高中数学复习知识点专题练习2---空间向量的数量积运算

高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点高二数学向量的数量积是《向量》这一章的重要内容，下面是店铺给大家带来的高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点，希望对你有帮助。

高二数学空间向量的数量积运算知识点定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。

若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算率a·b=b·a(交换率);(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c (a≠0)，推不出b=c。

3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

高中数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

§3.1.3空间向量的数量积运算【例1】已知空间四边形ABCD中，AB CD⊥．⊥，求证：AD BC⊥，AC BD【例2】如图，在空间四边形OABC中，8AC=，5BC=，45AB=，4OA=，6∠=，OAC∠=，求OA与BC的夹角的余弦值.60OAB参考例1【分析】利用向量证明两直线垂直，只要证明它们所在的向量的数量积为0即可.【证明】()()AD BC AB BD AC AB ⋅=+⋅-2AB AC BD AC AB AB BD =⋅+⋅--⋅ ()0AB AC AB BD AB DC =⋅--=⋅=． 【点拨】 用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表例2【分析】欲求OA 与BC 的夹角的余弦值，可利用公式：cos ,||||OA BC OA BC OA BC ⋅<>=⋅，先算的数量积OA BC ⋅，再算它们模的乘积||||OA BC ⋅. 【解】∵BC AC AB =-， ∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅ ||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=-.∴243cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅. 所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为35-．【点拨】由图形看向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=，易错写成,45OA AC <>=，另外要注意OA 与BC 的夹角和OA 与BC 的夹角的区别与联系.。

