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复合函数的求导法

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1.4.1 复合函数的求导法则

1.4.1 复合函数的求导法则

u v x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导 逐层求导. 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
湘潭大学数学与计算科学学院
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4
例1 设 解
求
1 x x = − e x tan(e x ). ⋅( − sin(e )) ⋅ e = x cos(e )
思考: 思考: 若
3
由多元复合函数的求导法则,得 多元复合函数的求导法则,
dz ∂z dx ∂z dy = ⋅ + ⋅ dt ∂x dt ∂y dt
=e
x−2 y

⋅ cos t + e
x−2 y
⋅ ( −2) ⋅ 3t
2
=e =e
sin t − 2 t 3 sin t − 2 t 3
⋅ cos t + e
sin t − 2 t 3 2
d z ∂z d u ∂z d v . = + d t ∂u d t ∂v d t
证 设 t 获得增量 ∆t，则
∆u = φ ( t + ∆t ) − φ ( t ), ∆v = ψ ( t + ∆t ) − ψ ( t );
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湘潭大学数学与计算科学学院
由于函数 z = f ( u , v ) 在点( u , v ) 有连续偏导数
∂z ∂z ∆z = ∆u + ∆v + o( ρ ), ∂u ∂v
ρ = ( ∆u)2 + ( ∆v )2，
当 ∆u → 0 ， ∆v → 0 时， ρ → 0.
∆ z ∂ z ∆ u ∂ z ∆ v o( ρ ) . = ⋅ + ⋅ + ∆t ∂u ∆ t ∂v ∆t ∆t

复合函数求导公式大全 大学复合函数求导法则

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复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文小编给大家整理了复合函数的求导公式及法则，供参考！ 复合函数求导公式 复合函数求导法则证法一：先证明个引理 f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) 证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 因lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) 所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 因存在极限lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->;x0)f'(x)=H(x0) 所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) 引理证毕。

 设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。

§8.4复合函数求导法

§8.4复合函数求导法

et,
则
dz z du z dv z dt u dt v dt t ve t u sin t cos t e t cos t e t sin t cos t
u
z v t
e t (cos t sin t ) cos t . 例3: 设z=f(u, v), u=u(x, y), v=v(x, y), x=x(s, t), z z y=y(s, t)均满足复合函数求偏导数的条件, 计算 , . s t (两重复合问题) 解: 复合函数的变量关系图
例4: 设 w=f( x+y+z, xyz )具有二阶连续偏导数, 求 w 2 w , . x xz 解: 令 u= x+y+z, v= xyz, 记 2 f ( u , v ) f ( u, v ) f1 , f12 , 同理有 f 2, f11 , f 22 . u uv w f u f v 则 f1 y z f 2; u x v x x 2w f1 f 2 ( f1 y z f 2) y f 2 y z ; x z z z z f1 f1 u f1 v 而 f11 x y f12 ; z u z v z f 2 f 2 u f 2 v f 21 x y f 22 ; z u z u, x, y), u=(x, y), 即z=f[(x, y), x, y],
u
y
u y
令 v = x, w = y. 则 v w v w 0, 1. z 1, 0, x x y y
x
y
z z u z z z u z . , y u y w x u x v f z f z , . 则 由于 v=x, w=y. 记 x v y w 两 z f u f z f u f 者 , . 的 x u x x y u y y 区 别

大学数学_8_4 复合函数的求导法则

大学数学_8_4 复合函数的求导法则
z dz ( u 2 v 2 )
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(

复合函数的导数

复合函数的导数
yu (u2 ) 2u , ux (sin x) cos x.
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0

