数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.(6分)某海域有A,B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).
【答案】.
【解析】
试题分析:作AD⊥BC于D,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据正切的定义求出CD的长,得到答案.
试题解析:作AD⊥BC于D,∵∠EAB=30°,AE∥BF,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,
∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD=,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°,
∴∠C=60°,在Rt△ACD中,∠C=60°,AD=,则tanC=,∴CD==,
∴BC=.故该船与B港口之间的距离CB的长为海里.
考点:解直角三角形的应用-方向角问题.
2.已知Rt△ABC中,AB是⊙O的弦,斜边AC交⊙O于点D,且AD=DC,延长CB交⊙O 于点E.
(1)图1的A、B、C、D、E五个点中,是否存在某两点间的距离等于线段CE的长?请说明理由;
(2)如图2,过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.
①若CF=CD时,求sin∠CAB的值;
②若CF=aCD(a>0)时,试猜想sin∠CAB的值.(用含a的代数式表示,直接写出结果)
【答案】(1)AE=CE;(2)①;②.
【解析】
试题分析:(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°,由于
AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE;
(2)连接AE、ED,如图2,由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径,根据切线的性质可得
∠AEF=90°,从而可证到△ADE∽△AEF,然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF.①当CF=CD时,可得,从而有EC=AE=CD,在Rt△DEC中运用三角函数可得
sin∠CED=,根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC,即可求出sin∠CAB的值;②当CF=aCD(a>0)时,同①即可解决问题.
试题解析:(1)AE=CE.理由:
连接AE、DE,如图1,∵∠ABC=90°,∴∠ABE=90,∴∠ADE=∠ABE=90°,∵AD=DC,
∴AE=CE;
(2)连接AE、ED,如图2,∵∠ABE=90°,∴AE是⊙O的直径,∵EF是⊙OO的切线,
∴∠AEF=90°,∴∠ADE=∠AEF=90°,又∵∠DAE=∠EAF,∴△ADE∽△AEF,∴,∴=AD•AF.
①当CF=CD时,AD=DC=CF,AF=3DC,∴=DC•3DC=,∴AE=DC,∵EC=AE,
∴EC=DC,∴sin∠CAB=sin∠CED===;
②当CF=aCD(a>0)时,sin∠CAB=.
∵CF=aCD,AD=DC,∴AF=AD+DC+CF=(a+2)CD,∴=DC•(a+2)DC=(a+2),∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,
∴sin∠CAB=sin∠CED==.
考点:1.圆的综合题;2.探究型;3.存在型.
3.如图(1),已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上,E是BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.
(1)连接GD,求证:△ADG≌△ABE;
(2)连接FC,观察并直接写出∠FCN的度数(不要写出解答过程)
(3)如图(2),将图中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=6,BC=8,E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时,∠FCN的大小是否总保持不变,若∠FCN的大小不变,请求出tan∠FCN的值.若∠FCN的大小发生改变,请举例说明.
【答案】(1)见解析;(2)∠FCN=45°,理由见解析;(3)当点E由B向C运动时,∠FCN的大小总保持不变,tan∠FCN=4
.理由见解析.
3
【解析】
【分析】
(1)根据三角形判定方法进行证明即可.
(2)作FH ⊥MN 于H .先证△ABE ≌△EHF ,得到对应边相等,从而推出△CHF 是等腰直角三角形,∠FCH 的度数就可以求得了.
(3)解法同(2),结合(1)(2)得:△EFH ≌△GAD ,△EFH ∽△ABE ,得出EH=AD=BC=8,由三角函数定义即可得出结论. 【详解】
(1)证明:∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形, ∴AB =AD ,AE =AG =EF ,∠BAD =∠EAG =∠ADC =90°, ∴∠BAE +∠EAD =∠DAG +∠EAD ,∠ADG =90°=∠ABE , ∴∠BAE =∠DAG , 在△ADG 和△ABE 中,
ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ADG ≌△ABE (AAS ). (2)解:∠FCN =45°,理由如下: 作FH ⊥MN 于H ,如图1所示:
则∠EHF =90°=∠ABE , ∵∠AEF =∠ABE =90°,
∴∠BAE +∠AEB =90°,∠FEH +∠AEB =90°, ∴∠FEH =∠BAE ,在△EFH 和△ABE 中,
EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△EFH ≌△ABE (AAS ), ∴FH =BE ,EH =AB =BC , ∴CH =BE =FH , ∵∠FHC =90°, ∴∠FCN =45°.
(3)当点E 由B 向C 运动时,∠FCN 的大小总保持不变,理由如下: 作FH ⊥MN 于H ,如图2所示: