运用求其满足的条件，加深了对单调性的定义的理解．11．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．12．已知lg2=0.3010，由此可以推断22014是（）位整数．A．605 B．606 C．607 D．608【考点】指数式与对数式的互化．【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】令22014=t，两边取对数后求得lgt，由此可得22014的整数位．【解答】解：∵lg2=0.3010，令22014=t，∴2014×lg2=lgt，则lgt=2014×0.3010=606.214，∴22014是607位整数．故选：C．【点评】本题考查指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填入答题纸相应位置）13．计算：=1．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数与指数的运算性质即可得出．【解答】解：原式=lg100﹣1=2﹣1=1．故答案为：1．【点评】本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．函数f（x）=x2﹣6x+m的最小值为1，则m=10．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．【解答】解：函数f（x）=x2﹣6x+m可化为：y=（x﹣3）2﹣9+m，∵函数的最小值是1，∴﹣9+m=1，解得m=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二次函数的最值，会用配方法将原式化为顶点式是解题的关键．15．函数y=log2（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间是（3，+∞）．【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性的判断方法可求得答案．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，所以函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），因为y=log2u递增，u=x2﹣2x﹣3在（3，+∞）上递增，所以y=在（3，+∞）上单调递增，所以函数y=的单调递增区间是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．【点评】本题考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的单调性，考查学生解决问题的能力．16．集合A={x|x2+x﹣6=0}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则a=﹣或或0．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】先化简集合，再由子集的关系求解．【解答】解：集合A={x|x2+x﹣6=0}={﹣3，2}∵B⊆A，∴（1）B=∅时，a=0（2）当B={﹣3}时，a=（3））当B={2}时，a=﹣故答案为：﹣或或0．【点评】本题主要考查集合的关系及其运算．三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17．计算（1）（2）﹣（﹣7.8）0﹣（3）+（）﹣2（2）（lg2）2+lg2•lg5+．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．（2）利用导数的运算法则化简求解即可．【解答】（本小题满分10分）解：（1）（2）﹣（﹣7.8）0﹣（3）+（）﹣2===．…（2）（lg2）2+lg2•lg5+=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=lg10=1．…【点评】本题考查有理指数幂以及对数运算法则的应用，是基础题．18．已知全集U=R，A={x|x≥3}，B={x|x2﹣8x+7≤0}，C={x|x≥a﹣1}（1）求A∩B，A∪B；（2）若C∪A=A，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算．【专题】计算题．【分析】（1）由题意可得B={x|x2﹣8x+7≤0}={x|1≤x≤7}，从而可求A∩B，A∪B（2）由C∪A=A可得C⊆A，结合数轴可求a﹣1的范围，进而可求a的范围【解答】解：（1）由题意可得B={x|x2﹣8x+7≤0}={x|1≤x≤7}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，∴A∩B={x|3≤x≤7}，A∪B={x|x≥1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵C∪A=A∴C⊆A∴a﹣1≥3∴a≥4﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题主要考查了二次不等式的解法，集合之间的交并运算及集合之间包含关于的应用，属于基础试题19．已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x．（1）求f（x）的表达式；（2）判断函数g（x）=在（0，+∞）上的单调性，并证之．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得f（x）的表达式；（2）结合（1）中结论，可得g（x）的解析式，利用作差法，可证明其单调性．．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由条件得：a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x，从而，解得：，所以f（x）=x2﹣2x﹣1；…（2）函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．理由如下：g（x）==，设设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则g（x1）﹣g（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）（1+），∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1+＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．…【点评】题考查利用待定系数法求函数模型已知的函数解析式，函数单调性的判定与证明，难度中档．20．某商场的一种商品每件进价为10元，据调查知每日销售量m（件）与销售价x（元）之间的函数关系为m=70﹣x，10≤x≤70．设该商场日销售这种商品的利润为y（元）．（单件利润=销售单价﹣进价；日销售利润=单件利润×日销售量）（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求该商场销售这种商品的日销售利润的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润．（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．【解答】解：（1）y=m（x﹣10），=（x﹣10）（70﹣x），=﹣x2+80x﹣700（10≤x≤70）；（2）∵y=﹣x2+80x﹣700=﹣（x﹣40）2+900，10≤x≤70，∴当x=40元时，最大利润y=900元．【点评】本题考查了二次函数的应用，根据配方法求出二次函数的顶点坐标是解题关键．21．已知函数（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）对于x∈[2，6]，恒成立，求实数m取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；对数函数的定义域．【专题】综合题．【分析】（1）利用真数大于0，可得函数的定义域，利用奇偶函数的定义，可得函数f（x）的奇偶性；（2）将问题转化为0＜m＜（x+1）（7﹣x）在x∈[2，6]成立，利用二次函数的性质，即可求得结论．