高二数学-南通市启东中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科)

江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分﹒请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．﹒ 1. “为真且q p ”是“为真或q p ”的 ▲ ．条件。

（填充要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要） 答案：充分不必要2.命题“2lg ,-=∈∃x x R x ”的否定是 ▲ ． 答案：2lg ,-≠∈∀x x R x3.已知),1,1(t t t a --=, ),,3(t t b =，则||b a-的最小值 ▲ ． 答案：54.若椭圆11322=++-ky k x 的焦点在x 轴上，则k 的取值范围为 ▲ ． 答案：)1,1(-5. 双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线22222:1x y C a b -=-的离心率分别为1e 和2e ，则221211e e +=▲ ．答案：16. 抛物线2ax y =的准线方程为1=y ，则焦点坐标是 ▲ ． 答案：)1,0(-7.已知)2,1,2(-=a ，)3,3,1(--=b ，),6,13(λ=c ，若向量c b a,,共面，则λ= ▲ ．答案：38.下列命题：① 01,2>+∈∀x R x ； ② 1,2≥∈∀x N x ； ③ 1,3<∈∃x Z x ；④ 3,2=∈∃x Q x ； ⑤ 023,2=+-∈∀x x R x ⑥01,2=+∈∃x R x .其中所有真命题的序号是 ▲ ． 答案：①③9.椭圆125922=+y x 上的一点p 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是 ▲ ．答案：)0,3(或)0,3-(10.在长方体1111D C B A ABCD -中，2,4==BC AB ,61=DD ,则AC 与1BD 所成角的余弦值为 ▲ ． 答案：70703 11. 已知点P 是椭圆22221(0,0)x y a b xy a b+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，则||OM 的取值范围是 ▲ ． 答案：(0,)c 12.下列说法：①函数63ln )(-+=x x x f 的零点只有1个且属于区间)2,1(； ②若关于x的不等式0122>++ax ax 恒成立，则)1,0(∈a ； ③函数x y =的图象与函数x y sin =的图象有3个不同的交点； ④已知函数xxa x f +-=1log )(2为奇函数，则实数a的值为1． 正确的有 ▲ ．（请将你认为正确的说法的序号都写上） 答案：①④13.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率是22，过椭圆上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，且斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称,则12k k ⋅的值为 ▲ ． 答案：21-14.直线02243=+-y x 与抛物线y x 222=和圆21)22(22=-+y x ，从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则CDAB的值为 ▲ ． 答案：161 二、解答题：本大题共6小题，共计90分﹒请在答题．．卡的指定区域内作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤﹒15.（本小题满分14分）已知命题p ：实数m 满足)0(012722><+-a a am m ，命题q ：实数m 满足方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围．解：由)0(012722><+-a a am m ，则a m a 43<< 即命题p ：a m a 43<<由12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上椭圆可得：012>->-m m ，--------------4分 ∴231<<m 即命题q ：231<<m -------------------------------------------------------------------------------8分 由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则p 是q 的充分不必要条件从而有： ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥23413a a ----------------------------------------------------------------------------------12分 ∴8331≤≤a -------------------------------------------------------------------------------------------14分 16.（本小题满分14分）在直角坐标系xOy 中，已知(3,0)A -，B(3,0)，动点(,)C x y ，若直线,AC BC 的斜率,AC BCk k 满足条件49AC BC k k ⋅=-。

f (14) 17 ；记 f1(n) f (n) ， f2 (n) f ( f1(n)) ，…， fk 1(n) f ( fk (n)) ， k N * ，
则 f2016 (8)
.
【答案】 8
考点：归纳推理，周期数列．
14.
设点
A1 ，
A2 分别
为椭圆
C
：
x2 a2
y2 b2 1(a
b
0) 的左右顶点，若在椭圆
．
1 2i
【答案】 i
考点：复数的运算． 3. 女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡
获胜的概率为 0. 65，人机和棋的概率为 0.25 ，那么侯逸凡不输的概率为 ________．
【答案】 0.9 【解析】
试题分析：“侯逸凡不输”包含“侯逸凡获胜”与“人机和棋”两个互斥事件，因此
1 所以 k1＞－ 2.
8k1 (2 k1－ 1)
又 x1＋ x2＝
3＋ 4k21
16k21－16k1－ 8
， x1x2＝
3＋
4
k
2 1
，
因为 P→A·→PB＝ P→M2，
考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．
【名师点睛】直线 l 与圆锥曲线相交于两点 A, B 时，一般都设 A( x1, y1), B( x2 , y2) ，直 线方程为 y kx b ，把直线方程代入圆锥曲线方程得 x 的一元二次方程，由韦达定理
C上
存在异于点 A1， A2 的点 P ，使得 PO PA2 ，其中 O 为坐标原点，则椭圆 C 的离心率
的取值范围是
.
