专题48 中考数学数形结合思想(解析版)

专题48 中考数学数形结合思想

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

1.数形结合思想的含义

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

2.数形结合思想应用常见的四种类型

（1）实数与数轴。实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。

（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。

（3）在函数中的应用。借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。

（4）在几何中的应用。对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。

3.数形结合思想解题方法

“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就

是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.

【例题1】（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC

CD =

12+3=2−√3

(2+3)(2−3)

=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）

A ．√2+1

B ．√2−1

C ．√2

D ．1

2

【答案】B

【分析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝

BC ＝1，则AB ＝BD =√2，根据tan22.5°=AC

CD 计算即可．

【解析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，

设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2， ∴tan22.5°=AC

CD =

1

1+√2

=√2−1 【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．C．D．

【答案】C

【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，

解不等式5﹣2x≥1得x≤2，

则不等式组的解集为1＜x≤2

【例题2】（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）

A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15

【答案】A

【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．

【解析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）

∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．

【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．

【答案】4

【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．

如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，

∵△ABC的面积为4，

∴OA•OB+=4，

∴+=4，

解得：b1﹣b2=4．

【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．

(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．

(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE 的长．

(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．

【答案】见解析。

【解析】（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，

在△ADG和△ABE中，

，

∴△ADG≌△ABE（SAS），

∴∠AGD=∠AEB，

如图1所示，延长EB交DG于点H，

在△ADG中，∠AGD+∠ADG=90°，

∴∠AEB+∠ADG=90°，

在△EDH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，

∴∠DHE=90°，

则DG⊥BE；

(2）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，

∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE，

在△ADG和△ABE中，