【解答】解：（1）由，解得x＜﹣1或x＞1，∴定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，∴是奇函数．…．（2）由x∈[2，6]时，恒成立，∴，∵x∈[2，6]，∴0＜m＜（x+1）（7﹣x）在x∈[2，6]成立…令g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知x∈[2，3]时函数单调递增，x∈[3，6]时函数单调递减，∴x∈[2，6]时，g（x）min=g（6）=7∴0＜m＜7…．【点评】本题考查函数的性质，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的定义域，利用奇偶性的定义，熟练掌握二次函数的性质．22．已知函数f（x）=|x+1|+ax，（a∈R）．（1）当a=0，2时，分别画出函数f（x）的图象．（2）若函数f（x）是R上的单调函数，求实数a的取值范围．【考点】函数的图象；函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）将函数解析式写出分段函数，然后作图；（2）将函数解析式写出分段函数后，令每一段上均为单调减函数函数，且第一段最小值大于或大于第二段的最大值，或每一段上均为增函数，且第一段上最大值小于或等于第二段的最小值．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=|x+1|=作出函数图象如图：当a=2时，f（x）=，作出函数图象如图：。

广东高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.的值是（）A．B．C．D．2.若已知，，则线段的长为（）A．B．C．D．3.已知点落在角的终边上，且，则的值为（）A．B．C．D．4.经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是（）A．B．C．D．5.一个年级有14个班，每个班有50名同学，随机编号为1～50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是( )A．抽签法B．分层抽样法C．随机数表法D．系统抽样法6.函数y=3sin(2x+)图象可以看作把函数y=3sin2x的图象作下列移动而得到（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位7.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A．B．C．D．8.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（）A．B．C．D．9.函数的定义域是（）A．B．C．D．10.函数（其中）的图象如图所示，则（）A．B．C．D．二、填空题1.A，B，C三种零件，其中B零件300个，C零件200个，采用分层抽样方法抽取一个容量为45的样本，A零件被抽取20个，C零件被抽取10个，三种零件总共有____个.2.计算的值等于_____ __.3.已知x、y的取值如下表所示：x0134从散点图分析，y与x线性相关，且，则．4.三、解答题1.（本题12分）求值2.（本题13分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了120名年龄在[10，20) ，[20，30) ，…， [50，60) 的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频率分布直方图如图所示．(1) 根据直方图填写右面频率分布统计表；(2) 根据直方图，试估计受访市民年龄的中位数（保留整数）；(3) 按分层抽样的方法在受访市民中抽取名市民作为本次活动的获奖者，若在[10，20)的年龄组中随机抽取了6人，则的值为多少？3.（本题12分）在人流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？4.（本小题13分）已知函数(1)求函数的最小正周期.(2) 求函数的单调递增区间.5.（本小题13分）已知：函数．（1）求函数的最小正周期和当时的值域；（2）若函数的图象过点，.求的值．6.（本小题满分12分）已知圆，（Ⅰ）若直线过定点，且与圆相切，求的方程；(Ⅱ) 若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程．广东高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】2.若已知，，则线段的长为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.3.已知点落在角的终边上，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知是第四象限角且,.4.经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为圆心C（-3,2）,所以所求直线的方程为即.5.一个年级有14个班，每个班有50名同学，随机编号为1～50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是( )A．抽签法B．分层抽样法C．随机数表法D．系统抽样法【答案】D【解析】因为每个班抽一个，并且学号相同，间距一样，所以是系统抽样方法.6.函数y=3sin(2x+)图象可以看作把函数y=3sin2x的图象作下列移动而得到（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【答案】C【解析】,所以把函数y=3sin2x的图象向左平移单位得到函数y=3sin(2x+)图象.7.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.8.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，所以函数的最小正周期为，且图象关于直线对称.9.函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由,所以定义域为.10.函数（其中）的图象如图所示，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图像可知A=1，，所以,所以.二、填空题1.A，B，C三种零件，其中B零件300个，C零件200个，采用分层抽样方法抽取一个容量为45的样本，A零件被抽取20个，C零件被抽取10个，三种零件总共有____个.【答案】900【解析】设A零件有x个，则.所以共有400+300+200=900.2.计算的值等于_____ __.【答案】【解析】3.已知x、y的取值如下表所示：x0134从散点图分析，y与x线性相关，且，则．【答案】2.6【解析】先求出样本中心(2,4.5),所以直线经过点（2，4.5），所以.4.【答案】【解析】由,所以定义域为.三、解答题1.（本题12分）求值【答案】【解析】注意利用诱导公式奇变偶不变，符号看象限来化简求值即可.解：原式………………………10分(每对一个2分)……………………………………………12分2.（本题13分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了120名年龄在[10，20) ，[20，30) ，…， [50，60) 的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频率分布直方图如图所示．(1) 根据直方图填写右面频率分布统计表；(2) 根据直方图，试估计受访市民年龄的中位数（保留整数）；(3) 按分层抽样的方法在受访市民中抽取名市民作为本次活动的获奖者，若在[10，20)的年龄组中随机抽取了6人，则的值为多少？【答案】(1)见解析；(2) ；(3)【解析】(1)由图可知每个区间上矩形面积为此区间上频率，据此可求出频数.（2）频率等于0.5的横坐标值.（3）根据求解即可.解（1）如图（每空一分）………（4分）（2）由已知得受访市民年龄的中位数为（3）由，解得．……………（13分）3.（本题12分）在人流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？