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高中数学椭圆的公式有哪些高中数学椭圆的公式1、椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)2、椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差.3、椭圆面积公式：s=πab4、椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率t,但这两个公式都是通过椭圆周率t推导演变而来。
高中数学常考知识及解题技巧1、函数函数题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2.方程或不等式如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法;3.初等函数面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。
如所过的定点，二次函数的对称轴或是……;4.选择与填空中的不等式选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法;5.参数的取值范围求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法;6.恒成立问题恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏;7.圆锥曲线问题圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式;8.曲线方程求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点);9.离心率求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可;10.三角函数三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答;解三角形的题目，重视内角和定理的使用;与向量联系的题目，注意向量角的范围;11.数列问题数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法;注意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特殊数列;解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想;12.立体几何问题立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成;注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化;锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ;与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题;13.导数导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃;重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上;14.概率概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略;如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径;15.换元法遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成;16.二项分布注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等;17.绝对值问题绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义;18.平移与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成;19.中心对称关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。
高中数学课题研究：椭圆的面积和周长成都七中高中远程教学 周钰承★ 目标：综合运用高中所学知识，计算椭圆面积和周长，以提高学生的学习兴趣和实际运用能力。
★ 重点：函数模型；无穷等比数列求和；极限与导数；几何概型。
★ 难点：用数学归纳法证明不等式；近似值与误差的笔算方法。
课题引入：宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，现实世界椭圆无处不在。
美丽的椭圆无时无刻出现在我们的视野，但无时无刻被我们所忽视或回避。
椭圆面积与周长的计算，可以在高中阶段进行学习吗？经过笔者探索发现，高中阶段不仅可以理解、计算椭圆面积与周长，而且在这个学习过程中，学生对函数建模、不等式证明、数列、指数运算等知识点都能起到复习与提高的作用。
本课题以计算椭圆面积和周长为契机，训练学生的数学思维能力和实际运用能力。
１．椭圆面积公式的推导如图１，用一个平面斜截一个圆柱，再补合成一个斜圆柱，则底面必是一个椭圆。
根据祖暅原理，斜圆柱的体积等于底面积乘高。
