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67双曲线的第二定义PPT课件

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第三讲---双曲线的第二定义

第三讲---双曲线的第二定义

第三讲 双曲线的第二定义知识梳理（一）双曲线的第二定义：平面内一动点 的比为常数 e  到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x a2 的距离 cc (e>1) a定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。

（二）焦点三角形的面积公式。

S1  r1r2 sin   b 2 tan 2 23.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式： 标准方程 图像 渐进线方程x2 y 2   1(a  0.b  0) a 2 b2b x a a2 x c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0  a yy 2 x2   1(a  0.b  0) a 2 b2a x b a2 y c y准线方程半径公式r右 =|MF2 |=ex 0  a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 a r右 =|MF2 |=-ex 0  a典例分析 题型一：与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线x2 y 2   1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12x2 y 2   1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x  2 y  0 ，两条准线间的距离为 解：双曲线渐进线方程为 y  16 13 ，求双曲线的标准方程。

133 x 21所以双曲线方程为x2 y 2    （   0 ）在分   0 时   4 和   0 时。

。

。

4 9题型二：双曲线第二定义及其运用 例 2：设一动点到 F(1,0)和直线 x=5 的距离之比为 3 。

求动点的轨迹方程。

练习：已知双曲线x2 y 2   1(a  0, b  0) 的左右焦点分别为 F1F2 ，点 P 是左支上的一点，P 到左准线的 a 2 b2距离为 d ，若 y  3x 是已知双曲线的一条渐进线，则是否存在这样的 P 点使得 d , | PF1 |,| PF2 | 成为等比 数列？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。

人教A版高中数学选修1-1课件双曲线的第二定义

人教A版高中数学选修1-1课件双曲线的第二定义

(a,0) y b x
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x c2 a2 b2)
b
例1 点 M (x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线l : x a2 的 c
距离的比是常数 c (c a 0)，求点M的轨迹 .
a
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 2a、2b的双曲线 .
双曲线的第二定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比
是常数 e c (e 1)，则这个点的轨迹是椭圆 . a
l'
y
定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的
l
d .M
准线，常数e是双曲线的离心率 .
对于双曲线
x2 a2

y2 b2
1，
.
.
F’ O
F
x
右焦点F2 (c，0)，对应的右准线方程是
x

a2 c
.
左焦点F1(c，0)对应的左准线方程是
x


a2 c
.
焦点在y轴上的双曲线的准线方程是：y a2 c
例2 已知双曲线 x2 － y2 a2 b2
1(a
0,b
0)的焦点F（1 c,0）F2 (c,0),
P(x0, y0 )是双曲线右支上任意点，求证：| PF1 | a ex0 ，
| PF2
| a ex0
其中e为双曲线的离心率。 l'
y
l
证明：双曲线的左准线为x a2
P.
c
由整双理曲得线:的| P第F1二|定ex义0 得a：x|0PF1ac|2

双曲线及其标准方程 课件

双曲线及其标准方程 课件
双曲线及其标准方程
新知视界
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个 定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线 的焦距．
思考感悟
1．双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|? 提示：①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时 动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端 点)． ②如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线． ③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨 迹不存在．
解得ab22＝ ＝19， 6， ∴双曲线的方程为1y62 －x92＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为xa22－by22＝1. 由题意易求得 c＝2 5. 又双曲线过点(3 2，2)，∴3a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 (小于
|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？ 提示：不是，是双曲线的某一支．
在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲 线的左、右焦点，则①|PF1|－|PF2|＝2a，曲线只表示 双曲线的右支．
② |PF1| － |PF2| ＝ － 2a ， 曲 线 只 表 示 双 曲 线 的 左 支．
类型三 双曲线中的焦点三角形 [例 3] 若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个 焦点，P 是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试 求△F1PF2 的面积．
双曲线 [分析] 双曲线方程 的―定―→义 |PF1|－|PF2|＝±2a ―平―方→ |PF1|2＋|PF2|2的值 余―弦―定→理 ∠F1PF2＝90° 面积公式 ――→ S△F1PF2

3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)

