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高等数学函数展开成幂级数

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高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式

高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式

n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n
1 ( 2 n1)!
x 2n1
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式 及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例3. 将 f ( x) cos x 展开成为关于x 的幂级数. 解：由于
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
例6. 求
的麦克劳林级数.
解: sin2 x 1 1 cos 2x 22
1 1 (1)n 1
2 2 n0
( 2n) !
x (, )
1 (1)n
4n
x 2n (1)n1
4n
x 2n
2 n1
( 2n) !
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
两个待解决的问题 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
泰勒公式
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(
x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x n!
所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为

高等数学第五节 函数幂级数展开

高等数学第五节 函数幂级数展开

f(x) f(0) f(0)x f(0) x2 f(n)(0) xn
2!
n!
rn(x). ②
rn(x)f((n n 1 )(1 )x!)xn1 (0θ1).
②式称为麦克劳林公式 . 幂级数
f()0 f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n ,
rn(x)(n e( θx 1))!xn1 (0θ1),
且 x ≤ x x , 所以eθx ex , 因而有
rn(x)(n e x 1)!xn1(ne x1)!xn1.
注意到，对任一确定的 x 值， e x 是一个确定
的常数 . 而级数 ⑥ 是绝对收敛的，因此其一
例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
解 由 f(n )(x)ex(n1,2,3, ), 可以
得到
f(0 ) f(0 ) f(0 ) f(n )(0 ) 1 .
因此我们可以得到幂级数
1x1x2 1xn .
⑥
2!
n!
显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) . 至 于 数 ⑥ 是 否 f(x)以 ex为 和 ,收 函 敛 f数 (x 于 )ex, 还要考察函f(x数)ex 的麦克劳林公式中 项, 因为
所以 f(x) 1 1 1x 2x
(1xx2 xn )
1[1x(x)2 (x)n ]
2 22
2
1 2 2 2 2 21x 2 3 2 31x 2 2 n 2 n 1 11x n .
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应
取较小的一个，故 R = 1，因此所得幂级数的收 敛区间为 1 < x < 1 .
例7
幂级数. 解

高等数学(四)12-函数的幂级数展开式的应用-微分方程的幂级数解法、欧拉公式

高等数学(四)12-函数的幂级数展开式的应用-微分方程的幂级数解法、欧拉公式

n
n!
绝对收敛,
因此级数 1 zn 在整个复平面上是绝对收敛的.
n0 n! ez
1 xn ex
n0 n!
定义 ez 1 z 1 z2 1 zn
2!
n!
当 x 0 时， z 为纯虚数 yi ，
( z )
e yi 1 yi 1 ( yi)2 1 ( yi)3 1 ( yi)n
n2
n2
2a2
3
2a3 x
(4
3a4
1)x 2
(5
4a
a
)x 3
5
2
(6 5a a )x4 63
(n 2)(n 1)an2 an1 xn+
0. y xy 0
a2 0 , a3 0 , a4
1 43
,
a5
0
,
a6
0
,
,
一般地
an 2
(n
an1 2)(n
1)
(n 3, 4,
un
u2 n
vn2
,
vn
u2 n
vn2
(
n 1, 2,
)
则级数 un 、 vn 绝对收敛，
n1
n1
从而级数 (un vni) 绝对收敛.
n1
复数项级数 1 z 1 z2 1 zn (z x yi) ,
2!
n!
1
x2 y2 1
x2 y2
2
2!
1
x2 y2
2!
3!
n!
1 yi 1 y2 1 y3i 1 y4 1 y5i 2 3! 4! 5!
(1 1 y2 1 y4 ) (y 1 y3 1 y5 )i