根据图中有关信息，让学生推导椭圆面积公式。
图１．椭圆面积的推导根据图示，我们推导得出椭圆面积公式：ab S ⋅=π椭圆 (1)例1．小明与小红做游戏，规定：小明在区间)2,0(内任写一个实数x ，小红在区间)1,0(内任写一个实数y 。
若满足不等式44122<+<yx ，则小明获胜，否则小红获胜。
谁获胜的概率更大？解：将不等式组44122<+<y x 变形为求15.01222>+yx与112222<+yx 的公共解集，因为)1,0(),2,0(∈∈y x ，所以公共部分是一个小椭圆外部与一个大椭圆内部在第一象限部分，如图2中阴影部分：()83211124141πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯=-=小椭圆大椭圆阴影S SS图2所以，小明获胜的概率是：()211631283>=⨯÷=ππ矩形阴影S S答：小明获胜概率大。
２．椭圆周长的精确计算根据微积分基本定理，可以写出椭圆周长的定积分公式。
椭圆周长和面积的计算全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是一种常见的几何形状，与圆形类似，但其轴向不相等，呈椭圆形状。
椭圆的周长和面积是在数学中经常需要计算的问题，本文将探讨如何计算椭圆的周长和面积，以及相关的数学原理和方法。
我们来看如何计算椭圆的周长。
椭圆的周长可以通过下面的公式进行计算：周长= 2π√((a² + b²) / 2)a为椭圆的长轴，b为椭圆的短轴，π是圆周率，约等于3.14159。
举个例子，如果一个椭圆的长轴长为6厘米，短轴长为4厘米，那么它的周长可以通过下面的公式计算：周长= 2π√((6² + 4²) / 2) ≈ 2π√(36 + 16 / 2) ≈ 2π√(52 / 2) ≈ 2π√26 ≈ 16.25厘米这个椭圆的周长为约16.25厘米。
面积= πab继续以上面的例子为例，这个椭圆的面积可以通过下面的公式计算：面积= π x 6 x 4 ≈ 3.14159 x 24 ≈ 75.40平方厘米通过以上的计算，我们可以得出椭圆的周长和面积的计算方法。
如果椭圆的长轴和短轴长度不同，那么计算方法也会有所不同，但基本的原理是相同的。
除了上述的方法，还有一种常用的方法是通过数值近似法来计算椭圆的周长和面积。
在实际应用中，我们可以利用计算机软件或数值计算方法来得到更精确的结果。
椭圆的周长和面积是一个基础而重要的数学问题，通过掌握计算方法和原理，我们可以更好地理解和应用椭圆几何学。
希望本文能为大家解决关于椭圆周长和面积的疑问，帮助大家更深入地学习和探索数学知识。
第二篇示例：椭圆是一种特殊的几何形状，也是圆的一种特殊情况。
它具有两个焦点以及一个常数之和等于固定值的性质。
本文将介绍如何计算椭圆的周长和面积，以及它们的应用。
让我们来看看椭圆的定义和性质。
椭圆是一个平面图形，其所有点到两个固定点（称为焦点）的距离之和等于常数的性质。
这个常数称为椭圆的长轴，长轴的一半称为半长轴，常数的一半称为椭圆的短轴。
椭圆的面积和周长公式公式是数学题目的解题关键，那么椭圆的面积公式和周长公式是什么呢？下面是由小编为大家整理的“椭圆的面积和周长公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。
椭圆的面积公式和周长公式椭圆周长公式：L=2πb+4（a-b）椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
椭圆面积公式：S=π（圆周率）×a×b，其中a、b分别是椭圆的半长轴，半短轴的长。
椭圆面积公式属于几何数学领域。
拓展阅读：椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.。
注意：定义中椭圆标准方程为（x*x）/（a*a）+（y*y）/（b*b）=1 （a>b>0）a*a=b*b+c*c 离心率e=c/a 椭圆顶点（-a，0）（a，0）（0，b）（0-b）2a为长轴长2b为短轴长准线方程x=（a*a）/c。
性质：有对称性。
椭圆的简单几何性质可以总结为以下几种：（一）、对性质的考查：1、范围.2、对称性.3、顶点.4、离心率。
（二）、课本例题的变形考查：1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点P（x，y）到椭圆一焦点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点P的坐标。
2、椭圆的第二定义及其应用；椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。
3、已知椭圆内一点M，在椭圆上求一点P，使点P到点M与到椭圆准线的距离的和最小的求法。
4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用。
5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。
《椭圆的周长与面积》优质教学设计(精品)介绍本教学设计旨在帮助学生理解椭圆的周长和面积的计算方法，并培养他们的解决问题和推理能力。
通过活动和实际例子的引入，学生将能够更好地理解椭圆的特性和运用椭圆的周长和面积公式。
教学目标通过这个教学设计，学生将能够：- 理解椭圆的定义和特性；- 掌握椭圆周长和面积的计算方法；- 运用椭圆的周长和面积公式解决实际问题；- 培养解决问题和推理的能力。
