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过圆锥曲线上定点和斜率和积为定值直线，则直线过定点（一）一般性推论：过圆锥曲线上一定点产生的两条直线斜率和积为定，则另外两点的连线过定点。
数学表达：若点定一上线曲锥圆为点定过线直值定者或值定⎩⎨⇒⎧∙=+=P k k k k PA PB PA PB AB点定一上线曲锥圆为值定者或值定点定过线直⎩⎨⇒∙=+=⎧P k k k k PA PB PA PB AB 其次法的使用要点：“齐次”即次数相等的意思，例如=++x cy f ax bxy 22)(称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x )(中每一项都是关于x 、y 的二次项。
当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，注意此处因为是在y 同侧进行加减，故为“上减下加”，而我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。
例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，可将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为+=mx ny 1（为什么这样设？因为这样齐次化能更加方便解题），与圆锥曲线方程联立，一次项乘以+mx ny ，常数项乘以+mx ny 2)(，构造++=ay bxy cx 022，然后等式两边同时除以x 2（前面注明x 不等于0），得到⎝⎭⎪++=⎛⎫x x a b c y y 02，化简为++=ak bk c 02，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在就如何反平移回去。
解题的方法步骤为： （1）平移直线； （2）联立方程并齐次化； （3）同除x 2：（4）利用韦达定理证明，如果过定点，还需要还原直线。
优点；大大减小了计算量，提高准确率，缺点：+=mx ny 1不能表示过原点的直线。
一． 构造法解整式问题在抛物线中的应用引题：证明：已知直线l 与抛物线 ２ｐ （ｐ＞０，ｐ为常数）交于点A ，B 两点，若OA ⊥OB,则直线l 恒过定点（2p,0）设,B(x ,y )）x ,y （A 1122，⊥⇒∙=∙=-x x OA OB k k y y OA OB 11212设AB 直线方程为+=mx ny 1（截距式的变形式可以表示任意直线，该种设法可以利用１的妙用，快速制作齐次式）联立⎩=⎨⎧+=y pxmx ny 212第一步：构造齐次式-∙+=⇒--=y px ny pnxy pmx 2(mx )0y 220222易知A ，B 两点不与O 点重合，所以ｘ ０令则==y p 0,x 2，所以直线过定点(2p,0) 常规证明方法（略）例1：（2017•新课标Ⅰ文）设A ，B 为曲线C ：y ＝上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．第一步：平移抛物线，将抛物线沿→M O 方向平移，及左移２个单位，下移１个单位，及抛物线方程变为=+-y 4(x 2)112化简得+-x x 42联立方程=0⎩⎧+=-⎨-y y mx m x x 4142第二步：构造齐次式--∙-=⇒+-+=x mxy my 4(x y)m(x y)0(14m)x 840222，第四步平移回去：右２，上１，=-++=+y x x 28171．（2020春•江西月考）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（1，﹣2）作直线交抛物线E于另一点N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为1，求线段|MN|的长；（Ⅱ）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．题型拓展：２．（2021•齐齐哈尔一模）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．（1）求抛物线C1的方程；（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN．求证：直线MN过定点．斜率和积为定值，直线过定点问题在椭圆中的数学模型建立k k PA PB ⋅=定值或者k k PA PB +=定值，直线过定点，P 点坐标之间的转化证明 将椭圆C 按向量--x y ,00)(平移得椭圆C x x ay y b'+++=2222:001)()(又点P x y ,00)(在椭圆xa yb+=22221上，所以x a y b +=2222001，代入上式得+++=a b a b x y x y x y 022********①。
第09讲 圆锥曲线中的定点、定值问题考点25 直接推理法求定点【常用方法】直接推理法求定点的一般步骤(1)一选(设参)：选择变量，定点问题中的定点，不随某一个量的变化而变化，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．(2)二求(用参)：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程． (3)三定点(消参)：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． 【典例分析25】1、已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32 ，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，△F 1PF 2面积的最大值为3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点A (4，0)作关于x 轴对称的两条不同的直线l 1和l 2，l 1交椭圆于M (x 1，y 1)，l 2交椭圆于N (x 1，y 2)，且x 1≠x 2，证明直线MN 过定点，并求出该定点坐标．考点26 逆推法求定点【常用方法】证明直线或曲线过某一定点(定点坐标已知)，可把要证明的结论当条件，逆推上去，若得到使已知条件成立的结论，则证明了直线或曲线过定点． 【典例分析26】2、设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22 ＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2 NM → ．(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP → ·PQ →＝1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3、如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切，其中a >1.(1)求椭圆的方程；(2)不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且AP ⊥AQ ，证明：动直线l 过定点，并且求出该定点坐标．考点27 变量法求定值【常用方法】求解定值问题常用的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【典例分析27】1、已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，离心率为12 ，点D )23,1(是椭圆C 上一点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过椭圆C 的右焦点F 2且与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线x ＝4分别交于点M ，N ．求证：M ，N 两点的纵坐标之积为定值．2、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过椭圆左焦点F 的直线x －43y ＋3＝0与椭圆C 在第一象限交于点M ，三角形MFO 的面积为34. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 作直线l 垂直于x 轴，直线MA 、MB 交椭圆分别于A 、B 两点，且两直线关于直线l 对称，求证：直线AB 的斜率为定值．。