高等数学-函数展开成幂级数.ppt

高等数学-函数展开成幂级数.ppt
解
因此
将
待解决的问题 :
若函数
的某邻域内具有任意阶导数,
为f (x) 的
泰勒级数 .
麦克劳林级数 .
定理1
各阶导数,
则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件是
f (x) 的泰勒公式余项满足:
证明
令
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
定理2
若 f (x) 能展成 x 的幂级数,
定义且连续,
域为
利用此题可得
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 ,
所以展开式对 x ＝1 也是成立的,
于是收敛
将函数
例6
展成
解
的幂级数.
将
例7
展成 x－1 的幂级数.
解
将
内容小结
1. 函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法
— 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法
— 利用幂级数的性质及已知展开
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内
是否为
骤如下 :
展开方法
直接展开法
— 利用泰勒公式
间接展开法
— 利用已知其级数展开式
0.
的函数展开
例1
展开成 x 的幂级数.
解
其收敛半径为
对任何有限数 x , 其余项满足
故
( 在0与x 之间)
故得级数
将函数
例2
展开成 x 的幂级数.
解
得级数:
由此得
二项展开式 .
二项式定理.
就是代数学中的
对应
的二项展开式分别为
例3 附注
2. 间接展开法

高等数学重要公式(必记)

高等数学重要公式(必记)

高等数学重要公式（必记）一、导数公式：二、基本积分表：三、三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-C ax a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：四、三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

高等数学第五节 函数幂级数展开-PPT文档资料

高等数学第五节 函数幂级数展开-PPT文档资料
即
f ( 0 ) 2 S (x )f( 0 )f ( 0 )x x n 1 2 ! ) f(n ( 0 ) n x. n !
那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
lim S ( x ) f ( x ) . n 1
n
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关为泰勒公式 .
如果令 x 0 , 就得到 0
f (0 ) 2 f (n)(0 ) n f (x ) f (0 ) f (0 )x x x 2 ! n ! r ). n(x ②
( n 1 ) f ( x )n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) . n ( n 1 )!
( 0 ) 1 , , ( 0 ) 0 ,f f( 0 )0, f( 0 ) 1 , f
n 1 ) n ( 0 ) ( 1 ) . f(2n)( 0 )0, f(2
于是可以得到幂级数
2 n 1 1 3 15 x n x x x ( 1 ) , 3 ! 5 ! ( 2 n 1 )!
称为泰勒级数 .
二、 直接展开法
利用麦克劳林公式将函数 f(x 展开成幂级数
的方法，称为直接展开法 .
例1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
( n ) x 解 由 f ( x ) e( n 1 , 2 , 3 , ) , 可以
得到
( n ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 1 .
( θ x ) e n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) , n ( n 1 )!
且 x≤
x θx x x , 所以 e e , 因而有

高等数学第五节_函数展开成幂级数


2
n
1 1 x x 2 . .(. 1 )n x n , x(1,1). 1 x
例3 将函f数 (x)ex展开为麦克劳 . 林级数
解 已知
e x 1x1x2 1xn ,x(, ).
2 !
n !
将 x 换成 –x ,得：
e x 1 x 1 x 2 1 x 3 （ 1 ） n 1 x n ,
ex2
1 x 2 1 x 4 1 x 2 n , x (, )
2 !
n !
x3ex2 x 3 x 5 1 x 7 1 x 2 n 3 , x ( , ) 2 ! n !
思考题 将 f(x)x1在 x1处展开成泰勒级 4x
(展开 x1的 成幂 )并 ,级f求 (n 数 )(1).
(2n)!
x( , )
例5 将函 f(x 数 )arctxa展 n开为麦克 . 劳林 解 已知 1 1 x x 2 . .(. 1 )n x n ,x(1,1).
1 x 将x换成 x2,得1 1 x 2 1 x 2 x 4 . .( . 1 )n x 2 n ,
两边积分，得 0x11x2dx0xdx0xx2dx0xx4dx...
解
1 1 4x 3(x1)
3(1
1 x
1)
,
3
1 [ 1 x 1 (x 1 )2 (x 1 )n ]
33 3
3
x13
x1(x1) 1
4x
4x
1 3 (x 1 ) (x 3 2 1 )2 (x 3 3 1 )3 (x 3 n 1 )n
x13
于是f (n)(1) n!
(1)n0xx2ndx,
即arctxa nx 1 x 3 1 x 5 . .( . 1 )n x 2 n 1 ,

