大学物理——对称性原理

对称性原理在静电场分析中的应用作者：余杰冉婷来源：《读与写·教育教学版》2018年第05期摘要：在静电场的学习中，求解电场强度和电势的分布是一个难点，也是高中物理竞赛的考查热点。

本文基于对称分析的思想，分析了某些特殊电荷分布的带电体在空间激发的电场、电势的分布问题，并总结了应用对称性原理处理物理问题的一般思路和方法。

关键词：静电场电势对称性中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2018）05-0040-021 引言中学生对求解静电场中电场强度、电势分布时，会非常困惑。

因为求解静电场、电势分布大都需要基于电场或电势的叠加原理，通过分析出带电体上的电荷元在周围空间产生的静电场、电势，并通过叠加法或积分求解空间静电场、电势分布。

然而中学生数学基础较弱，对积分知识更是知之甚少。

所以，在大学物理中看似简单、自然的求解方法，不适用于高中物理教学[1]。

对称性是事物具有的一种客观不变性。

对称性也是物理现象和过程在一定变换条件下所保持的某种不变性。

因此对称法解题的特点非常明显，就是采用对物理问题中出现的各种对称性，如物理过程的对称性、运动轨迹的对称性、镜像的对称性、几何形状的对称性等等。

在电场中，当电荷的分布具有对称性时，应用对称性解题非常方便[2]。

本文列举了两种不对称分布的电荷，通过构造某种对称性，求解特殊电荷分布的带电体在空间激发的电场、电势的分布，总结基于对称性原理处理物理问题的一般思路和方法。

2 构造对称分布的静电场运用初等数学方法求解某类特殊电荷分布的静电场分布时，首先应想办法构造某种对称性。

如图1（a）所示，电容器的两块极板呈正三角形，板间距离远小于板的尺寸，电容器内远离边缘处电场强度为E。

由于电荷分布的边缘效应，使得电容器极板角边缘A、B点附近的电场强度显然不再为E。

那么如何分析AB连线中点的场强？[3]显然，图1（a）所示的电容器上电荷分布不具备对称性，而且由于电荷分布的边缘效应，很难直接计算出边缘处的电场分布。

浅谈分子对称性摘要：在分子中，原子固定在其平衡位置上，其空间排列是个对称的图像，利用对称性原理探讨分子的结构和性质，是人们认识分子的重要途径，是了解分子结构和性质的重要方法。

