(完整版)高中各种函数图像画法与函数性质.doc

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一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

一次kkx b k函数k ，bkk符号b 0b 0b 0b 0b 0yyyyy图象OxOxOxOxOxb 0yOx性质 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小二次函数f xax 2 bx c aa 0a图像xbb 2ax2a定义域, 对称轴xb2a顶点坐标b , 4ac b 22a 4a值域4ac b2,,4ac b 24a4a, b递减,b递增2a 2a单调区间b递增b递减, ,2a 2a二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于 x 轴对称y ax2 bx c关于 x 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h 2y a x h2 k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是k2.关于 y 轴对称y ax2 bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；y a x h 2y a x h2；k 关于y轴对称后，得到的解析式是k3.关于原点对称y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h 2y a x h2k k 关于原点对称后，得到的解析式是4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°）y ax2 bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c b2 ；2ay a x2k 关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h2k ．h5.关于点 m，n 对称2k 关于点m，n 对称后，得到的解析式是y a x hy a x h 2m 2k2n反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴 Y轴但不会与坐标轴相交（ K≠0）。

2、性质：1. 当 k>0 时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k<0 时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y 随 x 的增大而增大。

2.k>0 时，函数在 x<0 上同为减函数、在x>0 上同为减函数； k<0 时，函数在 x<0 上为增函数、在 x>0 上同为增函数。

定义域为 x≠0；值域为 y≠0。

3.因为在 y=k/x(k ≠0) 中， x 不能为 0，y 也不能为 0，所以反比例函数的图象不可能与 x 轴相交，也不可能与 y 轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点 P，Q，过点 P，Q分别作 x 轴， y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1，S2 则 S1＝S2=|K|5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数 y=mx与反比例函数 y=n/x 交于 A、B 两点（ m、n 同号），那么 A B 两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数 y=k/x 和一次函数 y=mx+n，要使它们有公共交点，则 n^2+4k· m≥（不小于） 0。

8.反比例函数 y=k/x 的渐近线： x 轴与 y 轴。

9.反比例函数关于正比例函数 y=x,y=-x 轴对称 , 并且关于原点中心对称 .10.反比例上一点 m向 x、y 分别做垂线，交于 q、w，则矩形 mwqo（o 为原点）的面积为 |k|11.k 值相等的反比例函数重合， k 值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k| 越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点指数函数概念：一般地，函数 y=a^x （a＞0，且 a≠1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质规律： 1.当两个指数函数中的 a 互为倒数时，两个函数关于y 轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当 a＞1 时，底数越大，图像上升的越快，在y 轴的右侧，图像越靠近y轴；当 0＜ a＜ 1 时，底数越小，图像下降的越快，在y 轴的左侧，图像越靠近 y 轴。

在 y 轴右边“底大图高” ；在 y 轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。

即：当 a＞1 时，图像在 R 上是增函数；当 0＜a＜1 时，图像在 R上是减函数。

4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用 0 或 1 作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在 f(X) 后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数1.对数函数的概念由于指数函数 y=a x在定义域 (- ∞， +∞) 上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数 y=a x(a ＞ 0，a≠1) 的反函数称为对数函数，并记为 y=log a x(a ＞0，a≠1).因为指数函数 y=a x的定义域为 (- ∞， +∞ ) ，值域为 (0 ，+∞) ，所以对数函数 y=log a x 的定义域为 (0 ，+∞) ，值域为 (- ∞， +∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞ 0， a≠ 1) 的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数x 的草图y=log 2x，y=log 10x，y=log 10x,y=log 1 x,y=log12 10a＞ 1a＜1图象(1)x ＞ 0性(2) 当 x=1 时， y=0质(3) 当 x＞1 时， y＞0 (3) 当 x＞1 时， y＜ 00＜ x＜ 1 时， y＜0 0＜ x＜1 时， y＞0(4) 在(0 ， +∞ ) 上是增函数(4) 在 (0 ，+∞) 上是减函数补设 y1=log a x y 2=log b x 其中 a＞1，b＞1( 或 0＜a＜1 0 ＜ b＜ 1)充当 x＞1 时“底大图低”即若 a＞b 则 y1＞y2性当 0＜x＜1 时“底大图高”即若 a＞b，则 y1＞y2质比较对数大小的常用方法有：(1) 若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2) 若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3) 若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4) 若底数、真数都不相同，则常借助 1、 0、 -1 等中间量进行比较 .3.指数函数与对数函数对比名称指数函数一般形y=a x(a ＞0，a≠1) 式定义域(- ∞， +∞)值域(0 ，+∞)当 a＞1 时，函1( x 0) 数 a x 1( x 0) 值1( x 0) 变化当 0＜a＜1 时，情1( x 0) 况 a x 1( x 0)1( x 0)对数函数y=log a x(a ＞0，a≠1)(0 ，+∞)(- ∞， +∞)当 a＞1 时0( x 1)log a x 0( x 1)0( x 1)当 0＜a＜1 时，0( x 1)log a x 0(x 1)0(x 1)单调性当 a＞ 1 时， a x是增函数；当a＞1时，log a x是增函数；当 0＜a＜ 1 时， a x是减函数 .当0＜a＜1时，log a x是减函数 .图像y=a x的图像与 y=log a x 的图像关于直线y=x 对称 .幂函数幂函数 y x n随着 n 的不同，定义域、值域都会发生变化，图像都过（1,1 ）点①1 10 , 上是增函数．a , ,1, 2 , 3 时，幂函数图像过原点且在3 2② a 1, 1, 2 时，幂函数图像不过原点且在0 , 上是减函数．2③ 任何两个幂函数最多有三个公共点．y x n 奇函数偶函数非奇非偶函数yy yn 1OO x O x xy y y0 n 1O x O x O xy yyn 0O x O x O xy x y x2 y x3 1 y x 1y x 2定义域R R R x | x 0 x | x 0 奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增在第Ⅰ象在第Ⅰ象在第Ⅰ象在第Ⅰ象在第Ⅰ象限单调递限单调递限单调递限单调递限单调递减性增增增增减幂函数 y x （ xR ，是常数）的图像在第一象限的分布规律是： ①所有幂函数y x（xR ，是常数）的图像都过点 (1,1) ；1,2,3,12 时函数yx的图像都过②当原点 (0,0) ；③当 1时，y x的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如 c 2 ）；④当2,3 时， y x的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如c 1 ）1c 3④2 时，y x的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如⑤1时，y x的的图像不过原点(0,0)，且在第一象限是 “下滑” 曲线（如c4）当0 时，幂函数 y x 有下列性质：（1）图象都通过点 (0,0), (1,1) ；（ 2）在第一象限内都是增函数；（ 3）在第一象限内， 1时，图象是向下凸的；1时，图象是向上凸的；（ 4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。

