数学串讲讲义答案解析

专题07 整式的加减（知识大串讲）【知识点梳理】考点1 同类项1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

2.合并同类项：（1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

（2）合并同类项的法则：　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

（3）合并同类项步骤： a．准确的找出同类项。

　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

c．写出合并后的结果。

（4）在掌握合并同类项时注意： a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.　b.不要漏掉不能合并的项。

　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。

说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。

考点2 去括号（1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；（2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

考点3整式的加减几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

（2）按去括号法则去括号。

（3）合并同类项。

【典例分析】【考点1 同类项的判断】【典例1】（2022春•兰西县校级期末）下列各组两项中，是同类项的是（ ）A．xy与﹣xy B．ac与abcC．﹣3ab与﹣2xy D．3xy2与3x2y【答案】A【解答】解：A．根据同类项的定义，xy与﹣xy是同类项，那么A符合题意．B．根据同类项的定义，与不是同类项，那么B不符合题意．C．根据同类项的定义，﹣3ab与﹣2xy不是同类项，那么C不符合题意．D．根据同类项的定义，3xy2与3x2y不是同类项，那么D不符合题意．故选：A．【变式1】（2021秋•乌当区期末）在下列各组单项式中，不是同类项的是（ ）A．5x2y和﹣7x2y B．m2n和2mn2C．﹣3和99D．﹣abc和9abc【答案】B【解答】解：A．5x2y和﹣7x2y所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项不合题意；B．m2n和2mn2所含字母相同，但相同字母的指数不相同，故不是同类项，故本选项符合题意；C．﹣3和99是同类项，故本选项不合题意；D．﹣abc和9abc所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项不合题意．故选：B．【考点2 已知同类项求指数中字母的值】【典例2】（2021秋•北辰区期末）如果2x3n y m+1与﹣3x12y4是同类项，那么m，n的值分别是（ ）A．m＝﹣2，n＝3B．m＝2，n＝3C．m＝﹣3，n＝2D．m＝3，n＝4【答案】D【解答】解：∵2x3n y m+1与﹣3x12y4是同类项，∴3n＝12，m+1＝4，解得m＝3，n＝4，故选：D．【变式2-1】（2022春•龙凤区期末）如果单项式﹣xy b+1与x a﹣2y3是同类项，那么（a﹣b）2022＝（ ）A．1B．﹣1C．52022D．﹣52022【答案】A【解答】解：∵单项式﹣xy b+1与x a﹣2y3是同类项，∴a﹣2＝1，b+1＝3，解得：a＝3，b＝2，∴（a﹣b）2022＝（3﹣2）2022＝12022＝1．故选：A．【变式2-2】（2022春•潍坊期末）若单项式20x m﹣n y14与可以合并成一项，则m n的值是（ ）A．B．2C．D．﹣2【答案】A【解答】解：由题意可知：m﹣n＝3，3m﹣8n＝14，∴m＝2，n＝﹣1，∴m n＝．故选：A．【考点3 合并同类项】【典例3】（2022•清苑区二模）下列算式中正确的是（ ）A．4x﹣3x＝1B．2x+3y＝3xyC．3x2+2x3＝5x5D．x2﹣3x2＝﹣2x2【答案】D【解答】解：A、原式＝x，故A不符合题意．B、2x与3y不是同类项，不能合并，故B不符合题意．C、3x2与2x3不是同类项，不能合并，故C不符合题意．D、x2﹣3x2＝﹣2x2，故D符合题意．故选：D．【变式3】（2022•钱塘区一模）化简：﹣5x+4x＝（ ）A．﹣1B．﹣x C．9x D．﹣9x 【答案】B【解答】解：原式＝（﹣5+4）x＝﹣x．故选：B【考点4 去括号或添括号】【典例4-1】（2022春•宁波期末）下列添括号正确的是（ ）A．﹣b﹣c＝﹣（b﹣c）B．﹣2x+6y＝﹣2（x﹣6y）C．a﹣b＝+（a﹣b）D．x﹣y﹣1＝x﹣（y﹣1）【答案】C【解答】解：A．﹣b﹣c＝﹣（b+c），故此选项不合题意；B．﹣2x+6y＝﹣2（x﹣3y），故此选项不合题意；C．a﹣b＝+（a﹣b），故此选项符合题意；D．x﹣y﹣1＝x﹣（y+1），故此选项不合题意；故选：C．【典例4-2】（2021秋•望城区期末）下列各题中去括号正确的是（ ）A．5﹣3（x+1）＝5﹣3x﹣1B．2﹣4（x+）＝2﹣4x+1C．2﹣4（x+1）＝2﹣x﹣4D．2（x﹣2）﹣3（y﹣1）＝2x﹣4﹣3y﹣3【答案】C【解答】解：A．5﹣3（x+1）＝5﹣3x﹣3，故A不符合题意．B．2﹣4（x+）＝2﹣4x﹣1，故B不符合题意．C．