常微分方程积分曲线

原方的通解为 y tan( x C ) x.
dx Q( x, y) 则称其为一阶微分方程的典则形式.
也可写为： P x, ydx Q x, ydy,
称为微分方程的对称形式。
“对称”指方程关于变量 x 和 y 对称。
y y x或 x x y
dy dx
P Q
x, x,
y y
Q x, y 0
或
dx dy
Q P
x, x,
y y
P x, y 0.
一、可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
的微分方程称为可分离变量的微分方程.
例如
dy dx
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x 2dx,
解法 设函数g y 和 f x 是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G y和F x 依次为g y 和 f x 的原函数,
故 x C1 coskt C2 sinkt是原方程的解.
x A, dx 0,
t0
dt t0
C1 A, C2 0. 所求特解为 x Acoskt.
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式：
F x, y, y 0.
若方程可解出 y′, 即
y f x, y dy P( x, y)
y 2x2 y sin x y 2
y y x3 y 0,
线性微分方程
x( y)2 2 yy x 0;
y y x3 y2 0,
d 2
dt 2
3sin
0.
非线性微分方程
三、微分方程的解及积分曲线
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.

# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在1 1 的网格点上画出了向量场
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的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2 ,1) (-2,2) 的三
条积分曲线，见下图
M (x,y)co x s2xye , y
N (x,y)co x s2xye x
M(x,y)N(x,y)
y
x
所以方程为全微分方程。
由公式F (x ,y ) 0M (s ,y )d s 0N (0 ,s )d s
x(yc o ss 2 se y)d sy2 d s
0
0
ysinxx2ey2y
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
dx
令 zy1n,则 dz(1n)yndy
dx
dx
d z (1 n )P (x )z (1 n )Q (x )
d x
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x ( t )

求 曲 线1、求过点(1,2)的曲线，其上每点的切线，从原点到切点的向径和x 轴围成以x 轴为底的等腰三角形。

2、3、456、设曲线L 的极坐标方程为(),(,r r M r θ=若极径0OM ,OM 与曲线L 的一半，求曲线L 的方程。

7、设函数()(0)y x x ≥二阶可导，且'()y x (,)P x y 作该曲线的切线及x 1S ，区间[0,]x 上以()y y x =为曲边的曲边梯形面积记为2S ，并设122S S -恒为1，求此曲线()y y x =的方程。

8、设()y y x =是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(,)x y ，且此曲线上点(0,1)处的切线方程为1y x =+，求该曲线的方程，并求函数()y y x =的极值。

9、求xoy 平面上的一曲线，使其过每点的切线同该点的向径及oy 轴一起构成一个等腰三角形。

10、求一曲线，它的切线在坐标轴间的线段长等于常数a 。

11、设曲线y=f (x)上任意点M(x,y )到坐标原点的距离等于曲线在M 点切线的纵截距，已知曲线过(1,0)点，求此曲线的方程。

求 曲 线 答 案1、解：设曲线上一点（x,y ）则切线与x 轴的交点为（2x,0） y从而切线斜率为∴y y x x y x y ''=-=-414即 A （x,y ） 从而xy=c 又过点（1,2），故xy =22、解：设曲线上任取一点（x,y ）则点的切线与y 轴的截点为（0，2x ） 于是∴yy xxyxy''=-=-414即故y e c e dx x c x c x xdxxdxxdx=⎰-⎰=-⎰=--⎰111444[][][ln]3、解：设曲线上任取一点（x,y）则该点的切线与y轴的截点为（0，x）于是∴yy xxyxy''=--+=3130即故y e c e dx x c x c x xdxxdxxdx=⎰-⎰=-⎰=--⎰111333[][][ln]4、解：设曲线上任取一点（x,y）则该点的切线与y轴的截点为（0，3x）于是∴yy xxyxy''=--+=3130即故y e c e dx x c x c x xdxxdxxdx=⎰-⎰=-⎰=--⎰111333[][][ln]5、解：设曲线上任取一点（x,y）y则点的切线与y轴的截点为（0，4x）于是∴yy xxyxy''=-=-414即故y e c e dx x c x c x xdxxdxxdx=⎰-⎰=-⎰=--⎰111444[][][ln]6、解：由已知条件得2001122r dθθθθ=⎰⎰*）两边对θ求导得2r=，即'r=±，从而dθ=±。