求复合函数导数的方法

求复合函数导数的方法

求复合函数导数的方法
1. 哇塞，要想求复合函数导数，首先得弄清楚它到底是个啥呀！就像搭积木，得知道每个小块是什么样的。

比如对于函数 y=(x^2+1)^2，这就是
个复合函数嘛，好比一个大盒子里装着小盒子。

2. 嘿，那怎么求呢？可以从外往里呀！一步一步慢慢来，别着急。

就像剥洋葱，一层一层地来。

比如求刚才那个函数的导数，先对外面的平方求导，再对里面的式子求导。

3. 哎呀呀，还有很重要的一点哦！要记住那些导数公式，这可不能忘啊！就像战士上战场不能忘带武器一样。

比如求导公式 sin x 的导数是 cos x 啊。

4. 哇哦，然后要仔细呀，可不能粗心大意的！要不然就全错啦！这就好比走钢丝，得小心翼翼的。

像计算 y=e^(x^2) 这样的复合函数导数，就得
格外仔细呢。

5. 嘿呀，还有哦，多练习才能掌握得更好呀！这就跟学骑自行车一样，多骑骑就熟练了。

多找几个复合函数来求导试试呗。

6. 咦，还有就是要理解透彻呀！不能一知半解的哟！这就像了解一个人，得深入了解才行。

对于复杂一点的复合函数，一定要好好理解再去求导。

7. 哈哈，总之呀，求复合函数导数就是要细心、耐心、多练习、多理解！你记住了吗？可别不当回事呀！。

复 合 函 数 的 求 导 法 则

复 合 函 数 的 求 导 法 则

练习 求下列函数的导数
y = e3x (A)1.
3x 3x 3x 解：y ′ = ( e ) ′ = e ( 3 x ) ′ = 3 e
y = cos( x 3 ) (A)2.
2 3 3 3 3 解：y ′ = (cos x ) ′ = − sin x ( x ) ′ = − 3 x sin x
(B)3. y = e 解： y ′ = e
2x ′ 1 所以 yx = yu ⋅ ux = ⋅ (−2x) = 2 u x −1
′
′
(A) 例3 求函数 y = cos 2 x 的导 数 2 解：设 y = u 则 u = cos x
因为 所以
′ ′ yu = 2u, ux = −sinx
′ ′ ′ yx = yu ⋅ ux = 2u(−sin x) = −2cosx sin x = −sin2x
′ y u = 5u 4 , u ′ = 3, x
′ x y′ = yu ⋅ u′ = 5u4 ×3 = 5(3x + 2)4 ×3 =15(3x + 2)4 所以 x
2 (B) 例2 求函数 y = ln(1 − x ) 的导数
解：设 因为
y = ln u
则
u = 1− x2
′ 1 ′ yu = , u x = −2 x, u
x π (B) 例5 求 y = ln tan( + ) 的导数。 的导数。 2 4
x π 解： 设 y = ln u , u = tan v, v = + 2 4
由
y ′ = f ′ ( u ) ⋅ φ ′( v ) ⋅ ϕ ′( x ) 得
x π ′ = (lnu)′ ⋅ (tanv)′ ⋅ ( + )′ y 2 4

复合函数求一点导数的方法

复合函数求一点导数的方法

复合函数求一点导数的方法
复合函数的导数计算方法：
复合函数求导数的方法步骤是
一、把复合函数分解成两个或者两个以上的初等函数；
二、然后分别求初等函数的导数；
三、把初等函数的导数乘起来；
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。

复合函数
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)。

记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。

两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0，否则无意义。

求导法则
导数的加(减)法则是[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'；
乘法法则是[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)；
除法法则是[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。

复合函数求导法则.

复合函数求导法则.



1 2 ( x 2 1) 1 x x 1 x 1 x 2 2 2 2 2 x 1 x x 1 x 1 2 2 1 1 2 x x 1 x 1 2 2 x 1 2 x x2 1
2




2x 1
（2）两个以上的函数复合，也有相应的类似结论。如三个函数
z f (t ), t g ( y), y h( x), 则有
dz dz dt dy f ( g (h( x))) f (t ) g ( y)h( x) dx dt dy dx
【3-3-6】
4、法则应用举例 例1 解：
2
2 x 1
2