2﹣4（x+1）＝2﹣x﹣4，故C符合题意．D．2（x﹣2）﹣3（y﹣1）＝2x﹣4﹣3y+3，故D不符合题意．故选：C．【变式4-1】（2022•馆陶县）等号左右两边一定相等的一组是（ ）A．﹣（a+b）＝﹣a+b B．a3＝a+a+aC．﹣2（a+b）＝﹣2a﹣2b D．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b【答案】C【解答】解：A、原式＝﹣a﹣b，原去括号错误，故此选项不符合题意；B、a3＝a•a•a，a+a+a＝3a，原式左右两边不相等，故此选项不符合题意；C、原式＝﹣2a﹣2b，原去括号正确，故此选项符合题意；D、原式＝﹣a+b，原去括号错误，故此选项不符合题意．故选：C．【变式4-2】（2021秋•海门市期末）计算﹣（4a﹣5b），结果是（ ）A．﹣4a﹣5b B．﹣4a+5b C．4a﹣5b D．4a+5b【答案】B【解答】解：﹣（4a﹣5b）＝﹣4a+5b，故选：B【考点5 整式加减的运算】【典例5】（2022•南京模拟）先去括号，再合并同类项；（1）（3x2+4﹣5x3）﹣（x3﹣3+3x2）（2）（3x2﹣xy﹣2y2）﹣2（x2+xy﹣2y2）（3）2x﹣[2（x+3y）﹣3（x﹣2y）]（4）（a+b）2﹣（a+b）﹣（a+b）2+（﹣3）2（a+b）．【解答】解：（1）原式＝3x2+4﹣5x3﹣x3+3﹣3x2＝﹣6x3+7；（2）原式＝3x2﹣xy﹣2y2﹣2x2﹣2xy+4y2＝x2﹣3xy+2y2；（3）原式＝2x﹣2x﹣6y+3x﹣6y＝3x﹣12y；（4）原式＝﹣（a+b）﹣（a+b）2+9（a+b）＝﹣（a+b）2+（a+b）．【变式5-1】（河南期中）先去括号，再合并同类项（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）（2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）【解答】解：（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）＝4b﹣6a+6a﹣9b＝﹣5b；（2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）＝4a2+6ab﹣4a2﹣7ab+1＝﹣ab+1．【变式5-2】（乐清市校级月考）去括号，合并同类项：（1）﹣3（2x﹣3）+7x+8；（2）3（x2﹣y2）﹣（4x2﹣3y2）．【解答】解：（1）﹣3（2x﹣3）+7x+8＝﹣6x+9+7x+8，＝（﹣6x+7x）+（9+8），＝x+17，（2）3（x2﹣y2）﹣（4x2﹣3y2）＝3x2﹣y2﹣2x2+y2，＝3x2﹣2x2+（﹣y2+y2），＝x2．【考点6 化简求值】【典例6】（2022春•杜尔伯特县期中）代入求值．（1）已知|a﹣2|+（b+1）2＝0，求代数式5ab﹣[2a2b﹣（4b2+2a2b）]的值；（2）2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中x＝1，y＝﹣1．【解答】解：（1）原式＝5ab﹣（2a2b﹣4b2﹣2a2b）＝5ab﹣2a2b+4b2+2a2b＝5ab+4b2，由题意可知：a﹣2＝0，b+1＝0，∴a＝2，b＝﹣1，原式＝5×2×（﹣1）+4×1＝﹣10+4＝﹣6．（2）原式＝2x2y+2xy﹣3x2y+3xy﹣4x2y＝﹣5x2y+5xy，当x＝1，y＝﹣1时，原式＝﹣5×1×（﹣1）+5×1×（﹣1）＝5﹣5＝0．【变式6-1】（2021秋•兴庆区校级期末）先化简，再求值．（1）3y2﹣x2+2（2x2﹣3xy）﹣3（x2+y2），其中（x+2）2+|y﹣1|＝0；（2）（﹣a2+3ab﹣2b）﹣2（﹣a2+4ab﹣b2），其中a＝3，b＝﹣2．【解答】解：（1）3y2﹣x2+2（2x2﹣3xy）﹣3（x2+y2）＝3y2﹣x2+4x2﹣6xy﹣3x2﹣3y2＝﹣6xy，∵（x+2）2+|y﹣1|＝0，（x+2）2≥0，|y﹣1|≥0，∴x+2＝0，y﹣1＝0．∴x＝﹣2，y＝1．当x＝﹣2，y＝1时，原式＝﹣6×（﹣2）×1＝12．（2）（﹣a2+3ab﹣2b）﹣2（﹣a2+4ab﹣b2）＝﹣a2+3ab﹣2b+a2﹣8ab+3b2＝﹣5ab+3b2﹣2b，当a＝3，b＝﹣2时，原式＝﹣5×3×（﹣2）+3×（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝30+3×4+4＝30+12+4＝46．【变式6-2】（2021秋•梁平区期末）先化简再求值：（1）﹣（x2﹣y2）﹣[3xy﹣（x2﹣y2）]，其中x＝﹣3，y＝﹣4．（2），其中|2+y|+（x﹣1）2＝0．【解答】解：（1）﹣（x2﹣y2）﹣[3xy﹣（x2﹣y2）]＝﹣x2+y2﹣3xy+x2﹣y2＝﹣3xy，当x＝﹣3，y＝﹣4时，原式＝﹣3xy＝﹣3×（﹣3）×（﹣4）＝﹣36；（2）＝5x2y﹣（3xy2﹣6xy2+7x2y）＝5x2y﹣3xy2+6xy2﹣7x2y＝﹣2x2y+3xy2，因为|2+y|+（x﹣1）2＝0，所以y＝﹣2，x＝1，所以原式＝﹣2×1×（﹣2）+3×1×4＝16．【考点7 整式加减的无关型问题】【典例7】（2021秋•东港区期末）（1）先化简，再求值：3x2y﹣[2x2y﹣3（2xy﹣x2y）﹣xy]，其中x＝﹣，y＝2．（2）已知A＝y2+3ay﹣1，B＝by2+4y﹣1，且4A﹣3B的值与y的取值无关，求a，b的值．