【答案】（1）0.05；（2）0.45；（3）1200元【解析】先列出所有基本事件：把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个.（1）（2）分别求出对应事件包括的基本事件的个数，然后利用古典概型概率计算公式计算即可.(3)根据由摸出的3个球为同一颜色的概率估计出发生的次数，则可计算一天可赚多少钱.解：把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个………………（3分）1）、设事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，所以 P（E）=1/20=0.05 ………………（5分）2）、事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，P（F）=9/20=0.45 ………………（8分）3）、事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P（G）=2/20=0.1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次，不发生90次.则一天可赚，每月可赚1200元.……（12分）4.（本小题13分）已知函数(1)求函数的最小正周期.(2) 求函数的单调递增区间.【答案】(1)；(2)【解析】(1)先通过降幂公式计算出,然后可得周期.（2）由正弦函数y=sinx的单调增区间求解即可.解：（1）由………（4分）得………（6分）（2）由………（8分）得………（12分）即函数单调区间为………（13分）5.（本小题13分）已知：函数．（1）求函数的最小正周期和当时的值域；（2）若函数的图象过点，.求的值．【答案】（1），；（2）【解析】(1)易求出,然后易求其周期和和特定区间上的值域.(2)函数的图象过点,可求出再利用＝ ,然后利用两角和的正弦公式求解即可.解：（1）--2分∴函数的最小正周期为， -------------- 3分∵------------------ 5分 7分（2）依题意得：∵∴∴＝-----------------9分＝ ------------------------10分-∵＝…12分∴＝ ----------------------------------13分6.（本小题满分12分）已知圆，（Ⅰ）若直线过定点，且与圆相切，求的方程；(Ⅱ) 若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程．【答案】（Ⅰ）直线方程是，．(Ⅱ) 圆的方程为【解析】(I)先讨论斜率不存在是否满足题意.然后再研究斜率存在时，根据直线与圆相切可建立关于k的方程，求的方程.出k值，从而求出切线l1(II)依题意设,再根据CD=5，建立关于a的方程，求出a值.从而可求出圆C的方程.解：（Ⅰ）①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意．………（2分）②若直线斜率存在，设直线为，即．由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，即解之得．所求直线方程是，．………（6分）（Ⅱ）依题意设，又已知圆的圆心，由两圆外切，可知………（8分）∴可知＝，解得，∴，………（10分）∴所求圆的方程为………（12分）。

2016-2017学年广东省广州十八中高一（上）12月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X ∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，8}B．{3，7，8}C．{1，3，7，8}D．{1，3，6，7，8} 2．设集合A和集合B都是自然数集N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素n2+n，则在映射f下，像20的原像是（）A．2 B．3 C．4 D．53．下列函数中，与函数y=x表示同一函数的是（）A．B．C．，且a≠1）D．，且a≠1）4．已知f（1﹣2x）=，那么f（）=（）A．4 B．C．16 D．5．下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是（）A．y=x2B．C．D．y=x﹣36．已知函数f（x）=x2﹣4x，x∈﹣4，+∞）B．﹣4，5﹣4，5）7．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值表：x1234567f（x）123.521.5﹣7.8211.57﹣53.7﹣26.7﹣29.6那么函数f（x）在区间上的零点至少有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c9．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.510．如果直线a∥直线b，且a∥平面α，那么b与a的位置关系是（）A．相交B．b∥a C．b⊂a D．b∥a或b⊂a11．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．12．下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（x）的解析式为．14．已知函数f（x），g（x）分别由下表给出，则f=，g=．x1234f（x）2341x1234g（x）214315．正方体的表面积与其内切球表面积的比为．16．函数f（x）是定义在R上的奇函数，并且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2x，那么，f（﹣1）=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.（其中第15题10分，其他每题12分）17．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．18．已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明：函数f（x）在内是增函数．19．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（1）求证：AC⊥平面B1D1DB；（2）求三棱锥B﹣ACB1的体积．20．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1．21．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a x﹣1．其中a＞0且a≠1．（1）求f（2）+f（﹣2）的值；（2）求f（x）的解析式．22．已知函数f（x）=lg（a x﹣b x），a＞1＞b＞0（1）求f（x）的定义域；（2）在函数f（x）的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴；（3）当a，b满足什么条件时，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．2016-2017学年广东省广州十八中高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X ∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，8}B．{3，7，8}C．{1，3，7，8}D．{1，3，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z．【解答】解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，故选C2．设集合A和集合B都是自然数集N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素n2+n，则在映射f下，像20的原像是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】映射．【分析】A中的元素为原象，B中的元素为象，由2n+n=20即可解出结果．【解答】解：由2n+n=20求n，用代入验证法法可知n=4．故选C3．下列函数中，与函数y=x表示同一函数的是（）A．