1 2 x 1
2

x
2
x2 1
【3-3-16】
(5) y (1 2 x) ( x 0)
1 x
1 ln(1 2 x ) y (1 2 x) ln(1 2 x) (1 2 x) x x 2x ln(2 x 1) 1 2x 1 x (1 2 x) 2 x 1 2 x (2 x 1) ln(2 x 1) x (1 2 x) 2 x (2 x 1)
【3-3-5】
y f [ g ( x0 x)] f [ g ( x0 )] 0,(x 0)
即( f [ g ( x)])
x x0
0,因此此时法则结论亦成立
3、法则使用中应注意的问题
(1) f [ g ( x)] 与f [ g ( x)]的区别
前者是对x求导数, 后者是对g ( x) u求导数

复合函数求导法则有哪些呢

复合函数求导法则有哪些呢

复合函数求导法则有哪些呢复合函数的求导法则同学们清楚吗，如果不清楚，快来小编这里瞧瞧。

下面是由小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。

复合函数求导法则有哪些呢Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3拓展阅读：求导公式运算法则是什么运算法则是：加(减)法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。

求导运算法则是：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

复合函数的导数求法

复合函数的导数求法

幂函数的导数
幂函数是形如$y = x^n$的函数，其 中$n$是实数。
VS
幂函数的导数可以通过幂函数的定义 和极限的定义求得，结果为$y' = nx^{n-1}$。
三角函数的导数
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的导数是余弦函数，即$frac{d}{dx}sin x = cos x$；余弦函数的导数是负的正弦函数，即$frac{d}{dx}cos x = -sin x$； 正切函数的导数是正切函数的平方与1的和的倒数，即$frac{d}{dx}tan x = frac{1}{cos^2 x}$。
探讨未来可能的研究方向
复杂复合函数的求导 方法
对于更为复杂的复合函数，如多 层嵌套、多变量复合等，需要进 一步研究更为高效、简洁的求导 方法。这有助于解决实际应用中 更为复杂的数学问题。
复合函数导数的性质 研究
复合函数的导数具有一些独特的 性质，如连续性、可微性等。未 来可以进一步探讨这些性质在复 合函数求导中的应用，以及它们 对导数求解的影响。
对数函数是形如$y = log_a x$的函数，其中$a > 0$且$a neq 1$。
03 复合函数求导举例
简单复合函数求导
举例1
$y = sin(2x)$
分析
这是一个简单的复合函数，其中内层函数是 $2x$，外层函数是$sin u$。
求导过程
根据链式法则，$frac{dy}{dx} = cos(2x) cdot 2 = 2cos(2x)$。
指数函数和对数函数的导数
指数函数的导数是其本身与底数自然对数的乘 积，即$frac{d}{dx}a^x = a^x ln a$。
对数函数的导数是底数的倒数与自变量对数的倒数之 积，即$frac{d}{dx}log_a x = frac{1}{x ln a}$。

复合函数求导公式有哪些

复合函数求导公式有哪些

复合函数求导公式有哪些复合函数的求导公式有哪些呢?想来绝大部分的人都不知道，为了满足大家的好奇心。

下面是由小编为大家整理的“复合函数求导公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。

复合函数求导公式有哪些链式法则(英文chain rule)是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。

所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。

如设f(x)=3x，g(x)=3x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g′(f(x))=9。

要注意f(x)的自变量x与g(x)的自变量x之间并不等同。

链式法则(chain rule)若h(a)=f[g(x)]则h'(a)=f'[g(x)]g'(x)链式法则用文字描述，就是"由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。

"拓展阅读：复合函数的奇偶性复合函数中只要有偶函数则复合函数为偶函数，如一奇一偶为偶;若只有奇函数则复合函数为奇函数，无论奇数个还是偶数个，如两奇仍为奇。

1、f(x)*g(x)*h(x)这种相乘的复合函数。

奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。

奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。

2、f(g(h(x)))这种多层的复合函数。

函数中的有偶数，复合函数就是偶函数。

函数中的没有偶数，奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。

函数中的没有偶数，奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。

复合函数的单调性的判断方法复合函数单调性就2句话：2个函数(或多个)都递增或者都递减那么复合函数就是单调递增函数2个函数一个递增一个递减那么复合函数就是单调递减函数简单记法：负负得正,正在得正,负正得负。