【解答】解：（1）原式＝3x2y﹣（2x2y﹣6xy+3x2y﹣xy）＝3x2y﹣2x2y+6xy﹣3x2y+xy＝﹣2x2y+7xy，当，y＝2时，原式＝．（2）4A﹣3B＝＝3y2+12ay﹣4﹣3by2﹣12y+3＝（3﹣3b）y2+（12a﹣12）y﹣1，∵4A﹣3B的值与y的取值无关，∴3﹣3b＝0，12a﹣12＝0，∴a＝1，b＝1．【变式7-1】（2022春•泰州期末）已知：A＝3x2+2xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy．（1）计算：A﹣3B；（2）若A﹣3B的值与y的取值无关，求x的值．【解答】解：（1）A﹣3B＝（3x2+2xy+3y﹣1）﹣3（x2﹣xy）＝3x2+2xy+3y﹣1﹣3x2+3xy＝5xy+3y﹣1；（2）∵A﹣3B＝5xy+3y﹣1＝（5x+3）y﹣1，又∵A﹣3B的值与y的取值无关，∴5x+3＝0，∴x＝﹣．【变式7-2】（2021秋•井研县期末）已知A＝2x2+xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy．（1）当x＝﹣1，y＝3时，求A﹣2B的值；（2）若3A﹣6B的值与y的值无关，求x的值．【解答】解：（1）∵A＝2x2+xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy，∴A﹣2B＝（2x2+xy+3y﹣1）﹣2（x2﹣xy）＝2x2+xy+3y﹣1﹣2x2+2xy＝3xy+3y﹣1，当x＝﹣1，y＝3时，原式＝3×（﹣1）×3+3×3﹣1＝﹣9+9﹣1＝﹣1；（2）∵A＝2x2+xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy，∴3A﹣6B＝3（2x2+xy+3y﹣1）﹣6（x2﹣xy）＝6x2+3xy+9y﹣3﹣6x2+6xy＝9xy+9y﹣3＝（9x+9）y﹣3，∵3A﹣6B的值与y的值无关，∴9x+9＝0，∴x＝﹣1．【考点8 整式加减的看错问题】【典例8】（2021秋•济宁期末）已知多项式M，N，其中M＝2x2﹣x﹣1，小马在计算2M﹣N时，由于粗心把2M﹣N看成了2M+N求得结果为﹣3x2+2x﹣1，请你帮小马算出：（1）多项式N；（2）多项式2M﹣N的正确结果．求当x＝﹣1时，2M﹣N的值．【解答】解：（1）根据题意得：N＝﹣3x2+2x﹣1﹣2（2x2﹣x﹣1）＝﹣3x2+2x﹣1﹣4x2+2x+2＝﹣7x2+4x+1；（2）2M﹣N＝2（2x2﹣x﹣1）﹣（﹣7x2+4x+1）＝4x2﹣2x﹣2+7x2﹣4x﹣1＝11x2﹣6x﹣3，当x＝﹣1时，2M﹣N＝11+6﹣3＝14．【变式8】（2021秋•禹州市期末）某同学做一道题，已知两个多项式A、B，求A﹣2B的值．他误将“A﹣2B”看成“A+2B”，经过正确计算得到的结果是x2+14x﹣6．已知A＝﹣2x2+5x﹣1．（1）请你帮助这位同学求出正确的结果；（2）若x是最大的负整数，求A﹣2B的值．【解答】解：（1）由题意得：2B＝x2+14x﹣6﹣（﹣2x2+5x﹣1）＝x2+14x﹣6+2x2﹣5x+1＝3x2+9x﹣5，所以，A﹣2B＝﹣2x2+5x﹣1﹣（3x2+9x﹣5）＝﹣2x2+5x﹣1﹣3x2﹣9x+5＝﹣5x2﹣4x+4；（2）由x是最大的负整数，可知x＝﹣1，所以，A﹣2B＝﹣5×（﹣1）2﹣4×（﹣1）+4＝﹣5+4+4＝3【考点8整式加减的应用】【典例9】（2021秋•海沧区期末）为了促进“资源节约和环境友好型”社会建设，引导居民合理用电．某市结合实际，决定提供两种家庭用电计费方式供居民选择．方式一：峰谷计价．收费标准为：峰时段（上午8：00～晚上21：00）用电的电价为0.65元/度，谷时段（晚上21：00～次日晨8：00）用电的电价为0.35元/度．方式二：阶梯计价．收费标准如下表：超过400度的部分居民一个月用电量不超过200度超过200度但不超过400度的部分电价（单位：元/度）0.500.600.75（1）若该市居民小王家某月用电300度，其中，峰时段用电200度，谷时段用电100度．他家选择哪种计费方式费用较低？（2）若该市居民小张家某月总用电量为a度，其中80%为峰时段的用电量．请用含a的式子分别表示两种计费方式应缴的电费．【解答】解：（1）方式一：200×0.65+100×0.35＝130+35＝165（元）．方式二：200×0.50+（300﹣200）×0.60＝100+100×0.60＝100+60＝160（元）．160元＜165元，所以他家选择方式二计费方式费用较低．（2）方式一：80%a×0.65+（1﹣80%）×a×0.35＝0.8a×0.65+0.2a×0.35＝0.52a+0.07a＝0.59a（元）．方式二：当a不超过200时，电费为：a×0.5＝0.5a（元）．当a超过200但不超过400时，电费为：200×0.5+（a﹣200）×0.6＝100+0.6a﹣120＝0.60﹣（120﹣100）＝（0.6a﹣20）（元）．当a超过400时，电费为：200×0.50+（400﹣200）×0.60+（a﹣400）×0.75＝100+120+0.75a﹣400×0.75＝220+0.75a﹣300＝0.75a﹣（300﹣220）＝（0.75a﹣80）（元）．答：小张家按方式一计费方式应缴电费0.59元．方式二计费时，当a不超过200时，应缴电费0.5a元；当a超过200但不超过400时，应缴电费（0.6a一20）元；当a超过400时，应缴电费（0.75a一80）元．