关于组织参加浙江省高中化学竞赛（桐庐赛区）
考务安排的通知桐教研（2010）第12号各高中学校:
浙江省中学生高中化学竞赛于2010年4月17日上午举行，现将桐庐赛区的考务等工作安排如下，请参照执行。
1、竞赛时间：2010年4月17日上午9:00—11：00
2、试场安排：
3、领卷与回卷
（1）领卷：桐中的试卷由教研员于17日早上送达，其余学校的试卷由各校高二教师16日带回，请各教务处做好试卷的保管与保密工作。
（2）回卷：考试结束后，装订密封好试卷，于17日下午1点前送达教研室。
4、其他事项：
（1）请各校选派好监考人员，做好考风考纪教育。
（2）通知适龄青年教师（教龄10年以内含10年）准时参加。
桐庐教育局教研室
2010.3.30。
关于公布2012年浙江省高中学生化学竞赛杭州市学生获奖名单的通知杭州教研（2012）第98号县（市、区）教育局教研室，市区各高中：2012浙江省高中学生化学竞赛于2012年4月21举行, 本次竞赛分A组（省一级重点中学组）、B组（非省一级重点中学组）两个组进行。
经各地初评和浙江省化学会复核审定,全省共评出A组一等奖266名，二等奖518名，三等奖532名，集体优胜学校27名；B组一等奖394名，二等奖607名，三等奖550名，集体优胜奖25名。
其中杭州市学生获得A组一等奖62名，二等奖94名，三等奖76名，集体优胜奖4名；B组一等奖11名，二等奖31名，三等奖49名。
（名单见附件）。
杭州市普通教育研究室杭州市化学会2012年5月18日附件：2012年浙江省高中学生化学竞赛杭州市学生获奖名单A组浙江省一等奖（62名）长河高级中学蒋龙飞杭州二中(滨江) 朱俊杰杭十四中杨斐远杭州外国语学校庞随杭州二中(滨江) 鲍亦澄杭州外国语学校魏轶桢杭州二中(滨江) 陈琦然杭州外国语学校许则杭州二中(滨江) 范宇飞萧山中学陈豪杭州二中(滨江) 傅周天萧山中学傅佳明杭州二中(滨江) 韩欣天萧山中学郭飞洋杭州二中(滨江) 何琛萧山中学胡晨昱杭州二中(滨江) 何雨玫萧山中学胡为杭州二中(滨江) 胡文瀚萧山中学贾昱欣杭州二中(滨江) 胡逸纯萧山中学沈轻舟杭州二中(滨江) 黄逸洲萧山中学时佳乐杭州二中(滨江) 金昱萧山中学孙兆予杭州二中(滨江) 金文钊萧山中学俞杰杭州二中(滨江) 金杨阳学军中学陈天阳杭州二中(滨江) 来天成学军中学吴丁丁杭州二中(滨江) 李翰正学军中学吴欣尔杭州二中(滨江) 李贺楠学军中学邢开杭州二中(滨江) 刘宇泽学军中学严舒豪杭州二中(滨江) 彭真学军中学叶剑南杭州二中(滨江) 沈弈寒学军中学叶兆祺杭州二中(滨江) 斯大卫学军中学余子迪杭州二中(滨江) 徐恩迪学军中学张逸智杭州二中(滨江) 杨东辰学军中学郑敬峰杭州二中(滨江) 杨逸豪学军中学周浩文杭州二中(滨江) 叶茂余杭高级中学何杭琦杭州二中(滨江) 叶钰楠余杭高级中学黄震豪杭州二中(滨江) 钟依凌余杭高级中学吕敏达杭州二中(滨江) 周同青余杭高级中学吴思宇杭州二中(滨江) 周宇恒余杭高级中学赵冉杭州二中(滨江) 朱喆余杭高级中学周朱盟浙江省二等奖（94名）长河高级中学瞿立学军中学高舟淳安中学丰子昂学军中学纪雄淳安中学叶思远学军中学蒋舟焘富阳中学骆胡凯学军中学马鑫钰富阳中学王凯哲学军中学潘星宇富阳中学叶佩学军中学孙铖富阳中学袁铭学军中学项帆波富阳中学陈熠晨学军中学徐城富阳中学丁雨昂学军中学张赫富阳中学韩施琪学军中学章壬郁富阳中学黄俊杰学军中学庄寄涵杭州外国语学校于子洋严州中学王汝韵杭州外国语学校张学之严州中学徐涛杭州外国语学校郑国琛严州中学薛淼杭州外国语学校朱徐迪严州中学周倩杭师大附中陈龙萧山中学傅嘉玮杭师大附中张博伦萧山中学顾鲸杭十四中黄瑞萧山中学郭陆英杭十四中王嘉和萧山中学韩杰枫杭十四中徐斌萧山中学韩熠宗杭十四中俞恺萧山中学蒋克成杭州二中(滨江) 柴翊宸萧山中学景宏杰杭州二中(滨江) 陈坷璇萧山中学孔甜杭州二中(滨江) 陈文集萧山中学陆炯炳杭州二中(滨江) 丁一帆萧山中学倪诗怡杭州二中(滨江) 方睿萧山中学沈超丹杭州二中(滨江) 何慕奕萧山中学寿利斌杭州二中(滨江) 林子骞萧山中学孙梦哲杭州二中(滨江) 罗天宇萧山中学孙佩瑶杭州二中(滨江) 孟天星萧山中学汪凯翔杭州二中(滨江) 阮佳胤萧山中学汪洋杭州二中(滨江) 商量萧山中学肖卓敏杭州二中(滨江) 汤瑞成余杭高级中学蔡泽成杭州二中(滨江) 汪正东余杭高级中学陈鑫铠杭州二中(滨江) 王边城余杭高级中学丁凡杭州二中(滨江) 王德文余杭高级中学杜震啸杭州二中(滨江) 王清昀余杭高级中学李逸晨杭州二中(滨江) 郑则统余杭高级中学毛伟杭州高级中学沈卿翰余杭高级中学沈菲尔杭州四中(下沙) 