2014届高考数学二轮复习《导数》各类题型方法总结学生用

导数各种题型方法总结

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令0)('=x f 得到两个根；

第二步：画两图或列表；

第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432

3()1262

x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；

（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.

例2：设函数),10(323

1)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.

第三种：构造函数求最值：题型特征：)

()(x g x f >恒成立

0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-， 326()(1)3(0)2

t g x x x t x t -=+

-++> （Ⅰ）求,a b 的值；

（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；

（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立，回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2

1121)(23++++=． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数)(x f 是),

(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．

例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32

f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；

（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。

三、题型二：根的个数问题

例6、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=3

1)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．

（1） 求实数k 的取值范围；

（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．

例7、已知函数321()22

f x ax x x c =+-+ （1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点，求()f x 的极值；

（2）若21()2

g x bx x d =-+，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x 的图像

与函数()f x 的图像恒有含1x =-的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。

例8、

例9、已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的

取值范围为(1,3)，求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．

例10、已知函数23213)(x x a x f +=

，)0,(≠∈a R a （1）求)(x f 的单调区间；（2）令()g x ＝14

x 4＋f （x ）（x ∈R ）有且仅有3个极值点，求a 的取值范围．

其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R 上的函数

32()2f x ax ax b

=-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围.

2、（根的个数问题）已知函数32

f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示。

（Ⅰ）求c d 、的值；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x y 110+-=，求函数f ( x )的解析式； （Ⅲ）若0x 5,=方程f(x)8a =有三个不同的根，求实数a 的取值范围。

3、（根的个数问题）已知函数321()1()3

f x x ax x a R =--+∈ （1）若函数()f x 在12,x x x x ==处取得极值，且122x x -=，求a 的值及()f x 的单调区间；

（2）若12a <

，讨论曲线()f x 与215()(21)(21)26

g x x a x x =-++-≤≤的交点个数．

4、（简单切线问题）已知函数23)(a

x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数23()()3bx g x f x a

=-+． （Ⅰ） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；

（Ⅱ） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42

x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围．