辽宁省大连市2017届高三3月双基测试数学(文)试题

辽宁省大连市2019届高三下学期理数第一次（3月)双基测试试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={x|0<x<2},B={x|−1<x<1}，则A∩B=（）A．{x|−1<x<2}B．{x|0<x<1}C．{x|0<x<2}D．{x|−1<x<1}2．（2分）1+i1−i＝（）A．i B．−I C．2i D．−2i3．（2分）已知直线l和平面α,β，且l⊂α，则“ l⊥β”是“ α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（2分）函数y=tan(12x+π3)的最小正周期为（）A．π4B．π2C．πD．2 π5．（2分）已知某高中的一次测验中，甲.乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是（）A．乙班的理科综合成绩强于甲班B．甲班的文科综合成绩强于乙班C．两班的英语平均分分差最大D．两班的语文平均分分差最小6．（2分）已知向量AB⇀=（1，2），AC⇀=（−3，1）则AB⇀•BC⇀＝（）A．6B．-6C．-1D．17．（2分）函数y=2x2x+1(x∈R)的值域为（）A．(0,+∞)B．(0,1)C．(1,+∞)D．(0,12)8．（2分）已知ΔABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且满足√3atanA＝bcosC+ccosB，则∠A = （ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π39．（2分）已知正实数 a,b 满足 a +b =(ab)32 ，则 ab 的最小值为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．410．（2分）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺,问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（ ）A ．40B ．43C ．46D ．4711．（2分）已知抛物线 y 2=2x 的焦点为 F ，点 P 在抛物线上，以 PF 为边作一个等边三角形PFQ ，若点 Q 在抛物线的准线上，则 |PF|= （ ） A ．1B ．2C ．2 √2D ．2 √312．（2分）若 x =0 是函数 f(x)=ln(x +12)+2x2ax 2−x−1的极大值点，则实数 a 的取值集合为（ ） A ．{16}B ．{−12}C ．[−12,+∞)D ．(−∞,12]二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）(x +2x)4展开式中的常数项为 .14．（1分）若 x,y 满足约束条件 {x +y −3≥0x −y −1≤0y −2≤0，则 z ＝2x +y 的最大值为 .15．（1分）已知定义在 R 上的函数 f(x) ，若函数 f(x +1) 为偶函数，函数 f(x +2) 为奇函数，则 ∑2019i=1f(i) ＝ .16．（1分）已知双曲线 x 2a 2−y 2b2=1 (a >0,b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ， C 上存在一点满足∠F1PF2＝π3，且P到坐标原点的距离等于双曲线C的虚轴长，则双曲线C的渐近线方程为．三、解答题 (共7题；共70分)17．（10分）已知数列｛a n｝的前n项和S n=n2−5n(n∈N+)．（1）（5分）求数列｛a n｝的通项公式；（2）（5分）求数列｛a n2n+1｝的前n项和T n.18．（10分）随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所示：根据这9年的数据，对t和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；根据后5年的数据，对t和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984.（1）（5分）如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案，方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预测．从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？附：相关性检验的临界值表：（2）（5分）某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为50%，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为10%，现用此统计结果作为概率，若从上述读者中随机调查了3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率．19．（10分）已知圆O经过椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点以及两个顶点，且点(b,1a)在椭圆C上．（1）（5分）求椭圆C的方程，（2）（5分）若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M,N两点，且|MN|=43，求直线l的倾斜角．20．（10分）如图，三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中， AB ＝AA 1＝√2 ， AC ＝2 ， ∠BAC ＝45o ，∠BAA 1＝60o ，且平面 ACC 1A 1 ⊥平面 ABC .（1）（5分）求三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 的体积.（2）（5分）点 E 在棱 BB 1 上，且 A 1E 与平面 BCC 1B 1 所成角的余弦值为 √77（ BE >EB 1 ），求 BE 的长． 21．（10分）已知函数 f(x)＝lnx +ax 2−x(x >0,a ∈R) ．（1）（5分）讨论函数 f(x) 的单调性；（2）（5分）若曲线 y =f(x) 上存在唯一的点 M ，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 M ，求实数 a 的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =tcosαy =tsinα， （ t 为参数且 t >0，α∈(0,π2) ）曲线 C 2 的参数方程为 {x =cosβy =1+sinβ （ β 为参数，且 β∈(−π2,π2) ），以 O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 3 的极坐标方程为： ρ=1+cosθ(θ∈(0,π2)) ，曲线 C 4 的极坐标方程为 ρcosθ=1 .（1）（5分）求 C 3 与 C 4 的交点到极点的距离；（2）（5分）设 C 1 与 C 2 交于 P 点， C 1 与 C 3 交于 Q 点，当 α 在 (0，π2) 上变化时，求|OP|+|OQ| 的最大值．23．（10分）设函数 f(x)=|2x +a|−|x −2|(x ∈R,a ∈R) .（1）（5分）当 a =−1 时，求不等式 f(x)>0 的解集；（2）（5分）若 f(x)≥−1 在 x ∈R 上恒成立，求实数 a 的取值范围．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】 ∵A ={x|0<x <2},B ={x|−1<x <1} ,∴A ∩B ={x|0<x <1} ,故答案为：B.【分析】利用交集的运算即可求出 A ∩B .2．【答案】A【解析】【解答】因为 1+i 1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i 2=i ，故答案为：A.