B．C．，且a≠1）D．，且a≠1）【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】分析给出的四个选项是否与函数y=x为同一函数，关键看给出的四个函数的定义域和对应关系是否与函数y=x一致，对四个选项逐一判断即可得到正确结论．【解答】解：函数y=x的定义域为R，函数=，与函数y=x的解析式不同，所以不是同一函数；的定义域是{x|x≠0}，所以与函数y=x的定义域不同，不是同一函数；函数的定义域是{x|x＞0}，与函数y=x的定义域不同，不是同一函数；函数，与函数为同一函数．故选D．4．已知f（1﹣2x）=，那么f（）=（）A．4 B．C．16 D．【考点】函数的值．【分析】法一：令1﹣2x=可求x，然后把所求的x代入已知函数解析式即可求解f（）法二：利用换元法可求函数f（x），然后代入可求函数值【解答】解：法一：令1﹣2x=可得，x=∴f（）==16故选C法二：令1﹣2x=t则x=∴f（t）=∴f（）=16故选C5．下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是（）A．y=x2B．C．D．y=x﹣3【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】分别利用函数的奇偶性和单调性进行判断．【解答】解：y=x2为偶函数，所以A不合适．的定义域为1，5），则此函数的值域为（）A．﹣3，5）C．D．1，5），∴f（2）≤f（x）＜f（5），即﹣4≤f（x）＜5．故选D．7．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值表：x1234567f（x）123.521.5﹣7.8211.57﹣53.7﹣26.7﹣29.6那么函数f（x）在区间上的零点至少有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】函数零点的判定定理．【分析】由于f（2）f（3）＜0，故连续函数f（x）在（2，3）上有一个零点，同理可得f（x）在（3，4）上有一个零点，在（4，5）上有一个零点，由此得出结论．【解答】解：由于f（2）f（3）＜0，故连续函数f（x）在（2，3）上有一个零点．由于f（3）f（4）＜0，故连续函数f（x）在（3，4）上有一个零点．由于f（4）f（5）＜0，故连续函数f（x）在（4，5）上有一个零点．综上可得函数至少有3个零点，故选B8．设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较；指数函数单调性的应用．【分析】易知a＜0 0＜b＜1 c＞1 故a＜b＜c【解答】解析：∵由指、对函数的性质可知：，，∴有a＜b＜c故选A．9．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5【考点】奇函数．【分析】题目中条件：“f（x+2）=﹣f（x），”可得f（x+4）=f（x），故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．故选B．10．如果直线a∥直线b，且a∥平面α，那么b与a的位置关系是（）A．相交B．b∥a C．b⊂a D．b∥a或b⊂a【考点】平面的基本性质及推论．【分析】线面平行的性质，α内存在与a平行的直线a′，，b⊊α时则b∥a'根据线面平行的判定定理显然成立．【解答】解：根据线面平行的判定定理，b⊊α时，∵a∥平面α，∴存在与a平行的直线a'，∴b∥a′，此时b∥α．显然还有b⊂α．故选D．11．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆柱底面积半径为r，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比．【解答】解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，全面积：侧面积=：（2πr）2=．故选A．12．下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据线线平行、线面平行的判定和性质．即可得出正确结论．【解答】解：：（1）两条直线都和同一个平面平行，那么这两条直线可能平行、相交、异面．故（1）不正确．（2）两条直线没有公共点，那么这两条直线可能平行、异面．故（2）不正确．（3）两条直线都和第三条直线垂，则这两条直线可能平行、相交、异面．故（3）不正确．（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面可能平行、可能相交、可能在平面内．故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（x）的解析式为．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】由题意设幂函数y=f（x）=x a，从而解得a．【解答】解：设y=f（x）=x a，则2a=，故a=﹣，故答案为：．14．已知函数f（x），g（x）分别由下表给出，则f=2，g=2．x1234f（x）2341x1234g（x）2143【考点】函数的值．【分析】由表可知，g（2）=1，则f=f（1）=2同理求出g【解答】解：由表可知，g（2）=1，则f=f（1）=2f（3）=4，g=g（4）=3故答案为：2 315．正方体的表面积与其内切球表面积的比为6：π．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可知球的直径就是正方体的棱长，求出两个几何体的表面积，即可求出比值．【解答】解：设球的半径为R，则球的表面积为：4πR2，正方体的表面积：6×（2R）2=24R2所以球的表面积与正方体的表面积之比为：24R2：4πR2=6：π．故答案为：6：π．16．函数f（x）是定义在R上的奇函数，并且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2x，那么，f（﹣1）=﹣2．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】先利用奇函数的定义，将所求函数值转换为求f（1），再利用已知函数解析式，求得f（1），进而得所求函数值【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣1）=﹣f（1）∵x∈（0，+∞）时，f（x）=2x，∴f（1）=2∴f（﹣1）=﹣2故答案为﹣2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.（其中第15题10分，其他每题12分）17．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）在数轴上表示出集合A，B，从而解得；（2）由题意分类讨论，从而求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}在数轴上表示可得：故A∪B={x|2＜x＜10}，C R A={x|x＜3，或x≥7}（C R A）∩B={2＜x＜3，或7≤x＜10}；（2）依题意可知①当C=∅时，有5﹣a≥a，得；②当C≠∅时，有，解得；综上所述，所求实数a的取值范围为（﹣∞，3hslx3y3h．18．已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明：函数f（x）在内是增函数．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）利用函数奇偶性的定义去判断．（2）利用函数单调性的定义去证明．【解答】解：（1）函数的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）∵，∴f（x）是奇函数．（2）设，且x1＜x2则=，∵，∴x1﹣x2＜0，x1x2﹣2＞0，x1x2＞0∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）故f（x）在内是增函数．19．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（1）求证：AC⊥平面B1D1DB；（2）求三棱锥B﹣ACB1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即可证明AC⊥平面B1D1DB；（2）利用等体积转化，即可求三棱锥B﹣ACB1的体积．