卢梦蝶余杭高级中学姚鑫文杭州四中(下沙) 颜岑峰余杭高级中学姚朱亮杭州外国语学校王海余杭高级中学章树邦杭州外国语学校王希鹏余杭高级中学赵佳盛杭州外国语学校吴金昊余杭高级中学周书祺杭州外国语学校徐双蝶浙大附中陈宇浩杭州外国语学校应曌中浙大附中王一安学军中学冯思凯浙江省三等奖（76名）长河高级中学叶雨眠杭州四中(下沙) 黄宇啸淳安中学黄子俊杭州四中(下沙) 王煌明淳安中学汪家梁杭州四中(下沙) 朱竑望富阳二中凌伟钟杭州外国语学校李胜杰富阳二中周键桐庐中学毛俞磊富阳中学方源萧山二中王志炜富阳中学胡湖萧山三中傅方杰富阳中学华骁寒萧山三中邵浪锋富阳中学金哲鑫萧山五中高哲铭富阳中学陆申明萧山中学陈晓锋富阳中学骆骁杰萧山中学任金科富阳中学马玉龙萧山中学王克富阳中学盛妍萧山中学徐佳琦富阳中学王之昀萧山中学张莹莹富阳中学魏骏楠学军中学陈权富阳中学俞丽萍学军中学郭华坤杭十四中陈昱学军中学林尚剑杭十四中傅亦辰学军中学吕俊龙杭十四中华炜东学军中学缪嘉煜杭十四中华逸忱学军中学盛弘毅杭十四中黄楚皓学军中学姚闻迪杭十四中施政嘉严州中学方可杭十四中应劼力严州中学王振皓杭州二中(滨江) 卜崚浩严州中学熊青城杭州二中(滨江) 陈鹏严州中学余雅雯杭州二中(滨江) 陈楚白严州中学曾干恩杭州二中(滨江) 傅子桓严州中学章海娟杭州二中(滨江) 胡晰语严州中学钟文韬杭州二中(滨江) 黄家晟余杭高级中学陈如轩杭州二中(滨江) 林伟昊余杭高级中学丁渡鉴杭州二中(滨江) 刘瑞阳余杭高级中学高国华杭州二中(滨江) 罗佳文余杭高级中学关晨炜杭州二中(滨江) 涂文彬余杭高级中学阮华明杭州二中(滨江) 吴锐恒余杭高级中学宋庭晖杭州二中(滨江) 张成飞余杭高级中学谭尔雅杭州二中(滨江) 章若云余杭高级中学严甜海杭州高级中学卢刚浙大附中林子渊杭州高级中学俞之奡浙大附中潘超兰集体优胜奖杭州二中萧山中学学军中学余杭高级中学B组浙江省一等奖（11名）杭州十一中宾泽润西湖高级中学张芬铭杭州十中刘必千夏衍中学顾旭峰杭州十中吕翔夏衍中学王启超绿城育华学校林德杭萧山八中郁吉锋西湖高级中学韩煌斌源清中学童力西湖高级中学沈逸川浙江省二等奖（31名）淳安二中方军平天目高中潘晨杭州九中张天喻天目高中俞圩杭州十一中孙庭捷西湖高级中学雷文涛杭州十一中谢康元西湖高级中学陆明宇杭州十一中张宇宽西湖高级中学邱金丹杭州十一中郑想西湖高级中学沈逸杭州十中王振宁夏衍中学陈剑方杭州四中(吴山) 陈铭佳夏衍中学金睿杭州四中(吴山) 陈洲新安江中学费颜仁杭州四中(吴山) 项璐杰余杭中学傅思聪绿城育华学校蒋维跃余杭中学沈侃绿城育华学校闫保文余杭中学唐炜国塘栖中学章磊余杭中学徐潇东天目高中丁键余杭中学赵云聪天目高中高鑫树余杭中学朱江南天目高中楼陈灏浙江省三等奖（49名）淳安二中戴儒春塘栖中学吴佳艳淳安二中唐国帅天目高中李昕淳安二中唐智敏桐庐分水中学蔡佳岑淳安二中项永炜萧山八中沈玲洁淳安威坪中学郑新毅萧山八中周增富阳场口中学李洪兵萧山十中金俊杰富阳场口中学汪豪杰萧山十中沈航达富阳场口中学吴晨曦新安江中学何鹏富阳场口中学朱志强新安江中学洪文良杭州二中(东河) 程翰伦西湖高级中学程晓庆杭州二中(东河) 吴玉明西湖高级中学李季杭州九中蒋鹏飞西湖高级中学魏佳瑶杭州九中熊潇杨西湖高级中学俞锋杭州七中董华梁西湖高级中学章启航杭州十一中雷吉夏衍中学高峻杭州四中(吴山) 金祺恺夏衍中学韩振东杭州四中(吴山) 李梦婷夏衍中学姚琪沁杭州四中(吴山) 王昊清源清中学张琳杭州四中(吴山) 徐晓杰余杭中学方谦绿城育华学校赵梦婕余杭中学林程炜瓶窑中学吴潇余杭中学沈婷寿昌中学方波余杭中学沈伟寿昌中学余泉涛余杭中学王晓鑫塘栖中学陈佳俊余杭中学赵林强塘栖中学郦琦。
关于组织学生赴外地交流的通知随着社会的快速发展和全球化趋势的不断深化,学生参与校外交流活动已成为一种必然趋势。
为了让学生在校内外都能够获得全面而丰富的学习体验,我校决定组织部分学生赴外地进行为期一周的交流活动。
这不仅能让同学们亲身感受不同地域的文化差异,也为他们提供了宝贵的社交机会,有助于培养独立思考和解决问题的能力。
活动概况本次外地交流活动计划于本学期暑假期间进行,将选取50名品学兼优的学生前往浙江省杭州市开展为期一周的交流活动。
交流内容主要包括参观当地高校、企业以及文化景点,并与当地师生开展交流研讨。
通过这种方式,同学们不仅能深入了解杭州当地的经济发展状况和人文环境,也可以与外地师生就专业知识和校园生活进行互动交流,增进彼此的了解与认知。
参加对象及报名要求本次外地交流活动面向全校在读学生开放报名。
学生需符合以下条件方可参加:2022-2023学年在校注册,且无任何违纪记录。