1.1.2 空间向量的数量积运算-【新教材】人教A 版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）一、单选题1. 已知向量a ⃗ =(1,2,2),b ⃗ =(−2,1,1)，则向量b ⃗ 在向量a⃗ 上的投影数量为( ) A. 1B. 23C. 32D. √632. 在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，且∠ABC =90∘，SA ⊥平面ABCD ，SA =AB =BC =2AD =1，则SC 与平面ABCD 所成角的余弦值为( )A. √63B. 12C. √33D. √323. 长方体A 1A 2A 3A 4−B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合={x|x =A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2，3，4}，j ∈{1,2，3，4}}中元素的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 设x,y ∈R,向量a ⃗ =(x,1，1)，b ⃗ =(1,y ，1)，c ⃗ =(2,−4,2)且a ⃗ ⊥b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则|a ⃗ +b ⃗ |=( )A. 2√2B. 3C. √10D. 45. 三棱锥A −BCD 中，AB =AC =AD =2，∠BAD =90°，∠BAC =60°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. 2B. −2C. −2√3D. 2√36. 在棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角为( )A. 60°B. 150°C. 90°D. 120°7. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，AD =1，AA 1=1，∠BAD =90°，∠BAA 1=∠DAA 1=60°，则线段AC 1的长为( )A. 5B. 3C. √5D. √38. 若a →=(2, 3, −1)，b →=(2, 0, 3)，c →=(0, 2, 2)，则a →⋅(b →+c →)的值为( )A. (4, 6, −5)B. 5C. 7D. 36二、多选题9. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−4)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−1)下列结论正确的有( ) A.B.C. AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量D. AP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 10. 设a ⃗ ，b ⃗ 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有( )A. a ⃗ 2=|a ⃗ |2 B. a ⃗ ⋅b ⃗a⃗ 2=b⃗a⃗ C. (a ⃗ ⋅b ⃗ )2=a ⃗ 2⋅b ⃗ 2D. (a ⃗ −b ⃗ )2=a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2三、填空题11. 已知空间向量a ⃗ =(1,n,2)，b ⃗ =(−2,1,2)，若2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 垂直，则|a ⃗ |= ． 12. 空间向量a ⃗ =(2,3,−2)，b ⃗ =(2,−m,−1)，如果a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|b ⃗ |= ． 13. 已知a ⃗ =(−2,1,1),b ⃗ =(−1,1,−1)，则a ⃗ 在b ⃗ 上的投影为__________14. 已知向量a ⃗ =(1,1,1)，b ⃗ =(−1,0,2)，且k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 互相垂直，则k =_______． 15. 已知向量a ⃗ =(5,3，1)，b ⃗ =(−2,t,−25)，若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为________．16. 已知空间向量a →=(2,−1,1),b →=(1,1,2)，则|a →+b →|= ；向量a →与b →的夹角为 ． 五、解答题17. 已知向量a⃗ =(1,−3,2)，b ⃗ =(−2,1,1)． (1)求|2a ⃗ +b ⃗ |；(2)求a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影．18. 已知空间中三点A(2,0，−2)，B(1,−1,−2)，C(3,0，−4)，设a ⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ (1)若|c ⃗ |=3，且c ⃗ //BC⃗⃗⃗⃗⃗ ，求向量c ⃗ ;(2)已知向量k a ⃗ +b ⃗ 与b ⃗ 互相垂直，求k 的值; (3)求△ABC 的面积．19. 如图所示，三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM =2A 1M ，C 1N =2B 1N.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ．(1)试用a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 表示向量MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)若∠BAC =90°，∠BAA 1=∠CAA 1=60°，AB =AC =AA 1=1，求MN 的长．答案和解析1.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了向量投影公式，属于基础题．利用向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影数量=a⃗ ·b ⃗|a ⃗ |即可求解． 