第三章习题答案1要点
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3－1 画出)5.01)(25.01()264.524.14)(379.02()(211211------+--+--=z zz z z z z H 级联型网络结构。
解：)(n x )(n y 1-z 1-z 1-z 20.25-0.379-1.245.2644-0.53－2 画出112112(23)(465)()(17)(18)z z z H z z z z --------+=--+级联型网络结构。
解：()x n ()y n 21z -73-1z -1z -46-8-53－3 已知某三阶数字滤波器的系统函数为1211252333()111(1)(1)322z z H z z z z -----++=-++，试画出其并联型网络结构。
解：将系统函数()H z 表达为实系数一阶，二阶子系统之和，即：()H z 11122111111322z z z z ----+=+-++ 由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示：()y n ()x n 21z -1z -1z -1/2-1/31/2-11题3-3图3－4 已知一FIR 滤波器的系统函数为121()(10.70.5)(12)H z z z z ---=-++，画出该FIR滤波器的线性相位结构。
解： 因为121123()(10.70.5)(12)1 1.30.9H z z z z z z z ------=-++=+-+，所以由第二类线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示：()y n ()x n 10.9-11.31z -1z -1z -题3-4图3－5 已知一个FIR 系统的转移函数为：12345()1 1.25 2.75 2.75 1.23H z z z z z z -----=+--++求用级联形式实现的结构流图并用MATLAB 画出其零点分布及其频率响应曲线。
解： 由转移函数可知，6=N ，且)(n h 偶对称，故为线性相位系统，共有5个零点，为5阶系统，因而必存在一个一阶系统，即1±=z 为系统的零点。
而最高阶5-z 的系数为+1，所以1-=z 为其零点。
)(z H 中包含11-+z 项。
所以：11()()(1)H z H z z -=+。
1()H z 为一四阶子系统，设12341()1H z bz czbz z ----=++++，代入等式，两边相等求得12341()10.2530.25H z z zz z ----=+-++，得出系统全部零点，如图3-5（b ）所示。
系统流图如题3-5（a ）图所示。
) (n x) (n y1-z1-z1-z1-z1-z25.1175.2-125.175.2-题3-5（a）图MATLAB程序如下，结果如题3-5（b）图所示：b=[1 1.25 -2.75 -2.75 1.25 1];a=[1];figure(1)zplane(b,a);figure(2);OMEGA=-pi:pi/100:pi;H=freqz(b,a,OMEGA);subplot(2,1,1),plot(OMEGA,abs(H));subplot(2,1,2),plot(OMEGA,180/pi*unwrap(angle(H)));题3-5（b）图3－6 给定26()1(164)H jΩ=+Ω，确定模拟滤波器的系统函数()H s。
解：根据给定的平方幅度响应，得262311()1641()0.5H j⨯Ω==Ω+Ω+与221()1()NcH jΩ=Ω+Ω比较，得到3,0.5cN=Ω=。
取左半平面的三个极点，得12623θπππ=+=，极点111(cos sin )c s j θθ=Ω+；222θπππ=+=，极点222(cos sin )c c s j θθ=Ω+=-Ω；因此由()()N ckkH s s s Ω=-∏，得3123()()()()cH s s s s s s s Ω=--- 对共轭极点1s ，3s 有2213111()()()()2cos c cs s s s s s s s s s θ*--=--=-Ω+Ω 代入上式，得20.125()(0.5)(0.50.25)H s s s s =+++3－7 模拟低通滤波器的参数如下：3dB p α=，25dB s α=，25Hz p f =，50Hz s f =，用巴特沃斯近似求()H s 。
解：已知3dB p α=，25dB s α=，25Hz p f =，50Hz s f =，确定巴特沃斯滤波器的阶数如下：0.10.1250.10.131********lg lg()lg lg()101225101s p s p N ααππ⨯⨯-Ω-⨯≥=Ω-⨯- 2.50.310150lg lg() 4.1510125-==-取 5N =。
本题由于p α正好是3dB ，故低通滤波器的3dB 截止频率为：222550157()c p p f rad s πππΩ=Ω==⨯==或者，由下式来求取c Ω。
110.10.13210225157()(101)(101)ppc Nrad s απ⨯Ω⨯Ω===--将c Ω代入五阶巴特沃斯模拟低通传递函数54321()() 3.236() 4.236() 4.236() 3.236()1c c c c cH s s s s s s=+⨯+⨯+⨯+⨯+ΩΩΩΩΩ1159494634211.04810 5.32610 5.32610 1.09510 1.719100.0211s s s s s s -----=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++3－8 已知1()1/a cH s s =+Ω，使用脉冲响应不变法和双线性方法分别设计数字低通滤波器，使得3dB 截止频率为c ω=0.25π。