专业学习成绩优异,综合素质突出,品行良好。
具有较强的学习兴趣和探究精神,有较好的人际交往和沟通能力。
身体健康,能适应一周的集中活动安排。
家长或监护人同意并提供相关证明。
有意参加的同学可于2023年3月15日前,通过校园网在线报名系统进行申请。
我们将根据报名情况,结合学生的综合素质等因素进行严格遴选,最终确定参会名单。
活动安排为确保活动顺利进行,我们已与杭州市相关部门充分沟通协调,制定了详细的行程安排。
具体包括:3月20日-3月26日:在校内进行集中培训,包括文化交流、团队建设、安全教育等内容。
3月27日-4月2日:赴杭州开展为期一周的交流活动,包括参观高校、企业以及著名景点,并与当地师生进行交流研讨。
4月3日:乘车返校,结束本次外地交流活动。
在活动期间,我校将安排专人负责组织协调、行程管理、安全保障等工作,确保同学们的人身安全和学习质量。
学校将为参会同学提供交通、食宿等全方位保障,并适当补贴部分费用。
组织保障为确保本次外地交流活动圆满成功,学校将从以下几个方面进行周密的组织保障:成立工作专班,由分管校领导直接牵头,统筹安排活动各项事宜。
浙江强基（培优）联盟2024年7月学考联考高二数学试题卷（答案在最后）浙江强基（培优）联盟研究院命题（时间80分钟总分100分）选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.函数()f x =的定义域为（）A.[)1,+∞B.[)1,-+∞ C.(],1-∞ D.(],1-∞-【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域的求法求解；【详解】要使函数有意义，则10x -≥，得1x ≤，所以函数的定义域为(],1-∞．故选：C ．2.已知集合{}{}21,2,3,4,20A B x x x ==--=，则A B ⋃=（）A.{}1,1,2,3,4- B.{}1,2,3,4 C.{}1,0,1,2,3,4- D.{}2,1,2,3,4-【答案】A 【解析】【分析】计算方程的根得出集合{}1,2B =-，再利用集合的并集进行计算得出结果【详解】因为{}{}1,2,3,4,1,2A B ==-，所以{}1,1,2,3,4A B =- ．故选：A ．3.在ABC 中，D 为边AB 的中点，则（）A.0AD BD -=B.0AD DB +=C.CB CD BD-=D.2CA CB CD+=【答案】D 【解析】【分析】由向量的加减法运算法则分别对四个选项进行判断.【详解】AD BD D DB A AB -==+，故A 、B 错误；D C C B D B B D -=-=，故C 错误；由平行四边形法则可知2CA CB CE CD +==，故D 正确；故选：D ．4.数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数是（）A.2B.2.5C.3D.3.5【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合百分位数的定义分析求解.【详解】因为数据共有8项，且825%2⨯=，所以第25百分位数为2和3的平均数，即为2.5．故选：B ．5.从数据1,2,3,4,5,6,7,7中随机选择一个数，则这个数平方的个位数是6或9的概率为（）A.14B.38C.12D.58【答案】D 【解析】【分析】找到样本空间个数及符合条件的样本点的个数，利用古典概型概率的计算即可求解.【详解】样本空间的样本点总数为8，设事件A ：“这个数平方的个位数是6或9”，A 中的样本点为3,4,6,7,7共5个，所以概率()58P A =．故选：D ．6.已知空间中两个不重合的平面α和平面β，直线l ⊂平面α，则“//l β”是“//αβ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当//l β时，α与β可能相交也可能平行，故//l β不能推出//αβ，即充分性不成立；由//αβ可以推出//l β，即必要性成立．所以“//l β”是“//αβ”的必要不充分条件．故选：B ．7.不等式1101x +≤-的解集是（）A.[)0,1 B.(]0,1 C.[]1,2 D.(]1,2【答案】A 【解析】【分析】将不等式整理为01xx ≤-，解不等式组()1010x x x ⎧-≤⎨-≠⎩，即可得到答案.【详解】不等式可化为11011x x x +=≤--，等价于()1010x x x ⎧-≤⎨-≠⎩解得01x ≤<，所以不等式的解集为[)0,1．