八、力系的平衡

第八讲内容 第三章 力系的平衡一、平面汇交力系平衡的解析条件由公式（2—7）可知()()2222∑∑+=+=yxy x F F R R R要使R =0，必须R=0，即()()2222∑∑+=+=yxy x F F R R R =0上面式中()2∑xF 和()2∑yF 恒为正值，所以要使R =0，必须且只须0==∑∑yx FF （2—9）因此，平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中各力在两个不平行的坐标轴中的每一轴上的投影的代数和等于零。

式（2—9）称为平面汇交力系的平衡方程。

它们相互独立，应用这两个独立的平衡方程可求解两个未知量。

利用平衡方程求解实际问题时，受力图中的未知力指向有时可以任意假设，若计算结果为正值，表示假设的力的指向就是实际的指向；反过来，若计算结果为负值，表示假设的力的指向与实际指向相反。

在实际计算中，适当地选取投影轴，可使计算简化。

用几何法求解时，未知力的实际指向由力多边形的封闭边来确定。

力多边形中所有力都环绕力多边形的同一方向且首尾相接，利用这一条件即可确定未知力的指向。

下面举例说明平面汇交力系平衡条件的应用。

例2—4 一物体重为30kN ，用不可伸长的柔索AB 和BC 悬挂于如图2—11a 所示的平衡位置，设柔索的重量不计，AB 与铅垂线的夹角 30=α，BC 水平。

求柔索AB 和BC 的拉力。

解：（1）受力分析：取重物为研究对象，画受力图如图2—11b 所示。

根据约束特点，绳索必受拉力。

（2）先用几何法求解作力多边形，求解未知力。

选取比例尺1cm 代表15kN ，任取一点a ，作ac 平行于W ，且kN W ac 40==，过c 点作T BC 的平行线，过a 点作T AB 的平行线，两线相交于b 点。

于是得到封闭的力三角形abc 。

从图中按比例量得 T AB =34kN T BC =17kN图2—11（1） 用解析法求解建立直角坐标系O xy ，如图2—11b 所示，根据平衡方程建立方程求解∑∑==-===-=kN T T T F kN T W T F BC BABC x BA BA y 32.17,030sin ,064.34,030cos ,0例2—5 简易起重机如图2—12所示。

B、C为铰链支座。

钢丝绳的一端缠绕在卷扬机D上，另一端绕过滑轮A将重为W=20kN的重物匀速吊起。

杆件AB、AC及钢丝绳的自重不计，各处的摩擦不计。

试求杆件AB、AC所受的例。

解：（1）取滑轮A为研究对象进行受力分析：杆件AB及杆件AC仅在其两端受力且处于平衡，因此都是二力杆，设都为受拉；由于不计摩擦，钢丝绳两端的拉力应相等，都等于物体的重量W。

如果不考虑滑轮的尺寸，则滑轮的受力图如图2—12b所示。

（2）用几何法求解作力多边形，求未知力。

取比例尺1cm表示10 kN，再任选取一点a，作ab平行于T1，且ab=W；过b点作bc平行于T2，且bc=W；然后再从a点与c点分别作直线平行于力R AC和R AB，此两直线相交于d点。

于是得到封闭的力四边形abcd，如图2—12c所示。

根据力多边形首尾相接的矢量规则，即可确定出力R AB和R AC的指向。

从图中按比例尺量得R AB=7.3kN，R AC=27kN由于力多边形上各力的指向表示其实际的受力方向，所以在受力分析中R AC的指向假定错了，即杆件AC为受压力；而R AB的指向假定正确，即AB杆确实是受拉力。

图2—12（3）用解析法求解取坐标轴A xy如图2—12b所示，利用平衡方程，得∑=+--=030cos 60cos ,021 T T R FAC x由于T 1=T 2=W =20kN ，代入上式即得 R AC =kN 32.27- R AC 为负值，说明AC 杆受压力。

∑=-+=060sin 30sin ,012 T T R FAB y解得 R AB =7.321kN R AB 为正值，说明AB 杆受拉力。

从上面计算过程可以看出，用几何法求解的特点是简单、直观，但不如用解析法计算精确。

二、平面力偶系的平衡条件平面力偶系可以合成为一个合力偶，当合力偶矩等于零时，则力偶系中的各力偶对物体的转动效应相互抵消，物体处于平衡状态。

因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零。

用式子表示为∑=0i m （３－６）【例３－５】 在梁ＡＢ的两端各作用一力偶，其力偶矩的大小分别为m kN 360 m,kN 12021⋅=⋅=m m ，转向如图３－１３（a ）所示。

梁长m 6=l ，重量不计。

求Ａ、Ｂ处的支座反力。

【解】：取梁ＡＢ为研究对象，作用在梁上的力有：两个已知力偶m 1、m 2和支座Ａ、Ｂ的反力R A 、R B 。

如图３－１３（b ）所示，Ｂ处为可动铰支座，其反力R B 的方位铅垂，指向假定向上。

Ａ处为固定铰支座，其反力R A 的方向本属未能确定的，但因梁上只受力偶作用，故R A 必须与R B 组成一个力偶才能与梁上的力偶平衡，所以R A 的方向亦为铅垂。

指向假定向下，由公式（３－６）得0 0A21i=⋅+-=∑l Rm m m故kN 40612036012B A =-=-==l m m R R 求得的结果为正值，说明原假设R A 和R B 的指向就是力的实际指向。