分子对称性是联系分子结构和分子性质的重要桥梁之一。

它能简明地表达分子的构型，指导化学合成工作，帮助正确地了解分子的性质，可简化分子构型的测定二作。

关键词：分子对称性对称元素对称操作对称点群群论对称性描述分子的对称性表现并根据分子的对称性对分子作分类。

分子对称性在化学中是一项基础概念，因为它可以预测或解释许多分子的化学性质，例如分子振动、分子的偶极矩和它的光谱学数据（以拉波特规则之类的选择定则为基础）。

在大学程度的物理化学、量子化学与无机化学教科书中，都有关于对称性的章节。

分子对称性的研究是取自于数学上的群论。

一、对称元素分子对称性可分成5种对称元素。

旋转轴：分子绕轴旋转度角后与原分子重合，此轴也称为n重旋转轴，简写为Cn。

例如水分子是C2而氨是C3。

一个分子可以拥有多个旋转轴；有最大n 值的称为主轴，为直角坐标系的z轴，较小的则称为副轴。

n≥3的轴称高次轴。

对称面：一个平面反映分子后和原分子一样时，此平面称为对称面。

对称面也称为镜面，记为σ。

水分子有两个对称面：一个是分子本身的平面，另一个是垂直于分子中心的平面。

包含主轴，与分子平面垂直的对称面称为垂直镜面，记为σv；而垂直于主轴的对称面则称为水平镜面，记为σh。

等分两个相邻副轴夹角的镜面称等分镜面，记作σd。

一个对称面可以笛卡尔坐标系识别，例如（xz）或（yz）。

对称中心：从分子中任一原子到分子中心连直线，若延长至中心另一侧相等距离处有一个相同原子，且对所有原子都成立，则该中心称为对称中心，用i表示。

对称中心可以有原子，也可以是假想的空间位置。

二、对称操作这5种对称元素都有其对称操作。

对称操作为了与对称元素作区别，通常但不绝对的，会加上脱字符号（caret）。

所以？n是一个分子绕轴旋转，而&Ecirc；为其恒等元素操作。

《大学物理》（8-13章）练习题（2022年12月）第八章气体运动论1.气体温度的微观或统计意义是什么？2.理想气体状态方程的三种形式？PV=N KT, p=nkT, (n=N/V)3.气体的最概然速率、方均根速率、平均速率的关系是什么？4.气体分子的平均平动动能的表达式及其意义？5.理想气体的内能？6.气体分子的平均自由程是指？7.单原子分子、刚性双原子分子气体的自由度数目各是多少？8、理想气体的微观模型是什么？综合练习1. 在某容积固定的密闭容器中，盛有A、B、C三种理想气体，处于平衡状态。

A种气体的分子数密度为n1，它产生的压强为p1，B种气体的分子数密度为2n1，C种气体的分子数密度为3n1，则混合气体的压强p为( )A. 4p1. ;B. 5p1;C. 6p1;D. 8p1.2. 若理想气体的体积为V，压强为p，温度为T，一个分子的质量为m，k为玻尔兹曼常量，R为普适气体常量，则该理想气体的分子数为( )A. pVm⁄； B.pV mT⁄； C. pV kT⁄; D. pV RT⁄.3. 压强为p、体积为V的氢气（视为刚性分子理想气体）的内能为( )A. 52pV； B. 32pV； C. pV； D. 12pV。

4 刚性双原子分子气体的自由度数目为（）。

A. 2B. 3C. 4D. 55．气体温度的微观物理意义是：温度是分子平均平动动能的量度；温度是表征大量分子热运动激烈程度的宏观物理量，是大量分子热运动的集体表现；在同一温度下各种气体分子平均平动动能均相等。

6. 设v̅代表气体分子运动的平均速率，v p代表气体分子运动的最概然速率，(v2̅̅̅)12代表气体分子运动的方均根速率。

处于平衡状态下理想气体，三种速率关系为( )A. (v2̅̅̅)12=v̅=v p；B. v̅=v p<(v2̅̅̅)12；C. v p<v̅<(v2̅̅̅)12；D. v p>v̅>(v2̅̅̅)12。