故选：A ．8.近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为181425G L ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，G 表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.301≈）（）A.16B.72C.74D.90【答案】C 【解析】【分析】由题可知题目相当于解不等式18141255G ⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭，然后由对数运算性质结合参考数据可得答案.【详解】由题意知，只要解不等式18141255G⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭，化简得42lg lg 1855G ≤．因为4lg 05<，所以()()2lglg 21lg 2lg2lg52lg215 4.1418lg4lg52lg 21lg 23lg21lg 5G ----≥===≈----，所以18 4.173.8G ≥⨯=．故选：C ．9.在ABC 中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知45,75a B C === ，则b 等于（）A.2B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据余弦定理，即可求解.【详解】由三角形内角和定理得60A = ，由正弦定理得sin 60sin 45b=，解得2b =．故选：A10.已知函数()222x x f x =-，则其图象一定不过（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】计算出()22f =，102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，()10f -<，判断出图象过第一，第四，第三象限，得到答案.【详解】因为1x ≠，取2x =，得()22f =，所以()f x 在第一象限有图象，取12x =，得2102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 在第四象限有图象，取=1x -，得()21(1)1022f ---=<-，所以()f x 在第三象限有图象．由排除法知图象不过第二象限．故选：B ．11.已知α为锐角，且2π2πsin cos cos sin 55αα⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α的值为（）A.45 B.513C.2425D.916【答案】D 【解析】【分析】根据α是锐角，得到2ππ2πcos sin 525αα=-，故5cos sin 4αα+=，两边平方后，结合同角三角函数关系和正弦二倍角公式求出答案.【详解】因为α是锐角，所以2π2ππ2π2ππ0cos sin 552552αα<<<<<<，所以2ππ2πcos sin 525αα=-，化简得5cos sin 4αα+=，平方得2225sin 2sin cos cos 1sin216ααααα++=+=，所以9sin216α=．故选：D ．12.已知正方体1111ABCD A B C D -，点M 在1B C 上运动（不含端点），点N 在11B D 上运动（不含端点），直线MN 与直线AC 所成的角为α，直线MN 与平面1ACB 所成的角为β，则下列关于,αβ的取值可能正确的是（）A.30α=︒ B.45α=︒C.60β=︒D.75β=︒【答案】C 【解析】【分析】如图，以D 为原点，1,,DA DC DD 所以在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面11B D C 和平面1ACB 的法向量，然后求出直线AC 与平面11B D C 所成的角，平面11B D C 与平面1ACB 所成的角，结合最小角定理和最大角定理分析判断.