【变式9】（2021秋•沐川县期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价 1.8元/公里0.45元/分钟0.4元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．（1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为5公里，行车时间为10分钟，则需付车费多少元；（2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元？（用含a、b的代数式表示，并化简）（3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，并且小王的行车时间比小张的行车时间多24分钟，请计算说明两人下车时所付车费有何关系？【解答】解：（1）1.8×5+0.45×10＝13.5（元），答：需付车费13.5元；（2）当a≤10时，小明应付费（1.8a+0.45b）元；当a＞10时，小明应付费1.8a+0.45b+0.4（a﹣10）＝（2.2a+0.45b﹣4）元；（3）设小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、（a﹣24）分钟，则小王应付车费1.8×9.5+0.45a＝17.1+0.45a，小张应付车费1.8×14.5+0.45（a﹣24）+0.4×（14.5﹣10）＝17.1+0.45a，因此，两人车费一样多【典例10】（2021秋•新泰市期末）如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭及过道，其余部分种植花圃（阴影部分）．（1）用整式表示花圃的面积；（2）若a＝3m，修建花圃的成本是每平方米60元，求修建花圃所需费用．【解答】解：（1）根据题意得：（7.5+12.5）×（a+2a+2a+2a+a）﹣12.5•2a×2＝20•8a﹣50a＝160a﹣50a＝110a（m2），所以，花圃的面积为：110a；（2）当a＝3m、修建花圃的成本是每平方米60元时，修建花圃所需费用为110×3×60＝19800（元），所以，修建花圃所需费用为19800元．【变式10】（2022春•莱州市期末）如图是一个长方形游乐场，其宽是4a米，长是6a 米．其中半圆形休息区和长方形游泳区以外的地方都是绿地．已知半圆形休息区的直径和长方形游泳区的宽是2a米，游泳区的长是3a米．（1）该游乐场休息区的面积为　a2　m2，游泳区的面积为　6a2　m2．（用含有a 的式子表示）（2）若长方形游乐场的宽为40米，绿化草地每平方米需要费用30元，求这个游乐场中绿化草地的费用．【解答】解：（1）休息区的面积为：×π×a2＝a2（m2）；游泳区的面积为：3a×2a＝6a2（m2）．故答案为：a2，6a2；（2）∵长方形游乐场的宽为40米，∴a＝10米．所以（6a×4a﹣6a2﹣a2）×30≈（24a2﹣6a2﹣1.57a2）×30＝16.43a2×30＝492.9a2．当a＝10时，原式＝49290（元）．答：游乐场中绿化草地的费用为49290元．【典例11】（2021秋•连城县期中）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元，“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一套西装送一条领带：方案二：西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．（1）若该客户按方案一购买，需付款 元．（用含x的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款 元．（用含x的代数式表示）（2）若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．并算出需要付款多少元？【解答】解：（1）客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．方案一费用：20×1000+（x﹣20）×200＝（200x+16000）元，方案二费用：（20×1000+200x）×0.9＝（180x+18000）元，故答案为：（200x+16000），（180x+18000）．（2）当x＝40时，方案一：200×40+16000＝24000（元），方案二：180×40+18000＝25200（元），所以，按方案一购买较合算．（3）能给出一种更为省钱的购买方案；先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买20条领带；需要付款：20000+200×20×90%＝23600（元）．【变式11】（2021秋•淅川县期中）某校羽毛球队需要购买6支羽毛球拍和x盒羽毛球（x＞6），羽毛球拍市场价为150元/支，羽毛球为30元/盒．甲商场优惠方案为：所有商品九折．乙商场优惠方案为：买1支羽毛球拍送1盒羽毛球，其余原价销售．（1）分别用x的代数式表示在甲商场和乙商场购买所有物品的费用．（2）当x＝20时，请通过计算说明选择哪个商场购买比较省钱．【答案】（1甲：27x+810乙：30x+720（2）乙商场购买比较省钱【解答】解：（1）在甲商场购买所有物品的费用为：0.9（6×150+30x）＝27x+810，在乙商场购买所有物品的费用为：6×150+30（x﹣6）＝30x+720；（2）当x＝20时，27x+810＝1350（元）；30x+720＝1320（元）；1350＞1320，答：选择乙商场购买比较省钱．。