6.4 复合函数的求导法则

6.4 复合函数的求导法则
= 2 xf u − 2 xf v = 2 xf1′ − 2 xf 2′ ,
其中将偏导数记号记为
y
∂z ∂z +x = y 2 xf1′ − 2 xf 2′ + x −2 yf1′ + 2 yf 2′ ∂x ∂y
= 0.
(
) (
)
∂z ∂z = fu = f1′ , = f v = f 2′ ∂u ∂v
= f 可导，且有 g ( x ) 在点 x 可导，
dy dy du = ⋅ . dx du dx
z= f ϕ ( t ) , φ ( t )
z
u v
t t
情形2 情形2 如果 z = f ( u , v ) , u = ϕ ( x, y ) , v = φ ( x, y ) 则复合函数为二元函数
∂ 2 w ∂f1′ ∂f ′ = + yf 2′ + yz 2 ∂x∂z ∂z ∂z ′′ + xyf12 ′′ + yf 2′ + yz ( f 21 = f11 ′′ + xyf 22 ′′ )
z x = f1′ + yf 2′ ,
z
u
x
y
z xx =
∂f1′ ∂f ′ +y 2 ∂x ∂x
′′ + yf12 ′′ + y ( f 21 ′′ + yf 22 ′′ ) = f11 ′′ + 2 yf12 ′′ + y 2 f 22 ′′ = f11
x
∂z ∂z , . ∂s ∂t s
t
∂y ∂t
可写为
dy dt
s
x
∂z ∂z ∂x = ∂s ∂x ∂s y = et 1 − x2 y2

高等数学《复合函数的求导法则》

高等数学《复合函数的求导法则》
例 8 设z f ( x2,e2x )，f 可微，求 dz . dx
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复 杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些 是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏 导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数， 有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏 导数的关系问题.
——全导数公式
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t

复合函数求导公式推导

复合函数求导公式推导

复合函数求导公式推导
复合函数的求导公式可以通过链式法则进行推导。

设有函数 y = f(u) 和 u = g(x)，其中 y 是一个关于 x 的函数。

根据链式法则，y 对 x 的导数可以表示为：
dy/dx = dy/du * du/dx
其中，dy/du 表示函数 y 对中间变量 u 的导数，du/dx 表示中间变量 u 对自变量 x 的导数。

首先，求出 dy/du，即函数 y 对中间变量 u 的导数。

这可以通过对函数 y 使用普通的求导方法来得到。

然后，求出 du/dx，即中间变量 u 对自变量 x 的导数。

同样，可以使用普通的求导方法来计算。

最后，将 dy/du 和 du/dx 相乘得到 dy/dx，即函数 y 对自变量 x 的导数。

综上所述，复合函数的求导公式可以表示为：
dy/dx = (dy/du) * (du/dx)
这就是复合函数求导的公式。

复合函数求导

复合函数求导

2)()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'=''=''+'='⋅'±'='±10;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -======-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x==则 二、复合函数的导数若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则三、基础运用举例1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( )A 0B 1C －1D 2 2 经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程6 求函数的导数(1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y =31xx -四、综合运用举例例1求函数的导数)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω 22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解 2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解 y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －byv =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′=3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′)=3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) 【注】题中三角函数求导较麻烦。

复合函数求导

复合函数求导

y x sin x .
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法
例5： 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解: 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
四、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
2
1 cos
1.
2
当 t 时, x a( 1), y a.
2
2
所求切线方程为
y a x a( 1) 2
即 y x a(2 )
2
谢谢
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例6：设 y xsinx ( x 0), 求y.
解： 等式两边取对数得
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即