2020上学期期末复习专题1 圆锥曲线的定点、定值问题（教师版）一．知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 3．定点问题(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k )；②利用条件找到k 与过定点的曲线F (x ，y )＝0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.4.定值问题(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.二．题型归纳题型1 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定点问题【例1-1】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线2y ＝2px (p >0)的焦点坐标为F (1，0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为2y ＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t ,42，B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-t t ,42. 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以214422-=-⋅t t t t ，化简得2t ＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A ()A A ,y x ，B ()B B ,y x ，联立⎩⎨⎧+==bkx y x y 42，消去x ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.所以B A y y ＝4bk ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以21-=⋅B B A A x y x y ，整理得B A x x ＋2B A y y ＝0.即024422=+⋅B A B A y y yy ，解得B A y y ＝0(舍去)或B A y y ＝－32.所以B A y y ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．【跟踪训练1-1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【解】(1)由题意得，c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0. ∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-530，.【总结归纳】定点问题实质及求解步骤解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：题型2 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题【例2-1】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM 2=(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1,0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1,0)作与l 1垂直的直线l 2与 点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．[解] (1)设P(x ，y)，M(x 0，y 0)，则N(x 0,0)．∵NP ―→＝ 2 NM ―→，∴(x －x 0，y)＝2(0，y 0)，∴x 0＝x ，y 0＝y 2.又点M 在椭圆上，∴142922=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，即x 29＋y 28＝1.∴点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：由(1)知F 为椭圆x 29＋y 28＝1的右焦点，当直线l 1与x 轴重合时，|AB|＝6，|CD|＝2b 2a ＝163，∴1|AB|＋1|CD|＝1748.当直线l 1与x 轴垂直时，|AB|＝163，|CD|＝6，∴1|AB|＋1|CD|＝1748. 当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)， 则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝k x －1，x 29＋y28＝1消去y ，得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，则Δ＝(－18k 2)2－4(8＋9k 2)(9k 2－72)＝2 304(k 2＋1)>0， x 1＋x 2＝18k 28＋9k 2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，∴|AB|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝481＋k 28＋9k 2.同理可得|CD|＝481＋k 29＋8k 2.∴1|AB|＋1|CD|＝8＋9k 248k 2＋1＋9＋8k 248k 2＋1＝1748.综上可得1|AB|＋1|CD|为定值． 【跟踪训练2-1】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为定值，并求出该定值．【解】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一：设D (x 0,0)，M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，－2<x 0<2，所以k AM ＝y 0x 0＋2，因为AM ⊥DE ，所以k DE ＝－2＋x 0y 0，所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0y 0(x －x 0)． 因为k BN ＝－y 0x 0－2，所以直线BN 的方程为y ＝－y 0x 0－2(x －2)．由⎩⎨⎧y ＝－2＋x0y(x －x 0)，y ＝－y0x 0－2(x －2)，解得E ⎝⎛⎭⎫45x 0＋25，－45y 0， 所以S △BDE S △BDN ＝12|BD |·|y E |12|BD |·|y N |＝⎪⎪⎪⎪－45y 0|－y 0|＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.法二：设M (2cos θ，sin θ)(θ≠k π，k ∈Z )，则D (2cos θ，0)，N (2cos θ，－sin θ)， 设BE ―→＝λBN ―→，则DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝DB ―→＋λBN ―→＝(2－2cos θ，0)＋λ(2cos θ－2，－sin θ) ＝(2－2cos θ＋2λcos θ－2λ，－λsin θ)．又AM ―→＝(2cos θ＋2，sin θ)，由AM ―→⊥DE ―→，得AM ―→·DE ―→＝0，从而[(2－2cos θ)＋λ(2cos θ－2)](2cos θ＋2)－λsin 2θ＝0，整理得4sin 2θ－4λsin 2θ－λsin 2θ＝0， 即5λsin 2θ＝4sin 2θ.，所以λ＝45，所以S △BDE S △BDN ＝|BE ||BN |＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.【总结归纳】定值问题实质及求解步骤定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题．其求解步骤一般为：题型三 探索性问题例3.已知圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)． (1) 求圆M 的方程；(2) 设P 为圆M 上任一点，过点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引切线，切点为Q .试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR 为定值．若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：(1) 因为圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)， 所以设圆心坐标为(m,2m －6)，半径为r ， 则圆的标准方程为(x －m )2＋(y －2m ＋6)2＝r 2.则(1－m )2＋(2－2m ＋6)2＝r 2且(4－m )2＋(－1－2m ＋6)2＝r 2， 即(m －1)2＋(8－2m )2＝r 2且(m －4)2＋(5－2m )2＝r 2， 解得m ＝4，r ＝3.所以圆M ：(x －4)2＋(y －2)2＝9.(2) 设P (x ，y )，R (a ，b )，则(x －4)2＋(y －2)2＝9，即x 2＋y 2＝8x ＋4y －11. 