专题11 投影知识网络重难突破知识点一平行投影投影的概念：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影。

照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

平行投影概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影。

平行投影特征：1.等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.2.等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.考查题型（物高与影长的关系）1.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.2.在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.1．（2018·渭南市期末）矩形木框在阳光照射下，在地面上的影子不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：矩形木框在地面上形成的投影应是平行四边形或一条线段，即相对的边平行或重合，故C不可能，即不会是梯形．故选：C．2．（2019·宝鸡市期中）如图是王老师展示的他昨天画的一幅写生画，他让四个学生猜测他画这幅画的时间．根据王老师标出的方向，下列给出的时间比较接近的是（）A．小丽说：“早上8点”B．小强说：“中午12点”C．小刚说：“下午3点”D．小明说：“哪个时间段都行”【答案】C【详解】根据题意：影子在物体的东方，根据北半球，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，可得应该是下午．故选：C．3．（2019·四川省安岳实验中学初三期末）给出下列结论正确的有（）①物体在阳光照射下，影子的方向是相同的②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关④物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【详解】①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确；②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误；③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故正确；④物体在点光源的照射下，影子的长短与物体的长短和光源的位置有关，故错误．所以正确的只有2个．故选B．4．（2019·山东省济南市汇才学校初三期中）下列四幅图形中,表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是()A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：根据平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例，依次分析各选项即得结果．A、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；B、影子的方向不相同，故本选项错误；C、影子的方向不相同，故本选项错误；D、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误．故选A．5．（2019·天水市期中）如图，一电线杆AB的影子分别落在地上和墙上，某一时刻，小明竖起1m•高的直杆，量得其影长为0.5m，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3m，落在墙上的影子CD的高为2m，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】D【解析】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，∵身高与影长成正比例，∴CD：DE=1：0.5，∴DE=1米，∴AB：BE=1：0.5，∵BE=BD+DE=4，，∴AB=8米．故选D．6．（2019·昌平区期中）如果在同一时刻的阳光下，小莉的影子比小玉的影子长，那么在同一路灯下（）A．小莉的影子比小玉的影子长B．小莉的影子比小玉的影子短C．小莉的影子与小玉的影子一样长D．无法判断谁的影子长【答案】D【解析】由一点所发出的光线形成的投影叫做中心投影,而中心投影的影子长短与距离光源的距离有关,由题意可得,小莉和小玉在同一路灯下由于位置不同,影长也不相同,故无法判断谁的影子长,故选D.7．（2018·湘乡市期末）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0．8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m，又测得地面的影长为2．6m，请你帮她算一下，树高是（）A．3．25m B．4．25m C．4．45m D．4．75m【答案】C【解析】如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得：10.8 CBBD而：CB=1．2∴BD=0．96∴树在地面的实际影长为：0．96+2．6=3．56．再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得：13.560.8x = ∴x=4．45∴树高是4．45m ．故选C ． 8．（2019·平顶山市第四十二中学初三期中）下列说法正确的是（ ）A ．物体在阳光下的投影只与物体的高度有关B ．小明的个子比小亮高，我们可以肯定，不论什么情况，小明的影子一定比小亮的影子长．C ．物体在阳光照射下，不同时刻，影长可能发生变化，方向也可能发生变化．D ．物体在阳光照射下，影子的长度和方向都是固定不变的．【答案】C【详解】解：A 、物体在阳光下的投影不只与物体的高度有关，还与时刻有关，错误；B 、小明的个子比小亮高，在不同的时间，小明的影子可能比小亮的影子短，错误；C 、不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，正确；D 、不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，错误．故选：C ．9．（2018·市北区期末）太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是（ ） A ．与窗户全等的矩形 B ．平行四边形C ．比窗户略小的矩形D ．比窗户略大的矩形【答案】B【解析】试题解析：太阳光照射一扇矩形的窗户，根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，平行物体的投影仍旧平行.故可知矩形的窗户的投影是平行四边形.故选B.10．（2019·营口市期中）路边有一根电线杆AB 和一块长方形广告牌，有一天，小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A 的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G 处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E 点（如图），已知5BC =米，长方形广告牌的长4HF =米，高3HC =米，4DE =米，则电线杆AB 的高度是（ ）A．6.75米B．7.75米C．8.25米D．10.75米【答案】C【详解】如图，延长AG交BE于N点，则四边形GNEF是平行四边形，故NE=GF=2，BN=5+4+4-2=11米，∴AB DF BE DE=，∴3 114 AB=，∴AB=8.25米．故选C.知识点二中心投影中心投影概念：由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影。