3-2.2复合函数求导法则

3-2.2复合函数求导法则

1 1 1 1 ′′ = = (arcsin x) = (arcsinx ) . = 2 2 (sin y )′ cos y 1 − sin y 1− x
同理可得
(arccos x)′ = −
1 1− x
2
.
1 (arctan x)′ = ; 2 1+ x
1 ( arccot x)′ = − . 2 1+ x
= f ′(u )ϕ ′( x)
推广 设 y = f ( u), u = ϕ ( v ), v = ψ ( x ),
则复合函数 y = f {ϕ [ψ ( x )]}的导数为 dy dy du dv = ⋅ ⋅ . dx du dv dx
例1 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解
Q y = ln u, u = sin x .
(7) (sec x)′ = sec x tan x (9)
(a )′ = a ln a
x x
′ = ex (e )
x
1 (11) (log a x)′ = x ln a 1 (13) (arcsin x)′ = 1 − x2 (15) (arctan x)′ = 1 1 + x2
1 (ln x)′ = x
1 特别地 (ln x )′ = . x
dy 例8 设y = arshx( x ∈ R ), 求 . dx 解 y = arshx是双曲正弦x = shy的反函数，
由反函数求导定理得 1 1 1 1 (arshx)′ = = = = 2 2 ( shy )′ chy 1 + sh y 1+ x
所以
f [ g ( x )] =| sin x | 在 x = 0 处不可导，(1) × 处不可导，
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f (u)( x).
证毕
6
推广 设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数
y f {[ ( x)]}的导数为 dy dy du dv .
dx du dv dx
注意：可推广到有限次复合.
如 y sin2x， 由 y sinu 与 u 2x 复合而成.
(sin2x) (sin u)u (2x) 2cosu 2cos2x
x 复合而成，
2
2
因而
dy dx
dy du dv du dv dx
(ln
u)u
(tanv
)v
(
1 2
x)x
1 sec2 v 1 csc x.
u
2
8
例4
已知 y
x sin x
( x 0)，求 dy .
dx
解 y xsin x esin xln x 由 y eu，u sin x ln x
dy dy du eu e ln x
dx du dx
x
x
x x1. 证毕
x
例6 求y=f(x2)的导数(其中f(x)可导).
解 可分解为 y f (u), u x2 ,
y dy du f (u)(2x) 2 xf ( x 2 ). du dx
10
复合函数的求导法则有三个步骤： （1）分解复合函数，分解到基本初等函数或
lim
t 0
u t
,
函数 x
f (t) 对t可导，xt
dx dt
lim
t 0
x t
,
函数x
f ( y)对y可导，xy
dx dy
lim
y0
x y
,
3
回忆 y sin2x y cos2x
(sin2x) 2cos2x
原因：y sin2x 是由 y sinu, u 2x 复合而成.
dy (sinu) cos u, du (2x) 2,
推广 yx yu uv vw wx
2.求导法则
(u v) u v (Cu) Cu
(uv) uv uv
yx yu ux
3.求导公式汇总
( u) v
uv uv v2
(v 0)
yx
1 xy
21
(C ) 0
(arccos x) 1
( x ) x（1 R）
1 x2
(sin x) cos x (cos x) sin x
u (x)可导，则复合函数 y f ( x)在点 x可导，
且其导数为 dy f (u)( x)
dx
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量
求导,乘以中间变量对自变量求导. (链式法则)
即 dy dy du dx du dx
或 yx yu ux
5
证 给x一个改变量x,则相应的有u, y
( x ) x1（ R） (e x ) e x
(sin x) cos x
(cos x) sin x (tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
(a x ) a x ln a
(ln x) 1
x
(log a
x)
1 x ln a
( x) 1
(
1 x
)
1 x2
（ x） 1 2x
x2 a2
18
例18 求 y f (sin3 x) 的导数( 其中 f ( x) 可导)
解 它可分解为 y f (u), u v3 ,v sinx.
y dy du dv f (u)(v3 ) (sin x) du dv dx