【解答】解：向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影数量=a ⃗ ·b ⃗|a ⃗ |=√12+22+22=23， ∴向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影数量为23． 故选B ．2.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了求线与面的夹角问题，考查向量的加法运算和数量积，属于中档题． AS ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量，用CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AS ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CS ⃗⃗⃗⃗ ，然后直接求解AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CS ⃗⃗⃗⃗ 以及AS ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CS ⃗⃗⃗⃗ 的模长，然后代入向量夹角计算公式解出AS ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CS ⃗⃗⃗⃗ 的夹角即可得解． 【解答】解：由题意知AS ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量，设CS ⃗⃗⃗⃗ ，AS⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为φ， ∵CS ⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CS ⃗⃗⃗⃗ =AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AS ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AS ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1， 又|AS ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|CS ⃗⃗⃗⃗ |=√(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AS⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√3， ∴cosφ=AS⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CS ⃗⃗⃗⃗⃗ |AS ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CS ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√33， ∴SC 与平面ABCD 所成角的余弦值为√63．故选A ．3.【答案】C【解析】解：∵长方体A 1A 2A 3A 4−B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形，高为2， ∴建立如图的空间直角坐标系，则A 1(1,1，0)，A 2(0,1，0)，A 3(0,0，0)，A 4(1,0，0)， B 1(1,1，2)，B 2(0,1，2)，B 3(0,0，2)，B 4(1,0，2)， 则A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，2)，与A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)相等的向量为A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 4B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4，与A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)相等的向量为A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4，与A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，2)相等的向量为A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4，与A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，2)相等的向量为A 3B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+4=3， 与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，2)相等的向量为A 4B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5， 体对角线向量为A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,2)，此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5， A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,2)，A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+4=3， A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，2)，A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+4=3 A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，2)，A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5，综上集合={x|x =A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2，3，4}，j ∈{1,2，3，4}={3，4，5}，集合中元素的个数为3个， 故选：C ．建立空间坐标系，结合向量数量积的定义进行计算即可．本题主要考查集合元素的计算，建立空间坐标系，求出空间向量数量积是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】 【分析】本题考查空间向量垂直和平行的坐标运算，以及空间向量的模的计算，属于较易题．根据空间向量垂直和平行的坐标运算解得x ，y ，可得a ⃗ =(1,1,1),b ⃗ =(1,−2,1)，解得a ⃗ +b ⃗ =(2,−1,2)，再由模长公式求解． 【解答】解：a →=(x,1,1),b →=(1,y,1),c →=(2,−4,2)，因为a ⃗ ⊥b ⃗ ,b ⃗ //c ⃗ ，则{x +y +1=012=y−4, 解得{x =1y =−2, 所以a ⃗ =(1,1,1),b ⃗ =(1,−2,1)， 则a ⃗ +b ⃗ =(2,−1,2)， 所以|a ⃗ +b ⃗ |=3. 故选B ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查向量的加减运算及数量积运算，属于基础题． 将CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 化为AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用数量积公式即可求解． 【解答】解： 由已知得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×12=2,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2． 故选B ．6.【答案】D本题主要考查向量夹角的相关知识，向量夹角除可用数量积计算之外，也可借助向量所在直线所成的角求解，属于基础题．建立空间直角坐标系，表示BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再用数量及求解即可． 【解答】解：根据题意，以D 为原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A(a,0，0)，B(a,a ，0)，C(0,a ，0)，A 1(a,0,a)， 故BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a,a),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a,0)， 则cos <BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ |BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2a·√2a=−12，又向量夹角取值范围[0°,180°]， 所以BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°． 故选D ．7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了空间向量的基本定理及应用和空间向量的数量积及运算律． 利用空间向量的基本定理和数量积计算得结论． 【解答】解：在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，AD =1，AA 1=1，∠BAD =90°，∠BAA 1=∠DAA 1=60°， ∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5， ∴|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5． 故选C ．8.【答案】B本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．根据向量加减及数量积计算，先算加法，后算数量积即可． 【解答】解：b →+c →=(2, 0, 3)+(0, 2, 2)=(2, 2, 5)，a →⋅(b →+c →)=2×2+2×3+(−1)×5=5． 故选B ．9.【答案】ABC【解析】 【分析】本题考查空间向量平行(共线)和垂直的坐标表示 、平面的法向量，属于基础题． 利用空间向量的数量积的坐标运算判定ABC ，再由空间向量共线定理判定D ． 【解答】 解：因为，所以，故A 正确，同理，可得，故B 正确，由选项A ，B 可知，AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量，故C 正确， 因为，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠λBD⃗⃗⃗⃗⃗ ，故D 错误． 故答案为ABC ．10.【答案】AD【解析】 【分析】本题考查空间向量的模以及数量积的运算，属于中档题．由空间向量模的定义以及数量积的运算可直接得到答案．【解答】解：设向量a⃗，b⃗ 的夹角为θ，对于A，a⃗2=|a⃗|2，正确；对于B，a⃗ ⋅b⃗a⃗2=|b⃗|cosθ|a⃗|，显然a⃗ ⋅b⃗a⃗2=b⃗a⃗不成立，故错误；对于C，(a⃗⋅b⃗ )2=a⃗2⋅b⃗ 2cos2θ，故错误；对于D，(a⃗−b⃗ )2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2，正确，故选AD．11.【答案】3√52【解析】【分析】本题考查了空间向量的数量积，属于基础题．由若2a⃗−b⃗ 与b⃗ 垂直，所以(2a⃗−b⃗ )·b⃗ =2a⃗·b⃗ −b⃗ 2=0，得n=52，再求模即可．【解答】解：∵若2a⃗−b⃗ 与b⃗ 垂直，∴(2a⃗−b⃗ )·b⃗ =2a⃗·b⃗ −b⃗ 2=0，∵空间向量a⃗=(1,n,2)，b⃗ =(−2,1,2)，∴a⃗·b⃗ =−2+n+4=n+2,b⃗ 2=4+1+4=9，∴2(n+2)−9=0，得n=52，∴a⃗=(1,52,2)，∴|a⃗|=√1+254+4=3√52，故答案为3√52．12.【答案】3【解析】【分析】本题考查空间向量的垂直的判断，向量的数量积的坐标运算，向量的模，属基础题．根据a⃗·b⃗ =0先求出m的值，再代入即可计算|b⃗ |．