三、一般力系平衡条件及其应用(一)、平面一般力系平衡方程的基本形式平面一般力系向任一点简化时，当主矢、主矩同时等于零，则该力系为平衡力系。

因此，平面一般力系处在平衡状态的必要与充分条件是力系的主矢与力系对于任一点的主矩都等于零，即R ′=0 M O ′=0根据式（4－2）及式（4－4），可得到平面一般力系的平衡条件为⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑000O M Y X （4－5） 式（4－5）说明，力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和均等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。

式（4－5）中包含两个投影方程和一个力矩方程，是平面一般力系平衡方程的基本形式。

这三个方程是彼此独立的（即其中的一个不能由另外两个得出），因此可求解三个未知量。

【例4－3】 梁AB 一端为固定端支座，另一端无约束，这样的梁称为悬臂梁。

它承受均布荷载q 和一集中力P 的作用，如图4－9（a ）所示。

已知P =10kN ， q =2kN/m ，l =4m ，︒=45α，梁的自重不计，求支座A 的反力。

【解】：取梁AB 为研究对象，其受力图如图4－9（b ）所示。

支座反力的指向是假定的，梁上所受的荷载和支座反力组成平面一般力系。

在计算中可将线荷载q 用作用其中心的集中力2qlQ =来代替。

选取坐标系，列平衡方程。

)(kN 07.7707.010cos 0cos - 0A A →=⨯====∑ααP X P X X)(kN 07.11707.010242sin 2 0sin 2 0A A ↑=⨯+⨯=+==--=∑ααP ql Y P qlY Y) ( m kN 28.404707.0108423sin 83 0sin 422ql 022A A ⋅=⨯⨯+⨯⨯=⋅+==⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+-=∑l P ql m l P l l m M A αα力系既然平衡，则力系中各力在任一轴上的投影代数和必然等于零，力系中各力对任一点之矩的代数和也必然为零。

因此，我们可以列出其它的平衡方程，用来校核计算有无错误。

校核 028.40407.114424242A A B =+⨯-⨯⨯=+⋅-⨯=∑m l Y l ql M 可见，Y A 和m A 计算无误。

【例4－4】 图4－10（a ）所示一伸臂梁。

受到荷载kN 2=P ，三角形分布荷载kN/m 1=q 作用。

如果不计梁重，求支座A 和B 的反力。

【解】 取CD 梁为研究对象，受力图如图4－10（b ）所示，列平衡方程。

)(kN 25.0122321 0213211 00 0B B A A ↓-=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯==+⨯⨯⨯-⨯=∑==∑q Y Y q P M X X )(kN 75.3)25.0(123223 03210B A B A ↑=--⨯+=-+==⨯⨯--+=∑Y q P Y q P Y Y Y得数为正值，说明实际的反力方向与假设的方向一致，得数为负值，说明实际的反力方向与假设的方向相反。

【例4－5】 一水平托架承受重kN 20=G 的重物，如图4－11（a ）所示，A 、B 、C 各处均为铰链连接。

各杆的自重不计，试求托架A 、B 两处的约束反力。

【解】 取托架水平杆AD 作为研究对象，其受力图如图4－11（b ）所示。

由于杆BC 为二力杆，它对托架水平杆的约束反力B S 沿杆BC 轴线作用，A 处为固定铰支座，其约束反力可用相互垂直的一对反力A X 和A Y 来代替。

取坐标系如图，列出三个平衡方程。

kN43.4222345sin 23 03245sin 0B B A ==︒==-⨯︒=∑G G S G S M kN 30707.043.4245cos 045cos 0B A B A =⨯===︒+-=∑S X S X XkN1020707.043.4245sin 045sin 0B A B A =-⨯=-︒==-︒+-=∑G S Y G S Y Y校核1707.043.42310145sin 3A D =⨯⨯-⨯=⨯︒-⨯=∑B S Y M 说明计算无误【例4－6】 钢筋混凝土刚架，所受荷载及支承情况如图4－12（a ）所示。

已知kN 20 m,kN 2 kN,10 kN/m,4=⋅===Q m P q ，试求支座处的反力。

【解】：取刚架为研究对象，画其受力图如图4－12（b ）所示，图中各支座反力指向都是假设的。

本题有一个力偶荷载，由于力偶在任一轴上投影为零，故写投影方程时不必考虑力偶，由于力偶对平面内任一点的矩都等于力偶矩，故写力矩方程时，可直接将力偶矩m 列入。

设坐标系如图4－12（b ）所示，列三个平衡方程)(kN 3446106 06 0A A ←-=⨯--=--==++=∑q P X q P X X)(kN 296418220310461834 036346 0B B A ↑=⨯++⨯+⨯=+++==⨯--⨯-⨯-⨯=∑q m Q P Y q m Q P Y M)(kN 92920 00B A B A ↓-=-=-==-+=∑Y Q Y Q Y Y Y校核 03462203102)9(6)34(6363266C =⨯⨯+-⨯+⨯+-⨯--⨯=⨯+-++-=∑q m Q P Y X M A A说明计算无误。

从上述几个例题可以看出，平面一般力系平衡问题的解题步骤为：1． 选取研究对象，作出研究对象的受力图。

2． 对所选取的研究对象，列出平衡方程。

3． 由平衡方程解出未知量。