【分析】利用复数的乘除运算，即可化简得结果.3．【答案】A【解析】【解答】由线面垂直的判定定理可得，若 l ⊂α ， l ⊥β 则 α⊥β ，充分性成立；若 l ⊥β ， α⊥β ，则 l ⊂α 或 l//α ,必要性不成立， 所以若 l ⊂α ，则“ l ⊥β ”是“ α⊥β ”的充分不必要条件， 故答案为：A.【分析】利用线面垂直的判定定理进行判断，即可确定充分必要条件.4．【答案】D【解析】【解答】函数 y =tan(12x +π3) 的最小正周期为 π12=2π ,故答案为：D.【分析】利用正切函数的周期性，即可求出最小正周期 .5．【答案】D【解析】【解答】由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得：乙班的理科综合成绩强于甲班,即选项 A 正确， 甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项 B 正确， 两班的英语平均分分差最大，即选项 C 正确，两班地理平均分分差最小，即选项D错误，故答案为：D.【分析】利用甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图，分别判断各选项，即可得结果. 6．【答案】B【解析】【解答】因为BC⇀=AC⇀−AB⇀=(−4,−1)所以AB⇀⋅BC⇀=AB⇀⋅(AC⇀−AB⇀)==(1,2)⋅(−4,−1)=−4−2=−6，故答案为：B.【分析】由已知向量的坐标，利用数量积的坐标运算，即可求出AB→⋅BC→的值. 7．【答案】B【解析】【解答】y=2x2x+1=2x+1−12x+1=1−12x+1，，0<12x+1<1,−1<−12x+1<0,0<1−12x+1<1，即0<y<1，即函数的值域为(0,1)，故答案为：B .【分析】由已知函数解析式，利用分离常数法变形整理，即可求出函数的值域. 8．【答案】A【解析】【解答】∵0<A<π，∴sinA≠0，由√3atanA=bcosC+ccosB，根据正弦定理：可得√3sinA⋅tanA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，所以tanA=√33，那么A=π6，故答案为：A.【分析】由已知等式，利用正弦定理变形整理，得到tanA=√33，即可求出角A.9．【答案】C【解析】【解答】 ∵a +b ≥2√ab =2(ab)12 ,当且仅当 a =b =√2 时取等号，∴a +b =(ab)32≥2(ab)12，∴ab ≥2 ，故 ab 的最小值为2， 故答案为：C.【分析】由已知等式，利用基本不等式得到ab ≥2 ，即可求出ab 的最小值.10．【答案】C【解析】【解答】由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF ，CD =2,AB =6,EF =4 ，底面梯形是等腰梯形，高为3 , 梯形 ABCD 的高为4 ,等腰梯形 FEDC 的高为 √9+16=5 ， 三个梯形的面积之和为 2+62×4+4+62×3+2+42×5=46 ,故答案为：C.【分析】由三视图可知，该几何体的直现图是五面体，代入梯形的面积公式，即可三个梯形的面积之和.11．【答案】B【解析】【解答】抛物线的焦点坐标 (12,0) ，由抛物线的定义可得 |PF| 等于 P 到准线的距离，因为 |PF|=|PQ|,Q 在准线上，所以 PQ 与准线垂直与 x 轴平行， 因为三角形 PFQ 为正三角形，所以 ∠QFO =π3⇒∠PFx =π3可得直线 PF:y =√3(x −12) ，可得 {y 2=2xy =√3(x −12)，可得 x =32 ，则 y =±√3 ， P(32,±√3) ，|PF| 等于 P 到准线的距离 32+12=2 ，故答案为：B.【分析】由抛物线的定义可得 |PF| 等于 P 到准线的距离，得到直线 PF 的方程，与抛物线方程联立得到点P 的坐标，即可求出|PF|.12．【答案】A【解析】【解答】 a =0 时， f(x)=ln(x +12)−2x x+1=ln(x +12)−2+2x+1 ， f′(x)=1x+12−2(x+1)2=2x 2(2x+1)(x+1)2≥0 ， ∴f(x) 在 (−12,+∞) 上递增，x =0 不是极值点，排除 C,D ；a =−12 时， f(x)=ln(x +12)−2x x 2+x+1， f′(x)=22x+1−2(x 2+x+1)−2x(2x+1)(x 2+x+1)2=2x 2(x+2)2(2x+1)(x 2+x+1)2≥0 ， ∴f(x) 在 (−12,+∞) 上递增，x =0 不是极值点，排除 B ， 故答案为：A.【分析】先求导，利用导数研究函数的单调性与极值，再利用特值法分别排除各选项，即可求出 实数 a 的取值集合 .13．【答案】24【解析】【解答】二项式 (x +2x)4 的展开式的通项公式 T r+1=C 4r x 4−r (2x )r =C 4r 2r x 4−2r ， 令 4−2r =0 ，可得 r =2 ，所以展开式中的常数项为 C 42×22=24 ，故答案为24.【分析】先写出展开式的通项公式，再令 4−2r =0 ，可得 r =2 ，即可求出展开式中的常数项.14．【答案】8【解析】【解答】画出 x,y 满足约束条件 {x +y −3≥0x −y −1≤0y −2≤0的平面区域，如图所示：由 z =2x +y ，得 y =−2x +z ，平移 y =−2x +z ， 显然直线过 A 时， z 最大， 由 {y =2x −y −1=0，解得 A(3,2) ， 所以 z 的最大值为 2×3+2=8 ，故答案为8.【分析】先画出 x,y 满足约束条件的可行域，再结合图象即可求出 z 的最大值.15．【答案】0【解析】【解答】根据题意, f(x +1) 为偶函数，则函数 f(x) 的图象关于直线 x =1 对称,则有 f(−x)=f(2+x) ，若函数 f(x +2) 为奇函数，则函数 f(x) 的图象关于点 (2,0) 对称， 则有 −f(−x)=f(4+x) ,则有 f(x +4)=−f(x +2) , 设 t =x +2 ，则 f(t +2)=−f(t) 变形可得 f(t +4)=−f(t +2)=f(t) ， 则函数 f(x) 是周期为4的周期函数， 又由函数 f(x) 的图象关于点 (2,0) 对称， 则 f(1)+f(3)=0 且 f(2)=0 ， 则有 f(2)=−f(0)=0 ， 可得 f(4)=0 ，∑2019i=1f(i)=f(1)+f(2)+...+f(2019)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+...+[f(2013)+f(2014)+f(2015)+f(2016)]+[f(2017)+f(2018)+f(2019)]=f(1)+f(2)+f(3)=0，故答案为0.【分析】利用已知函数的奇偶性与单调性，得到f(t+4)=−f(t+2)=f(t)，判断函数f(x)是周期为4的周期函数，求出f(1)，f(2)，f(3)，利用函数的周期性即可求和得结果.16．【答案】y=±x【解析】【解答】设PF1=m,PF2=n,可得m−n=2a,可得m2−2mn+n2=4a2（1）,在△PF1F2中，由余弦定理可得4c2=m2+n2−2mncos π3=m2+n2−mn（2），因为PO=2b，所以在△PF1O，△POF2中分别利用余弦定理可得，m2=c2+4b2−4bcos∠POF1,n2=c2+4b2−4bcos(π−∠POF1),两式相加可得m2+n2=2c2+8b2,分别与（1）、（2）联立得2mn=2c2+8b2−4a2=10b2−2a2,mn=2c2+8b2−4c2=6b2−2a2，消去mn可得a2=b2，a=b所以双曲线的渐近线方程为y=±bax，即y=±x，故答案为y=±x.【分析】先设PF1=m,PF2=n，由已知可得m−n=2a，再利用余弦定理列式，得到a=b，即可求出双曲线的渐近线方程.17．