刘蒋巍高考数学串讲第1讲：集合与逻辑用语子集 已知集合{}13M x x =-<，1()1,2x N x x ⎧⎫=<∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M N 的子集的个数是 .【答案】8已知集合{}22(,)(2)(1)1A x y x y =-+-≤，{}(,)2|1||1|B x y x y a =-+-≤，A B ⊆，则实数a 的取值范围是 .【答案】[2)+∞ 【解析】画图可知，要使A B ⊆，则0a >，且点(2,1)到直线230x y a +--=的距离不小于1，即1≥，解得2a ≥，即a 的取值范围是[2)++∞.交并补 设集合{}2[]2A x x x =-=和{}||2B x x =<，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则A B = .【答案】{- 【解析】因为2x <，[]x 的值可取2,1,0,1--. 当[x ]=2-，则20x =无解；当[x ]=1-，则21x =，所以x =1-；当[x ]=0，则22x =无解；当[x ]=1，则23x =，所以x所以1x =-集合A =｛x |x ＝3n ，n ∈N ，0＜n ＜10｝，B ＝｛y |y ＝5m ，m ∈N ，0≤n ≤6｝则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________．【答案】225 【解析】A ∩B ＝{15}；故所求和＝(3＋6＋…＋27)＋(0＋5＋…＋30)－15＝225．若实数集合A ＝{31x ，65y }与B ＝{5xy ，403}仅有一个公共元素，则集合A ∪B 中所有元素之积的值是 ．【答案】0 【解析】因为31x ×65y ＝5xy ×403＝2015xy ．若xy ≠0，则集合A 和集合B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy ＝0，从而A ∪B 中所有元素之积的值为0．空集若集合{}1,A ax x ==+∈R 为空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,6131,逻辑用语“224+<”是“422x y+>+”成立的( ).xy x y(A) 充分但不必要条件(B) 必要但不充分条件(C) 既不充分也不必要条件(D) 充分必要条件【答案】A 【解析】由422(2)(2)0x y<<或2,2>>；+>+⇔-->⇔2,2x yxy x y x y而22422+<⇒-<<，且22x y x⇒+>+. 故选A.xy x y-<<422y。

高考数学串讲（四） 应用问题一，基础知识1，概率与统计（1）等可能性事件的概率（古典概型）。

试验由个基本事件组成，所有结果等可能出现，如果某个事件A 包含的结果有个，n m 那么事件A 的概率为。

()m P A n=（2）互斥事件的概率：；()()()P A B P A P B +=+对立事件的概率：。

()1()P A P A =-（3）相互独立事件的概率：①若与互相独立，则；A B ()()()P A B P A P B ⋅=⋅②如果在一次试验中某事件发生的概率是，则在次独立重复试验中这个事件p n 恰好发生次的概率为：。

k ()(1)k k n kn P n k C p p -==-（4）离散型随机变量的分布列与期望：设离散型随机变量的分布列为：（）ξ()i i P x x p ==1,2,,i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅则的期望。

ξ1122n n E x p x p x p ξ=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅其中①；②。

01i p ≤≤121n p p p ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=2，求函数最值的常用方法（1）一次函数：①根据函数的单调性求解；②运用线性规划的方法求解。

（2）二次函数：①运用配方法求解；②运用数形结合求解。

（3）其它函数：①配方法：如，求函数的最小值。

,x R +∈设21()f x x x x=-+配成。

22()(1)1f x x=-++②求导法，运用函数的单调性求解。

③判别式法：如，求的最大值和最小值。

222321x x y x x --=++④不等式法：（i ），则；（ii ）。

0,0a b >>a b +≥cos 1,sin 1x x ≤≤⑤换无法：当时，求函数的最小值。

04x π<<22cos ()cos sin sin xf x x x x =-⑥数形结合法。

二，跟踪训练1，（05江西）A，B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，规定掷硬币的次数达9次时，或ξ在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止。

例题精讲例题一：从0按从小到大的顺序连到100，你看到了什么小动物？〖难度〗：3 难度9个梯度，1-3为容易4-6为中档7-9为偏难〖考点〗：100以内数的认识〖分析〗：题目中要求从0连到100，这一点考查了学生对100以内数的熟记程度；题目还要求学生要按从小到大的顺序连，这一点考查了学生是否知道100以内数的大小关系，而连完之后会看到什么小动物反倒不是题目的考查重点，知识利用了学生的好奇心来提高学生的做题兴趣。