【解答】（1）证明：∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC在正方形ABCD中，AC⊥BD，∵BB1∩BD=B，∴AC⊥平面B1D1DB；（2）解：三棱锥B﹣ACB1的体积=三棱锥C﹣ABB1的体积=×CB×=20．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设AC和BD交于点O，连PO，则PO∥BD1，由此能证明直线BD1∥平面PAC．（2）推导出AC⊥BD，DD1⊥AC，由此能证明平面PAC⊥平面BDD1．【解答】证明：（1）设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，因为PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，所以直线BD1∥平面PAC（2）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC，所以AC⊥面BDD1，则平面PAC⊥平面BDD1．21．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a x﹣1．其中a＞0且a≠1．（1）求f（2）+f（﹣2）的值；（2）求f（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】（1）由奇函数的定义可知f（﹣2）=﹣f（2），可求（2）要求函数解析式，只要求出x＜0时的函数f（x）根据题意设x＜0，则﹣x＞0，结合f（﹣x）=﹣f（x），及x≥0时，f（x）=a x﹣1，可求【解答】解：（1）因f（x）是奇函数，所以有f（﹣2）=﹣f（2），所以f（2）+f（﹣2）=0．（2）当x＜0时，﹣x＞0∴f（﹣x）=a﹣x﹣1由f（x）是奇函数有，f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=a﹣x﹣1∴f（x）=1﹣a﹣x∴f（x）=22．已知函数f（x）=lg（a x﹣b x），a＞1＞b＞0（1）求f（x）的定义域；（2）在函数f（x）的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴；（3）当a，b满足什么条件时，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．【考点】对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域．【分析】（1）由对数函数的真数大于零求解．（2）当函数在定义域上单调时，则不存在，当函数在定义域上不单调时，则存在，所以要证明函数是否单调，可用定义法，也可用导数法研究．（3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”则需函数的最小值非负即可，由（2）可知是增函数，所以只要f（1）≥0即可．【解答】解：（1）由a x﹣b x＞0得，由于所以x＞0，即f（x）的定义域为（0，+∞）（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2；f（x1）﹣f（x2）=∵a＞1＞b＞0，∴y=a x在R上为增函数，y=b x在R上为减函数，∴∴，即又∵y=lgx在（0，+∞）上为增函数，∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．所以任取x1≠x2则必有y1≠y2故函数f（x）的图象L不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．（3）因为f（x）是增函数，所以当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1），这样只需f（1）=lg（a﹣b）≥0，即当a﹣b≥1时，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．2017年4月14日。

2018高考高三数学12月月考试题03满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知复数z 满足(1)4i z i +=(i 为虚数单位)，则z =_________________.2．函数22log (1)y x =-的定义域为 .3．已知集合{,,,,},{,,,}A a b c d e B c d e f ==，全集U A B = ，则集合()U A B ð中元素的个数为__________________.4．已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是 .5．已知函数()y g x =的图像与函数31x y =+的图像关于直线y x =对称，则(10)g 的值为 .6．（文）若二项式()21n x +展开式的各项系数的和为64，则其展开式的所有二项式系数中最大的是 . (用数字作答)7．（文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若(3)n S =-是等比数列的充要条件是 .8．某算法的程序框图如右图，若输出的S 的值为9．（文）某高校随机抽查720商品的最新信息，得到的结果如右表，已知这720名大学生中随机抽取一名，了解商品最新信息的概率是1118，则p = . 10．已知定义在(0 2π，上的函数2(sin 1)y x =+与3y =的图像的交点为P ，过P 作1PP x ⊥轴于1P ，直线1PP 与tan y x =的图像交于点2P ，则线段12PP的长为 . 11．（文）已知不等式1x a x ->-对任意[0,2]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．12．（文）已知函数2cos ,11()21,||1x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=312253329742512339733112943252727791113135的实根的个数是___ _．14．（文）如下图，对大于或等于2的正整数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”(其中* m n N ∈、)：例如27的“分裂”中最小的数是1，最大的数是13；若3m 的“分裂”中最小的数是211，则m = .二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知,,,A B C D 是空间四点，命题甲：,,,A B C D 四点不共面，命题乙：直线AC 和BD不相交，则甲是乙成立的 [答]( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．(文)若向量,m n 满足1m n == ，m 与n 的夹角为060，则m m m n ⋅+⋅= [答]（ ）（A ）12 （B ）32 （C ）2（D ）12+17．(文)已知函数()|arctan |f x x =，若存在12,[,]x x a b ∈，且12x x <，使12()()f x f x ≥成立，则以下对实数a 、b 的描述正确的是 [答]（ ）（A ）0a < （B ）0a ≥ （C ）0b ≤ （D ）0b ≥18．（文）数列{}n a 满足121a a ==，122cos ()3n n n n a a a n N π*++++=∈，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2013S 的值为 [答] ( )（A ）2013 （B ）671 （C ）671- （D ）6712-三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．已知函数2sin cos )()sin cos cos x x x f x x x x-=+； (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()2y f x π=-，[0 ]2x π∈，的值域. 解：20.（文）（本题满分14分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分． 已知椭圆E 的方程为22143x y +=，右焦点为F ，直线l 的倾斜角为4π，直线l 与圆223x y +=相切于点Q ，且Q 在y 轴的右侧，设直线l 交椭圆E 于两个不同点,A B . （1）求直线l 的方程；（2）求ABF ∆的面积.解：21.（文）（本题满分14分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．．科学研究表明：一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。