【答案】（1）解：因为a n={S1,n=1S n−S n−1,n>1，S n=n2−5n(n∈N+)所以a1=S1=−4, n>1时, a n=n2−5n−(n−1)2+5(n−1)=2n−6 n=1也适合，所以a n=2n−6(n∈N+)（2）解：因为 a n 2n+1=n−32n ，所以 T n =−221+−122+⋅⋅⋅+n−42n−1+n−32n12T n =−222+−123+⋅⋅⋅+n −42n +n −32n+1 两式作差得： 12T n =−221+122+⋅⋅⋅+12n −n−32n+1化简得 12T n =−12−n−12n+1 ，所以 T n =−1−n−12n【解析】【分析】（1）由已知 前 n 项和 S n =n 2−5n ，利用 a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n >1 ，即可求出 数列｛ a n ｝的通项公式；（2）先由（1）｛ a n ｝的通项公式，得到 a n 2n+1=n−32n ，再利用错位相减法进行数列求和，即可得结果.18．【答案】（1）解：选取方案二更合适，理由如下：①题中介绍了，随着电子阅读的普及，传统纸媒受到了强烈的冲击，从表格中的数据中可以看出从2014年开始，广告收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据.②相关系数 |r| 越接近1，线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值 0.243<0.666 ，我们没有理由认为 y 与 t 具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值 0.984>0.959 ，所以有 99% 的把握认为 y 与 t 具有线性相关关系.（2）解：因为在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为 50% ，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为 10% ，所以从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为 12+110=35 ，只购买纸质书的概率为 25， 购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书.概率为： C 33(35)3+C 32(35)2×25=81125. 【解析】【分析】（1）先由已知 t 和 y 作线性相关性检验 ，得到前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据，再由 相关系数 |r| 越接近1，线性相关性越强 ，可判断 y 与 t 具有线性相关关系，即选取方案二更合适 ；（2）先分别求出购买电子书与 购买纸质书的概率 ，再由购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况，分别求出概率即可得结果.19．【答案】（1）解：由题可知圆 O 只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得a 2=2b 2 ，又点 (b,1a ) 在椭圆 C 上，所以b 2a 2+1a 2b2=1 ，解得 a 2=2,b 2=1 ，即椭圆 C 的方程为 x 22+y 2=1 .（2）解：圆 O 的方程为 x 2+y 2=1 ，当直线 l 不存在斜率时，解得 |MN|=√2 ，不符合题意；当直线 l 存在斜率时，设其方程为 y =kx +m ，因为直线 l 与圆 O 相切，所以 |m|√k +1=1 ，即 m 2=1+k 2 .将直线 l 与椭圆 C 的方程联立，得： (1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0 ，判别式 Δ=−8m 2+8+16k 2=8k 2>0 ，即 k ≠0 ， 设 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2) ，则 x 1+x 2=−4km1+2k 2,x 1x 2=2m 2−21+2k 2, |x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√8k 21+2k2，所以 |MN|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2×√8k 21+2k2=43 ， 解得 k =±1 ，所以直线 l 的倾斜角为 π4 或 3π4.【解析】【分析】（1）由已知可得 a 2=2b 2，又 点 (b,1a) 在椭圆 C 上 ， 解得 a 2=2,b 2=1 ，即可求出 椭圆 C 的方程 ；（2） 分两种情况，当直线 l 不存在斜率时，不符合题意； 当直线 l 存在斜率时， 将直线 l 与椭圆 C 的方程联立 ，利用 |MN|=43 列式， 解得 k =±1 ，即可求出 直线 l 的倾斜角 .20．【答案】（1）解：如图，在平面 ACC 1A 1 内过 A 1 作 A 1O ⊥AC 与 AC 交于点 O ，因为平面 ACC 1A 1⊥ 平面 ABC ，且平面 ACC 1A 1∩ 平面 ABC =AC ， A 1O ⊂ 平面ACC 1A 1 ，所以 A 1O ⊥ 平面 ABC ，所以 ∠A 1AC 为 AA 1 与平面 ABC 所成角，由公式 cos∠BAA 1=cos∠A 1AC ⋅cos∠BAC ，解得 cos∠A 1AC =√22，所以 ∠A 1AC =45° ， A 1O =AA 1sin45°=1 ，又 ΔABC 的面积为 12×2×√2×√22=1 ，所以三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 的体积为 1×1=1 .（2）解：由（1）得在 ΔABC 中， O 为 AC 中点，连接 OB ， 由余弦定理得 BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcos45°=2 ，解得 BC =√2 ， 所以 AB =BC ，BO ⊥AC ，（或者利用余弦定理求 OB ）以 O 为坐标原点，以 OB ，OC ，OA 1 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,−1,0),B(1,0,0),A 1(0,0,1),C(0,1,0) ，所以 AA1⇀=BB 1⇀=(0,1,1), BC ⇀=(−1,1,0), 设 BE⇀=λBB 1⇀=(0,λ,λ), λ∈[0,1] ，设平面 BCC 1B 1 的法向量为 n ⇀=(x,y,z) ， 则 {n ⇀⋅BB1⇀=0n ⇀⋅BC ⇀=0 ，即 {y +z =0−x +y =0 ，不妨令 x =1 ，则 y =1,z =−1 ，即 n ⇀=(1,1,−1) . A 1E ⇀=A 1B ⇀+λBB 1⇀=(1,λ,λ−1) ，又因为 A 1E 与平面 BCC 1B 1 所成角的余弦值为 √77，所以 |cosA 1E ⇀,n ⇀| =|1+λ+1−λ|√3⋅√1+λ+(λ−1)=√427 ， 解得 λ=13 或 λ=23，又因为 BE >B 1E ，所以 BE =2√23.【解析】【分析】（1）先作辅助线，可证 A 1O ⊥ 平面 ABC ，得到 ∠A 1AC =45° ， A 1O =AA 1sin45°=1 ，即可求出 三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 的体积 ；（2）先作辅助线，由余弦定理得 BC =√2 ， 再建立空间直角坐标系 ，求出 平面 BCC 1B 1 的法向量 ，代入直线与平面的夹角公式， 解得 λ=13 或 λ=23，即可求出 BE 的长.21．