解：（1）双线性变换法：3dB 截止频率为c ω=0.25π，20.250.828tan()2c T TπΩ== 于是1()1/0.828a H s sT =+∴11112111()()1(2/0.828)[(1)(1)]a z s T z H z H s z z -----=⋅+==+-+=0.292011110.4159z z --+-参数T 不参与设计（2）脉冲响应不变法：3dB 截止频率为c ω=0.25π，20.250.828tan()2c T TπΩ== 于是1()1/0.828a H s sT =+0.828/0.828/Ts T=+因为脉冲响应不变法是由下面的映射完成的：1111l p T l s p e z--→+- 所以0.828/10.82810.828/0.828/()11T T T TH z e z e z-⋅--⋅-==-- 3－9 用脉冲响应不变法将()H s 转换为()H z ，采样周期为T0()()mAH s s s =-，其中m 为任意整数解： []0-11()()()(1)!s nT m Ah t H s e t u t m -==-L01()()()(1)!m s nTm AT h n Th nT n e u n m -==-[]0011111101()()(1)(1)!(1)!1m m m s nT m n m m s T m n AT AT d H z h n n e z z m m dz e z -∞------=⎛⎫===- ⎪---⎝⎭∑L 上式递推可得：000111,11(),2,3,(1)s T s T m s T m ATm e zH z AT e z m e z ---⎧=⎪-⎪=⎨⎪=⎪-⎩3－10 要求设计一个数字低通滤波器，在频率低于0.2613ωπ=的范围内，低通幅度特性为常数，并且不低于0.75dB ，在频率0.4018ωπ=和π之间，阻带衰减至少为20dB 。
试求出满足这些指标的最低阶巴特沃斯滤波器的传递函数)(z H ，采用双线性变换。
解：令2()a H j Ω为模拟滤波器的平方幅度函数，且由于采用双线性变换，2tan(/2)TωΩ=若1T =，故我们要求0.261320lg (2tan())0.7520.401820lg (2tan())202a H j Ha j ππ≥-≤-因此巴特沃斯滤波器的形式为：221()1(/)a Na H j Ω=+ΩΩ 所以20.075222tan(0.1306)1()102tan(0.2009)1()10NcN cππ+=Ω+=Ω因此：20.0751lg[(101)/(101)]2lg[tan(0.2009)/tan(0.1306)]N ππ--==1lg[99/0.1885]220.136160.36153⨯-+ =1 2.72033 6.0352520.22537⨯= 指标放松一点，可以取6N =，代入上式得2621/122tan(0.2009)1()102tan(0.2009)990.9967ccc ππ⨯+=Ω=ΩΩ=对于这个0.9967c Ω=值，通带技术指标基本达到，阻带技术指标刚好满足，在s 平面左半部由三个极点对，其坐标为1()2(1)c j Np s Ω=-。
极点对1：0.25790.9627j -±；极点对2：0.70470.7047j -±；极点对3：0.96270.2579j -±。
于是2220.9804()(0.51580.9933)( 1.40940.9933)( 1.92560.9933)a H s s s s s s s =++++++ 以112(1)/(1)s z z --=-+代入上式，最后可得16120.0044(1)()1 1.09150.8127z H z z z ---+=⨯-+121210.86910.443410.93920.5597z z z z-----+-+ 3－11 试设计一巴特沃斯数字低通滤波器，设计指标为：在0.3π通带频率范围内，通带幅度波动小于1dB ，在0.5ππ阻带频率范围内，阻带衰减大于12dB 。
解： 由题意可以得出：p ω＝ 0.3πrad , p α＝1dBs ω＝ 0.5πrad , s α＝12dB（1）频率预畸变p Ω＝ 22ptgT ω ＝ π15.02tg T＝ 1.019/T rad/s s Ω＝22stgT ω ＝ π25.02tg T ＝ 2/T rad/s （2）确定滤波器阶数：sp k ＝1101101.01.0--spαα ＝1101102.11.0-- ＝ 0.1321 sp λ＝ ps ΩΩ ＝TT 019.112⨯＝1.9627 N ＝ －spsp k λlg lg ＝ －9627.1lg 1321.0lg ＝ 3.002 ， 取N ＝ 3（3）查表求归一化低通滤波器函数)(p H a ＝122123+++p p p（4）求模拟滤波器系统函数110.10.1261.019 1.2764(101)(101)pNc p T Tα--Ω=Ω-=-=（/rad s ）)(s H a ＝ )(p H a cs p Ω=|＝3322322cc c c s s s Ω+Ω+Ω+Ω 332222.07932*1.27642*1.2764 2.0793s T T s Ts =+++(5) 求系统函数)(z H将 112(1)(1)z s T z ---=+代入得：)(z H =1231230.07660.23270.23270.076610.80040.50400.6799z z z z z z ------+++-+- 3－12 用双线性变换法设计数字低通滤波器，等效模拟滤波器指标参数如下：输入模拟信号)(t x a 的最高频率100H d f z =；选用巴特沃斯滤波器，3dB 截止频率100H c f z =，阻带截止频率150H s f z =，阻带最小衰减s α=20dB 。
