多元函数微分学复习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是 （C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是 （A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为 （D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为 （A ） （A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ） （A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点 （B ）点P 0是函数z 的极小值点 （C ）点P 0非函数z 的极值点 （D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

C ）.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
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C.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
D.
x 1 y 2 z 3 1 1 1
C ）.
28.（8-6）曲面 xyz 6 在点 1, 2,3 处的切平面方程是（ A. 6 x 3 y 2 y 1 0 C. 6 x 3 y 2 z 18 0
t
22.（8-4）设 z uv sin t ，而 u e ， v cos t ，求 解：
dz z du z dv z vet u sin t cos t et cos t sin t cos t . dt u dt v dt t
2 2
B.
x 2 y 1 ＝＝ 4 2
z4 －1
D. 2 x y 4 z 6 0 C ）.
31.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处法线方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. B.
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dz . dt
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
23.（8-5）已知方程 x y 1 0 在点 0,1 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且 x 0
2 2
时
y 1 的隐函数 y f x ，求这函数的一阶导数在 x 0 的值
z . x
z 2x 3y x
2

z x
2
x 1 y 2
2 1 3 2 8 .
z . y

三. 设Lx, y, z, ln x ln y 3ln z (x2 y2 z2 5R2 )
求得此函数定义域内唯一的稳定点R，，R 3R ， 也是所 求函数的最大值点， 所求最大值为f R, R, 3R ln 3 3R5 .
ln x ln y 3ln z ln 3 3R5
u y xf2 ( xz xyz y ) f 3
.
3、f x ( x, y)
(
x
2 xy 3 2 y2
)2
,
x
2
0, x 2 y 2 0
y2
0 ,
f y (x,
y)
x2(x2 (x2
y2 y2 )2
)
,
x2
o, x 2 y 2 0
y2
0
五、(
f1
f2 )dx
y (z) 1
f2 (z) dy. y (z) 1
六、 xe2 y fuu e y fuy xe y f xu f xy e y fu.
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
二、(1)当 x y 0时,在点( x, y)函数连续；
(2)当 x y 0时,而( x, y)不是原点时,
则( x, y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微

多元函数微积分复习题、单项选择题1 •函数f x,y 在点X o ,y °处连续是函数在该点可微分的（B ）（A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件； （C ） 必要而且充分条件；（D ）既不必要也不充分条件•2 •设函数f x,y 在点x o ,y o 处连续是函数在该点可偏导的（D ）（A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件； （C ） 必要而且充分条件；（D ）既不必要也不充分条件•3.函数f x, y 在点x o ,y o 处偏导数存在是函数在该点可微分的（B ）.（A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件；（C ） 必要而且充分条件；（D ）既不必要也不充分条件•4 .对于二元函数z = f （x, y ）,下列结论正确的是（）.CA. 若 lim = A,则必有 lim f (x, y) = A 且有 lim f (x, y) = A ；x %x =x o y >y oy >y oB. 若在（X o ,y °）处''z 和2都存在,则在点（X o , y °）处z - f （x, y ）可微； ex cyC.若在（x 0,y 0）处三和三存在且连续,则在点（x 0, y 0）处z =f （x, y ）可微; ex cy5. 二元函数z =f （x,y ）在点（x °,y 。

