(10)2[1].3 高阶导数

高阶导数十个常用公式公式1：一阶导数定义$$f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$公式2：二阶导数定义$$f''(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$$公式3：多项式函数求导若$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \\ldots + a_1x + a_0$，则$f'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \\ldots + a_1$公式4：乘法法则(uu)′=u′u+uu′公式5：除法法则$$\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$$公式6：链式法则$$\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$$公式7：三角函数导数$$\\frac{d}{dx}\\sin(x) = \\cos(x)$$$$\\frac{d}{dx}\\cos(x) = -\\sin(x)$$$$\\frac{d}{dx}\\tan(x) = \\sec^2(x)$$公式8：指数函数导数$$\\frac{d}{dx}e^x = e^x$$$$\\frac{d}{dx}a^x = a^x\\ln(a)$$公式9：对数函数导数$$\\frac{d}{dx}\\ln(x) = \\frac{1}{x}$$$$\\frac{d}{dx}\\log_a(x) = \\frac{1}{x\\ln(a)}$$公式10：反函数导数若u=u−1(u)为u(u)的反函数，则$f'(f^{-1}(x)) =\\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$以上是高阶导数计算中常用的十个公式，通过灵活应用这些公式，可以帮助解决各种函数的高阶导数求解问题。

高中数学符号大全数学中的符号是表示特定概念和操作的重要工具，用适当的符号可以简化数学表达式，方便人们进行数学计算和观察。

下面是高中数学中常用的符号大全。

一、基本符号1. 数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

2. 加号（+）：表示两数相加，如a+b表示a与b相加。

3. 减号（-）：表示两数相减，如a-b表示a减去b所得的差。

4. 乘号（×）：表示两数相乘，如a×b表示a与b相乘。

5. 除号（÷）：表示两数相除，如a÷b表示a除以b所得的商。

6. 等号（=）：表示两个数或式子相等，如a=b表示a与b相等，a+b=c表示a加b等于c。

7. 大于（>）：表示大于，如a>b表示a比b大。

8. 小于（<）：表示小于，如a<b表示a比b小。

9. 大于等于（≥）：表示大于或等于，如a≥b表示a大于或等于b。

10. 小于等于（≤）：表示小于或等于，如a≤b表示a小于或等于b。

二、集合符号1. 集合符号：用大写字母表示，如A、B、C。

2. 成员符号（∈）：表示某个元素属于某个集合，如a∈A表示元素a属于集合A。

3. 不属于符号（∉）：表示某个元素不属于某个集合，如a∉A表示元素a不属于集合A。

4. 子集符号（⊆）：表示某个集合是另一个集合的子集，如A⊆B表示集合A是集合B的子集。

5. 真子集符号（⊂）：表示某个集合是另一个集合的真子集，即A⊂B且A≠B。

6. 并集符号（∪）：表示两个集合的并集，如A∪B表示集合A和集合B的并集。

7. 交集符号（∩）：表示两个集合的交集，如A∩B表示集合A和集合B的交集。

8. 补集符号（A）：表示集合的补集，如A'表示集合A 的补集。

9. 全集符号（A）：表示所有元素的集合，如A表示全集。

三、函数符号1. 函数符号：用小写字母表示，如f、g、h。

2. 函数应用符号（( )）：表示函数应用，如f(a)表示函数f在点a处的取值。

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式模块基本信息一级模块名称 微分学二级模块名称基础模块三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数公式模块编号 2-10 先行知识导数的概念 模块编号2-2知识内容 教学要求掌握程度1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念一般掌握2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导3、莱布尼兹公式3、掌握隐函数高阶导的求解（一般是二阶）4、隐函数的高阶导数4、掌握参数方程高阶导的求解（一般是二阶）5、参数方程的高阶导数5、熟记正弦、余弦等常见函数的n阶导数公式能力目标 1、提高学生的观察分析能力2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力时间分配45分钟编撰黄小枚校对方玲玲审核危子青修订肖莉娜 二审 危子青一、正文编写思路及特点：思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。

特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。

二、授课部分 1.引例（1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即)()('t s t v = 或dtdst v =)( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数：[]'')(')()(t s t v t a ==或)()(dtdsdt d t a =（3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(''t s 或22dtsd2．高阶导数的定义设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。

常用高阶导数公式1. 常数函数的高阶导数：任何常数函数的高阶导数都是0。

例如，f(x) = c（c为常数），则 f'(x) = f''(x) = f'''(x) = = 0。

2. 幂函数的高阶导数：对于幂函数 f(x) = x^n，其n阶导数为f^n(x) = n! / (n k)! x^(n k)，其中k为导数的阶数，n!表示n的阶乘。

3. 指数函数的高阶导数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中a为常数，其n阶导数为 f^n(x) = a^x ln(a)^n。

4. 对数函数的高阶导数：对于对数函数 f(x) = ln(x)，其n阶导数为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / x^n。

5. 三角函数的高阶导数：对于三角函数 f(x) = sin(x) 或 f(x) = cos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n/2) sin(x +nπ/2) 或f^n(x) = (1)^(n/2) cos(x + nπ/2)。

这些常用的高阶导数公式可以帮助我们在求解函数的高阶导数时更加简便和快速。

在实际应用中，这些公式经常被用于求解物理、工程、经济等领域中的问题。

掌握这些高阶导数公式对于深入理解和应用微积分知识至关重要。

常用高阶导数公式6. 反三角函数的高阶导数：对于反三角函数 f(x) = arcsin(x)或 f(x) = arccos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / (1 x^2)^(n/2)。

7. 指数函数的复合函数的高阶导数：对于指数函数的复合函数f(x) = a^(g(x))，其中a为常数，g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = a^(g(x)) (ln(a))^n g'(x) g''(x) g^n(x)。

8. 对数函数的复合函数的高阶导数：对于对数函数的复合函数f(x) = ln(g(x))，其中g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / g(x)^n g'(x) g''(x) g^n(x)。