【详解】如图，以D 为原点，1,,DA DC DD 所以在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则11(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1),(0,0,1)A C B D ，所以111(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1),(0,1,1)AC AB CB CD =-===-，设平面11B D C 的法向量为111(,,)n x y z =，则1111110n CB x z n CD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，则(1,1,1)n =--r ，对于AB ，设直线AC 与平面11B D C 所成的角为1θ，则1sin cos ,3AC n AC n AC nθ⋅===uuu r ruuu r ruuu r r ，因为1π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 3θ=，由最小角定理得11,cos cos αθαθ><，当30α=︒时，1cos30cos 23θ︒=>=，所以A 错误，当45α=︒时，1cos 45cos 23θ︒=>=，所以B 错误，对于CD ，设平面1ACB 的法向量为(,,)m x y z =，则100m AC x y m AB y z ⋅=-+=⎧⎨⋅=+=⎩，令1x =，则(1,1,1)m =- ，设平面11B D C 与平面1ACB 所成的角为2θ，则21cos cos ,3m n m n m n θ⋅===，由最大角定理得22,cos cos θβθβ><，当60β=︒时，21cos cos60213θ=<︒=，所以C 正确，当75β=︒时，2cos cos75213θ>=︒=，所以D 错误，故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.民营经济是推进中国式现代化的生力军，是浙江的最大特色、最大资源和最大优势．为了更好地支持民营企业的发展，我省某市决定对部分企业的税收进行适当的减免．某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A.样本数据落在区间[)300,500内的频率为0.45B.若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型民营企业能享受到减免税政策C.若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家D.估计样本的中位数为480万元【答案】ABD 【解析】【分析】根据频率分布直方图中，概率等于小长方形的面积，概率之和等于1，即所有小长方形面积之和等于1，中位数公式进行计算判断各个选项.【详解】对于A ，由()0.0010.00150.0020.000521001a ++++⨯=，得0.0025a =，所以数据落在区间[)300,500内的频率为()0.0020.00251000.45+⨯=，A 正确；对于B ,数据落在区间[)200,500内的频率为()0.0010.0020.00251000.55++⨯=，B 正确；对于C,100n =，年收入大于或等于400万元的有四组，其频率和是()1000.00250.00250.00150.00050.7⨯+++=，所以符合条件的民营企业有0.710070⨯=家，C 错误；对于D ,数据落在区间[)200,400内的频率为()0.0010.002100+⨯=0.3，数据落在区间[)200,500内的频率为()0.0010.0020.00251000.55++⨯=，估计中位数为0.50.34001004800.25-+⨯=，D 正确．故选:ABD ．14.已知复数12,z z ，则下列结论正确的有（）A.2211z z = B.1212z z z z +=+C.1212z z z z =⋅D.1212z z z z +=+【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由复数的模长公式结合复数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，若1i z =，则22111,1z z =-=，故A 错误；对于B ，设12i,i z a b z c d =+=+，则()()()()1212i,i i i z z a c b d z z a b c d a c b d +=+-++=-+-=+-+，故B 正确；对于C ，设12i,i z a b z c d =+=+，则()()12i z z ac bd ad bc =-++=，2212z z ⋅=，故C 正确；对于D ，若121i,i z z =+=，则12121z z z z +=+=，故D 错误．