〖详解〗：首先找出图中所有的数字为：0 5 10 20 15 25 30 35 40 45 95 10055 50 65 60 90 85 80 75 70；然后再从小到大排列：0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100；然后再依次在图中连接。

〖答案〗：小狗〖举一反三〗：送小动物上火车。

解析：“10个十”既考查学生的整十的加法，又考查了学生对于一百的大小写的认识，10个十=一百；四十七前面的一个数=四十六；七十二前面的第三个数=72-3=69；七十九后面第5个数=79+5=84。

例题二：1.小明拿着20元钱，可能买了哪些东西？花了多少钱？（每件商品只有一个）2.找回多少钱？〖难度〗：4 难度9个梯度，1-3为容易4-6为中档7-9为偏难〖考点〗：题的第一问考查学生100以内数的大小判断、有关钱的计算和两位数和一位数或者两位数的加法；第二问是在第一问的基础上进行考查，考查学生对100以内的数的减法的掌握程度。

〖分析〗：小明手中有20元钱，21元的汽车比20元要贵；18元的洋娃娃比20元少2元，可以购买，但是货架上没有2元或者比两元少的商品，所以只能买一个商品；13元的玩具熊比20元少7元，所以在可以购买玩具熊的同时，可以购买等于或者少于7元的商品，所以7元的相框和13元的玩具熊刚好凑够20元，或者5元的皮球和13元的玩具熊可以一起购买，这是还剩2元，不能再购买其他的商品；7元的相框和5元的玩具熊加一起是12元，比20元少8元，而剩下的8元不能再购买其他的商品。

考研数学的命题特点1. 基础性【例一】极限定义1、lim x →∙是什么？（lim n →∞是什么？）①lim x →∙1）“x →∙”存在六种情形 （1）0x x →00,0,x x εδ∃><-< （2）0x x +→00,0,x x εδ∃><-<（3）0x x -→00,0,x x εδ∃><-<(4) x →∞0,,X x X ∃>> (5) x →+∞0,,X x X ∃>> (6) x →-∞0,,X x X ∃><-2极限趋向的“过程性”——若lim x →∙f(x)∃，则f(x)在x →∙时处处有定义（命题A ⇒B ，则B ⇒A ）故有：若f(x)在x →∙时至少一点无定义，⇒lim x →∙f(x)不存在。

（2016）求0lim x →1sin sin()1sin()x x x x⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】x →∙，xsin(1x)→0x ~0, sinx ~x. 狗~0，sin 狗~狗xsin(1x )→0, xsin(1x )~sin(xsin(1x))故原式=1知道为什么这么做不对吗？来看看正解吧!【正解】当x=π1k ，|k|充分大，xsin(1x )=0。

还记得极限的定义吗？0x →时可以取到0嘛？答案当然是不可以！但是却可以取到除零外任意小的点，例如取x=π1k ，此时xsin(1x )的极限=0。

所以xsin(1x)在时0x →不能叫0→，而叫做无穷小量。

故f(x)= 1sin(sin())1sin()x x x x在x=π1k 处无定义，⇒原极限不∃ ②lim n →∞n →∞只有一种情形，专指n →+∞∃N>0, n>N（注意n 是自然数，没有负的，而且都是整数，所以是离散的） 2、极限定义 ①函数极限的定义 若0lim x x →f(x)=A ⇔∀ε>0, ∃δ>0,当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε②数列极限的定义。

专题10 几何初步（知识大串讲）【知识点梳理】考点1：认识平面图形和立体图形、图形分类⑴几何图形：几何图形是数学研究的主要对象之一。

几物体的形状、大小和位置关系是何研究的内容。

像长方体、圆柱、球、长方形、正方形、圆、线段、点、三角形、梯形……它们都是几何图形。

⑵立体图形：有些几何体（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）各个部分都不在同一平面内，它们是立体图形。

⑶平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。

考点2：立体图形的展开图立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。

这样的平面图形称为立体图形的展开图。

如正方体的展开图有如下几种情况：中间四个面，上下各一面:中间三个面，一二隔河见:中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线:考点3：点、线、面、体。