【答案】（1）解： f′(x)=1x +2ax −1=2ax 2−x+1x(x >0) ，设 g(x)=2ax 2−x +1(x >0)①当 0<a <18 时， g(x) 在 (0,1−√1−8a 4a )∪(1+√1−8a 4a ,+∞) 上大于零，在 (1−√1−8a 4a ，1+√1−8a 4a ) 上小于零，所以 f(x) 在 (0,1−√1−8a 4a ),(1+√1−8a 4a ,+∞) 上单调递增，在 (1−√1−8a 4a ，1+√1−8a 4a) 单调递减； ② 当 a ≥18 时， g(x)≥0 (当且仅当 a =18,x =2 时 g(x)=0 )，所以 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增；③ 当 a =0 时， g(x) 在 (0,1) 上大于零，在 (1，+∞) 上小于零，所以 f(x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1，+∞) 单调递减；④当 a <0 时， g(x) 在 (0,1−√1−8a 4a ) 上大于零，在 (1−√1−8a 4a ,+∞) 上小于零，所以 f(x) 在(0,1−√1−8a 4a) 上单调递增，在 (1−√1−8a4a ,+∞) 上单调递减. （2）解：曲线 y =f(x) 在点 (t,f(t)) 处的切线方程为 y =(1t +2at −1)(x −t)+lnt +at 2−t ，切线方程和 y =f(x) 联立可得： lnx +ax 2−(1t+2at)x −lnt +at 2+1=0 ，现讨论该方程根的个数：设 ℎ(x)=lnx +ax 2−(1t +2at)x −lnt +at 2+1(x >0) ， 所以 ℎ(t)=0 .ℎ′(x)=1x +2ax −(1t +2at) ，设 ℎ′(x)=p(x) ，则 p′(x)=2ax 2−1x 2.①当 a ≤0 时， p′(x)<0 ，所以 ℎ′(x) 在 (0,+∞) 上单调递减，又 ℎ′(t)=0 ，所以 ℎ′(x) 在 (0,t) 上大于零，在 (t,+∞) 上小于零，所以 ℎ(x) 在 (0,t) 上单调递增，在 (t,+∞) 上单调递减，又 ℎ(t)=0 ，所以 ℎ(x) 只有唯一的零点 t ，由 t 的任意性，所以不符合题意；② 当 a >0 时， p′(x) 在 (0,√2a 2a ) 上小于零，在 (√2a 2a ,+∞) 上大于零，所以 ℎ′(x) 在 (0,√2a 2a )上单调递减，在 (√2a 2a,+∞) 上单调递增，当 t <√2a 2a 时， ℎ′(x) 在 (0,t) 上大于零，在 (t,√2a 2a ) 上小于零，所以 ℎ(x) 在 (0,t) 上单调递增，在 (t,√2a 2a ) 上单调递减，所以 ℎ(x) 在 (0,√2a 2a) 上小于或等于零，且有唯一的零点 t .函数y=ax2−(1t+2at)x−lnt+at2+1开口向上，若其判别式不大于零，则对任意x0>1，有ℎ(x0)>0；若其判别式大于零，设其右侧的零点为m，则对任意的x0>max{m,1}，有ℎ(x0)>0，所以在区间(√2a2a,+∞)上，存在零点，综上ℎ(x)的零点不唯一；当t=√2a2a时，可得ℎ′(x)≥ℎ′(t)=0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以其只有唯一的零点√2a2a；当t>√2a2a 时，ℎ′(x)在(t,+∞)上大于零，在(√2a2a,t)上小于零，所以ℎ(x)在(t,+∞)上单调递增，在(√2a2a ,t)上单调递减，所以ℎ(x)在(√2a2a,+∞)上大于或等于零，且有唯一的零点t .函数y=ax2−(1t+2at)x−lnt+at2+1在区间[0,1]上一定存在最大值，设为n，若n≤0，则ℎ(x)在(0,1)上小于零.若n>0，当0<x0<e−n时，ℎ(x0)<0，所以在区间(x0,√2a2a)上，ℎ(x)存在零点，综上ℎ(x)的零点不唯一.综上，当a∈(0,+∞)时，曲线y=f(x)上存在唯一的点M(√2a2a ,f(√2a2a))，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点M【解析】【分析】（1）先求导，分四种情况讨论a，再利用导数研究函数的单调性，即可求出函数f(x)的单调区间；（2）先求出曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线方程，由曲线y=f(x)与切线方程联立得方程，再利用导数研究函数的单调性讨论该方程根的个数，利用零点与方程根的关系，即可求出实数a的取值范围.22．【答案】（1）解：联立曲线C3,C4的极坐标方程{ρ=1+cosθ,(θ∈(0,π2))ρcosθ=1得: ρ2−ρ−1=0，解得ρ=1+√52，即交点到极点的距离为1+√52.（2）解：曲线C1的极坐标方程为θ=α,(α∈(0,π2),ρ>0)，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ,θ∈(0,π2)联立得ρ=2sinα,α∈(0,π2)即|OP|=2sinα,α∈(0,π2 )曲线C1与曲线C3的极坐标方程联立得ρ=1+cosα,α∈(0,π2 )，即|OQ|=1+cosα,α∈(0,π2 )，所以|OP|+|OQ|=1+2sinα+cosα=1+√5sin(α+φ)，其中φ的终边经过点(2,1)，当α+φ=π2+2kπ,k∈Z，即α=arcsin2√55时，|OP|+|OQ|取得最大值为1+√5.【解析】【分析】（1）联立曲线C3,C4的极坐标方程，得到ρ2−ρ−1=0，即可求出C3与C4的交点到极点的距离；（2）先求出曲线C1与C2的极坐标方程，联立得|OP|=2sinα与|OQ|=1+cosα，利用正弦函数的性质即可求出|OP|+|OQ|的最大值.23．【答案】（1）解：a=−1时，f(x)>0可得|2x−1|>|x−2|，即(2x−1)2>(x−2)2，化简得：(3x−3)(x+1)>0，所以不等式f(x)>0的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)（2）解：①当a<−4时，f(x)={−x−a−2,x<2−3x−a+2,2≤x≤−a 2x+a+2,x>−a2，由函数单调性可得f(x)min=f(−a2)=a2+2≥−1，解得−6≤a<−4；②当a=−4时，f(x)=|x−2|，f(x)min=0≥−1，所以a=−4符合题意；③当a>−4时，f(x)={−x−a−2,x<−a23x+a−2,−a2≤x≤2x+a+2,x>2，由函数单调性可得，f(x)min=f(−a2)=−a2−2≥−1，解得−4<a≤−2；综上，实数a的取值范围为[−6,−2].【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，化简得(3x−3)(x+1)>0，即可求出不等式f(x)>0的解集；（2）由已知f(x)≥−1在x∈R上恒成立，分三种情况讨论a，分别求出函数的最小值，综上即可求出实数a的取值范围.。

2017年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={2，3，4}，B={x|2x＜16}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{2，3，4}D．{2，3}2．设复数z满足z+i=i（2﹣i），则=（）A．1+3i B．﹣1+3i C．1﹣i D．﹣1+i3．已知函数f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．﹣ B．﹣3 C．D．34．长方体长，宽，高分别为3，2，，则长方体的外接球体积为（）A．12πB．πC．8πD．4π5．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，则S13=（）A．6 B．130 C．200 D．2606．已知直线y=mx与x2+y2﹣4x+2=0相切，则m值为（）A．±B．±C．±D．±17．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（1，0，2），（1，2，0），（1，2，1），（0，2，2），若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（）A．B．1 C．2 D．48．函数f（x）=sinx+cosx的图象向右平移t（t＞0）个单位长度后所得函数为偶函数，则t的最小值为（）A．B．C． D．9．已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若=3，则直线l的斜率为（）A．2 B．C．D．10．等差数列{a n}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a1=3，S n为数列a n的前n项和，则S n的最大值为（）A．