3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．

第2讲双曲线课件理课件.ppt

第2讲双曲线课件理课件.ppt

【互动探究】
1．设双曲线1x62－9y2＝1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 15，则 P 点到(－5,0)的距离是( D )
A．7 B．23 C．5 或 23 D．7 或 23 解析：容易知道(5,0)与(－5,0)是给出双曲线的焦点，P 是双 曲线上的点，直接从定义入手．设所求的距离为 d，则由双曲线 的定义可得：|d－15|＝2a＝8⇒d＝7 或 23.
AB 的方程为 y＝x＋1，
因此 M 点的坐标为12，23， F→M＝－32，32. 同理可得F→N＝－32，－32. 因此F→M·F→N＝－322＋32×－32＝0 综上F→M·F→N＝0，即 FM⊥FN. 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F.
的范围变化值需探究；
(3)运用不等式知识转化为 a、b、c 的齐次式是关键．
错源：没有考虑根的判别式 例 5：已知双曲线 x2－y22＝1，问过点 A(1,1)是否存在直线 l 与双曲线交于 P、Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在求 出直线 l 的方程，若不存在请说明理由．
误解分析：没有考虑根的判别式，导致出错．
y2 9
Hale Waihona Puke －2x72 ＝1D．以上都不对
3．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 26，则双曲 线的渐近线方程为( C )
A．y＝±2x B．y＝± 2x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±12x
4．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 x
＋2y＝0，则双曲线的离心率 e 的值为( A )
正解：设符合题意的直线 l 存在，并设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

双曲线的定义及标准方程第二课时ppt课件

双曲线的定义及标准方程第二课时ppt课件

O
x
18
典例分析
【解析】由已知a＝3，b＝4，c＝5. (1)由双曲线的定义得 ||MF1|－|MF2||＝2a＝6， 假设点M到另一个焦点的距离等于x， 则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22. 故点M到另一个焦点的距离为6 或22.
19
典例分析
(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2| ＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得
6
例4 已知点A(-5,0),点B(5,0)，直线AM ,BM相交于点M，且它们斜
率之积是
4 9
,
试求点M的轨迹方程.
思考：由点M的轨迹方程判断轨迹形状，与2.2例3 比较，你有什么发现？
7
例5 已知定跟圆踪F1训：练(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，
动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解:圆F1：圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；
分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
只要能把巨响点满足的两个曲线 方程求出来.那么解方程组就可以确 定巨响点的位置.
P y C
A o Bx
要求曲线的方程,恰当的建立坐 标系是一个关键.
5
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，
2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的 距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹

双曲线的性质PPT课件

⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点(3 2 , 2) 16 4
2021/4/18
第12页/共22页
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3 ) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
图象
y
M
Y p
F1 0
F2 X
F1 0
F2 X
2021/4/18
第18页/共22页
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0)
x≥a 或 x ≤a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
b
3
，而c 2
a2
3 b2，a2
b2
8
a3
解出 a2 6，b2 2
双曲线方程为 x2 y2 1 6 2 第17页/共22页
小结
椭圆
双曲线
方程 a b c关系
x2 a2
y2 b2
1（ a＞ b ＞0）
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
x2 a2
y2 b2
1
(
a＞
0
b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
16 k 0且4 k 0
2021/4/18
∴ (3 2)2
16 k

双曲线及其标准方程ppt课件


C.(0,-5),(0,5)
D.(0,- 7),(0, 7)
双曲线的定义
2
1.设 F1,F2 分别是双曲线 x2-24=1 的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( )
A.4 2
B.8 3
C.24
D.48
2.已知动点 P(x,y)满足 ( + 2)2 + 2- ( -2)2 + 2=2,则动点 P 的轨迹是 ( )
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
利用定义求轨迹方程
P P127 习题3.2 第5题
如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O外一定点,P是圆上任
意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当
O
点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A Q
P115 习题3.1 第6题 如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O内一定点,P是圆上 任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点 Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A.椭圆 C.双曲线的左支
B.双曲线 D.双曲线的右支
双曲线的定义
22
【变式练习】
已知
P
是双曲线

