耦合模理论的推导公式
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CMT 可得
a1(t) (j 1)a1(t) jK 12a2(t) FS(t) a2(t) (j 2 1)a2(t) jK 12a1(t)
（6） （7）
在上述公式中， 1, 2, L 分别为原线圈的损耗、负载线圈的损耗和
负载的吸收功率， K12 为两个线圈的耦合率， FS(t) 为励磁损耗（忽略不
所带的负载， K 2 和 K 3 分别为两个负载线圈的耦合系数.同理可得
U
R
j
L1
1 C
1
I
1
jM 2I 2
jM 3I 3
（10）
0
R
RL2
j
L
2
1 C
2
I
2
jM 2I 1
(11)
0
R
RL3
j
L
3
1 C 3
I
3
jM 3I 1
(12)
在谐振状态下的传输效率为
CT
P
I R 2 2 L2
在谐振状态下，
0
L1
1 0L1
,
L0 2
1 0L2
,
X
1
R,
X
2
R
，从而得到
CT
((RL
2M 2 RL R)R 2M 2 )(RL
R)
(5)
1.2 CMT 分析
CPT 系统中，常常只涉及稳态分析，在此也仅分析稳态特性。主
线圈的幅值在正弦时为一个常数；同理，次线圈的幅值也是一个常数， 两个时间域线圈 a1(t), a2(t) 的原始储能可分别表示为 a1(t) 2 , a2(t) 2 。由
( L 2)(( L 2)1 K 122
2 K 2 L1L2RL ((RL R)R 2K 2L1L2)(RL R)
2M 2 RL
((RL R)R 2M 2 )(RL R)
（9）
与式（5）对比可知，两种方法求出的传输效率的表达式相同。
2 两个负载电路的传输效率分析
2.1 电路分析
对于图 2 电路， M 2 和 M 3 为 L1 分别与 L2 和 L3 的互感， RL3 为线圈 3
I R 2 3 L3
2M
22 RL2(R
RL3)2
2M
32 RL3(R
RL2) 2
UI 1
UI 1
G1(R RL2)(R RL3)
式中：
G1
(
R
RL
2)(R
RL3)
2
M
2
2
(
R
RL
3)
2
M
2
3
(
R
RL
2)
.
(13)
2.2 CMT 分析
3 个线圈的 CMT 分析和两个线圈的 CMT 分析方法类似，如
A3
jK 13
R
R
RL 2
R
RL3
时
有
关
系
式
L2 , L3 , 1 , 2 , 3 , K 12 K 2 , K 13 K 3 .从 而 解
2QL 2
2QL3
2Q1
2Q2
2Q3
2
2
得
CMT
PL2 PL3 P1 P2 P3 PL2 PL3
21
A2 1
22
2L 2
A2 2
R
j
L1
1 C
1
I
1
jMI 2
0
R
RL
j
L
2
1 C
2
I
2
jMI 1
I
2
(RL
jMU X 2) X1
2M
2
,
P
I
2 2
RL
(1) (2)
(3)
令
Xi
R
j
L1
1 Ci
，
CT
P UI 1
I 22 RL UI 1
((RL
X
2M 2 RL 2) X 1 2M
2 )(RL
X
Байду номын сангаас
2)
(4)
耦合模理论
耦合模理论（Coupled-Mode Theory，CMT）是研究两个或多个电磁 波 模 式 间 耦 合 的 一 般 规 律 的 理 论 。 CMT 可 用 于 非 接 触 电 能 传 输 （Contactless Power Transfer，CPT）系统的计算，以降低多线圈耦合电 路计算的复杂性。为了用 CMT 来估算线圈间的能量传输效率，首先 用电路原理（Circuit Theory，CT）的思想解决两个线圈的能量传输效率 问题，然后通过 CMT 得出两个线圈感应连接的能量传输效率方程，将 两个方程对比后发现可以变换为一套相同的公式。随后分析 3 个线圈、 4 个线圈、一直到 n-1 个线圈都可以变换为同一套公式，最后将此方法 推广到在同一平面的 n 个负载线圈的效率求解。
A2 2 23
2L3
A2 3
A3 2 2L2
A2 2
2L3
A2 3
2M
2
2
RL 2( R
RL3)2
2M
2
3
RL 3( R
RL 2) 2
G2(R RL2)(R RL3)
(17)
式中：
G
2
R(R
RL2)(R
RL3)
2M
2
2
(R
RL3)
2M
2
3
(R
RL 2)
.解出的结
果与式（13）相同.用 CT 方法和 CMT 方法能够得到相同的效率公式. 3 3 个负载电路的传输效率分析
A2 2 2L
A2 2
(8)
由方程（6）和（7）可得 A1 jK 12 2 L ， QL L2 , Q1 L1 , Q2 L2 。
A2 1
jK 12
RL
R
R
将两者之间关系 L , 1 , 2 以及 K12 K 代入式（8），解得
2QL
2Q1
2Q2
2
CMT
K 2 L 12
1 单负载的电路分析 1.1 电路分析
在图 1 中磁共振系统的逆变和整流部分可以得到高频的交流 电，U 是逆变后的交流电源，R 为原副边的内阻，RL 是负载，耦合系数 K M / L1L2 ，其中 M 为 L1 和 L2 的互感。系统最佳的工作频率就是 谐振点 ，由集总参数的能量守恒原理可以得到
U
下所示：
a1(t) ( j1 1)a1(t) jK 12a2(t) jK a13 3(t) FS(t)
（14）
a2(t) ( j 2 2+L2)a2(t) jK 12a1(t)
(15)
a3(t) ( j3 3+L3)a3(t) jK 13a1(t)
(16)
同理可得 A1 3 L3 , Q1 L1 , Q2 L2 , QL2 L2 , Q3 L3 , QL3 L3 同.
对于图 3 中 3 个负载电路的拓扑结构，用同样的方法能够证明
用集总参数分析方法和 CMT 求传输效率是相同的.
CT
P
I
2
2
RL
2
I 32 RL3
I R 2 4 L4
UI 1
UI 1
CMT
PL2 PL3 PL4
P1 P2 P3 P4 PL2 PL3 PL4
计 ） 。 CMT 中 ， a1(t) A1e jt , a2(t) A2e jt 都 是 正 弦 信 号 ；
P1
21
A1 2 , P 2
22
和 A 2 2
PL
2L
A2 2 分别为原线圈、副线圈和负载的功
率。由能量守恒定律可得
CMT
PL P1 P2 PL
21
A1 2
2L 22
A2 2