【答案】 (
2 ,1)
2
【解析】

2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．2．（5分）函数y=sin x•cos x的导函数为．3．（5分）函数y=xlnx的单调减区间为．4．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2tx2+t2x在x=2处有极小值，则实数t的值为．5．（5分）函数y=x3+x2+ax在x∈R上单调递增，则实数a的取值范围是．6．（5分）函数y=3x3﹣9x+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值之和是．7．（5分）若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是．8．（5分）已知函数f（x），g（x）满足f（5）=5，f′（5）=3，g（5）=4，g′（5）=1，则函数y=的图象在x=5处的切线方程为．9．（5分）已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．若对于任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，则实数a=．10．（5分）水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，水波面的圆面积的膨胀率是．11．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），．则a，b，c的大小关系是．12．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现作为条件，求若函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣+，则g（）+g（）+g（）+…+g（）=．13．（5分）已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围．14．（5分）设函数f（x）=ax+sin x+cos x．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知矩阵A=（k≠0）的一个特征向量为α=，A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．求实数a，k的值．16．（14分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．17．（14分）已知二阶矩阵A=．（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）设向量=，求A2016．18．（16分）全美职业篮球联赛（NBA）某年度总决赛在雷霆队与迈阿密热火队之间角逐，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，故每场比赛获胜的可能性相等．据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入2000万美元，以后每场比赛门票收入比上场增加100万美元，当两队决出胜负后，问：（1）组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率为多少？（2）某队在比赛过程中曾一度比分落后2分以上，最后取得全场胜利称为“逆袭”，求雷霆队“逆袭”获胜的概率；（3）求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望．19．（16分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈[2，4]时的最小值．20．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．【考点】63：导数的运算．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：32．（5分）函数y=sin x•cos x的导函数为cos2x．【考点】63：导数的运算．【解答】解：∵y=sin x•cos x，∴y′=（sin x）′cos x+sin x（cos x）′=cos2x﹣sin2x=cos2x故答案为cos2x．3．（5分）函数y=xlnx的单调减区间为（0，）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：y′=1+lnx，令，又因为函数y=xlnx的定义域为（0，+∞）所以函数y=xlnx的单调减区间为故答案为：4．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2tx2+t2x在x=2处有极小值，则实数t的值为2．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：f（x）=x3﹣2tx2+t2x，f′（x）=3x2﹣4tx+t2，∵函数f（x）在x=2处有极小值，∴f′（2）=0，解得：t=2或t=6，经检验，t=2符合题意，故答案为：2．5．（5分）函数y=x3+x2+ax在x∈R上单调递增，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：若函数y=x3+x2+ax在R上单调递增，则y′≥0恒成立，即y′=x2+2x+a≥0恒成立，则判别式△=4﹣4a≤0，即a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．6．（5分）函数y=3x3﹣9x+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值之和是10．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：∵y=3x3﹣9x+5，∴y'=9x2﹣9=0，解得：x1=1，x2=﹣1，令y′＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令y′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，∴函数在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，2]递增，∴x=﹣1时，y取极大值，极大值是11，x=1时，y取极小值，极小值是﹣1，而x=﹣2时，y=﹣1，x=2时，y=11，故函数的最小值和最大值的和是10，故答案为：10．7．（5分）若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是[1，）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又f'（x）=4x﹣，由f'（x）=0，得x=．据题意，，解得1≤k＜故答案为：[1，）8．（5分）已知函数f（x），g（x）满足f（5）=5，f′（5）=3，g（5）=4，g′（5）=1，则函数y=的图象在x=5处的切线方程为5x﹣16y+3=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：函数y=的导数y′=，函数y=在x=5处的切线斜率k=y′|x=5===，且x=5时，y===，所以切点坐标为（5，），则切线方程为：y﹣=（x﹣5），化简得5x﹣16y+3=0．故答案为：5x﹣16y+3=0．9．（5分）已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．若对于任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，则实数a=e+1．