又PQ 2＝x 2＋y 2－1，PR 2＝(x －a )2＋(y －b )2＝x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2， 故PQ 2＝8x ＋4y －12，PR 2＝(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11.又设PQPR ＝t 为定值，故8x ＋4y －12＝t 2[(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11]． 因为上式对圆M 上任意点P (x ，y )都成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧8＝(8－2a )t 2，4＝(4－2b )t 2，－12＝(a 2＋b 2－11)t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，b 1＝1，t 1＝2或⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a 2＝25，b 2＝15，t 2＝103.综上，存在点R (2,1)或R ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，15满足题意．跟踪训练3：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为32. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝32，1a 2＋34b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2) 以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点M (2,0)．由题意可知直线AM 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 1x 1－2. 直线BM 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，故点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 2x 2－2. 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点N (x 0,0)，则等价于PN →·QN →＝0恒成立．又因为PN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 1x 1－2，QN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 2x 2－2，所以PN →·QN →＝x 20＋2y 1x 1－2·2y 2x 2－2＝x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝0恒成立． 又因为(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝4k 2－41＋4k 2－28k 21＋4k 2＋4＝4k 21＋4k 2，y 1y 2＝k (x 1－1)k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k2－41＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k2，所以x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝x 20＋－12k 21＋4k 24k 21＋4k 2＝x 20－3＝0，解得x 0＝±3. 故以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(±3，0)．圆锥曲线定点定值问题作业1. 如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)． (1) 求点A ，B 所在的曲线L 的方程；(2) 过L 上点C (－2,0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l ∥OA .求证：CD ·CEOA 2为定值．解析：(1) 因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8，所以A ，B 两点到M ，N 的距离之和均为4>23，可知所求曲线为椭圆． 由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1.曲线L 的方程为x24＋y 2＝1(y ≠0)．(2) 由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 因为点C (－2,0)在曲线L 上，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－8k 2＋21＋4k2，4k 1＋4k 2，E (0,2k )， 所以CD ＝41＋k 21＋4k2，CE ＝21＋k 2. 因为OA ∥l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线L 的方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4. 所以x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k 21＋4k2，化简得CD ·CE OA 2＝2，所以CD ·CE OA 2为定值．说明：本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴是短轴的两倍，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．不过原点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2恰好构成等比数列． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 试判断OA 2＋OB 2是否为定值．若是，求出这个值；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.此时Δ＝16(2－m 2)>0，即m ∈(－2，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝±2m ，x 1x 2＝2m 2－2.又OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝34(x 21＋x 22)＋2＝34[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2＝5， 所以OA 2＋OB 2是定值，且为5.3.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 作斜率k ＝－1的直线交椭圆于A ，B 两点，且OA →＋OB →与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线．(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，证明：m 2＋n 2为定值． 解 (1)设AB ：y ＝－x ＋c ，直线AB 交椭圆于两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b2y ＝－x ＋c⇒b 2x 2＋a 2(－x ＋c )2＝a 2b 2，(b 2＋a 2)x 2－2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0x 1＋x 2＝2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2， OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线，3(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＝0,3(－x 1＋c －x 2＋c )－(x 1＋x 2)＝0，即 x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝3b 2，c ＝a 2－b 2＝6a 3，e ＝c a ＝63.