2014高考数学(人教版,文科)二轮专题知能专练：专题5 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线]

知能专练(十四) 椭圆、双曲线、抛物线1．与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－2x 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1 2．(2013·北京高考)双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12B. m ≥1 C ．m >1D. m >23．(2013·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p＞0)的准线分别交于A, B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3， 则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2D ．34．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x5．(2013·荆州质量检查)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为( )A. 2B.72C ．2D.746．(2013·浙江省名校联考)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM |＝1，且OM ·PM ＝0，则当|PM |取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95 B.125 C ．4D ．57．(2013·济南模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点，且双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，则双曲线方程为________．8．(2013·北京顺义一模)在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝________.9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为__________． 10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．11．(2013·合肥市质量检测)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．12．(2013·长春市调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，右焦点到直线x ＋y ＋6＝0 的距离为2 3. (1)求椭圆的方程；(2)过M (0，－1)作直线l 交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于N 点，且满足NA ＝－75NB ，求直线l 的方程．答 案知能专练(十四)1．选C 椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0, 2)．设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n ＝1(m >0，n >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n ＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2.2．选C 依题意，e ＝c a ，e 2＝c 2a2>2，得1＋m >2，所以m >1.3．选C 因为双曲线的离心率e ＝ca＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝⎛⎭⎫－p 2，32p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－32p ，所以△AOB的面积为12×p2×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2.4．选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM ＝⎝⎛⎭⎫y 22p ，y 0－2.由已知得，AF ·AM ＝0， 即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4. 由|MF |＝5得，⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8.5．选A 因为e ＝c a ＝12，所以a ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2，得b a ＝32，x 1＋x 2＝－2ba ＝－3，x 1x 2＝c a ＝12，点P (x 1，x 2)到原点 (0,0)的距离d ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝ 2. 6．选B 由OM ·PM ＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，所以所求的距离d ＝125.7．解析：抛物线的焦点坐标为(1,0)，故在双曲线中a ＝1，由双曲线的渐近线方程为y＝±b a x ＝±3x ，可得b ＝3，故所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝18．解析：抛物线的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，又tan 60°＝y A1－(－1)，所以y A ＝2 3.因为P A ⊥l ，所以y P ＝y A ＝23，代入y 2＝4x ，得x A ＝3，所以|PF |＝|P A |＝3－(－1)＝4.答案：49．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 因为AB 过F 1且A ，B 在椭圆上，如图，则△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，解得a ＝4.又离心率e ＝c a ＝22，故c ＝2 2.所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝110．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1，解得b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，则a ＝5.所以C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0，所以x 1＋x 2＝3. 设AB 的中点坐标为(x －，y －)， 则x －＝x 1＋x 22＝32，y －＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－65. 11．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p ×8， ∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x . (2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ， ∴ x 1x 2＝(y 1y 2)264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ， 即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.12．解：(1)设椭圆的右焦点为(c,0)，则|c ＋6|2＝23，c ＋6＝±26，c ＝6或c ＝－36(舍去)．又离心率e ＝c a ＝32，即6a ＝32，故a ＝22，b ＝a 2－c 2＝2， 所以椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0,0)，因为NA ＝－75NB ，所以(x 1－x 0，y 1)＝－75(x 2－x 0，y 2)，y 1＝－75y 2.①易知当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，于是设l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＋4y 2＝8，消去x 得(4k 2＋1)y 2＋2y ＋1－8k 2＝0，②因为直线与椭圆相交，所以Δ>0， 于是y 1＋y 2＝－24k 2＋1 ③，y 1y 2＝1－8k 24k 2＋1④，由①③得，y 2＝54k 2＋1，y 1＝－74k 2＋1，代入④整理得8k 4＋k 2－9＝0，解得k 2＝1，k ＝±1，所以直线l 的方程是y ＝x －1或y ＝－x －1.。