故选：BC ．15.已知平面向量21,e e 的夹角为π3，且121e e == ，若12122,a e e b e e =-=+，则下列结论正确的是（）A.a b⊥B.a =C.a b a+= D.a 在b 上的投影向量为12b- 【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：判断a b ⋅是否等于0即可；对于B 、C ：利用数量积的运算律计算即可；对于D ：先计算b ，再利用投影向量公式计算即可；【详解】由题意得22121211,2e e e e ==⋅= ，对于A ：()()2212121122132212022a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=-⋅-=--=-≠，故A 错误；对于B ：a == ，故B 正确；对于C ：a b a +=，故C 正确；对于D ：b === ，则a 在b上的投影向量为31232a b b b b bb⋅⋅=-⋅=-，故D 正确．故选：BCD16.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．此结论与必修一教材上的结论相吻合，则下列结论正确的是（）A.函数()211x f x x +=-的图象关于点()1,2成中心对称图形B.若定义在R 上的函数()f x 对任意的x 都有()()22f x f x ++-=，则函数()f x 图象的对称中心为()2,2C.若()y f x a =+是偶函数，则()f x 的图象关于直线x a =成轴对称D.若函数()f x 满足()11y f x =+-为奇函数，且其图象与函数()422x g x =+的图象有2024个交点，记为()(),1,2,,2024i i i A x y i = ，则()202414048iii x y =+=∑【答案】ACD 【解析】【分析】利用题中推广的结论进行验证A,B ；利用偶函数的定义判断B ；根据对称性变化简判断D ；【详解】对于A ，因为()2(1)131211x f x x x+++-==+-为奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,2成中心对称图形，故A 正确；对于B ，设()()g x f x a b =+-，若()g x 是奇函数，则()()()()0g x g x f x a b f x a b +-=+-+-+-=，所以()()2f x a f x a b ++-+=，因为()()()()22112f x f x f x f x ++-=⇒++-=，所以()1f x +-1为奇函数，所以()f x 图象的对称中心为()1,1，故B 错误；对于C ，设()()g x f x a =+，因为()g x 是偶函数，所以()()g x g x =-，则()()f x a f x a +=-+，所以()f x 的图象关于直线x a =成轴对称，故C 正确；对于D ，显然()f x 的图象关于点()1,1成中心对称图形，再考虑()422xg x =+的对称性，()422x g x =+可化为()()()4,22x a h x g x a b b h x +=+-=-+为奇函数，则()()()00,11,h h h ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩即1140,2244,2222a a a b b b -+⎧-=⎪⎪+⎨⎪-=-+⎪++⎩即11448222222a a a -++=+++，令2a t =，则2124222t t t +=+++，即220t t -=，解得2t =或0=t （舍去），所以22a =，则1,1a b ==，因为()h x 为奇函数，所以()422x g x =+图象的对称中心为()1,1．()f x 与()g x 有相同的对称中心，所以2024个交点每两个一组关于点()1,1中心对称，()()()202412202412202414048iii x y x xx y y y =+=+++++++=∑ ，故D 正确．故选：ACD ．非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17.