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

点动成线，线动成面，面动成体。

【典例分析】【考点1 认识平面图形和立体图形、图形分类】1．如图，该几何体的截面形状是（）A．三角形B．长方形C．圆形D．五边形【答案】B【解答】解：观察图形，截面与底面平行，得到截面形状是长方形．故选：B．2．如图的图形绕虚线旋转一周，可以得到的几何体是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如上图的图形绕虚线旋转一周，可以得到的几何体是，故选：C．3．下列平面图形绕轴旋转一周，可得到如图几何体的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：观察可以看出只有选项C符合题意．故选：C．4．下列立体图形中，各面不都是平面图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、四棱锥由四个平面组成，故此选项不符合题意；B、圆锥由一个平面和一个曲面组成，故此选项符合题意；C、六棱柱由八个平面组成，故此选项不符合题意；D、三棱柱由五个平面组成，故此选项不符合题意；故选：B．5．下列图形旋转一周，能得到如图几何体的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、将图形绕直线旋转一周，能得到如上图的几何体，故A符合题意；B、将图形绕直线旋转一周，不能得到如上图的几何体，故B不符合题意；C、将图形绕直线旋转一周，不能得到如上图的几何体，故C不符合题意；D、将图形绕直线旋转一周，不能得到如上图的几何体，故D不符合题意；故选：A．6．我们知道，圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周得到的，下列绕着直线旋转一周能得到下图的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A．绕着直线旋转一周能得到上图所示的几何体，故A符合题意；B．绕着直线旋转一周不能得到上图所示的几何体，故B不符合题意；C．绕着直线旋转一周不能得到上图所示的几何体，故C不符合题意；D．绕着直线旋转一周不能得到上图所示的几何体，故D不符合题意；故选：A．7．某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为acm的正方形纸板制作出如图所示的无盖长方体盒子，制作过程如下：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为bcm的小正方形，再沿虚线折合起来．则该无盖长方体盒子的体积可以表示为（）A．b（a﹣b）2cm3B．b（a﹣b）2cm3C．b（a﹣2b）2cm3D．b（a﹣2b）2cm3【答案】D【解答】解：由题意得，这个长方体的底面是边长为（a﹣2b）的正方形，高为b，所以体积为（a﹣2b）（a﹣2b）×b＝b（a﹣2b）2（cm3），故选：D．8．下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（）A．5B．4C．3D．2【答案】A【解答】解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得，2a＝5b，2c＝3b，即a＝b，c＝b，∴3a＝b，5c＝b，即3a＝5c，∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5，故选：A．9．有一种用于海水养殖的网箱，单体是一个无盖的长方体，它的侧面和底面用网布缝制，长，宽，高分别为a，b，c（如图1所示），如果按照图2所示的方式连续制作n个网箱（相邻网箱间只用一层网布隔断），那么这几个网箱网布的总面积为（）A．bc+n（ab+bc+2ac）B．2n（ab+bc+ac）C．n（ab+2bc+2ac）D．bc+n（ab+2bc+2ac）【答案】A【解答】解：一个长方体的网布总面积为：ab+2ac+2bc．两个连在一起的网布总面积为：2ab+3bc+4ac＝bc+2（ab+bc+2ac）．三个连在一起的网布总面积为：3ab+4bc+6ac＝bc+3（ab+bc+2ac）．依此类推，n个连在一起的网布总面积为：bc+n（ab+bc+2ac）．故选：A．10．有一个正方体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是（）A．5B．3C．4D．2【答案】B【解答】解：由图可知：3和4相对，2和5相对，1和6相对，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，骰子朝下一面的点数依次为2，3，5，4，且依次循环，∵2022÷4＝505......2，∴滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是：3，故选：B．【考点2 立体图形的展开图】11．一个正方体盒子的每个面上都写了一个字，其平面展开图如图所示，那么在这个正方体盒子的表面上，与“喜”相对的字是（）A．建B．党C．百D．年【答案】C【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“喜”与“百”是对面，故选：C．12．下列图形，能折叠成圆锥的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A．是圆柱的展开图，故本选项不合题意；B．是五棱柱的展开图，故本选项不合题意；C．是圆锥的展开图，故本选项符合题意；D．是三棱柱的展开图，故本选项不合题意．故选：C．13．如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，有“喜”字一面的对面上的字是（）A．我B．欢C．数D．学【答案】C【解答】解：有“喜”字一面的对面上的字是：数．故选：C．14．如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：侧面为3个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．故选：B15．如图是某一正方体的平面展开图，则该正方体是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由正方体的展开图可知，两个圆是相对的面，故选项A、B不合题意；没有阴影的圆与直角三角形的直角相邻，故选项C不合题意；选项D符合该正方体的平面展开图，故选：D．16．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．故选：D．【考点3 点、线、面、体】17．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（）A．点动成线，线动成面B．线动成面，面动成体C．点动成线，面动成体D．点动成面，面动成线【答案】A【解答】解：“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为：点动成线，线动成面，故选：A．18．“汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面”可以说是（）A．面与面交于线B．点动成线C．面动成体D．线动成面【答案】D【解答】解：汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，是运用了线动成面的原理，故选：D．19．在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，把该图形沿着直线AB所在直线旋转一周，所围成的几何体的体积是（）A．4πB．6πC．12πD．18π【答案】C【解答】解：如图：该图形沿着直线AB所在直线旋转一周，AB＝3，BC＝2，所围成的几何体的体积是V＝πBC2×AB＝π×22×3＝12π．故选：C．20．角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的，这体现了（）A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．线线相交得点【答案】B【解答】解：角可以看成是由一条射线绕着它的点旋转而成的，这体现了：线动成面，故选：B．。