8 B．6 C．5 D．411．若正整数N除以正整m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如10=4（mod6）．如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定律”的某一环节，执行该框图，输入a=2，b=3，c=5，则输出的N=（）A．6 B．9 C．12 D．2112．“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名，下面讲到人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化，在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生．”由此推测这位说话人的性别和职务是（）A．男护士B．女护士C．男医生D．女医生二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约为．14．若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为．15．在锐角△ABC中，=3，=x+y，则=．16．已知函数f（x）=|xe x|﹣m（m∈R）有三个零点，则m的取值范围为．三、解答题（本题共60分）17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B﹣cos2C﹣sin2A=sinAsinB．（1）求角C；（2）若c=2，△ABC的中线CD=2，求△ABC面积S的值．18．为了增强中小学生运动健身意识，某校举办中小学生体育运动知识竞赛，学校根据男女比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在80分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生成绩频数分布表以及女生成绩频率分布直方图如图：男生成绩：女生成绩：（如图）（1）根据以上数据完成下列2×2列联表根据此数据你认为能否有99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关？参考公式：K2=，（n=a+b+c+d）．（2）在这220人中，学校男、女比例采用分层抽样的方式从成绩优良的学生中抽取6人进行培训，最后再从中随机抽取2人参加全市体育运动知识竞赛，求这2人是一男一女的概率．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，E为PB上任意一点．（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；（2）试确定点E的位置，使得四棱锥P﹣ABCD的体积等于三棱锥P﹣ACE体积的4倍．20．已知函数f（x）=lnx+（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间（1，4）上单调递增，求a的取值范围；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=2x相切，求a的值．21．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M（m，0）做斜率存在且不为0的直线l，交椭圆E于A，C两点，点P（，0），且•为定值．（1）求椭圆E的方程；（2）求m的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在极坐标系下，点P是曲线ρ=2（0＜θ＜π）上的动点，A（2，0），线段AP 的中点为Q，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求点Q的轨迹C的直角坐标方程；（2）若轨迹C上的点M处的切线斜率的取值范围是[﹣，﹣]，求点M横坐标的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+4|．（1）若y=f（2x+a）+f（2x﹣a）最小值为4，求a的值；（2）求不等式f（x）＞1﹣x的解集．2017年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={2，3，4}，B={x|2x＜16}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{2，3，4}D．{2，3}【考点】交集及其运算．【分析】由指数函数的性质求出B，由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由题意得，B={x|2x＜16}={x|x＜4}，又A={2，3，4}，则A∩B={2，3}，故选：D．2．设复数z满足z+i=i（2﹣i），则=（）A．1+3i B．﹣1+3i C．1﹣i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵z+i=i（2﹣i），∴z=i+1．则=1﹣i．故选：C．3．已知函数f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．﹣ B．﹣3 C．D．3【考点】分段函数的应用．【分析】由已知中函数f（x）=，将x=2代入可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2）=﹣1，∴f（f（2））=f（﹣1）=，故选：C4．长方体长，宽，高分别为3，2，，则长方体的外接球体积为（）A．12πB．π C．8πD．4π【考点】球内接多面体．【分析】长方体的对角线就是外接球的直径，求出长方体的对角线长，即可求出球的半径，外接球的体积可求．【解答】解：由题意长方体的对角线就是球的直径．长方体的对角线长为：=4外接球的体积V==故选B．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，则S13=（）A．6 B．130 C．200 D．260【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列前n项和公式及通项公式得S13=（a1+a13）=（a4+a10），由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，∴S13=（a1+a13）=（a4+a10）=20=130．故选：B．6．已知直线y=mx与x2+y2﹣4x+2=0相切，则m值为（）A．±B．±C．±D．±1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得m的值．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+2=00的标准方程为（x﹣2）2+y2=2，∴圆心（2，0），半径为∵直线y=mx与x2+y2﹣4x+2=0相切，∴=∴m=1或﹣1故选：D．7．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（1，0，2），（1，2，0），（1，2，1），（0，2，2），若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】空间中的点的坐标；简单空间图形的三视图．【分析】若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左（侧）视图为长方形，长宽分别为1，2，即可得出结论．【解答】解：若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左（侧）视图为长方形，长宽分别为1，2，面积为2，故选C．8．函数f（x）=sinx+cosx的图象向右平移t（t＞0）个单位长度后所得函数为偶函数，则t的最小值为（）A．B．C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于y轴对称得到t=﹣kπ﹣，k∈Z，再结合t＞0，从而得到最小值．