双曲线的第二定义课件

F2 x
MF 1
x 0
a2 c
e
M Faex
1
0
x a2 c
x a2
同理 MF aex
2
0
c
左加右减，下加上减（带绝对值号）
双曲线的第二定义
焦半径公式：
（一）M1位于双曲线右支
y
M2(x2,y2)
|M1F1|ae
x
1
M1(x1,y1) |M1F2|ae1x
F1
O
（二）M2位于双曲线左支
F2 x |M2F1|ae2x
直线 轨迹.
l:x= 1
6 5
的距离的比是常数 5 4
求:点M的
x2 - y2 = 1 16 9
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8、6的双曲 线.
双曲线的第二定义
问题: 点M (x,y) 与定点F(c,0)的距离和它到定
直线l: x = a 2
c
的距离的比是常数 c
a
(c>a>0),
求:点M的轨迹.
+3 5
MF
的值最小,并求这个最小值
d min
36 5
M（3 5 ,2) 2
双曲线的第二定义
练习
已 知 点 A(3,2)， F(2,0)， 在 双 曲 线 x2y 32=1?
上 求 一 点 P， 使 ｜ PA ｜ ＋ 2 1｜ PF｜ 的 值 最 小 .
d min
=
3 2
p ( 2 1 ,2 ) 3
双曲线的第二定义
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨
迹就是集合 P ={M||MF|= c}
da
由此可得： (x c)2 y2 c

双曲线的定义及标准方程课件[可修改版ppt]