广东省广州市真光中学2023-2023学年高一下学期月考数学试题一、单选题1．已知(1i)2i z +=-，则在复平面内复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知点()1,3A ，()5,1B m -，()3,1C m +，若A ，B ，C 三点共线，则AB u u u r的坐标为（ ）A ．()22-，B ．()22-，C ．()22，D ．()22--，3．化简()sin 501︒⋅︒所得的结果是（ ）AB ．1C D 4．空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是（ ） A ．条形图 B ．折线图C ．扇形图D ．频率分布直方图5．已知向量()2,1a =r ，(),3b λ=r ，若向量b r 在向量a r上的投影向量()10,5c =r ，则2b a -=r r （ ）A ．7B ．C ．D ．6．已知ABC V 的外接圆的圆心为O ，且π3A =，BC =OB AC ⋅u u u r u u u r 的最大值为（ ）A．32B C ．2 D ．37．已知锐角ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 2A =a b 的取值范围是（ ）A ．)B ．(C ．)D ．8．三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，6AB =，8BC =，10AC =，顶点P 到ABC V 的三边距离均等于4，且顶点P 在底面的射影在ABC V 的内部，则球O 的表面积等于（ ）A ．100πB ．304π3C ．316π3D ．320π3二、多选题9．五位同学每人各掷一次骰子，记录骰子出现的点数，下列选项中可能出现点数6的是（ ） A ．中位数为3，众数为3 B ．平均数为3，众数为4 C ．平均数为3，中位数为3 D ．平均数为2，方差为2.410．下列四个命题正确的是（ ）A ．若1i 1z +-=，则1i z --的最大值为3B ．若复数12,z z满足12122,2,1z z z z ==+=，则12z z -=C ．若()sin sin C A AB A AB B AC C P λλ⎛⎫ ⎪=+∈ ⎪⎝⎭R u u u u r u u u u r u u u ur r u u u r ，则点P 的轨迹经过ABC V 的重心 D ．在ABC V 中，D 为ABC V 所在平面内一点，且1132+=u u u r u u r u u r u u AD AB AC ，则16BCD ABDS S =△△ 11．如图，已知二面角l αβ--的平面角为π3，棱l 上有不同的两点A ，B ，,,,AC BD AC l αβ⊂⊂⊥BD l ⊥．若2AC AB BD ===，则下列结论正确的是（ ）A ．点D 到平面α的距离是2；B ．直线AB 与直线CD 的夹角为π4；C ．四面体ABCDD ．过A ，B ，C ，D四点的球的体积为π27．三、填空题 12．已知复数()2cos isin 1i z θθθ+=∈+R 的实部为0，则πcos 22θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．13．近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进．农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置．如图所示，单位圆O 绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2πrad/s ，圆上两点A ，B 始终满足2π3AOB ∠=，随着圆O 的旋转，A ，B 两点的位置关系呈现周期性变化．现定义；A ，B 两点的竖直距离为A ，B两点相对于水平面的高度差的绝对值．假设运动开始时刻，即0=t 秒时，点A 位于圆心正下方：则13t =秒时，A ，B 两点的竖直距离第一次为0；A ，B 两点水平面的竖直距离关于时间t 的函数解析式为()f t =．14．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点P 为ABC V 的垂心，若已知::4:5:6a b c =，记线段,,PA PB PC 的长度分别为x ，y ，z ，则::x y z =．四、解答题15．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)40,50，[)50,60，L ，[]90,100得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值； (2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在[)50,60的平均成绩是61，方差是7，落在[)60,70的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s .16．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB DC P ，2AD AB ==，4CD =，E 为CD 的中点.将DAE V 沿AE 翻折，得到四棱锥P ABCE -（如图2）.(1)若PC 的中点为M ，点N 在棱AB 上，且//MN 平面PAE ，求AN 的长度； (2)若四棱锥P ABCE -的体积等于2，求二面角P BC A --的大小.17．在ABC V 中，0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r． (1)证明：G 为ABC V 的重心．(2)若4,6AG BC ==，求BG 的最大值，并求此时AB 的长．18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1,AB D 为AB 的中点.(1)证明：AB ⊥平面1CC D .(2)求异面直线1BC 与CD 所成角的余弦值.(3)在1C D 上是否存在点E ，使得平面BCE ⊥平面1ABC ？若存在，求出1C EED的值；若不存在，说明理由.19．在ABC V 中，,,A B C ∠∠∠对应的边分别为,,,sin tan cos 2sin a b c b A a A B a C +=. (1)求A ；(2)奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式：()()()2222212121122x x y y x y x y +≤++；②已知三维分式型柯西不等式：()2222123312123123123*,,R ,x x x x x x y y y y y y y y y ++∈++≥++，当且仅当312123x x x y y y ==时等号成立.若3,a P =是ABC V 内一点，过P 作,,AB BC AC 的垂线，垂足分别为,,D E F ，求9AB BC AC T PDPEPF=++的最小值.。