电场及磁场的对称性分析第21卷第3期天津职业技术师范大学2011年9月JOURNALOFTIANJINUNIVERSITY0FTECHN0L0GYANDEDUCATIONV oI.21No.3Sep.2011电场及磁场的对称性分析李凤敏(天津职业技术师范大学理学院,天津300222)摘要:利用对称性的概念和矢量场的对称性分析计算方法,讨论了某些具有对称性的带电体场及载流体场的计算,特别是对其中的重点和难点问题进行了详细的分析和论证.对称性方法可以使具有对称性的场的计算问题的物理图像清晰,简化计算,易于理解.关键词:对称性;极矢量;轴矢量;长直螺线管;感生电场;轴对称载流体中图分类号:0441.4文献标识码:A文章编号:2095—0926(2011)03—0047—03 SymmetryanalysisonelectricfieldandmagneticfieldLIFeng——rain(SchoolofScience,TianjinUniversityofTechnologyandEducation,Tianjin300222,China) Abstract:Thefieldsofsomeofthechargedobjectsandcurrentcarryingobjectswithcertainsy mmetriesarecal—culatedusingthesymmetryconceptandsymmetryanalysismethod,andespecially,thekeypo intsindealingwithsuchproblemsareinvestigatedindetail.Indealingwiththeseproblems,symmetryanalysism ethodcanmakethephysicalpicturesmoreclear,thecalculationsmoresimple,andtheunderstandingmucheasier .Keywords:symmetry;polarvector;axialvector;longandstraightsolenoid;inducedelectricf ield;currentcarrierwithaxialsymmetry对称性又称不变性,在自然界普遍存在.对称性是指体系在某种操作下变成与原状态相同或等价的状态.对称性分析在经典物理及理论物理中都有着广泛的应用.在大学物理电磁学教学中常见的对称操作有平移,转动及镜像反射l11等.根据大学物理教学大纲的基本要求,用高斯定理及安培环路定理进行场的计算是学生必须掌握的内容,而这往往又是教学的难点.比如各类教材中都会有这样的例子:长直螺线管磁场变化时产生的感生电场的计算,电动势的计算,轴对称载流体的磁场分布,轴对称带电体的场强分布等.在以往的教材及教学过程中,对此类问题的处理往往都是根据对称性的特点,定性地解释电场及磁场的大小与方向的分布情况.这种处理问题的方法显然缺乏说服力,因此如果能用比较简单的数学方法来证明,这样不仅使教学内容逻辑性更强,同时也会使学生对所学内容理解更深,概念更清楚.1关于场矢量在电磁学部分,我们遇到的场矢量无非是电场及磁场.但由于电场强度E与磁感应强度在镜像反射下具有不同的变换性质,这导致了电场与磁场许多不同的性质.如图1所示,电场强度E是极矢量,即在镜像反射变换下,与镜面垂直的分量反向,平行分量不变;而磁感应强度为轴矢量,即在镜像反射变换下,『E图1电场强度及磁感应强度镜像反射变化收稿日期:2011-05—17作者简介:李凤敏(1965一),女,副教授,硕士,研究方向为物理教学法?48?天津职业技术师范大学第21卷与镜面垂直的分量不变,平行分量反向嘲.正是由于电场强度E和磁感应强度的这一特性,使得在分析具有某种对称性的带电体场或载流体场时会带来很大的方便.2利用对称性分析具体实例2.1长直螺线管磁场变化引起的感生电场在电磁学教学内容中,通常涉及长直螺线管磁场变化时产生的感生电场的计算,比如大部分教材中都有这样一个例题:通有时变电流的无限长直螺线管内的磁场曰随时间变化,如图2所示.已知的数值,cl求它在管内,外激发的感生电场的分布.,/一,一～,\,/,\,//××x,\『,0\××××××'××:,,×××/,/,\,/,/\～一一一,,一般大学物理教材中给出的解通常如下吲:由磁场分布的轴对称性可知,感生电场的分布也具有轴对称性.即以长直螺线管轴线上任意点为中心的同一闭合回路上各处感生电场的大小相等,方向沿回路的切线方向.因此沿该回路的感生电场的环量由下式求得:.d,:一8.ds(1)Jd当r&lt;R时,由(1)式可得:E2叮『r:一1Tr2Q/7故E:一/-二Ub当&gt;R时,由(1)式可得:E2:一:Q故E:一二,Lib对这样的分析过程并不存在异议,但问题是学生并不清楚为什么在这种情况下产生的感生电场呈上述分布,而其他方向上却不存在.