【解答】解：y=sinx+cosx=sin（x+）然后向右平移t（t＞0）个单位后得到y=sin（x﹣t+）的图象为偶函数，关于y轴对称，∴﹣t+=kπ+，k∈Z，可得：t=﹣kπ﹣，k∈Z，∵t＞0，∴当k=﹣1时，t的最小值为．故选：C．9．已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若=3，则直线l的斜率为（）A．2 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE=，得∠BAE=60°，即直线AB的倾斜角为60°，从而得到直线AB的斜率k 值．【解答】解：作出抛物线的准线l：x=﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．∵=3，∴设AF=3m，BF=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC=3m，BD=m．因此，Rt△ABE中，cos∠BAE=，得∠BAE=60°所以，直线AB的倾斜角∠AFx=60°，得直线AB的斜率k=tan60°=，故选：D．10．等差数列{a n}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a1=3，S n为数列a n的前n项和，则S n的最大值为（）A．8 B．6 C．5 D．4【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的公差，由a3，a5，a15成等比数列建立关系式，用a1=3和公差d表示出a3，a5，a15求解d，求解数列a n的前n项和S n可得最大值【解答】解：设等差数列的公差为d，a1=3，∴a3=3+2d，a5=3+4d，a15=3+14d，由a3，a5，a15成等比数列，可得（3+4d）2=（3+2d）（3+14d），∵d≠0解得：d=﹣2，∴S n==4n﹣n2．当n=2时，S n最大为4．故选：D．11．若正整数N除以正整m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如10=4（mod6）．如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定律”的某一环节，执行该框图，输入a=2，b=3，c=5，则输出的N=（）A．6 B．9 C．12 D．21【考点】程序框图．【分析】模拟运行程序，可得程序的作用是先求2，3的最小公倍数，再除以5，余数为1，即可得出结论．【解答】解：模拟运行程序，可得程序的作用是先求2，3的最小公倍数，再除以5，余数为1，故N=6，故选A．12．“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名，下面讲到人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化，在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生．”由此推测这位说话人的性别和职务是（）A．男护士B．女护士C．男医生D．女医生【考点】进行简单的合情推理．【分析】设女护士人数为a，男护士人数为b，女医生人数为c，男医生人数为d，根据已知构造不等式组，推理可得结论．【解答】解：设女护士人数为a，男护士人数为b，女医生人数为c，男医生人数为d，则有：（一）a+b≥c+d（二）d＞a（三）a＞b（四）c≥1得出：d＞a＞b＞c≥1假设：c=1仅有：a=5，b=4，d=6，c=1时符合条件，又因为使abcd中一个数减一任符合条件，只有b﹣1符合，即男护士，假设：c＞1则没有能满足条件的情况综上，这位说话的人是女医生，故选：D．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约为36．【考点】几何概型．【分析】设阴影部分的面积为S，由题意可得=，解之即可．【解答】解：设图中阴影部分的面积为S，由题意可得=，解得S=36故答案为：3614．若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=3x+y的最大值．【解答】解：由约束条件，得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（2，0），解得B（，），C（0，﹣1）将三个代入z=3x+y得z的值分别为6，，﹣1，直线z=3x+y过点A （2，0）时，z取得最大值为6；故答案为：6．15．在锐角△ABC中，=3，=x+y，则=3．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，求出x、y的值即可．【解答】解：如图所示，锐角△ABC中，=3，∴==（﹣），∴=+=﹣=﹣（﹣）=+；又=x+y，∴x=，y=，∴=3．故答案为：3．16．已知函数f（x）=|xe x|﹣m（m∈R）有三个零点，则m的取值范围为（0，）．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）=|xe x|﹣m（m∈R）有三个零点，转化为方程|xe x|=m有三个不相等的实数解，即y=m与函数y=|xe x|的图象有三个交点，利用导数法分析f（x）=xe x的单调性和极值，进而结合函数图象的对折变换画出函数y=|xe x|的图象，数形结合可得答案．【解答】解：函数f（x）=|xe x|﹣m（m∈R）有三个零点，令g（x）=xe x，则g′（x）=（1+x）e x，当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）=xe x在（﹣∞，﹣1）上为减函数，在（﹣1，+∞）上是减函数，g（﹣1）=﹣，又由x＜0时，g（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0，故函数y=|xe x|的图象如下图所示：故当m∈（0，）时，y=m与函数y=|xe x|的图象有三个交点，即方程|xe x|=m有三个不相等的实数解，故m的取值范围是（0，），故答案为：（0，）．三、解答题（本题共60分）17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B﹣cos2C﹣sin2A=sinAsinB．（1）求角C；（2）若c=2，△ABC的中线CD=2，求△ABC面积S的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，把已知等式利用正弦定理化简，整理后代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．（2）设∠ADC=α，则∠CDB=π﹣α．在△ADC与△ADB中，由余弦定理可得：b2+c2=20，在△ABC中，由余弦定理可得：b2+c2+bc=24．可得bc=4．即可得出．【解答】解：（1）∵△ABC的三个内角为A，B，C，且cos2B﹣cos2C﹣sin2A=sinAsinB．sin2C﹣sinAsinB=sin2A+sin2B，∴由正弦定理化简得：c2﹣ab=a2+b2，∴cosC=，可得：cosC=∵0＜C＜π，∴C=．（2）设∠ADC=α，则∠CDB=π﹣α．在△ADC中，由余弦定理可得：b2=﹣，在△ADB中，由余弦定理可得：c2=﹣2×cos（π﹣α），∴b2+c2=20，在△ABC中，由余弦定理可得：=b2+c2﹣2bc，化为：b2+c2+bc=24．∴bc=4．=bcsin=．∴S△ABC18．为了增强中小学生运动健身意识，某校举办中小学生体育运动知识竞赛，学校根据男女比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在80分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生成绩频数分布表以及女生成绩频率分布直方图如图：男生成绩：女生成绩：（如图）（1）根据以上数据完成下列2×2列联表根据此数据你认为能否有99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关？