教学步骤第一步：引入请将一张椭圆的图片展示给学生，并请学生描述椭圆的形状和特征。
引导学生注意椭圆的两个焦点和中心点。
第二步：探索椭圆的周长1. 请学生使用尺子测量椭圆的长轴和短轴，并记录测量结果。
2. 引导学生思考椭圆周长的计算方法。
提醒他们椭圆周长是椭圆上任意两点之间的弧长之和。
3. 解释椭圆周长的公式：$L = 2 \pi \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$，其中$a$和$b$分别代表椭圆的长轴和短轴。
4. 给学生一些练题，帮助他们掌握椭圆周长的计算方法。
第三步：探索椭圆的面积1. 请学生使用尺子测量椭圆的长轴和短轴，并记录测量结果。
2. 引导学生思考椭圆面积的计算方法。
提醒他们椭圆面积是椭圆内任意两点连线与椭圆长轴之间的矩形面积之和。
3. 解释椭圆面积的公式：$A = \pi \cdot a \cdot b$，其中$a$和$b$分别代表椭圆的长轴和短轴。
4. 给学生一些练题，帮助他们掌握椭圆面积的计算方法。
第四步：应用实例给学生提供一些实际问题，让他们运用所学的椭圆周长和面积的计算方法解决问题。
例如，一个椭圆形的游泳池的长轴为10米，短轴为8米，求游泳池的周长和面积。
第五步：总结和评价请学生总结椭圆的周长和面积的计算方法，并评价本次教学。
教学评估教师可以通过以下方式对学生的研究情况进行评估：- 观察学生在课堂上的参与程度和回答问题的能力；- 批改学生的练题和应用实例的答案；- 给学生布置一份椭圆周长和面积的作业，评估他们的掌握程度。
探索椭圆与抛物线的面积与周长椭圆（Ellipse）与抛物线（Parabola）是平面几何中常见的曲线。
它们的形状和性质各不相同，而本文将探索这两种曲线的面积与周长。
1. 椭圆的面积与周长椭圆是由一个固定点 F（焦点）和到两个固定点 A、B（焦点所在的直径）的距离之和等于定值的点 P 所组成的轨迹。
椭圆的性质决定了它的面积和周长的计算方式。
（1）面积计算：椭圆的面积公式为S = πab，其中 a 和 b 分别表示椭圆的半长轴和半短轴。
根据椭圆的定义，焦点到椭圆上任一点的距离之和等于定值，也可以表示为 2a。
因此通过这一关系，我们可以得到椭圆的面积计算公式。
（2）周长计算：椭圆的周长无法用简单的公式表示，但可以用一定精度的近似值进行计算。
其中一种常用的近似计算方法是椭圆周长公式L ≈ π(a + b) ×(1 + 3h / (10 + (4 - 3h^2)^0.5))，其中 h 为离心率。
2. 抛物线的面积与周长抛物线是由一个平面上一点（焦点）到一个平面上一条直线（准线）的距离等于焦点到准线上任意一点的距离所组成的点的轨迹。
抛物线的形状和性质决定了它的面积和周长的计算方式。
（1）面积计算：抛物线的面积公式为S = (2/3) × π × a × b^2，其中 a 是焦距，b 是抛物线与准线的距离。
（2）周长计算：抛物线的周长也无法用简单的公式表示，但可以用一定精度的近似值进行计算。
一种常用的近似计算方法是使用基于弧长的参数方程计算抛物线的弧长，然后再将弧长转换为周长。
根据椭圆和抛物线的定义和计算公式，我们可以实际应用这些公式来计算具体的椭圆和抛物线的面积与周长。
例如，给定一个椭圆和抛物线的半长轴和半短轴或焦距等参数，我们可以代入公式计算出准确的面积和周长值。
值得注意的是，椭圆和抛物线的面积与周长计算都涉及到π（圆周率）的使用，因此在进行计算时需要确定所使用的π的精度和取值方式。
关于椭圆长短半径公式椭圆周率椭圆周长及面积公式的研讨报告作者：张其升张春玲张春丽来源：《课程教育研究·上》2013年第01期【中图分类号】G42 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）01-0166-02椭圆无论在天体上，还是在地球上的物体上，都是建立在斜平面上。
在天体中，地球运行的椭圆轨道，是建立在过地心并与地轴垂直的平面（赤道平面）夹角为23°26′的斜平面（黄道平面）上。
而在地球上的物体圆柱上，斜切面椭圆，是建立在过圆柱轴心并与圆柱轴垂直的平面（横切平面）夹角为某个角度的斜切平面是椭圆平面。
根据上述，我们发明创造了以一个点为圆心能画各种椭圆形的椭圆规。
下方椭圆（规照片）。
本椭圆规已授予中华人民共和国知识产权局颁发了专利证书.所以椭圆规的发明，在工业应用上，天文学的行星运行上，物理学，数学和教育学等都有着重大的作用和历史意义。
用椭圆规就可以根据赤道平面与黄道平面的夹角23°26′画出地球运行轨道的相似椭圆。
下面论述新创椭圆公式内容：一、椭圆的类型和形状1.标准椭圆，取一根标准的圆柱体，并在圆柱的圆心轴上O点横切圆柱是标准正圆，再过O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。
2.基础椭圆，当在标准圆柱上过圆心轴的O点横切圆柱，横切面则是正圆。
又过圆柱的圆心轴上的O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。
设：斜切面椭圆与横切面正圆经O点的交角为α 。
当α=0时，斜切面就变成了横切面，椭圆也就变成了正圆。
所以我们把圆柱的横切面正圆命名为基础椭圆（简称为基础圆）。
3.椭圆心，因为椭圆和正圆都是以圆柱的圆心轴上的O点为圆心，斜切和横切圆柱的。
所以椭圆和正圆都只有一个圆心。
4.椭圆的形状，在标准圆柱上过圆心轴上的O点横切面正圆与斜切椭圆的交角α越大，椭圆的形状也就越长。
α角越小，椭圆形状也就越短（越接近正圆）。
