北京科技大学数学大作业物理组
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《Matlab数学实验》大作业研究课题轻杆单摆振动的周期和运动规律学院数理学院班级物理1101组长周慧斌组员童鑫周涛2012年12月一、应用题目及背景单摆是质点振动系统的一种，是最简单的摆。
绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。
但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度且不能伸长的轻杆（质量可忽略不计）上，把质块拉离平衡位置，放手后质块往复振动，此即轻杆单摆的振动问题。
当轻杆和过悬点铅垂线所成角度小于10°时，可视为质点的振动周期 T只和当地的重力加速度g有关，而和质块的质量、形状和振幅的大小都无关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。
如果振动的角度大于 10°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不成为单摆了。
如摆球的尺寸相当大，轻杆的质量不能忽略，就成为复摆（物理摆），周期就和摆球的尺寸有关了。
本文将从严格的物理学角度，应用Matlab软件对各种角度下的轻杆类单摆的周期和运动规律进行模拟分析。
此项研究对物理学其它模型的研究，各种科研活动中精密仪器的研制具有重要指导意义。
此项研究解决的主要问题如下：1.设想一长为l的轻杆，连接一个质量为m的摆球，形成一个单摆，不计摩擦。
建立单摆的周期与角振幅关系的数学模型，并用matlab 进行曲线模拟.2.编程演示单摆振动的动画，比较单摆振动和简谐振动的规律。
3.当单摆角振幅的度数为1°到7 °时(间隔为1 °)，将单摆运动的角位置和角速度与简谐振动进行比较。
当单摆角振幅的度数为30 °到150 °时(间隔为30 °)，另加179 ° ，同样进行比较。
二、数学模型的建立如图1所示，设角位置为θ，摆锤的运动方程为即：在小角度的情况下，sinθ ≈ θ，可得ω0为圆频率： 振动周期为：图1 可见：在小角振动的情况下，单摆的周期与角振幅无关，这称为单摆的等时性。
摆锤的角速度为ω = d θ/dt ，因此可得积分得22d sin d g t l θθ=-22d sin d ml mg t θθ=-0ω=002π2T ω==2202d 0d t θωθ+=21cos 2g C lωθ=+mg d sin d g l ωωθθ=-22d d d d d d d d d d t t t θωωθωωθθ===当t = 0时，ω = 0，θ = θm ，可得C = -gcos θm/l 。
因此角速度大小为单摆的周期为：对于任何角振幅θm ，通过数值积分和符号积分都能计算周期。
利用半角公式可得：设 2sink m θ= 并设ksinx = sin(θ/2)，因此可得第一类完全椭圆积分定义为则周期为其中d d t θω==m m 000πT T ==⎰m 001πT T θ=⎰002π2T ω==π/2π/2000012ππT T T ==⎰⎰π/2002πT =⎰π/20K()k =⎰02K()π.T T k =002π2T ω==π/2002πT T =⎰02K(),πT k =m sin 2k θ=将周期的椭圆积分公式按二项式展开得其中(2n – 1)!! = 1·3…·(2n – 1)。
利用定积分公式可得用无穷级数表示的单摆周期如果只取常数项，可得单摆小角度的周期T0。
如果取前两个正弦项，则得利用级数计算周期究竟要取多少项，则根据精度确定。
三、算法及程序代码1.单摆的周期与角振幅关系【算法】MATLAB 定义的第一类完全椭圆积分为周期可表示为 π/220102(21)!![1(sin )]d π2!n n n n T T k x x n ∞=-=+∑⎰π/220(21)!!πsin d 2!2n n n x x n -=⎰2m 01(21)!!{1[sin ]}2!2n n n n T T n θ∞=-=+∑224m m 0222113(1sin sin ...)22242T T θθ=+++π/20K(m)=⎰02K()π.T T m =其中2sin m 2m θ=. 对于一定的角振幅，根据精度在单摆周期的无穷级数中去有限项，计算周期的近似值。
【程序代码】cleartheta=0:179;thm=theta*pi/180;T0=ellipke(sin(thm/2).^2)*2/pi; figureplot(theta,T0,'r-')fs=16;title('单摆的周期与角振幅的关系','FontSize',fs)xlabel('\it\theta\rm_m/\circ','FontSize',fs)ylabel('\itT/T\rm_0','FontSize',fs)grid onlegend('第一类完全椭圆积分')text(0,2,'\itT\rm_0=2\pi(\itl/g\rm)^{1/2}','FontSize',fs)2.轻杆单摆运动的动画模拟【程序代码】clearthetam=input('输入单摆角振幅：');thm=thetam*pi/180;T=ellipke(sin(thm/2)^2)*2/pi;t=linspace(0,T*2*pi);options.RelTol=1e-6;[t,TH]=ode45('fun',t,[thm,0],options);th=TH(:,1);figureplot([0;0],[0;1.05],'-.','LineWidth',2)axis equal off ijfs=16;title('单摆的振动','FontSize',fs)hold onplot(0,0,'o')plot(exp(i*(linspace(-thm,thm)+pi/2)),'m--','LineWidth',2) x=sin(thm);y=cos(thm);plot([0,-x],[0,y],'r:','LineWidth',2)pole=plot([0,x],[0,y],'r','LineWidth',3);ball=plot(x,y,'c.','MarkerSize',50);txt{1}=['\it\theta\rm_m=',num2str(thetam),'\circ'];txt{2}=['\itT/T\rm_0=',num2str(T)];txt{3}='\itT\rm_0=2\pi(\itl/g\rm)^{1/2}';text(-x/2,y/2,txt,'FontSize',fs)pausewhile get(gcf,'CurrentCharacter')~=char(27)for i=1:length(t)x=sin(th(i));y=cos(th(i));set(ball,'XData',x,'YData',y)set(pole,'XData',[0 x],'YData',[0 y])drawnowpause(0.01)endend3.轻杆单摆运动规律的模拟【程序代码】clearw0t=linspace(0,4*2*pi);a=1:5;n=length(a);options.RelTol=1e-6;W=[]; THETA=[];t0=[];for i=1:nth0=a(i)*pi/180;[w0t,TH]=ode45('p5_5_2fun',w0t,[th0;0],options); THETA=[THETA,TH(:,1)*180/pi];W=[W,TH(:,2)];t0=[t0,ellipke(sin(th0/2)^2)*2/pi];endt=w0t/2/pi;figureplot(t,THETA(:,1),'o-',t,THETA(:,2),'d-',t,THETA(:,3),'s-', ...t,THETA(:,4),'^-',t,THETA(:,5),'v-')grid onfs=16;xlabel('时间\itt/T\rm_0','FontSize',fs)ylabel('角度\it\theta\rm/\circ','FontSize',fs)title('单摆的角位移(同色点为简谐振动的标准点)','FontSize',fs)leg=[repmat('\it\theta\rm_m=',n,1),num2str(real(a'))];%角振leg=[leg,repmat('\circ,\itT/T\rm_0=',n,1),num2str(real(t0') )];legend(leg,4)text(0,a(end),'\itT\rm_0=2\pi(\itl/g\rm)^{1/2}','FontSize',fs)[T,WT]=meshgrid(t0,w0t);THm=ones(size(t))*a;THh=THm.*cos(WT./T);hold onplot(t,THh,'.')figureplot(t,W)plot(t,W(:,1),'o-',t,W(:,2),'d-',t,W(:,3),'s-',t,W(:,4),'^-',...t,W(:,5),'v-')grid ontitle('单摆的角速度(同色点为简谐振动的标准点)','FontSize',fs)xlabel('时间\itt/T\rm_0','FontSize',fs)ylabel('角速度\it\omega/\omega\rm_0','FontSize',fs)legend(leg,4)text(0,max(W(:)),'\it\omega\rm_0=2\pi/\itT\rm_0','FontSize' ,fs)Wm=ones(size(w0t))*a*pi/180;Wh=-Wm./T.*sin(WT./T);hold onplot(t,Wh,'.')四.执行结果及分析1.单摆的周期与角振幅的关系程序执行结果如图2.a和图2.b所示。