参考公式：K2=，（n=a+b+c+d）．（2）在这220人中，学校男、女比例采用分层抽样的方式从成绩优良的学生中抽取6人进行培训，最后再从中随机抽取2人参加全市体育运动知识竞赛，求这2人是一男一女的概率．【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由列联表数据代入公式求出K2，从而得到有99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关；（2）由题意男女比例为2：1，抽取的6人中，男生4人，女生2人，从中随机抽取2人参加全市体育运动知识竞赛，共有方法=15种，这2人是一男一女的方法有8种，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，男生成绩优秀的人数为57+23=80人，非优秀的人数为40人，女生成绩优秀的人数为100×（0.25+0.3）=40，非优秀的人数为60，K2=≈15.644＞10.828，∴有99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关；（2）由题意男女比例为2：1，抽取的6人中，男生4人，女生2人，从中随机抽取2人参加全市体育运动知识竞赛，共有方法=15种，这2人是一男一女的方法有8种，∴这2人是一男一女的概率是．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，E为PB上任意一点．（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；（2）试确定点E的位置，使得四棱锥P﹣ABCD的体积等于三棱锥P﹣ACE体积. 的4倍．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AC，BD，推导出AC⊥BD，AC⊥PD，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．（2）由=，能求出E为PB的中点．【解答】证明：（1）连结AC，BD，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．解：（2）∵四棱锥P﹣ABCD的体积等于三棱锥P﹣ACE体积的4倍，∴=，设P到平面ABCD的距离为h，则===，解得h=PD，故此时E为PB的中点．20．已知函数f（x）=lnx+（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间（1，4）上单调递增，求a的取值范围；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=2x相切，求a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，由题意可得f′（x）≥对任意x∈（1，4）恒成立，分离参数a，可得a≥，利用导数求出函数g（x）=在（1，4）上的最大值得答案；（2）设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，可得切线斜率，再由两函数在切点处的函数值相等求得a的值．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx+，则f′（x）=，∵函数f（x）在区间（1，4）上单调递增，∴≥0在x∈（1，4）上恒成立．即a≥在x∈（1，4）上恒成立．令g（x）=，则g′（x）=．当x∈（1，3）时，g′（x）＞0，当x∈（3，4）时，g′（x）＜0．∴g（x）在（1，3）上为增函数，在（3，4）上为减函数，∴g（x）max=g（3）=．则a≥；（2）设切点坐标为（x0，y0），则f′（x0）=+，则+=2f（x0）=lnx0+=2x0，②联立①，②解得：x0=2，a=．21．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M（m，0）做斜率存在且不为0的直线l，交椭圆E于A，C两点，点P（，0），且•为定值．（1）求椭圆E的方程；（2）求m的值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标得出椭圆E的左焦点F1，从而求出c；由离心率求出a，再求出b2，即可写出E的标准方程；（2）设过点M（m，0）的直线l为y=k（x﹣m），代入+y2=1，消去y，设出A、C坐标，利用跟与系数的关系得出x1+x2与x1x2，计算•，根据•为定值求出m的值．【解答】解：（1）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴F1（﹣1，0），∴c=1，又e==，得a=c=，∴b2=a2﹣c2=﹣12=1．∴椭圆E的标准方程为+y2=1；（2）设过点M（m，0）的直线l为y=k（x﹣m），代入+y2=1，消去y得，（2k2+1）x2﹣4k2mx+2k2m2﹣2=0；设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴•=（x1﹣）（x2﹣）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）++k2（x1﹣m）（x2﹣m）=（k2+1）x1x2﹣（k2m﹣）（x1+x2）+（+k2m2）=﹣+（+k2m2）=+；∴•为定值，∴为定值，令3m2+5m﹣2=﹣4，则3m2+5m+2=0，解得m=﹣1或m=﹣．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在极坐标系下，点P是曲线ρ=2（0＜θ＜π）上的动点，A（2，0），线段AP 的中点为Q，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求点Q的轨迹C的直角坐标方程；（2）若轨迹C上的点M处的切线斜率的取值范围是[﹣，﹣]，求点M横坐标的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线ρ=2（0＜θ＜π），即ρ2=4，（0＜θ＜π），化为直角坐标方程：x2+y2=4（0＜y≤2）．设线段AP的中点Q（x，y），A（x′，y′），则，y=，解得x′=2x﹣2，y′=2y．代入方程（x′）2+（y′）2=4，即可得出．（2）轨迹C的方程为：y==，设M（x0，y0）．y′=，根据迹C上的点M处的切线斜率的取值范围是[﹣，﹣]，可得≤≤，解出即可得出．【解答】解：（1）曲线ρ=2（0＜θ＜π），即ρ2=4，（0＜θ＜π），化为直角坐标方程：x2+y2=4（0＜y≤2）．设线段AP的中点Q（x，y），A（x′，y′），则，y=，解得x′=2x﹣2，y′=2y．∵（x′）2+（y′）2=4，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4，化为：（x﹣1）2+y2=1．由y′∈（0，2]，可得0＜2y≤2，解得0＜y≤1．∴点Q的轨迹C的直角坐标方程：（x﹣1）2+y2=1（0＜y≤1）．（2）轨迹C的方程为：y==，设M（x0，y0）．y′==，∵迹C上的点M处的切线斜率的取值范围是[﹣，﹣]，∴≤≤，解得：≤x0≤．∴点M横坐标的取值范围是．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+4|．（1）若y=f（2x+a）+f（2x﹣a）最小值为4，求a的值；（2）求不等式f（x）＞1﹣x的解集．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）求出y的解析式，利用绝对值不等式即可求解a的值．（2）函数含有绝对值，即可考虑到分类讨论去掉绝对值号，分别讨论当x=﹣4时，当x＞﹣4时，当x＜﹣4的情况，可得不同解析式求解不等式即可．【解答】解：（1）由题意，函数f（x）=|x+4|．那么y=f（2x+a）+f（2x﹣a）=|2x+a+4|+|2x﹣a+4|≥|2x+a﹣4﹣（2x﹣a+4）|=|2a|∵最小值为4，即|2a|=3，∴a=（2）函数f（x）=|x+4|=∴不等式f（x）＞1﹣x等价于，解得：x＞﹣2或x＜﹣4故得不等式f（x）＞1﹣x的解集为{x|x＞﹣2或x＜﹣4}．2017年3月19日。