广东省广州市荔湾区真光中学2025届高三第二学期月考（三）数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( ) A ．34B ．43C ．-43D ．-342．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．()722+πB ．()1022+πC ．()1042+πD ．()1142+π3．函数()y f x =，x ∈R ，则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元5．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ） A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>6．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．907．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ） A ．12B 2C 3D 38．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近线交于点O及点3,22A ⎛ ⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213y x -=B ．22126x y -=C ．2213x y -=D ．22162x y -=10．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．311．已知椭圆2222:19x y C a a+=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭12．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） A ．2BCD ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省珠海市2017-2018学年高一12月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22,1,0,1,2,|1log 2A B x x =--=-<<，则A B = （ ）． A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2 C ．{}0,1 D ．{}1,22.下列各组表示同一函数的是（ ）． A．y =2y =B ．()()21,11x f x g x x x -==+- C ．()1y x x R =-∈与()1y x x N =-∈ D ．11y x =+与11y t=+ 3.设123log 2,ln 2,5a b c -===，则（ ）．A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 4.已知()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩是(),-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）．A ．()0,1B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭5.函数2y ax bx =+与()log 0,b ay x a a b =≠≠在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．6.已知()00,M x y 是圆222x y a +=外任意一点，则直线200x x y y a +=与该圆的位置关系是（ ）． A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．由点()00,x y 的位置决定7.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长2cm ，那么该棱柱的表面积为（ ）．A．(22cm + B．(24cm + C．(28cm + D．(216cm +8.某几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为等腰三角形，则其外接球的表面积为（ ）．A ．5πB ．203π C ．8π D ．283π 9.在三棱锥A BCD -中，侧棱AB AC AD 、、两两垂直，ABC ACD ADB ∆∆∆、、的面积分别为222、、，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为（ ）．A B ． C ． D ．10.如图，已知()()4,0,0,4A B ，从点()2,0P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）．A ．B ．6C ．．11.定义域为R 的偶函数()f x 满足：对任意x R ∈都有()()2f x f x -=，且当[]0,1x ∈时，()1f x x =-，若函数()()log 1a y f x x =-+在 ()0,x ∈+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）． A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭12.曲线1y =+与直线()24y k x =-+有两个交点，则k 的取值范围是（ ）． A ．50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．53,124⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.点B 是点()1,2,3A 在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于____________． 14.设,x y R ∈，集合(){}(){}22,|10,,|1A x y ax by B x y xy +++==+=，且A B 是一个单元素集合，若对所有的()(){},,|0,0a b a b a b ∈<<，则集合()()(){}22,|1C x y x a y b =-+-≤所表示的图形的面积等于 ____________．15.用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值.设(){}()min 2,2,100xf x x xx =+-≥，则()f x 的最大值为 ____________．16.如图正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H .有下列四个命题：①.点H 是1A BD ∆的垂心； ②. AH 垂直平面11CB D ；③.二面角111C B D C -- ④.点H 到平面1111A B C D 的距离为34. 其中正确的是 ____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知直线：12:210,:10l ax y l x by -+=+-=，求满足下列条件的,a b 的值. （1）12l l ⊥，且直线1l 过点()3,1--；（2）12//l l ，且坐标原点到这两条直线的距离相等；已知函数()()0y f x x =≠对于任意的,x y R ∈且,0x y ≠满足()()()f xy f x f y =+. （1）求()()1,1f f -的值；（2）判断函数()()0y f x x =≠的奇偶性；（3）若函数()y f x =在()0,+∞上是增函数，解不等式()1506f x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭.19.（本小题满分12分）实数,x y 满足222410x y x y ++-+=. 求（1）4yx -的最大值和最小值； （2）2x y +的最大值和最小值；（3.20.（本小题满分12分）已知BCD ∆中，090,1,BCD BC CD AB ∠===⊥平面0,60,BCD ADB E F ∠=、分别是AC AD 、上的动点，且()01AE AFAC ADλλ==<<. （1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；（2）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？如图，正方形ABCD 所在平面与直角三角形ABE 所在的平面互相垂直，AE AB ⊥，设,M N 分别是,DE AB 的中点，已知2,1AB AE ==.（1）求证：//MN 平面BEC ； （2）求点E 到平面BMC 的距离.22.