当α=0时，斜切面重叠横切面，椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。
计算椭圆的周长和面积椭圆作为一种特殊的曲线，具有较为独特的性质和特点。
其中，周长和面积是椭圆最基本的几何量，它们的计算方法与其他几何图形有所不同。
本文将介绍如何计算椭圆的周长和面积，并给出相应的计算公式和步骤。
一、椭圆的定义与基本性质在介绍计算椭圆的周长和面积之前，我们先回顾一下椭圆的定义和基本性质。
椭圆是平面上离两点距离之和等于定值的点构成的集合。
这两个点称为椭圆的焦点，焦点的连线称为焦距。
此外，还有一个与焦点之间的距离等于定值的点P，称为椭圆上的一般点。
椭圆上的点P到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
椭圆的长轴表示椭圆在此轴上的最大直径，通常记为2a。
椭圆的短轴表示椭圆在此轴上的最小直径，通常记为2b。
椭圆的焦距表示两个焦点之间的距离，记为2c。
根据长轴和短轴的关系可以得到椭圆的离心率e的计算公式：e=c/a。
二、椭圆的周长计算下面我们来介绍如何计算椭圆的周长。
椭圆的周长是指椭圆上一点沿着椭圆的边界一圈走的总长度。
计算椭圆的周长需要用到椭圆的离心率。
下面给出椭圆周长计算的公式和步骤。
1. 周长公式椭圆的周长计算公式为：C=2πa(1-e²/4)。
2. 计算步骤(1) 根据给定的椭圆参数a和e，计算出椭圆的焦距c。
(2) 利用计算出的焦距c，带入周长计算公式中，得到椭圆的周长C。
三、椭圆的面积计算接下来我们介绍如何计算椭圆的面积。
椭圆的面积是指椭圆内部的所有点构成的区域的大小。
计算椭圆的面积同样需要用到椭圆的长轴和短轴。
下面给出椭圆面积计算的公式和步骤。
1. 面积公式椭圆的面积计算公式为：S=πab。
2. 计算步骤(1) 根据给定的椭圆参数a和b，带入面积计算公式中，得到椭圆的面积S。
四、示例分析下面通过一个具体的示例来演示如何计算椭圆的周长和面积。
例：已知一个椭圆的长轴长度a为6cm，短轴长度b为4cm，求其周长和面积。
解：1. 计算椭圆的焦距c：由a和e的关系可知，e=c/a，代入已知数据，解得c=√(a^2-b^2)=√(6^2-4^2)=√20=2√5。
椭圆面积公式是什么什么时候学的
椭圆是数学几个中常见的图形之一，同时也是数学考试中经常出现的考点。
下面是由编辑为大家整理的“椭圆面积公式是什么什么时候学的”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
椭圆的相关知识是在高二数学的选修一中学到的。
椭圆面积公式：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积.
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的半长轴，半短轴的长)。
或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长)。
椭圆的性质
1、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。
2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。
3、顶点：(a，0)(-a，0)(0，b)(0，-b)。
4、离心率：或e=√(1-b^2/a²)。
5、离心率范围：0
拓展阅读：椭圆的中点坐标
y=kx+m①
x²/a+y²/b²=1②
由①②可推出x²/a²+(kx+m)²/b²=1
相切△=0
相离△<0无交点
相交△>0可利用弦长公式：设A(x1,y1)B(x2,y2)
根据韦达定理x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a
带入直线方程可求出y+y/2=可求出中点坐标。
|AB|=d=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1*x2]=√(1+1/k²)[(y1+y2)²-
4x1*x2]。
高中数学课题研究：椭圆的面积和周长成都七中高中远程教学 周钰承★ 目标：综合运用高中所学知识，计算椭圆面积和周长，以提高学生的学习兴趣和实际运用能力。
★ 重点：函数模型；无穷等比数列求和；极限与导数；几何概型。
★ 难点：用数学归纳法证明不等式；近似值与误差的笔算方法。
课题引入：宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，现实世界椭圆无处不在。
美丽的椭圆无时无刻出现在我们的视野，但无时无刻被我们所忽视或回避。
椭圆面积与周长的计算，可以在高中阶段进行学习吗？经过笔者探索发现，高中阶段不仅可以理解、计算椭圆面积与周长，而且在这个学习过程中，学生对函数建模、不等式证明、数列、指数运算等知识点都能起到复习与提高的作用。
本课题以计算椭圆面积和周长为契机，训练学生的数学思维能力和实际运用能力。
１．椭圆面积公式的推导如图１，用一个平面斜截一个圆柱，再补合成一个斜圆柱，则底面必是一个椭圆。
根据祖暅原理，斜圆柱的体积等于底面积乘高。
根据图中有关信息，让学生推导椭圆面积公式。
图１．椭圆面积的推导根据图示，我们推导得出椭圆面积公式：ab S ⋅=π椭圆 (1)例1．小明与小红做游戏，规定：小明在区间)2,0(内任写一个实数x ，小红在区间)1,0(内任写一个实数y 。
若满足不等式44122<+<yx ，则小明获胜，否则小红获胜。