已知一圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为________；体积为________．【答案】①.2π②.【解析】【分析】根据题意，利用勾股定理得出圆锥的高，再利用圆锥的侧面积公式和体积公式可求解.【详解】由题意得圆锥的高h ==，所以21π2π,ππ33S rl V r h ====侧．故答案为：2ππ3；18.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，3,4AB AC ==，现将ABD △沿AD 翻折成AB D 'V ，使得四面体AB CD '为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为________【答案】16π【解析】【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.【详解】由题设，,B CD AB C '' 都是直角三角形，只需B C '⊥面AB D '即可，所以鳖臑外接球的球心在过CD 中点且垂直于平面B CD '的直线上，而在直角三角形ACD 中，AC 的中点到点,,A C D 的距离都相等，所以AC 的中点是外接球的球心，所以212,4π16π2R AC S R ====．故答案为：16π.19.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()121,,234P A P B P AB ===，则()P A B = ________．【答案】712【解析】【分析】由题意结合概率运算性质可得答案.【详解】由概率的性质得()()()P A P AB P AB =+，所以()()()111244P AB P A P AB =-=-=，所以()()()()111723412P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=．故答案为：712.20.若函数()2(1)f x x ax b a =++>的值域为[)0,∞+，则11a b a ++-的最小值为________．【答案】3【解析】【分析】根据函数()f x 的值域为[)0,∞+得到Δ0=所以24a b =，代入到11a b a ++-利用均值不等式即可求得最小值.【详解】由题意得2Δ40a b =-=，得24a b =所以()()2221144(2)4114141a a a b a a a a a a a +++++++===----()()()22(1)6191(13)119116634141414a a a a a a a -+-+-+⎡⎤=⋅=⋅=-++≥=⎢⎥---⎣⎦，当且仅当4a =时，等号成立，所以11a b a ++-的最小值为3．故答案为：3.四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.已知函数()πsin2sin 23f x x x ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知锐角ABC 三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2,3b c ==，若()2f A =，求ABC 的面积．【答案】（1）π（2）2【解析】【分析】（1）根据两角和（差）正弦公式化简得()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的周期公式计算周期；（2）代入()2f A =计算角A ，在利用三角形面积公式计算的出结果；【小问1详解】()πππsin 2sin 2sin 2sin 2cos cos2sin333f x x x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭1πsin 2sin 2223x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2ππ2T ==．【小问2详解】因为()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以()πsin 232f A A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因为A 是锐角三角形的内角，所以ππ233A -=或π2π233-=A （舍去），所以π3A =．