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：用f（x）max，f（x）min分别表示函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值，当a≤1且a≠0时，由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（1）=1；因为对任意的x1∈[1，e]，x2∈[1，e]，f（x1）+f（x2）≤2f（1）=2＜4，所以对任意的x1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当1＜a＜e时，由（Ⅰ）知：在[1，a]上，f（x）是增函数，在[a，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（a）=alna﹣a+2；因为对x1=1，∀x2∈[1，e]，f（1）+f（x2）≤f（1）+f（a）=1+alna﹣a+2=a（lna ﹣1）+3＜3，所以对x1=1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当a≥e时，令g（x）=4﹣f（x）（x∈[1，e]），由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是增函数，进而知g（x）是减函数，所以f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（e）=a﹣e+2，g（x）max=g（1）=4﹣f（1），g（x）min=g（e）=4﹣f（e）；因为对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，即f（x1）=g（x2），所以，即，所以f（1）+f（e）=a﹣e+3=4，解得a=e+1，综上所述，实数a的值为e+1．故答案为：e+1．10．（5分）水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，水波面的圆面积的膨胀率是25000πcm2/s．【考点】61：变化的快慢与变化率．【解答】解：∵水波的半径以v=50cm/s的速度向外扩张水波面积s=πr2=π（vt）2=2500πt2∴水波面积的膨胀率s'=5000πt当半径为250cm时t=5s∴s'=5000π×5=25000π即时间为5s时，这水波面积的膨胀率是25000πcm2/s，故答案为：25000πcm2/s11．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），．则a，b，c的大小关系是c＞a＞b．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3）即：c＞a＞b故答案为：c＞a＞b12．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现作为条件，求若函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣+，则g（）+g（）+g（）+…+g（）=2016．【考点】63：导数的运算．【解答】解：函数的导数g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，由g″（x0）=0得2x0﹣1=0解得x0=，而g（）=1，故函数g（x）关于点（，1）对称，∴g（x）+g（1﹣x）=2，故设g（）+g（）+g（）+…+g（）=m，则g（）+g（）+…+g（）=m，两式相加得2×2016=2m，则m=2016．故答案为：201613．（5分）已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【解答】解：f（x）=|xe x|=，当x≥0时，f′（x）=e x+xe x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=﹣e x（x+1），由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x|在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，如图：令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（）＜0，即，解得：t＜﹣．所以，使得函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是．故答案为．14．（5分）设函数f（x）=ax+sin x+cos x．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为[﹣1，1]．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：由f（x）=ax+sin x+cos x，得f′（x）=a+cos x﹣sin x，设A（x1，y1），B（x2，y2），则f′（x1）=a+cos x1﹣sin x1，f′（x2）=a+cos x2﹣sin x2．由，得a2+[（cos x1﹣sin x1）+（cos x2﹣sin x2）]a+（cos x1﹣sin x1）（cos x2﹣sin x2）+1=0．令m=cos x1﹣sin x1，n=cos x2﹣sin x2，则m∈，．∴a2+（m+n）a+mn+1=0．△=（m+n）2﹣4mn﹣4=（m﹣n）2﹣4，∴0≤（m﹣n）2﹣4≤4，．当m﹣n=时，m+n=0，又=．∴﹣1≤a≤1．∴函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知矩阵A=（k≠0）的一个特征向量为α=，A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．求实数a，k的值．【考点】OH：逆变换与逆矩阵．【解答】解：设特征向量为α=，对应的特征值为λ，则=λ，即因为k≠0，所以a=2．…（5分）因为A﹣1=，所以A=，即=，所以2+k=3，解得k=1．综上，a=2，k=1．…（10分）16．（14分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知=，即，化简得n2﹣n﹣30=0．解得n=6或n=﹣5（舍去）故袋中原有白球的个数为6．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意，X的可能取值为1，2，3，4．；；；P（X=4）=．∴取球次数X的概率分布列为：∴所求数学期望为E（X）=1×+2×+3×+4×=．17．（14分）已知二阶矩阵A=．（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）设向量=，求A2016．【考点】OU：特征向量的意义；OV：特征值与特征向量的计算．【解答】解：（1）矩阵A的特征多项式f（λ）=λE﹣A==（λ﹣3）（λ+2），令f（λ）=0，解得：λ1=3，λ2=﹣2，将λ1=3，代入二元一次方程组得：，解得y=0，矩阵A属于特征值3的特征向量为，将λ2=﹣2，代入二元一次方程组得：，当x=1时，y=﹣1，∴矩阵A属于特征值﹣2的特征向量为；（2）A2016==．∴A2016=．18．（16分）全美职业篮球联赛（NBA）某年度总决赛在雷霆队与迈阿密热火队之间角逐，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，故每场比赛获胜的可能性相等．据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入2000万美元，以后每场比赛门票收入比上场增加100万美元，当两队决出胜负后，问：（1）组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率为多少？（2）某队在比赛过程中曾一度比分落后2分以上，最后取得全场胜利称为“逆袭”，求雷霆队“逆袭”获胜的概率；（3）求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）因2000+2100+2200+2300+2400+2500=13500，故至少要比赛6场．