【解答】解：∵向量a⃗=(2,3,−2)，b⃗ =(2,−m,−1)，且a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗·b⃗ =0，∴2×2−3m+2=0，解得m=2，∴b⃗ =(2,−2,−1)，∴|b⃗ |=√22+(−2)2+(−1)2=3．故答案为3．13.【答案】2√33【解析】【分析】本题考查了空间向量的数量积运算及向量的投影，属于基础题．求出a⃗⋅b⃗ ，|a⃗|，|b⃗ |，计算夹角的余弦，代入投影公式即可．【解答】解：a⃗⋅b⃗ =2，|a⃗|=√5，|b⃗ |=√3，∴cos<a⃗,b⃗ >=√3√5=2√1515．∴a⃗在b⃗ 上的投影是|a⃗|cos<a⃗,b⃗ >=√5×2√1515=2√33．故答案为2√33．14.【答案】35【解析】【分析】本题考查向量的坐标运算及向量垂直的条件，属于基础题．根据题意先求得ka→+b→与2a→−b→的坐标，进而可得3(k−1)+2k=0，从而即可求得结果．【解答】解：k a ⃗ +b ⃗ =(k −1,k,k +2),2a ⃗ −b ⃗ =(3,2,0)，∵ka →+b →与2a →−b →互相垂直，∴(k a ⃗ +b ⃗ )·(2a ⃗ −b ⃗ )=0即3(k −1)+2k =0，解得k =35． 故答案为35． 15.【答案】【解析】【分析】 本题考查空间向量的数量积以及夹角，属中档题．根据a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角，得a ⃗ ⋅b ⃗ <0，当a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为180°，则存在λ<0，使a⃗ =λb ⃗ (λ<0)，从而求解．【解答】解：由已知得a ⃗ ⋅b ⃗ =5×(−2)+3t +1×(−25)=3t −525， 因为a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角，所以a ⃗ ⋅b ⃗ <0，即3t −525<0，所以t <5215． 若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为180°，则存在λ<0，使a ⃗ =λb ⃗ (λ<0)，即(5,3,1)=λ(−2,t,−25)，所以{5=−2λ,3=tλ,1=−25λ,所以t =−65，故t 的取值范围是．16.【答案】3√260°【解析】【分析】本题考查空间向量的模以及利用空间向量数量积求夹角，属于基础题．根据空间向量模的计算公式以及空间向量数量积求夹角即可求解．【解答】解：由a →=(2,−1,1),b →=(1,1,2)，则a →+b →=(3,0,3)， 所以|a →+b →|=√32+02+32=3√2，cos ⟨a ⃗ ,b ⃗ ⟩=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√4+1+1×√1+1+4=12， 又向量夹角的取值范围为[0,π]，所以向量a →与b →的夹角为60°．故答案为：3√2；60°．17.【答案】解：(1)由已知2a ⃗ +b ⃗ =(2,−6,4)+(−2,1，1)=(0，−5，5)， 故|2a ⃗ +b ⃗ |=√02+(−5)2+52=5√2;(2)因为所以a ⃗ 在b ⃗ 上的投影为．【解析】本题考查空间向量的数量积的坐标运算，向量的模以及向量的投影，属中档题．(1)由已知2a ⃗ +b⃗ =(2,−6,4)+(−2,1，1)=(0，−5，5)，求模； (2)因为得到a ⃗ 在b ⃗ 上的投影．18.【答案】解：，由于，故可设c⃗ =(2n,n,−2n)， 故|c ⃗ |=√4n 2+n 2+4n 2=3|n|=3，解得n =±1，故c⃗ 为(2,1,−2)或(−2,−1,2)； ，k a ⃗ +b ⃗ =(1−k,−k,−2)，由于k a ⃗ +b ⃗ 与b ⃗ 垂直，(k a ⃗ +b ⃗ )·b ⃗ =0，则1−k +4=0,k =5；(3)依题意，，， 故由余弦定理得cosA =2+5−92×√2×√5=−1√10，， 所以sinA =√1−cos 2A =3√1010， 故三角形面积为．【解析】本题考查空间向量的平行，垂直及坐标运算，空间向量的数量积和夹角，三角形的面积公式等．(1)推导出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，c ⃗ =n BC⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用求得n ，能求出结果； (2)求出k a ⃗ +b ⃗ ，b ⃗ 的坐标，利用数量积运算列式求k ；(3)求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，求得数量积和模，利用数量积运算求得cos A ，进而得sin A ，然后利用三角形面积公式计算．19.【答案】解：(1)∵BM =2A 1M ，C 1N =2B 1N ，∴MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13(c ⃗ −a ⃗ )+a ⃗ +13(b ⃗ −a ⃗ ) =13a ⃗ +13b ⃗ +13c ⃗ ；(2)(a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+c ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ +2b ⃗ ·c ⃗ +2a ⃗ ·c ⃗=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5，∴|a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ |=√5，|MN |=13|a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ |=√53．【解析】本题考查空间向量的模长求解公式，解题的关键是掌握向量加法法则与用空间向量求线段长度的公式，空间向量法求立体几何中距离是空间向量的一个非常重要的运用..(1)由已知条件可得MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由空间向量加法与减法的三角形法则，表示出MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +13b ⃗ +13c ⃗ 即可； (2)求MN 的长，即求13|a →+b →+c →|，利用求向量模的方法，求出|a →+b →+c →|，即可求得MN 的长．。