又2,3b c ==，所以ABC的面积1π23sin 232S =⨯⨯⨯=．22.如图，在三棱台111ABC A B C -中，1111124,AA AC AC BC CC AA =====⊥平面,,ABC AB BC D ⊥为AB的中点．（1）证明：111A B DC ⊥．（2）过11,,A D C 的平面把三棱台111ABC A B C -分成两部分，体积分别是1V 和()212V V V <，求12V V 的值．（3）求平面1CC D 和平面11ABB A 所成锐二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）34（3）4【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直1AA BC ⊥，再结合BC AB ⊥，得到BC ⊥平面11ABB A ，进而得到1BC BB ⊥，由直角梯形11BCC B 中的边长关系得到1ABC 是等腰三角形，从而1AB DC ⊥，再结合11AB AB ∥得到结论；（2）取BC 的中点E ，利用平行找到过11,,A D C 的平面，从而两部分分别为斜棱柱111DBE A B C -和几何体11ADECC A ，由11111111-ADECA C ABCA B C DBE A B C V V V =-几何体棱台棱柱即二者的体积关系即可得到12V V 的值；（3）取11A B 的中点F ，找到两个平面的交线，利用垂直找到所求角，再根据三角形相似求得边长，进而求得所成锐二面角的正切值.【小问1详解】如图1，连接1AC ，得1=AC 1BC ．因为1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥．又BC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ，又因为1BB ⊂平面11ABB A ，所以1BC BB ⊥，所以在直角梯形11BCC B 中，1111BC B C BB A D ====，所以11BC AC ==，所以1ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，又因为D 是AB 的中点，所以1AB DC ⊥．又因为11AB AB ∥，所以111A B DC ⊥．【小问2详解】如图2，取BC 的中点E ，连接1,DE C E ，可得11////A C AC DE ．所以过11,,A C D 的平面把棱台分成斜棱柱111DBE A B C -和几何体11ADECC A ，由题意得()111128414233ABCA B C V =⨯⨯++=棱台，111-1442DBE A B C V =⨯=棱柱．因为11111111-28164433ADECA C ABCA B C DBE A B C V V V -=-=>=几何体棱台棱柱，所以12164,3V V ==，故12431643V V ==．【小问3详解】，如图3，取11A B 的中点F ，连接1,C F DF ，则DF 是平面1DCC 和平面11ABB A 所成二面角的棱，过B 作FD 延长线的垂线，垂足为G ，即BG FG ⊥，由棱台上下底面相似得到1//C F CD ，所以1,,,C F C D 四点共面，又由G FD ∈，所以1,,,,C F C D G 五点共面，连接CG ，因为BC ⊥平面11ABB A ，FG ⊂平面11ABB A ，所以BC FG ⊥，又因为BG CG G = ，,BG CG ⊂平面BCG ，所以FG ⊥平面BCG ，因为CG ⊂平面BCG ，所以FG CG ⊥，因为FG 是平面1DCC 和平面11ABB A 所成二面角的棱，BG FG ⊥，BG ⊂平面11ABB A ，FG CG ⊥，CG ⊂平面1DCC ，所以BGC ∠为所求的角．延长1AA 和1BB 交于点O ，过A 作FD 的垂线，垂足为H ，如图4，则AB ==，12AD AB ==OD =，由11112A O AB AO AB ==，1=28AO AA =，因为90OAD AHD ∠=∠=︒，ODA ∠是ADH 和ODA V 的公共角，所以ADH ODA ，所以AH AD OA OD =即8AH =，所以GB AH ==，所以66tan 4BGC ∠==．即平面1CC D 和平面11ABB A所成锐二面角的正切值为4．23.已知函数()()21,0,2,0,x x f x g x x x ