【创新设计】江苏高考数学理二轮专题分析真题21坐标系与参数方程(含答案解析)

选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下， 点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ.极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

江苏省盐城市高考数学真题分类汇编专题21：坐标与参数方程（综合题）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、坐标与参数方程 (共3题；共30分)
1. （10分）已知曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），点P（﹣1，0），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0．
（1）分别写出曲线C1的普通方程与直线C2的参数方程；
（2）若曲线C1与直线C2交于A，B两点，求|PA|•|PB|．
2. （10分） (2017高二下·福州期末) 已知曲线C1：，（t为参数）曲线C2： +y2=4．
（1）在同一平面直角坐标系中，将曲线C2上的点按坐标变换y′=yx，后得到曲线C′．求曲线C′的普通方程，并写出它的参数方程；
（2）若C1上的点P对应的参数为t= ，Q为C′上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）的距离的最小值．
3. （10分）(2018·全国Ⅲ卷理) 在平面直角坐标系中，的参数方程为 ( 为参数)，过点且倾斜角为的直线与交于两点
（1）求的取值范围
（2）求中点的轨迹的参数方程
参考答案一、坐标与参数方程 (共3题；共30分)
1-1、
1-2、
2-1、
2-2、
3-1、
3-2、。

是以点(0,1)为圆心，1为半径的圆. 又直线C3的普通方程为x－y＝2，
故圆心到直线 C3 的距离 d＝322，
故曲线 C2 上的点到直线 C3 的距离的最大值为 1＋322.
解答
考点四 参数方程
方法技巧 过定点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线参数方程的标准形式
为xy＝＝xy00＋＋ttcsions
9.在极坐标系中，设直线 θ＝π3与曲线 ρ2－10ρcos θ＋4＝0 相交于 A， B 两点，求线段 AB 中点的极坐标.
解答
10.(2018·宿迁质检)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点 O 重合，极
x＝12t，
轴与
x
轴的正半轴重合，若直线
l
的参数方程为 y＝
23t－1
曲线 C 的极坐标方程为 ρ2－2ρsin θ－3＝0.
解答
16.(2018·如皋调研)已知在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M 的参数方程为
x＝523＋2cos θ，
y＝72＋2sin θ
(θ 为参数)，以 Ox 轴为极轴， O 为极点建立极坐
标系，在该极坐标系下，圆 N 是以点
3，π3为圆心，且过点2，π2的圆.
(1)求圆M的普通方程及圆N的直角坐标方程；
＝2t2时，求AB的长.
解 将xy＝ ＝－ tsin2＋φ tcos φ， 代入圆 C 的直角坐标方程(x－2)2＋y2＝4，
得t2－8tcos φ＋12＝0，
8cos φ± 因为 t1,2＝
624cos2φ－48，所以tt11＋ ·t2＝t2＝128，cos φ，
又 t1＝2t2，所以23tt222＝＝182cos φ， ⇒64cos2φ＝54， 所以 AB＝t1－t2＝ 64cos2φ－48＝ 6.

坐标系与参数方程【高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识． 【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).【题型示例】题型一 极坐标方程和参数方程【例1】(·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【解析】(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右侧的射线为l 1，y 轴左侧的射线为l 2. 由于点B 在圆C 2的外部，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点，满足题意．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点； 当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.【变式探究】．(·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．【解析】 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知， |OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋3cos t ，y ＝3sin t(t 为参数，a >0)．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1上一点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝cos θ. (1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)设点M ，N 在C 1上，点P 在C 2上(异于极点)，若O ，M ，P ，N 四点依次在同一条直线l 上，且|MP |，|OP |，|PN |成等比数列，求 l 的极坐标方程．解 (1)曲线C 1的直角坐标方程为(x －a )2＋y 2＝3， 化简得x 2＋y 2－2ax ＋a 2－3＝0. 又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ， 所以ρ2－2aρcos θ＋a 2－3＝0.代入点⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，得a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1(舍去)．所以曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋1＝0. (2)由题意知，设直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )， 设点M ()ρ1，α，N ()ρ2，α，P ()ρ3，α， 则ρ1<ρ3<ρ2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ＋1＝0，θ＝α，得ρ2－4ρcos α＋1＝0，所以ρ1＋ρ2＝4cos α，ρ1ρ2＝1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝cos θ，θ＝α，得ρ3＝cos α.因为|MP |，|OP |，|PN |成等比数列，所以ρ23＝(ρ3－ρ1)(ρ2－ρ3)，即2ρ23＝(ρ1＋ρ2)ρ3－ρ1ρ2. 所以2cos 2α＝4cos 2α－1，解得cos α＝22(舍负)． 经检验，满足O ，M ，P ，N 四点依次在同一条直线上， 所以l 的极坐标方程为θ＝±π4(ρ∈R )．【变式探究】将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程间的转化．结合方程的转化和应用考查考生的应用意识和转化思想．【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程并整理，得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标． 题型二 参数方程与普通方程的互化【例2】(·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|1＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．【变式探究】 【·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为. 因为点P 在曲线C 上，设，从而点P 到直线l 的的距离，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l. 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x y 中,曲线C 1的参数方程为（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为,其中满足tan =2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 【答案】（I ）圆,（II ）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.是以为圆心，为半径的圆.将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为 .（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组若，由方程组得，由已知，可得，从而，解得（舍去），.时，极点也为的公共点，在上.所以.O 4cos θ0θα=0α0αt 1C 1C )1,0(a 1C 1C 21,CC 0≠ρ2tan =θ012=-a 1-=a 1=a 1=a 21,C C 3C 1=a【变式探究】在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；解析 直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．答案 (2，π)【变式探究】(·福建)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l 与圆C 的普通方程．(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l 的距离不大于半径，得到关于参数a 的不等式，即可求出参数a 的取值范围．【解析】(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5. 【感悟提升】1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．【变式探究】(·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )．①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； ②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【举一反三】(·湖南，16Ⅱ)已知直线l ： (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知， |MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.。