高等数学11-4函数展开成幂级数


1,
R 1,
牛顿二项式展开式
(1 x )

1 x
( 1) 2!
x
2
( 1)( n 1) n!
的取值有关
( 1 ,1 );
x
n
注意:
在 x 1 处收敛性与
1
收敛域为
. x (1,1)
1 1
i
R n ( x ) f ( x ) s n 1 ( x ), lim s n 1 ( x ) f ( x )
n
lim R n ( x ) lim [ f ( x ) s n 1 ( x )] 0 ;
n n
充分性
n
f ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),
条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) 0 .
n
( f (x) =它的泰勒级数 证明
f (x)
f (x) 的泰勒公式中的余项趋于0)
,
必要性 设 f ( x )能展开为泰勒级数

i0
n
f
(i)
( x0 )
i!
( x x 0 ) R n ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),

n0

f
(n)
( x0 )
n!
f
(n)
( x x 0 ) 称为 f ( x ) 在点 x 0 的泰勒级数.
n

n0

(0)
x 称为 f ( x ) 的麦克劳林级数.
n
n!
问题
f ( x)

高等数学2017年最新课件函数转换成幂级数

直接法：具体步骤如下：
（i） 求f(x)的各阶导数。 （ii） 求f(x)的各阶导数在x=0（x=x0)处的值。 （iii） 写出f(x)所对应的幂级数：
(n) f ( 0) 2 f ( 0) n f ( 0 ) f ( 0 ) x x x 2! n!
并求出其收敛半径R。
（iv）在（ R,R）内考察： 若为零，则在（ R,R）内有
lim Rn ( x )是否为零。
n
f (0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x x x 2! n!
注: 直接法的缺点：计算量大，余项的研究往往很困难。
所以
1 1 n 1 f ( x) 2 （ 1）( n 2 n )( x 1) n x 4 x 3 n 0 2 2 1 x 3
则Pn(x)的项可无限增加而得一幂级数：
f (n) ( x0 ) ( x x 0 ) n ( 3) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) n!
幂级数（3）称为函数f(x)的泰勒级数。
问题： 1）此级数是否收敛？ 2）若收敛，和函数是否为f(x)?
1 例7 将f ( x ) 2 展开成x 1的幂级数 x 4x 3
1 1 解 因为f ( x ) 2 x 4 x 3 ( x 1)( x 3)
1 1 2(1 x ) 2( 3 x )
1 1 x 1 x 1 4(1 ) 8(1 ) 2 4
2 间接法： （理论依据：展开式的唯一性） （i）利用一些已知函数的幂级数展开式。 （ii）利用幂级数的运算（四则，逐项求导，逐项积分）。 （iii）变量代换。

11-3(2) 函数展开成幂级数

函数展开成幂级数
河海大学理学院《高等数学》
一、泰勒级数
f ( x)
n 0 n a ( x x ) n 0
问题 1.如果能展开, an是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
河海大学理学院《高等数学》
定理 如果函数 f (x) 在 U ( x0 ) 内具有任 意阶导数, 且在 U ( x0 ) 内能展开成 ( x x0 )
x
河海大学理学院《高等数学》
余和:
1 1 1 1 rn (1 ) ( n 1)! ( n 2)! ( n 1)! n 2 1 1 1 1 (1 ) 2 ( n 1)! n 1 ( n 1) n n! 1 5 10 5 , 欲使 rn 10 , 只要 n n!
ix
河海大学理学院《高等数学》
的幂级数,即 f ( x)
则其系数 1 ( n) a n f ( x0 ) n! 且展开式是唯一的.
n 0
a n ( x x0 )