对这一问题的处理, 可以从磁场的对称性分布人手得到解答.设长直螺线管内的磁场变化时产生的感生电场为E,以螺线管轴线上任意点为坐标原点,建立柱坐标系,则空间任意点的感生电场为:E=最+E+E(Z轴与I司向)如图3所示,由于长直螺线管内的磁场具有轴对称性且沿z轴的平移不变性,以该轴为轴线做一闭合圆柱面,由磁场分布的对称性可知,在闭合圆柱面s, 5两个圆面上,对应位置的感生电场的大小,方向均相同,对该闭合面,感生电场的通量为零:即:《Eds=0fEl"(Is=JEi"d$+』El"ds+JEi'ds=0Sls2S▲Z图3以螺线管轴线为轴取闭合面(2)由于只有E及,分量对该闭合面的通量有贡献,因此上式积分结果为:Ezs—EzS+E~2'rrrL:0其中,AS为5,5圆面面积.故E=0即感生电场的径向分量为零.如图4所示,做一闭合回路,则感生电场沿该回路的环量由式(3)给出:fEds:一『『粤.ds(3)L?L丑.,,_—.\,i\一一/图4取一闭合回路由于感生电场在螺线管内,外垂直于轴的方向上的数值并不相等,因此由(3)计算可得:(E岛)z=0,由于E≠,且l#0所以岛=0(其中,分男4为螺线管内外的感生电场)第3期李凤敏:电场及磁场的对称性分析?49?即感生电场沿轴向的分量亦为零,由此证明由长直螺线管磁场变化引起的感生电场的分布只存在E分量,亦即空间各处的感生电场只有切向分量.2.2轴对称载流体的磁场对无限长载流圆柱面(或体),其磁场的分布可由安培环路定理给出[41.一般的求解过程中,只是认为此类载流体由于电流分布的对称性可判断出磁场分布的特点,并未给出严格的证明,此处利用对称性原理给出磁场方向的分析.设电流分布关于平面∑镜像对称,则该电流在∑上激发的的磁场必垂直于∑平面[51(当≠0时),如图5所示图5关于平面对称的电流元在载流圆柱面上任意对称的位置,A:取两个关于平面对称的电流元,ldZ,hall:,分别记为a与b,两电流元到∑平面上任意P点的位矢分别为,和r2,D点为两电流元连线与∑平面的交点,建立图4所示坐标系,由对称性可知:ax=bx,=by,=一bz;/'2x=rh,r=n=0,r五=一rk(4)根据毕奥一萨伐尔定律,任意电流元的磁场为::掣,为此分别计算口Xrl及bXr2onr根据矢量叉乘公式:A×B=(Aysz—A)f+(一A』+(一A)可得:axg1=(k一~zt'ly)f+(rl一kj,+(y—l);b×,=(6,一b.rzy)i+(6,—bxr~)j+(6一byrz~)k;所以(a×,.1+b×r2)=(actk一r1+6,一6.r2v)f+(r1一rk+6一b~r2,)j+(Ctxrl一ayr1+b~rzy—byrz~)k. 利用式(4)的对应关系,可以得到下述结果:(a×,1+b×g2)=(~xl'ly—r上,1+bxr升一byrz~)k= (一ayrk—bT~)k≠0.由此可知,任何关于平面∑呈对称分布的电流元产生的磁场均垂直于对称面.根据上述分析可以断定载流圆柱面(或体)的磁场分布的规律.通过比较直观的数学证明,可以帮助学生深入理解呈轴对称载流体的磁场分布特点.2.3无限长均匀带电圆柱面的电场对无限长均匀带电圆柱面来说,教材中的解均为根据电荷分布的轴对称性认为电场的分布同样也是轴对称的,然后取一同轴的闭合圆柱面直接利用高斯定理解出[31.当然此类问题也可直接积分得出结果,但积分求解过程较麻烦且对大多数学生来说此积分运算困难.在此可以直接利用对称性证明无限长均匀带电圆柱面的场强的方向分布特点.由于此带电体电荷分布为轴对称的,在此不妨设空间的电场分布为:E=Ez+Er+E其中,最,E,为柱坐标系中的3个分量(取对称轴为z轴).过对称轴做一平面,显然带电体关于这一平面是镜像对称的.电场关于此平面同样镜像对称.由于E是极矢量,在镜像反射下应有:=一,另一方面镜像对称要求=,因此只有=0满足条件.同样做一垂直于对称轴的任一平面,显然该平面亦为此带电体的镜像对称面,因此由电场强度是极矢量,可以用同样的方法证明E=0.至此证明了场强的分布只有径向分量E存在.3结束语通过以上几个具体实例,可以看到利用对称性可以很直观地证明电荷及电流分布具有对称性场方向的分布特点.电磁学中关于具有对称分布的带电体及载流体类型较多,因此在解题之前不妨先考虑用对称性分析的方法对场的分布情况进行简要的证明,这样既有利于简化计算,同时又可以帮助学生加深对场概念的理解.参考文献:[1]孙海滨.物理学中的对称性与守恒律[J1.物理与工程, 2006,16(4):49—52.[2]陈熙谋,赵凯华.电磁学教学中对称性分析的积极意义[J].大学物理,2005,24(4):3—5.[3]程守洙,江之永.普通物理学[M].5版.北京:高等教育出版社,1999.[4]张三慧.大学物理学——电磁学[M].2版.北京:清华大学出版社,1999.[5]梁灿斌,秦光戎,梁竹健.电磁学[M].2版,北京:高等教育出版社,2008.。