2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）【知识梳理】一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos 〈a，b〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设,a b 是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅= ；③2||a a a =⋅ 或||a = ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅ ；⑤||||||a b a b ⋅≤⋅ 3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（λa）·b=λ（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OA a =，OB b =，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。

根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b 的夹角的余弦cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=⋅。

要点诠释：1.规定：π>≤≤<b a ,02.特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

空间向量的数量积运算（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知空间向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= ( )A.0B.2C.4D.83.(2013·天水高二检测)已知四边形ABCD满足:·>0,·>0,·>0,·>0,则该四边形为( )A.平行四边形B.梯形C.平面四边形D.空间四边形4.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是( )A. B. C.1 D.5.(2013·杭州高二检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC= 90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是( )A.45°B.60°C.90°D.120°二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·安阳高二检测)已知向量a与b的夹角是120°,且|a|=|b|=4,则b·(2a+b)= .7.如图所示,在几何体A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD的中点,则AE的长为.8.如图∠BAC=90°,等腰直角三角形ABC所在的平面与正方形ABDE所在的平面互相垂直,则异面直线AD与BC所成角的大小是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求的长.(2)求cos<,>的值.(3)求证:A1B⊥C1M.10.(2013·济南高二检测)如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,(1)求证:MN⊥CD.(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.11.(能力挑战题)如图所示,矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方),问BC边上是否存在点Q,使⊥?答案解析1.【解析】选A.a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|⇔cos<a,b>=1⇔<a,b>=0,即a,b 同向,故是充分条件;当a与b反向时,不能成立,不是必要条件.2.【解析】选B.|2a-b|====2,故选B.3.【解析】选D.由题意知,·<0,·<0,·<0,·<0,即四边形的四个内角均为钝角,所以该四边形为空间四边形.4.【解析】选D.=++∴=(++)2=+++2(·+·+·) 由题意知,||=||=||=1,·=||·||cos135°=1×1×(-)=-,·=·=0,∴2=3+2×(-)=3-,∴BD=.5.【解析】选B.设=a,=b,=c,|a|=|c|=1,则|b|=,=+=+=a+c,=+=-+=-a+b+c,∴·=(a+c)·(-a+b+c)=-a2+a·b+a·c-a·c+b·c+c2=-|a|2+a·b+b·c+|c|2=-+a·b+0+=a·b.由题意知,<a,b>=45°,∴a·b=|a||b|cos<a,b>=1××cos45°=1, ∴·=×1=,==,∴cos<,>===,∴cos<,>=60°,∴EF与BC1所成的角为60°.6.【解析】b·(2a+b)=2a·b+b2=2|a|·|b|cos120°+|b|2=2×4×4×(-)+42=0. 答案:07.【解析】=(++)2,=||2+||2+||2+2(·+·+·),由题意知,||=||=1=||,且·=·=·=0.∴=3,∴AE的长为.答案:【举一反三】若将题条件中“BC⊥CD”改为“∠BCD=120°”,其他条件不变,结果如何?【解析】由本题解答知,=||2+||2+||2+2(·+·+·), ∵||=||=1=||,·=·=0,·=||·||·cos<,>=1×1×cos60°=,∴=3+2×=4,故AE的长是2.答案:28.【解析】设正方形ABDE的边长为1,∵=+,=-,∴·=(+)·(-)=·-+·-·,=0-1+0-0=-1,||====,||====,∴cos<,>==-,∴<,>=120°,故AD与BC所成角为60°. 答案:60°9.【解析】(1)由题可知,BA=,BA⊥AN,∴=(+)2=+2·+=()2+2×0+12=3,∴BN=.即的长为.(2)∵=+,=+,∴·=(+)·(+) =·+·+·+·=||·||·cos135°+0+0+=×1×(-)+22=3,||===,||===,∴cos<,>===.(3)∵=+,=(+),∴·=(+)·(+)=(·+·+·+·) 由题意知,·=·=0,·=||·||·cos<,>=×1×cos135°=-1,·=||·||·cos<,>=×1×cos45°=1,∴·=×(-1+1)=0,∴⊥,即A1B⊥C1M.10.【证明】(1)设=a,=b,=c,则=++=+-=+-(++)=++--=(+)=(b+c),∴·=(b+c)·(-a)=-(a·b+a·c),∵四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,∴a⊥b,a⊥c,∴a·b=a·c=0,∴·=0,∴⊥,故MN⊥CD.(2)由(1)知,MN⊥CD,=(b+c),∵=-=b-c,∴·=(b+c)·(b-c)=(|b|2-|c|2),∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,又∠PDA=45°,∴PA=AD,∴|b|=|c|,∴·=0,∴⊥,∴MN⊥PD,∵CD,PD⊂平面PCD,且CD∩PD=D,∴MN⊥平面PCD.【拓展提升】巧用数量积证明垂直问题垂直问题有线线垂直、线面垂直、面面垂直三类问题,这三类问题通常会转化为线线垂直问题,证明线线垂直问题又转化为向量的数量积为0,具体方法是:(1)先确定两个向量为两直线的方向向量.(2)用已知向量(通常是三个已知向量,其模及其夹角已知)表示方向向量.(3)计算两个方向向量的数量积,通过线性运算、化简得出其数量积为0,得出两个方向向量垂直.(4)把向量垂直的结论转化为两直线垂直.11.【解题指南】由⊥得PQ⊥QD,在平面ABCD内,点Q在以AD为直径的圆上,此时需讨论AD与AB的大小关系,若此圆与BC相切或相交,则BC边上存在点Q,否则不存在.【解析】假设存在点Q(Q点在边BC上),使⊥,即PQ⊥QD,连接AQ.∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥QD.又=+且⊥,∴·=0,即·+·=0.又由·=0,∴·=0,∴⊥,∴∠AQD=90°,即点Q在以边AD为直径的圆上,圆的半径为.又∵AB=1,由图知,当=1,即a=2时,该圆与边BC相切,存在1个点Q满足题意; 当>1,即a>2时,该圆与边BC相交,存在2个点Q满足题意; 当<1,即a<2时,该圆与边BC相离,不存在点Q满足题意. 综上所述,当a≥2时,存在点Q;当0<a<2时,不存在点Q.关闭Word文档返回原板块高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。