【例1】 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相
切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等
分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω
中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）
A ．A
B B ．BC
C ．C
D D ．DA
Ωy x O
D
C B A
【例2】 求半径为4，与圆224240x y x y +---=相切，且和直线0y =相切的圆的方程．
【例3】 据气象台预报：在A 城正东方300km 的海面B 处有一台风中心，正以每小时
40km 的速度向西北方向移动，在距台风中心250km 以内的地区将受其影响．从现在起经过约 h ，台风将影响A 城，持续时间约为 h ．（结果精确到0.1h ）
典例分析
板块七.直线和圆的综合问题
【例4】 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购
得商品后运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍．已知A 、B 两地距离为10千米，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．
【例5】 设有半径为3km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行，
A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与
B 相遇．设A 、B 两人速度一定，其速度比为3:1，问两人在何处相遇？
【例6】 已知：过点(0,1)A 斜率为k 的直线l 与⊙C ：22(2)(3)1x y -+-=相交与M 、N
两点．
⑴ 求实数k 的取值范围；
⑵ 求证：AM AN ⋅为定值；
⑶ 若O 为坐标原点，且12OM ON ⋅=，求k 的值．
轨迹问题
【例7】 已知定点(3,0)B ，点A 在圆221x y +=上运动，M 是线段AB 上的一点，且
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AM MB =，则点M 的轨迹方程是 ．
【例8】 设(,0),(,0)(0)A c B c c ->为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比
为定值(0)a a >，求P 点的轨迹．
【例9】 由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，
则动点P 的轨迹方程是 ．
【例10】 如图，圆1O 与圆2O 的圆心都在x 轴上，半径都是1，124O O =，且两圆关于y 轴
对称，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN ，M 、N 分别为切点，
且PM =P 的轨迹方程．
【例11】 已知两定点(2,0)A -，(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包
围的面积等于（ ）
A ．π
B ．4π
C ．8π
D ．9π
【例12】 已知点(0,0),(,0)(0)O B m m >，动点P 到O 、B 的距离之比为2:1，求
⑴ P 点的轨迹方程．
⑵ P 点在什么位置时，POB ∆的面积最大，并求出最大面积．
【例13】 如图所示，已知圆224O x y +=：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2y =上
运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．
【例14】 从抛物线2y x =的顶点引两条互相垂直的弦OA 、OB ，作OM AB ⊥．则点M 的
轨迹方程为 ．
【例15】 直线y kx =与圆2264100x y x y +--+=相交于两个不同点,A B ，当k 取不同实
数值时，求AB 中点的轨迹方程．
【例16】 已知直线1y kx =+与圆224x y +=相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平
行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程．
【例17】 已知圆的方程为222x y r +=，圆内有定点(,)P a b ，圆周上有两个动点A 、B ，
使PA PB ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．
直线系与圆系
【例18】 已知圆22:(cos )(sin )1M x y θθ++-=，直线:l y kx =，下面四个命题：
① 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；
② 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；
③ 对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切；
④ 对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切．
其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
【例19】 设直线系:cos (2)sin 1(02π)M x y θθθ+-=≤≤，对于下列四个命题：
A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
【例20】 设有一组圆224*
:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：
Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切
Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交
Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．
相交 Ｄ．所有的圆均不．
经过原点 其中真命题的代号是
．（写出所有真命题的代号）