（本小题满分12分）已知圆C 过坐标原点O ，且与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，圆心坐标()2,,0C t t R t t ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭. （1）求证：AOB ∆的面积为定值；（2）直线240x y +-=与圆C 交于点,M N ，若OM ON =，求圆C 的方程；（3）在（2）的条件下，设,P Q 分别是直线:20l x y ++=和圆C 上的动点，求PB PQ +的最小值及此时点P 的坐标.广东省珠海市2017-2018学年高一12月月考数学试题参考答案一、选择题二、填空题2π 15. 6 16. ①②③三、解答题17.解：（1）∵12l l⊥，∴120a b⨯-=…………………2分又∵直线1l过点()3,1--，∴3210a-++=，∵坐标原点到这两条直线的距离相等，=，化简得2230a b-+=………………………………8分故1,2a b==-或1,2a b=-=，经检验，1,2a b==-为所求……………………………………10分18.解：（1）∵对于任意的,y Rx∈，且,0x y≠满足()()()f xy f x f y=+，∴令1x y==，得到：()()()111f f f=+，∴()10f=.令1x y==-，得到：()()()111f f f=-+-，∴()10f-=………………………………4分证明：（2）由题意可知，令1y=-，得()()()1f x f x f-=+-，∵()10f -=，∴()()f x f x -=∴()y f x =为偶函数…………………………………6分 解：（3）由（2）函数()f x 是定义在非零实数集上的偶函数， ∴不等式()1506f x f x ⎛⎫+-≤⎪⎝⎭……………………………8分 可化为()()()()1151,5166f x x f f x x f ⎛⎫⎡⎤-≤-≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，∴()11516x x -≤-≤，即：()656x x -≤-≤且0,50x x ≠-≠……………………………11分 在坐标系内，如图函数()5y x x =-图象与6,6y y ==-两直线， 由图可得[)(][)(]1,00,23,55,6x ∈- ，故不等式的解集为：[)(][)(]1,00,23,55,6- …………………………12分19.解：222410x y x y ++-+=即()()22124x y ++-=，表示一个以()1,2C -为圆心，以2为半径的圆，如图： （1）4yx -表示圆上的点(),x y 与点()4,0A 连线的斜率， 设圆的切线斜率为k ，圆的切线方程为()04y k x -=-， 即40kx y k --=，由20k ==或2021-， 结合图形知，4y x -的最大值为0，最小值为2021-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）令2x y t +=，t 表示过圆上的点且斜率等于-2 的直线在y 轴上的截距，当直线2x y t +=和圆相切时，有2=t =±，故2x y +的最大值为-8分 （3=()B 1,0连线的长度，圆心()1,2C -到点()1,0B 的长度是2，最小值为2………………………12分20.证明：（1）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB CD ⊥，∵CD BC ⊥且AB BC B = ，∴CD ⊥平面ABC ……………………3分 又∵()01AE AFAC ADλλ==<<， ∴不论λ为何值，恒有//EF CD ，∴EF ⊥平面,ABC EF ⊂平面BEF ， ∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由（1）知，BE EF ⊥，又∵平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE AC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵001,90,60BC CD BCD ADB ==∠=∠=，∴0BD AB ==，∴AC ==由2AB AE AC = 得AE =，∴67AE AC λ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 故当67λ=时，平面BEF ⊥平面ACD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）证明：取EC 中点F ，连接,MF BF ， ∵MF 为CDE ∆的中位线，∴1//,2MF CD MF CD =； 又∵1//,2NB CD NB CD =，∴//MF,NB MF NB =，∴四边形NBFM 为平行四边形，．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 ∴//MN BF ，又∵BF ⊂平面,BEC MN ⊄平面BEC ， ∴//MN 平面BEC ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）∵//MN 平面BEC ，∴111123323E M BBC N BEC C BEN BEN V BMC V V V S CB ---∆-=====⨯⨯= , ∵,AB AD AB AE ⊥⊥， ∴AB ⊥平面EAD ， ∴AB AM ⊥，则2MB ====， ∵//CD AB ，∴CD ⊥平面EAD ，故CD DM ⊥，则2MC ====，在BMC ∆中，22MB MC ===，∴11222BMCS BC ∆==⨯= ∴1133E BMC BMC V S h -∆== （其中h 表示点E 到平面BMC 的距离），即1133h =，解得：h =．即点E 到平面BMC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 （法二）取EA 中点Q ，连结MQ ，过A 作AH 垂直于BQ 于H ，因为Q 为EA 中点，则E 和A 到直线BQ 距离相等，只要证AH ⊥面MQBC 即可． ∵//,//MQ DA DA BC ，∴MQBC 共面，∵BC AB ⊥，面AC ⋂面ABE AB =，面AC ⊥面ABE ，BC ⊂面AC ，∴BC ⊥面,ABEQ AH ⊂面ABE ，∴,,,,AH BC AH BQ BC BQ B BC BQ ⊥⊥⋂=⊂面MQBC ，∴AH ⊥面MQBC ，在RT QAB ∆中，1217AQ AB AH BQ ⨯===． 22．（1）证明：由题设知，圆C 的方程为()222242t x t y t t ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，化简得22420x tx y y t-+-=， 当0y =时，0x =或2t ，则()2,0A t ； 当0x =时，0y =或4t ，则40,B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴1142422AOB S OA OB t t∆=== 为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 解：（2）∵OM ON =，则原点O 在MN 的中垂线上， 设MN 的中点为H ，则CH MN ⊥，∴C H O 、、三点共线，则直线OC 的斜率22122t k t t ===，∴2t =或2t =-，∴圆心为()2,1C 或()2,1C --，∴圆C 的方程为()()22215x y -+-=或()()22215x y +++=，由于当圆方程为()()22215x y +++=时，直线240x y +-=到圆心的距离d t >，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为()()22215x y -+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （3）点()0,2B 关于直线20x y ++=的对称点为()4,2B '--， 则PB PQ PB PQ B Q ''+=+≥， 又B '到圆上点Q 的最短距离为B C t '-==，故PB PQ +的最小值为B C '的方程为12y x =， 则直线B C '与直线20x y ++=的交点P 的坐标为42,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。