谁获胜的概率更大？解：将不等式组44122<+<y x 变形为求15.01222>+yx与112222<+yx 的公共解集，因为)1,0(),2,0(∈∈y x ，所以公共部分是一个小椭圆外部与一个大椭圆内部在第一象限部分，如图2中阴影部分：()83211124141πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯=-=小椭圆大椭圆阴影S SS图2所以，小明获胜的概率是：()211631283>=⨯÷=ππ矩形阴影S S答：小明获胜概率大。
２．椭圆周长的精确计算根据微积分基本定理，可以写出椭圆周长的定积分公式。
但由于被积函数的原函数不是初等函数，所以椭圆周长没有标准的初等公式。
但数学家们推导、证明了下面这个椭圆周长标准公式：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=82624222!!8!!564231421211)(λλλλπb a C (2)公式（2）中，ba b a +-=λ。
这个公式表明，椭圆周长的主要部分为)(b a +⋅π，我们可以把（2）式中括号里从第二项起称为椭圆率多项式：⋯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n f 22624222!)!2(!)!32(...6423142121)(λλλλλ (3)一般情况下求椭圆周长，只须计算到)(λf 前两项就能达到较高的精确度，因而往往可以笔算。
但是，当λ很大时，比如95.0=λ时，得算到椭圆率多项式第五十多项才能保证误差率低于一万分之一。
为了减少计算项数，我们可以构建一个新的函数模型，用以解决λ很大时的计算问题。
我们把椭圆率多项式)(λf 中的系数简化得：⋯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++++=nn n f 28764432!)!2(!)!32( (425)414141)(λλλλλλ (4)观察思考（4）式：由于1<+-=<ba b a λ，所以n 2λ随着正整数n 增大而减小；各项系数逐渐变小，但与等比数列相比，“小得越来越慢”；)(λf 的函数值主要决定于)(λf 前几项的和。
根据（4）式的这些特点，我们构造一个多项式函数)(λg ，使它与)(λf 前两项相同，且其各项系数为等比数列：⋯++++++=-nn g 212876543241 (41414)141)(λλλλλλ (5)变形：)414141411(41)(886644222⋯+++++=λλλλλλg])41()41()41()41(1[4186422⋯+++++=λλλλλ22)41(1141λλ-⋅=（中括号内等比数列求和并求极限） 22164λλ-=把22164)(λλλ-=g 替换椭圆周长标准公式（2）的)(λf 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=221641)(λλπb a C 从而得到一个椭圆周长的近似公式： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=2216316)(λλπb a C …………………………（6） 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+++=2222)()(16)(3)(16)(b a b a b a b a b a C π…………（7） 公式（6）和（7）是我们计算椭圆周长要用到的近似公式。
为了突出这个公式，我们称（6）或（7）为椭圆周长等比公式。
为了估计等比公式的误差，令)()()(λλλg f h -=，得：⋯+--+⋯+-+-=-nn n n h 2122877654}41]!)!2(!)!32({[)41425()4141()(λλλλ注意上式中n 不表示)(λh 的项数，只表示)()(λλg f 与的项数，因为)(λh 前两项被消去。
误差率与b a ,的取值大小无关，只与它们的比值有关，我们有下面的定理：等比公式误差率定理：设椭圆两半轴长分别是)0,0(,>>b a b a ，ba b a +-=λ，则椭圆周长等比公式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=2216316)(λλπb a C 的值比椭圆真值小，其误差率：⋯+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋯+-+-=-n n n n h 212287765441!)!2(!)!32()41425()4141()(λλλλ 满足不等式：()()λδλλλλλλδ226.26156810243)(51210243=-<<-=h (8)证明：记)(λh 的系数分别为⋯⋯,,,,543n，H H H H ，12241!)!2(!)!32(--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=n nn n H 。
记以首项为10243，公比为21的数列为⋯⋯,,,,543n，AA A A ，3210243-⨯=n n A .则：()λδλλλλλλλλ126262105846351210243)211(10243=-=-=⋯+⋯+++nn A A A A记以首项为10243，公比为)1960(1024451ππ-⨯-=q 的数列为...,...,,,6543n B B B B B ，310243-∙=n n qB ， 因为：().........5542763.019601024451=⋅-⨯⋅-=ππq ，所以：()λδλλλλλλλλ226262221846356810243)1(10243.......=-<-=+++++--q B B B B mm m m（1） 要证明等比公式函数值比椭圆真值小，只须证明)3(0≥>n H n 恒成立。