n
( n 0,1,2,)
河海大学理学院《高等数学》
定义 如果 f (x) 在点x0处任意阶可导, 则幂级数

f
( n)
n 0
( x0 ) ( x x0 )n 称为 f (x) n!
河海大学理学院《高等数学》
x 例 将f ( x ) 2 展开成x的幂级数. x x2 d ex 1 例 展开 ( ) 为 x 的幂级数. dx x 1 例 将f ( x ) 2 展开成( x 1)的幂级数.
x 3x 2 n 1 1 ( n) n2 求f (1), 并求 ( 1) 的和 . 2 n 3 2 n 1
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n!
f x0
( x0 2!
)
(
x
x0
)n Rn (x)
)2
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,其中
Rn (x)
f
(n1) (
(n 1)!
)
(
x
x0
)
n1
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
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若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f (x0 )
为任意常数 .
解: 易求出 f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1) ,
f (n) (0) m(m 1)(m 2) (m n 1) ,
于是得 级数 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1) (m n 1) xn n!
由于 R lim an lim n 1 1 n an1 n m n
则
f (x) a1 2a2x nan xn1 ;
a0 f (0) a1 f (0)
f (x) 2!a2 n(n 1)an xn2 ;
a2
1 2!
f
(0)
f (n) (x) n!an ;
an
1 n!
f
(n) (0)
显然结论成立 .
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二、函数展开成幂级数
2!
m(m 1) (m n 1) xn x (1, 1) n!
当 m = –1 时
1 1 x
1 x
x2
x3
(1)n xn
,
x (1, 1)
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思考与练习
1. 函数 数” 有何不同 ?
处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰 勒级
提示: 后者必需证明 lim R 直接展开法 — 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 .
2. 常用函数的幂级数展开式
• ex 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
x (, )
•
ln(1 x) x 1 x2 2
1 x3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x (1, 1]
称为二项展开式 . 说明： (1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.
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对应
m
1 2
,
1 2
,1
的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
n
2. 如何求
的幂级数 ?
提示:
y 1 1 cos 2x 22
1 2
1 2
(1)n
n0
1 (2n)!
1 (1)n 4n x2n ,
2 n1
(2n)!
x (, )
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作业 P223 2 (2) , (3) , (5) , (6) ;
3 (2) ; 4 ; 6
R)
内
lim
n
Rn
(
x)
是否为
0.
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例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) (x) ex , f (n) (0) 1 (n 0,1, ), 故得级数
1
x 1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
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2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
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备用题 1. 将下列函数展开成 x 的幂级数
解:
(1)n x2n , x (1,1)
n0
(1)n
x
x
2n
d
x
(1)n x2n1
0 n0
n0 2n 1
x＝±1 时, 此级数条件收敛, f (0) ,因此
4
f (x) (1)n x2n1, x [1, 1] 4 n02n 1
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F(x),1 x 1 则 F(x) 1 m x m(m 1) x2
2! m(m 1) (m n 1) xn n!
F(x) m 1 m 1 x (m 1) (m n 1) xn1
例4. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: 因为
1 1 x x2 (1)n xn 1 x 把 x 换成 x2 , 得
(1 x 1)
1 1 x2
1 x2
x4
(1)n x2n (1
x 1)
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例5. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
f (x) 1 1 x
(1)n xn
(k 0, 1, 2, )
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
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n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 区间为
利用此题可得
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f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
为f (x) 的泰勒级数 .
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
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直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开
1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数 f (x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;
第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步
判别在收敛区间(－R,
例6. 将
展成
的幂级数.
解:
sin
x
sin
4
(
x
4
)
sin
4
cos(
x
4
)
cos
4
sin(
x
4
)
1 2
cos(
x
4
)
sin(x
4
)
( x
4
)
1 (x 3!
)3
4
1 (x 5!
)5
4
1 1 (x ) 1 (x )2 1 (x )3
2
4 2! 4 3! 4
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第四节
第十一章
函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求和 展开
和函数
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
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一、泰勒 ( Taylor ) 级数
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x
•
ln(1
x)
xln221xn211n13[x13(14 x234)n] xn
(1)n (n321
xxn132)
x (1, 1]
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2. 将
在x = 0处展为幂级数.
解:
2 x 3x2
ln(1
x)
n1
xn n
(1 x)(2 3x) (1 x 1)
ln(1
3 2
x)
(1) n
n1
(
3 2
x)
n
(
2 3
x
32)
n1
因此
f (x) ln 2 xn
n1 n
n1(1n)n1(23 x)n
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n1 1 x2n1