F1
F2
4、若常数2a＞| F1F2 |
轨迹不存在
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴，线
段如F1何F2求的这中优点美o为的原曲点线建的立方直程角？
坐标系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
yy
M
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数为2a
FF1 1 O o FF22 xx
x2 y2 a2b2 1 (a0,b0)
C=5,a=4所,以所b求2=方c2-程a2=为5：2-42=3x22 42
y2 32
1
双曲线及标准方程
例1：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的距 离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。
变式一：若两定点改为为F1(0,-5),F2(0,5) ，则轨迹如何？
迹叫做双曲线。
F1,F2 -----焦点
|F1F2| -----焦距=2c
||MF1| - |MF2|| = 2a
.
F1
M
o
.
F2
1、|MF 1 | － |MF2 | =2a
M
(2a< |F1F2 | )
2、|MF2 | － | MF 1| =2a
F1
F2
(2a< |F1F2| )
3、若常数2a = | F1F2 |
双曲线的定义及 标准方程课件
1、椭圆是如何定义的?
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹
2a与2c的大小关 系
2a 2c时是椭圆 2a 2c时是线段F1F2 2a 2c时轨迹不存在
2.椭圆的标准方程？
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l' y
l
P.
由整 双曲线理 :的P |第1二得 F |定a 义e得0 ：xx|(0PP F|1ac1 |2F |m i acnac)
.
F1
O
.
F2
x
由双曲线的第一定义得 ：|P2|F |P1|F 2 a a e0x
(P | 2F |mi nca)
说明：|PF1|, |PF2|称为双曲线的焦半径.
的第二定义
1
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1(ab0) a2 b2
x a 或 x a ， y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2x2 1(a0,b0) a2 b2 y a 或 y a ， x R
14
练1、习3：y2－x2＝1的准线方程是__y_______63__，
渐近线方程是____y_______3__x__.
3y2-x2=1
y 2
x2
3
1
1
3
a2
1 3
b2 1
准线方程是: y
c2 a2
a2
b2
3
4 3
c
6
令3y2－x2＝0 得渐近线方程是:y 3 x
3 15
2、若双曲线
x2 3
by22
1中:
.
F’ O
右焦点F2(c， 0)，对应的右准线方程是xac2 ; 左焦F1点 (c， 0)对应的左准线 x方 ac2程 . 是
.x
F
13
x2 a2
by22
1(a0,b0)
y
F1 A1
O
F A2
22
x
x a2 c
x a2 c
x a2 aa a
c
c
准线方程：xa2 c
两条准线比双曲 线的顶点更接近 中心
C′ A′
y
13 C
12
0
Ax
B′
25 B
8
问题: 点M (x,y) 与定点F(c,0)的距离和它到定
直线l: x = a 2
c
的距离的比是常数 c
a
(c>a>0),
求:点M的轨迹.
9
实
例 演 示
: e=2
线
距 离 的 二 倍 。
动 点 到 定 点 距
离
是
它
到
定
直
L F
10
线
距 离 的 二
动 点 到
y 2＝ 1
右支上一点P到左
焦点的距离为4 3 ，则P到右准线的距离
为___3____.
y
Mp 解:由双曲线的第一定义得
|PF1|-|PF2|=2a
F1 0
F2 x
|P F 2| |P F 1| 2 a 43 23 23 a 3
由双曲线的第二定义得
b 1
| PM| | PF2 | 2 3 3 e2 3
程表示为 a2x 2b2y 21(b2a2)
2、“共渐近线”的双曲线
与 a x 2 2 b y 2 2 1 共 渐 近 线 的 双 曲 线 系 方 程 为 a x 2 2 b y 2 2 ( 0 ， 为 参 数 ) ，
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
5
1、 求一条渐近线方程是3x+4y=0， 一个焦点是（4,0）的双曲线标 准方程，并求双曲线的离心率.
解析：
依题意： a0><0a， 2<4， 4－a2＝a＋2.
解得 a＝1.
• 答案： 1
3
2．求与双曲线1x62 －y42＝1 有相同的焦点，且经过点(3 2，
2)的双ห้องสมุดไป่ตู้线方程． 解析： ∵所求双曲线与1x62 －y42＝1 有相同的焦点，
∴双曲线的焦点为(±2 5，0) 设所求双曲线方程为ax22－20－y2 a2＝1.
双曲线的第二定义：
动 点 M 与 一 个 定 点 F 的 距 离 和 它 到 一 条 定 直 线 l的 距 离 的 比
是 常 数 ec(e 1 )， 则 这 个 点 的 轨 迹 是 双 曲 线 . a
“三定”：定点是焦点；定直线是准线；
l' y l
定值是离心率.(定点不在定直线上)
d.M
双曲线x2 a2
yl
|
MF d
|
c a
d.M
即
(xc)2 y2 | xa2 |
c. a
.
.
O
F
x
c
化简 (c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ).
设c2a2b2，则 方程化ax22为 by22 1(a0,b0)
点M的轨迹是实轴 分、 别2虚 a为 、 2b轴 的长 双曲 . 线 12
6
2、求与双曲线x2 y2 1 有共同的渐
9 16
近线并且经过点(－3,2 3 )的双曲 线的方程.
7
例3、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m).
倍 。
定 点 距
离
是
它
到
定
直
yL 准线X=a2/c
e=c/a=2
焦点
o
F
x
双曲线标准方程是：x2
a2
1y12 b2
1
解决 点M(x， y)与 定 点 F(c， 0)的 距 离 和 它 到 定 直 线 l:xa2 的
问题 距 离 的 比 是 常 数c(ca0)， 求 点 M 的 轨 迹. c
a
解：设 d 是 点 M 到 直 线 l的 距 离 ， 则
∵双曲线经过点(3 2，2)，
∴1a82－20－4 a2＝1，解得 a2＝12.
∴所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
4
1、“共焦点”的双曲线
（1）与椭圆
x2 a2
by22
1(ab0)有共同焦点的双曲线方程表
示为 a2x 2 y2b21(b2a2).
x2 y2 （2）与双曲线 a2 b2 1(a0,b0)有共同焦点的双曲线方
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1（－ a，0），A2（a，0）
离心率 渐进线
ec (e1) a
y b x a
A1（0，－a），A2（0，a）
ec (e1) a
y a x
b
2
复习回顾：1、椭圆x42＋ay22＝1 与双曲线xa2－y22＝1 有相同的焦 点，则 a 的值是________．
17
焦半径公式：
y
M2(x2, y2)
（一）M1位于双曲线右支
M1(x1, y1)
|M1F1|ex1a
|M1F2|ex1a
F1
O
F2 x （二）M2位于双曲线左支
c2
e 2 3 16
例2、已知双 a x2 2－ 曲 by22线 1(a0,b0)的焦 F （ 1 点 c,0） F2(c,0),
P(x0,y0)是双曲线右， 支求 上 |证 P任 F1|： a意 e点 x0，
|P2F|ae0 x其 中 e 为 双 曲 线 的 离 心 率 .
证明：双曲线的左准x线 为 a2 c