常微分课后答案第一章yx C x C y x C x C y 2222121sin cos ,cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='，所以0222=+y dxyd ω，故xCx C y ωωsin cos 21+=为方程的解．（6）yB x A y B x A y 22)sin(,)cos(ωωωωω-=+-=''+='，故0222=+y dxyd ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解．3．验证下列各函数是相应微分方程的解：（1）xxy sin =，x y y x cos =+'； （2）212x Cy -+=，xxy y x2)1(2=+'-（C 是任意常数）；（3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）xe y =，xx xe ye y ey 2212-=-+'-；（5）x y sin =，0cos sin sin 222=-+-+'x x x y yy ；（6）xy 1-=，1222++='xy y x y x ； （7）12+=xy ，xy x yy 2)1(22++-='；（8）)()(x f x g y =，)()()()(2x f x g y x g x f y '-'='．证明 （1）因为2sin cos x xx x y -='，所以xxxx x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'．（2）由于21xCx y --='，故xx C x xCx x xy y x 2)12(1)1()1(2222=-++--⋅-=+'-．（3）由于xCe y ='，xCe y =''，于是022=+-=+'-''x x x Ce Ce Ce y y y ．（4）由xe y ='，因此xx x x x x x x e e e e e e ye y e y 22212)(2-=⋅-+⋅=-+'--．（5）因为x y cos ='，所以cos sin sin sin 2sin cos cos sin sin 22222=-+⋅-+=-+-+'x x x x x x x x x y y y ． （6）从21xy ='，得1111122222++=+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=='xy y x x x x x y x ．（7）由x y 2='，得到xy x y x x x x x y 2)1(2)1)(1()1(2222222++-=+++-+=='．（8）)()()()()()()()()()()()()()()(222x f x g y x g x f x f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x f y '-'='-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅'='-'='．4．给定一阶微分方程x dx dy 2=， （1）求出它的通解； （2）求通过点)4,1(的特解； （3）求出与直线32+=x y 相切的解；（4）求出满足条件210=⎰ydx 的解；（5）绘出（2），（3），(4)中的解的图形． 解 （1）通解 Cx xdx y +==⎰22．（2）由41==x y ，得到3=C ，所以过点)4,1(的特解为32+=xy ．（3）这时122=⇒=x x ，切点坐标为)5,1(，由51==x y ，得到4=C ，所以与直线32+=x y 相切的解为42+=xy ．（4）由231)31()(131210=+=+=+=⎰⎰C Cx x dx C x ydx ，得到35=C ，故满足条件21=⎰ydx 的解为352+=xy ．（5）如图1-1所示．-3-2-1123x24681012y图1-15．求下列两个微分方程的公共解： （1）422x x yy -+='；（2）2422y y x xx y --++='．解 公共解必须满足2424222y y x x x x x y --++=-+，即 022242=-+-x y x y ，得到2x y =或212--=x y 是微分方程422x x y y -+='和2422y y x x x y --++='的公共解．6．求微分方程02=-'+'y y x y 的直线积分曲线．解 设直线积分曲线为0=++C By Ax ，两边对x 求导得，0='+y B A ，若0=B ，则0=A ，得到0=C ，不可能．故必有0≠B ，则B Ay -='，代入原方程有02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-B Cx B A B A x B A ，或)(22=-++B AB C x B A BA ，所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+0,022BA B C B AB A ，得到⎩⎨⎧==0,0C A 或B C A -==．所求直线积分曲线为0=y 和1+=x y ． 7．微分方程32224xy y y x=-'，证明其积分曲线关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线．证明 设0),(=y x F 是微分方程32224xy y y x =-'的积分曲线，则与其关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线是),(=--y x F ．由于),(=y x F 适合微分方程32224xy y y x =-'，故3222),(),(4xyy y x F y x F x y x =-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅，分别以y x --,代yx ,，亦有3222))(()(),(),()(4y x y y x F y x F x y x --=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----⋅-，而由0),(=--y x F ，得到),(),(y x F y x F y yx -----='，从而0),(=--y x F 也是此微分方程的积分曲线．8．物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成比例，如果物体在20分钟内由100C 冷至60C ，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到30C ？假设空气的温度为20C ． 解 设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，20=au，微分方程为)(au u k dtdu --=，解得ktaCe u u -+= ，根据初始条件10000===u ut ，得80=-=a u uC ，因此 kta a e u u u u --+=)(0，根据60,201===uu t ，得到ka a e u u u u2001)(--+=，由此202ln ln 20110=--=a a u u u u k ，所以得到t e u 202ln 8020-+=，当30=u 时，解出60=t （分钟）1=（小时）．在1小时的时间内，这个物体的温度达到30C ．9．试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：（1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为α；（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ；（3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数2a ；（4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分；（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项；（7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比．（提示：过点),(y x d 的横截距和纵截距分别为'-yy x 和y x y '-）．解 （1）曲线上任一点为),(y x ，则xy y x yy '+-'=1tan α，即ααtan tan y x x y y -+='． （2）曲线上任一点),(y x 处的切线方程为yy x Y X y -'=-'，与两坐标轴交点为),0(y x y '-和)0,(y yy x '-'，两点间距离为l y x y y y y x ='-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'22)(，即 222)()(l y x y y y x ='-+'-． （3）由（2），有221a y x y y yy x ='-'-'，或y a y y x '=-'222)(．（4）由（2），有2y x y y '-=，或0=+'y y x ．（5）由（2），2xy xy='-．（6）同样由（2），2yxy xy +='-，或xy xy='-2．（7）易得kxy='（k为常数且0>k）．。