f (u) 3v2 cos x f (sin3 x) 3sin2 x cos x
n1(sin xn ) (sin xn ) cos xn xn
n3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
f [ n (sin xn )] n1(sin xn ) (sin xn ).
20
小结
1.链式法则
dy dx
f (u)( x)， yx
yu
ux
解
y lntan x,
可看作由
dx
y
ln
u，u
tan
x
复合而成，
因而 dy dy du 1 sec2 x cot x sec2 x 1
dx du dx u
sin x cos x
例3 已知 y ln tan x , 求 dy .
解
y
ln tan
x
由
y
2 dx ln u，u
tan v, v
y ( x2 ) 2 x2 x 1
x2
x2 x2 x
故 （ln x） 1 x
15
例13 已知 y 1 , 求 y x x2 1
解 变形：有理化 y x x2 1
y 1 2x 1 x
2 x2 1
x2 1
例14 已知 y x x x , 求 y
解
变形 y
x
x
x
7
x 8， 故
(tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
(sec x) secx tan x
(csc x) csc x cot x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x)
1 1 x2
(arc
(e x
cot
)
x)
ex
1
1 x
2
(a x ) a x ln a
(ln x) 1
2
现在看：
函数 y f (x) 对x可导，y dy dx
lim y , x0 x
yx
函数 y f (u) 对u可导，y dy lim y , du u0 u
yu
函数 y f (t) 对t可导，y dy dt
lim
t 0
y t
,
y t
于是
函数 u
f
(t)
对t可导，ut
du dt
ex2 (2x)cos2 x ex2 2cos x(sin x) 2ex2 cos x(x cos x sin x).
该题先用乘积，再用锁链法则.
例11已知 f ( x) (e x log 5 x)arcsin 2x, 求 y
解f ( x) (e x log 5 x)arcsin 2x (e x log 5 x)(arcsin 2x)
du
dx
dy dx
(sin2x)
2 cos 2 x
(2 x)
cos
u
(2x)(sinu) (sinu)(2x)
dy du . du dx
即:是否有
dy dy du dx du dx
成立？
4
三、 复合函数的求导法则
定理：如果 u ( x)在点 x 可导，而 y f (u) 在点
复合而成，
dy dy du eu (cos x ln x sin x )
dx du dx
x
xsin x (cos x ln x sin x ). x
注意：对幂指函数需要变形后才能进行求导，
否则无法求出.
9
例5 证明：( x ) x 1 ( R).
证 y x e ln x由 y eu，u ln x 复合而成，
由 y f (u) 在点 u 可导， lim y f (u)
u0 u
故 y f (u) ( lim 0)u Nhomakorabeau0
则 y f (u)u u
dy f (u)( x)
dx
lim y lim[ f (u) u u]
x0 x x0
x x
f (u) lim u lim lim u
x0 x x0 x0 x
1 ) x
sin 1
e x
cos
1 ( 1 )
xx
1 x2
sin 1
ex
cos
1 x
.
例17 求y ln（x x2 a2）的导数
解 y
1
( x x2 a2 )
x x2 a2
1
[(x) ( x2 a2 )]
x x2 a2
1
x x2 a2
1
x x2 a2 x2 a2
nf n1[ n (sin xn )] f [ n (sin xn )]
n n1(sin xn ) (sin xn )
n2 f n1[ n (sin x n )] f [ n (sin xn )]
n1(sin xn ) (sin xn ) sin xn
n2 f n1[ n (sin xn )] f [ n (sin xn )]
解 dy (lnsin x) 1dx(sin x) cos x cot x.
dx
sin x
sin x
例8 已知
y arcsin
1 x2 , 求
dy . dx
解 dy arcsin
1 x2
1
( 1 x2 )
dx
1 (1 x2 )
x
1 , 1 x2
0 x 1,
x 1 x2
５.求导法则：（注意使用条件）
f
(
x)
1 ( y)
(u v) u v;(uv) uv uv;(Cu) Cu;
( u ) v
uv uv ， v2
( 1 ) v
v v2
(v 0)
1
5.求导公式：
(sec x) secx tan x
(C ) 0
(csc x) csc x cot x
x
(loga x)
1 x ln a