当进行比赛6场时，某一队获胜的概率为，当进行比赛7场时，某一队获胜的概率为，所以收入不少于13500万元的概率为．（2）雷霆队“逆袭”获胜，可能通过6场或7场获胜．当6场获胜时，则1、2场败，3、4、5、6胜，概率为；当7场获胜时，则4胜3败，①若前2场都败，则另外1败可以任意发生在第3、4、5、6中的一场，所以“逆袭”获胜概率为．②若前2场1胜1败，则第3、4场必须败，所以“逆袭”获胜概率为，故雷霆队“逆袭”获胜的概率为．（3）所需比赛场数ξ是随机变量，其取值为4，5，6，7．若比赛最终获胜队在第k场获胜后结束比赛，则显然在前面k﹣1场中获胜3场，从而，k=4，5，6，7．①分布列为：②所需比赛场数的数学期望是．19．（16分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈[2，4]时的最小值．【考点】3R：函数恒成立问题；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）因为f（x）≤f′（x），所以x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），又因为﹣2≤x≤﹣1，所以在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，因为，所以．（2）因为f（x）=|f′（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．①当a＜﹣1时，|x+a|=1﹣a，所以x=﹣1或x=1﹣2a；②当﹣1≤a≤1时，|x+a|=1﹣a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1﹣2a或x=﹣（1+2a）；③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=﹣（1+2a）．（3）因为f（x）﹣f′（x）=（x﹣1）[x﹣（1﹣2a）]，①若，则x∈[2，4]时，f（x）≥f′（x），所以g（x）=f′（x）=2x+2a，从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4；②若，则x∈[2，4]时，f（x）＜f′（x），所以g（x）=f（x）=x2+2ax+1，当时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，当﹣4＜a＜﹣2时，g（x）的最小值为g（﹣a）=1﹣a2，当a≤﹣4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．③若，则x∈[2，4]时，当x∈[2，1﹣2a）时，g（x）最小值为g（2）=4a+5；当x∈[1﹣2a，4]时，g（x）最小值为g（1﹣2a）=2﹣2a．因为，（4a+5）﹣（2﹣2a）=6a+3＜0，所以g（x）最小值为4a+5．综上所述，．20．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；R6：不等式的证明．【解答】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=﹣2a﹣1．（2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a=0时，，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，若，即时，由g'（x）＞0得x＞1或，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在单调递减；若，即时，由g'（x）＞0得或0＜x＜1，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在单调递减；若，即时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证，即证，因x2﹣x1＞0，即证，令（t＞1），即证（t＞1）①，令（t＞1），则＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）=0，即（t＞1）②综合①②得（t＞1），即．证法二：依题意得，令h（x）=lnx﹣kx，则，由h'（x）=0得，当时，h'（x）＜0，当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增，在单调递减，又h（x1）=h（x2），∴，即．证法三：令，则，当x＞x1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递减，∴当x2＞x1时，，即；同理，令，可证得．证法四：依题意得，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．。

江苏省启东中学2015-2016学年度第二学期期中考试高二数学试卷(考试时间:120分钟,满分:160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1. 已知函数)(x f y =的图象在点))1(,1(f M 处的切线方程是221+=x y ，那么='+)1()1(f f _________.2. 函数x x y cos sin ⋅=的导函数为_________.3. 函数x x y ln =的单调减区间为_________.4. 已知函数322()2f x x tx t x =-+在2x =处有极小值，则实数t 的值为 .5. 函数ax x x y ++=2331在R x ∈上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 6. 函数5933+-=x x y 在区间]2,2[-上的最大值与最小值之和是_________.7. 若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________． 8. 已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，3)5(='f ，g (5)＝4，1)5(='g ，则函数y ＝f x ＋2gx的图象在x ＝5处的切线方程为________________．9. 已知函数2ln )(+-=x x a x f ，其中0≠a .若对于任意的],1[1e x ∈，总存在],1[2e x ∈，使得4)()(21=+x f x f ，则实数=a _________.10. 水波的半径以50cm/s 的速度向外扩张，当半径为250cm 时，圆面积的膨胀率是_________. 11. 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f (log 319)，则a ，b ，c 的大小关系是________．12. 对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：设f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝fx )的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现作为条件，求若函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则=+⋅⋅⋅+++)20172016()20173()20172()20171(g g g g ________. 13. 已知函数f (x )＝|xe x|，方程f 2(x )＋tf (x )＋1＝0(t ∈R )有四个实数根，则t 的取值范围为________．14. 设函数f (x )＝mx ＋cos x ＋sin x .若函数f (x )的图像上存在不同的两点M 、N ，使得曲线y ＝f (x )在点M 、N 处的切线互相垂直，则实数m 的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分。