平行线的判定与性质（二）
（拓展训练）
一、【基础知识精讲】
一、与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合应用，主要体现在以下两个方面：
1. 由角定角
已知角的关系两直线平行确定其它角的关系
2. 由线定线
已知两直线平行角的关系确定其它两直线平行
二、探索几何问题的解决方法，主要从以下两个方面去分析：
1. 由因导果（综合法）：
即——从已知条件出发，推出相应的结论。
2. 执果溯因（分析法）：
即——要得到结论需要具备什么条件。
所以：解题时，我们即要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已知与未知的转化与沟通。
三、简单的面积问题：
1. 计算图形面积的常用方法：①和差法②运动法③等积变形法
2. 求图形面积的常用技巧：寻找共高或共底的三角形。
二、【例题精讲】
例1 已知O为平面上一点，过O在这个平面上引2005条不同的直线l
1
、l
2
、l
3
、…l
2005
，则可形成对以O为顶点的对顶角。（山东省竞赛题）
变式训练：1.若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有对同旁内角。
（第17届江苏省竞赛题）
2. 在同一平面内有2002条直线a
1
、a
2
、…a
2002
，如果a
1
⊥a
2
, a
2
∥a
3
、
a
3
⊥a
4
、a
4
∥a
5
，…，那么a
1
与a
2002
的位置关系是。
例2 如图，某人从A点出发，每前进10米，就向右转18°，
再前进10米，又向右转18°，这样下去，他第一次回到
A A
1A
2
18º
18º
出发地A 点时，一共走了________米．
变式训练：
1. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过， 如果第一次拐的角∠A 是120°，第二次拐的角∠B 是150°， 第三次拐的角是∠C ，这时恰好和第一次拐弯之前的道路 平行，则∠C = ．
2． 一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ ）．
（A ）第一次向左拐30°，第二次向右拐30° （B ）第一次向右拐50°，第二次向左拐130° （C ）第一次向右拐50°，第二次向右拐130° （D ）第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
例3 如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°，
求 ∠A 的度数．
变式训练：1.如图, 已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6. 求证: AD ∥BC.
2．如图2—95，已知CD ⊥AB 于D ，EF ⊥AB 于F ，∠DGC=105°，∠BCG=75°，求∠1+∠2的度数．
例4 如图，将长方形ABCD 纸片沿BD 折叠，使点C 落在C '处， BC '交AD 于点E ，若∠DBC =22.5°，则在不添加任何辅助线的
A
D
B C 1
2 A '
E A B
C
D E F 2 3 1
4
5 6 B
E
A
情况下，图中45°的角有（ ）． （虚线也视为角的边） （A ）6个 （B ）5个 （C ）4个 （D ）3个
变式训练：如图 ①，已知长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图案②，
再沿BF 折叠成图案③，则③中的∠CFE 的度数是__________。
（2009 深圳）
例5. 如图，已知M 是AB 的中点，N 是BC 上的一点,CN=2BN, 连接AN 交MC 于O 点，若四边形BMON 的面积为14cm 2.
求：（1）CO:OM 的值。 （2）⊿ABC 的面积
(2008年两岸四地少年数学精英邀请赛试题)
变式训练：如图,已知⊿ABC 的面积是60，BE:CE=1:2，AD:CD=3:1，
求四边形ECDF 的面积。 （“华赛杯”试题）
C
D
C
① A B C D E
F O N M
C
B A
A B
C
D
E F
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1. 如图，AD ⊥BC 于点D ，EF ⊥BC 于点F ，EF 交AB 于点G ，交CA 的延长线于点E ，且∠1=∠2．AD 平分∠BAC 吗？说说你的理由．
2. 如图，若AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E =∠F ，为什么？
3．如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P 落在某个部分时，连结P A ，PB ，构成∠P AC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°．）
（1）当动点P 落在第①部分时，试说明：∠APB =∠P AC +∠PBD ．
（2）当动点P 落在第②部分时，∠APB =∠P AC +∠PBD 是否成立？
（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P 落在第③部分时，请全面探究∠P AC ，∠APB ， ∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论， 选择其中一种结论加以说明．
1
2 A B C D F G E 1 2 A B C D E
F