用数学归纳法。
验证：01024310241256141)64231(523>=-=-⨯⨯⨯=H假设)3(0≥>k H k ，即041]!)!2(!)!32([122>---k k k则：=+1k H 212221224141)2212(]!)!2(!)!32([41]!)!22(!)!12([⨯-+-⨯-=-+--+k k k k k k k k212224141)232122(]!)!2(!)!32([⨯-+⨯-⨯⨯->-k k k（上式是因为3≥k ，且22)2231()2212(+-=+-k k k 为k 的增函数）16141161]!)!2(!)!32([122⨯-⨯->-k k k161}41]!)!2(!)!32({[122⨯--=-k k k161⨯=k H 01610=⨯>于是)3(0≥>n H n 恒成立，等比公式比周长真值小至此得证。
（2）令)3(≥=-n C H A n n n ，则： }41]!)!2(!)!32({[2102431223-----⨯=n n n n n C 2123]!)!2(!)!32([41210243n n n n --+⨯=--验证可得：01024410241102432561411024353=-+=-+=C .04254148342541210243777774=-+⨯=-+⨯=C 999989543444941464344941410243-=⨯-+⨯=-+⨯=C 下面用数学归纳法证明，当5≥n 时，恒有0<n C . 由验证知，05<C .假设当k n =时，0<k C 成立，.即：0]!)!2(!)!32([412102432123<--+⨯--k k k k 成立。
那么当1+=k n 时， 21221]!)!22(!)!12([41210243+--+⨯=+-+k k C k k k212)2212(]!)!2(!)!32([414121210243222123⨯⨯+-⨯--⨯+⨯⨯=--k k k k k k212)2212(]!)!2(!)!32([814121024322123⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯+-⨯--⨯+⨯=--k k k k k k 211]!)!2(!)!32([1412102432123⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯--⨯+⨯<--k k k k（上式是因为，当5≥n 时，12)1231(222312)2212(222>⨯-≥⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⨯+-k k k ） 21⨯=k C 0210=⨯<于是：)3(0≥<=-n C H A n n n 所以：())(51210243)(261λλλλλδh h --=-)()(2105846321058463⋯+⋯+++-⋯+⋯+++=nn nn H H H H A A A A λλλλλλλλ ...)()()()(21055844633+-⋯+-+-+-=n n n H A H A H A H A λλλλ ⋯+⋯+++=nn C C C C 21058463λλλλ0<所以：())(1λλδh <（3）在椭圆周长标准公式（2）中，当1→λ，即0→b 时，两边同时求极限，得：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋯+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=2222!!8!!5642314212114a a π（此时椭圆周长是a 4）得：π4!!8!!5642314212112222=⋯+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 又：151916316lim 221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→λλλ，于是： ......)(lim 5431+++++=→n H H H H h λλ⋯+--+⋯+-+-=-→nn n n 21228776541}41]!)!2(!)!32({[)41425()4141(lim λλλλ15194-=π又：=+++......6543n B B B B B ])1960(1024451[1110243ππ-⨯--∙15194-=π故：=+++......6543n B B B B B ...543++++n H H H H 验证：0102431024333=-=-H B)41425(]})1960(1024451[1{102437744---⨯--⨯=-ππH B1123151960--=ππ0>0)41449(1519609855>---=-ππH B所以5544,H B H B >>于是，至少存在一个自然数m )5(>m ，使m m H B <，否则必然导致：>+++......6543n B B B B B ...543++++n H H H H ，这与=+++......6543n B B B B B ...543++++n H H H H 矛盾。