）处满足关系（）.CA. 可微（指全微分存在）二可导（指偏导数存在）=连续；B. 可微=可导=连续；C. 可微二•可导，或可微=连续，但可导不一定连续；D.可导=连续，但可导不一定可微.j4科・6. 向量a=3,-1, -2, b = 1,2,-1，则 aLb 二 （A ）（A ） 3 （B ）-3（C ）-2（D ） 2D.若 -2三和 :x -2z 都存在,则. 2 :y -2:z q 2 . ■y；：2 z5.已知三点 M( 1, 2, 1), A (2, 1, 1), B (2 !, 1, 2) ，贝U MM AB =( C)(A) -1 ； (B) 1(C) 0 ；(D) 27—、T6.已知三点M(0, 1, 1), A (2, 2,1), B 2, 1, 3) ，则 | MA AB |= ( B)(A) - .2;(B)2、2(C)- 2 ;(D)-2;7 .设D 为园域x 2寸乞2ax (a 0),化积分 F(x,y)d 匚为二次积分的正确方法r>是D2aa2a :竹-x 2A. 0 dx f(x, y)dy- _aB.20dxf (x, y)dya 2acos0C. °d a f(「cos ),「sin J 「d 「2a cos -iD.2小 o 一 fLcosd, 5 ^)-d ■- ~23 ln x8 .设I = j dx o f (x, y)dy ,改变积分次序，则I 二 ___________ - Bcos -, 9.二次积分f(Pcosq P s in 日)P d P 可以写成 __________________________ . D 1 y -ydy 0 f(x,y)dx B. 1 1 0dx 0f(x, y)dyD.10 .设「是由曲面x 2 y^2z 及z=2所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分I =川f (x, y, z)dxdydz 表示为三次积分，I= ___________ . C2... 1 .A . d r d 「2 f(「cosd 「sin=z)dzJ 0J 0』0 \ '2兀 2 £B. d » ! d 「2 f (「cos=,「sin r, z)「dz*0‘0‘0\ ' 1 'A. C.ln3e y0 dy 0 f(x,y)dx B. ln3 3dy°f(x,y)dxD.ln33dy e y f(x, y)dx 3ln x1dy 0 f (x, y)dx11今20dy 0 f(x, y)dx1x -x 2dx 0 f (x, y)dyA. C.2兀 2 2C . ° dr ° d ；： | f f ( Tcosr,「sinr, z) ?dz~22兀 2 2D . d d「f(「cosv,「sinv,z)「dz-o p - o11.设L为x0y面内直线段，其方程为贝U P x, y dx 二L(A) a(C) 012 .设L为x0y面内直线段，其方程为(A) a(C) 0 L:y二a, c_x_d，贝U Px, ydy 二L(B) c(D) dQ Q13.设有级数7 u n,则lim u n二0是级数收敛的心y(A) 充分条件；(B) 充分必要条件；(C) 既不充分也不必要条件；(D) 必要条件；Q Q14.幂级数' nx nn珀的收径半径R =(A) 3 (B) 0(C) 2 (D) 115.幕级数v -x n的收敛半径R-n =1 n(A) 1 (B) 0(C) 2 (D) 3oO oO16 .若幕级数a n X n的收敛半径为R，则a a n X n 2的收敛半径为n =0 n=0(A) R (B) R2(C) 、R (D) 无法求得oO17.若limu n =0,则级数"U n()F n三DA. 收敛且和为B.C. 发散D. 收敛但和不一定为可能收敛也可能发散Q Q18.若a u n为正项级数，则()n =1(B) c (D) dQ QQ QC.若V U n 2 ,则7 U n 也收敛D.nJ n 二Q Q19. 设幕级数v C n x n 在点x=3处收敛,则该级数在点x = -1处（）An 4A.绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定20. 级数「Sin ^X（x = 0）,则该级数（） Bn4n!A.是发散级数B. 是绝对收敛级数C.是条件收敛级数D.可能收敛也可能发散：、填空题1•设 f(x, y)=sinx+(y_1)ln(x 2+y 2)，则 f 「(0,1) = __________ 1___.2. _______________________________________________ 设 f (x, y )=cosx + (y -1 $n (x 2 + y 2 )，贝U f x (0,1) = _____________________________ 0 _____ 3•二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是「i f x, y dxdy = f 'cos] 's in ； i'd d -DD4 .三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是111 f x, y, z dxdydz ： 111 f H cos 「，' sin ,zl ： d 「d 「dzQQ5 .柱面坐标下的体积元素_dv = T dd z6 .设积分区域 D : x 2 y 2 - a 2,且 dxdy =9二，则 a = _3D3则 11dxdy a 24DA.若 lim u n=0,则u n 收敛n =1 B.若v u n 收敛,则u n 2收敛Bn 4nJ若v u n 发散,n 4则 lim u n =7. 设D 由曲线=asin^,8. 设积分区域D为仁x2• y2乞4 , .. 2dxdy 6-19. 设f x, y 在［0 , 1］上连续，如果o f x dx =3,1 1则 0 dx 0 f x f ydy= _______ 9.20. 设 D 为园域 x 2+y 2"2,若"(X 2+y 2 )dxdy = 8 兀，则 a= ______________ . 2D21. 设 I = JJJ2dxdydz,其中 0 : x 2 + y 2+z 2 兰 a 2, z^O ,则 1= ___________ .a 3Q 310. 设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则设L 为连接(1,0)与(0, 1) 贝U J (x - y )ds = ______L两点的直线段,.012. 等比级数「aq nn =1(a = 0)当 qc1时，等比级数□aaq n =4收敛.13 .当_P>1—时,旳1p -级数v —-是收敛的.P14.当Q Q时，级数V-1心丄是绝对收敛的.n p15 .若 f (X ，y) = J xy +Z则 f x (2,1)二16.若 2f(x, y)=xy 3(x -1)arccos —,贝U f 2x(1,y)=3y 217 .设 u 二 z xy ,贝q du 二z xy I y In xdx xln zdy18.设 z=y lnx ,则—2 =exln y(ln y -1) mx2yx22219.积分0 dx x/dy 的值等于1.4二、计算题1.求过点-2,0,1 且与平面2x-5y ・4z-8=0平行的平面方程•解：已知平面的法向量n= (2, -5, 4),所求平面的方程为2( x +2)-5( y -0)+4( z -1)=0即 2 x -75y +4z = 02•求经过两点Mi ( -1 , -2, 2)和M2 (3, 0, 1)的直线方程。