当0 时，幂函数 y x 有下列性质：（ 1）图象都通过点(1,1)；（ 2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（ 3）在第一象限内，图象向上与 y轴无限地接近；向右无限地与 x轴无限地接近；（ 4）在第一象限内，过点 (1,1)后，越大，图象下落的速度越快。

无论取任何实数，幂函数y x的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

对号函数函数 y ax b0，+∞）的图象似（ a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（x符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，ax b2 b x a（当且仅当 ax b即xb时取等号），由此可得函数y axb（a>0,b>0,x x a x∈ R+）的性质 :b b + b当 x 时，函数 y ax （a>0,b>0,x ∈R）有最小值2 ，特别地，a x a当 a=b=1 时函数有最小值 2。

高中函数图像大全

高中必考函数大全指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。

即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a＞0，a≠1).因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的图像的特征和性质.见下表. 图象 a ＞1a ＜1性 (1)x ＞0(2)当x=1时，y=0质(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0 (3)当x＞1时，y＜0 0＜x＜1时，y＞0(4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1)当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比名称指数函数对数函数一般形式y=a x(a＞0，a≠1) y=log a x(a＞0，a≠1)定义域(-∞，+∞) (0，+∞)值域(0，+∞) (-∞，+∞)函数值变化情况当a＞1时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)0(1)0(1)0(1xxxa x当0＜a＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)0(1)0(1)0(1xxxa x当a＞1时⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)1(0)1(0)1(0logxxxxa当0＜a＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)1(0)1(0)1(0logxxxxa单调性当a＞1时，a x是增函数；当0＜a＜1时，a x是减函数. 当a＞1时，log a x是增函数；当0＜a＜1时，log a x是减函数.图像y=a x的图像与y=log a x的图像关于直线y=x对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x=随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握ny x=，当112,1,,,323n=±±±的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：①它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．n y x =奇函数偶函数非奇非偶函数1n >01n <<0n <定义域 R R R奇偶性奇奇奇非奇非奇OxyOxyOxyOxyOxyOx yOxyOxyOxy偶在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(； ②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。

高中数学函数图像及性质

高中数学函数图像及性质1.一次函数(包括正比例函数) 最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。

定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R 值域：R 奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式): ①ax+by+c=0[一般式] ②y=kx+b[斜截式] （k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式] （k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式] （（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式] （a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。

设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。

2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。

定义域：R 值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac, Δ＞0，图象与x 轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式] 此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。

(完整版)高中各种函数图像及其性质(精编版)

高中各种函数图像及其性质一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b（k，b是常数，且k 0 ）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。

当b 0时，一次函数y kx，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是y kx b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当 b 0，k 0时，y kx仍是一次函数．⑶当 b 0，k 0时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx （k 不为零）① k 不为零② x 指数为 1 ③ b 取零当k>0 时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0 时，?直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．（1）解析式：y=kx （k 是常数，k≠ 0）（2）必过点：（0，0）、（1，k）（3）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限（4）增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小（5）倾斜度：|k| 越大，越接近y 轴；|k| 越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b（k,b 是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b （k 不为零） ① k 不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取任意实数一次函数 y=kx+b 的图象是经过（ 0，b ）和（- b ， 0）两点的一条直线，我们称它为直k线 y=kx+b, 它可以看作由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度得到 . （当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移）1）解析式： y=kx+b （k 、 b 是常数， k 0）2）必过点：（0，b ）和（ - b ，0） k3）走向： k>0 ，图象经过第一、三象限； k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限k 0 直线经过第一、二、三象限k 0 直线经过第一、三、四象限b 0b 0k 0 直线经过第一、二、四象限k 0 直线经过第二、三、四象限b 0b 04）增减性： k>0 ， y 随 x 的增大而增大； k<0，y 随 x 增大而减小 . 5）倾斜度： |k| 越大，图象越接近于 y 轴； |k| 越小，图象越接近于 x 轴 .6）图像的平移：当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b<0 时，将直线y=kx 的图象向下平移 b 个单位 .4、一次函数 y=kx ＋ b 的图象的画法根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可. 一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），或纵坐标为0 的点.. 即横坐标5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b| 个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0 时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数一般地，形如y=kx＋b（k,b 是常数，k≠0），那么y 叫做x 的一次函数. 当b=0 时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函自变量范围X 为全体实数图象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（- b，0）k走向k>0 时，直线经过一、三象限；k<0 时，直线经过二、四象限k>0，b>0, 直线经过第一、二、三象限k>0，b<0 直线经过第一、三、四象限k<0，b>0 直线经过第一、二、四象限k<0，b<0 直线经过第二、三、四象限增减性k>0 ，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升）k<0 ，y 随x 的增大而减小。