(2)证明：a 2＝3b 2，椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，设M (x ，y )为椭圆上任意一点，OM →＝(x ，y )，OM →＝mOA →＋nOB →，(x ，y )＝(mx 1＋nx 2，my 1＋ny 2)，点M (x ，y )在椭圆上，(mx 1＋nx 2)2＋3(my 1＋ny 2)2＝3b 2，即m 2(x 21＋3y 21)＋n 2(x 22＋3y 22)＋2mn (x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. ∴x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝32c 2，b 2＝12c 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2＝38c 2，∴x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(－x 1＋c )(－x 2＋c )＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0，将x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2代入得 3b 2m 2＋3b 2n 2＝3b 2，即m 2＋n 2＝1.3.在直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M (1,3)的直线与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，交直线y ＝－14x 于点N ，若NA →＝mAM →，NB →＝nBM →，求证：m ＋n 为定值，并求出此定值. 解 (1)因为长轴长为8，所以2a ＝8，a ＝4， 又因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形， 所以b ＝32a ＝23，由于椭圆焦点在x 轴上， 所以椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N ⎝⎛⎭⎫x 0，－14x 0， 由NA →＝mAM →，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 0，y 1＋14x 0＝m (1－x 1，3－y 1)，所以x 1＝m ＋x 0m ＋1，y 1＝3m －14x 0m ＋1，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋x 0m ＋1，3m －14x 0m ＋1， 因为点A 在椭圆x 216＋y 212＝1上，所以得到⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 0m ＋1216＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m －14x 0m ＋1212＝1，得到9m 2＋96m ＋48－134x 20＝0；同理，由NB →＝nBM →，可得9n 2＋96n ＋48－134x 20＝0， 所以m ，n 可看作是关于x 的方程9x 2＋96x ＋48－134x 20＝0的两个根， 所以m ＋n ＝－969＝－323，为定值.4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，－3)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线l 上存在点P 满足PM ·PN ＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．解析：(1) 设椭圆的焦距为2c .由椭圆经过点(0，－3)得b ＝ 3. ①由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a ＋c ＝a 2c －c . ② 又a 2＝b 2＋c 2， ③由①②③可得a ＝2，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2) 法一：当直线l 的斜率为0时，则M (2,0)，N (－2,0)，设P (x 0，y 0)，则PM ·PN ＝|(x 0－2)(x 0＋2)|.因为点P 在椭圆外，所以x 0－2，x 0＋2同号，又PF 2＝(x 0－1)2，所以|(x 0－2)(x 0＋2)|＝(x 0－1)2，解得x 0＝52. 当直线l 的斜率不为0时，因为y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，PM ＝1＋m 2|y 1－y 0|，PN ＝1＋m 2|y 2－y 0|，PF ＝1＋m 2|y 0|.因为点P 在椭圆外，所以y 1－y 0，y 2－y 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋m 2)(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝(1＋m 2)[y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20]＝(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4， 代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4＝(1＋m 2)y 20，整理得y 0＝32m ，代入直线方程得x 0＝52.所以点P 在定直线x ＝52上．法二：当直线l ⊥x 轴，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则PM ·PN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0－32⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋32.又PF 2＝y 20，所以PM ·PN ＝PF 2不成立，不合题意． 当直线l 与x 轴不垂直时，设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，与椭圆x 24＋y 23＝1联立并消去y 得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为Δ＝64k 4－4(3＋4k 2)(4k 2－12)＝16k 4＋108k 2＋108>0， 所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以PM ＝1＋k 2|x 1－x 0|，PN ＝1＋k 2|x 2－x 0|，PF ＝1＋k 2|x 0－1|. 因为点P 在椭圆外，所以x 1－x 0，x 2－x 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋k 2)(x 1－x 0)(x 2－x 0)＝(1＋k 2)[x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20] ＝(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2.代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝(1＋k 2)(x 20)(x 20－2x 0＋1)， 整理得x 0＝52，所以点P 在定直线x ＝52上．。
圆锥曲线中的定点、定值问题
1、几个常见的定点模型
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,
以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.
同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.
(2)对于双曲线上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,对于左顶点,则定点为.
(3)对于抛物线上异于顶点的两动点,,
若,则弦所在直线过点.
同理,抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点.
2、几个常见的定值模型
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点(非顶点)与曲线上的两动点,满足直线与的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线的斜率为定值.
（1）在椭圆中：已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线，的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
（2）在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率.
（3）在抛物线：，定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
3、解题导语
解决定点、定值问题的关键是检测数学运算的能力，所以只
要细致、耐心的计算就可以得到答案。
又因为此种问题找得分点比较容易，所以千万不要放弃。