又∵ ，∴ ，∴ ．………….…9分
，
∴ ．……………………………………………………………………..…..10分
∴ ，∴三角形周长为 ．……………………………………12分
18．（本小题满分12分）
（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：
由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．……………………………6分
答案
一、选择题
1~5．ADCAC 6~10．BABDB 11~12．CD
二、填空题
13．95
14．1
15．
16．128
三、解答题
17．（本小题满分12分）
解：（1）∵ ， ………………………..…3分
∴ ，…………………….…….….5分
∴当 时， 取得最小值2．…………………………….6分
（2）∵ ，∴ ，……………………………………………..….7分
∴ ．……………………………………………………………………………..……12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）由题意可知 ，……………………………………………………….…2分
∴ ，故椭圆的方程为 ．…………………………………………....…4分
（2）设直线 方程为 ，代入 有 ，…………5分
设 ， ，AB中点 ，
13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90，则学号为31号到50号同学的平均成绩为________．
14．已知函数 ，则 ________．
15．过双曲线 的右焦点 且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为________．
16．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数________．

辽宁省大连市数学高考文数三模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题. (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·定州期末) 已知集合，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·河南模拟) 已知为虚数单位，若，则（）A . 1B .C .D . 23. （2分）下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A . i>8B . i>9C . i>10D . i>114. （2分） (2016高一下·双流期中) 已知等差数列{an}中，且a4+a12=10，则前15项和S15=（）A . 15B . 20C . 21D . 755. （2分）将函数的图像向右平移个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（）A . y=sin2xB . y=cos2xC .D .6. （2分）(2017·揭阳模拟) 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（）A .B . 1C . 2D .7. （2分）(2016·湖南模拟) 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q 在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分）投掷两颗骰子，其向上的点数分别为和，则复数为纯虚数的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）设,当实数x,y满足不等式组时，目标函数的最大值等于2，则m的值是（）A . 2B . 3C .D .10. （2分） (2016高一上·黄冈期末) 用二分法研究函数f（x）=x3﹣2x﹣1的理念时，若零点所在的初始区间为（1，2），则下一个有解区间为（）A . （1，2）B . （1.75，2）C . （1.5，2）D . （1，1.5）11. （2分） (2019高三上·瓦房店月考) 一个圆锥的母线长为，圆锥的母线与底面的夹角为，则圆锥的内切球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高三上·甘肃开学考) 已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）A . 2B . 3C . 4D . 5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二上·徐州期末) 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为________．14. （1分） (2020高二上·黄陵期末) 如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．15. （1分） (2016高二上·蕉岭开学考) 等边△ABC的边长为1，记 = ， = ， = ，则• ﹣﹣• 等于________．16. （1分） (2019高一下·湖州月考) 设的内角 , , 的对边分别为 , , ,若的周长等于20,面积是 , ,则边的长是________.三、解答题. (共7题；共75分)17. （10分） (2016高二下·衡阳期中) 设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=n2+n+1，n∈N* ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{ }的前n项和Tn．18. （10分） (2017高一下·桃江期末) 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．（1）求事件“x+y≤3”的概率；（2）求事件“|x﹣y|=2”的概率．19. （10分）(2014·北京理) 如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE 中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．20. （10分） (2016高二上·杭州期中) 已知圆C1：x2+y2﹣3x﹣3y+3=0，圆C2：x2+y2﹣2x﹣2y=0．（1）求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．（2）求过两圆交点且面积最小的圆的方程．21. （15分） (2017高一下·苏州期末) 已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x（a∈R）（1）当a=4时，解不等式f（x）≥8；（2）当a∈[0，4]时，求f（x）在区间[3，4]上的最小值；（3）若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．22. （10分）已知圆锥曲线（θ是参数）和定点A（0，），F1 ， F2是圆锥曲线的左、右焦点．（1）求经过点F2且垂直于直线AF1的直线l的参数方程；（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF1的极坐标方程．23. （10分）(2017·大庆模拟) 已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；（2）设m，n∈{y|y=f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．参考答案一、选择题. (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题. (共7题；共75分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。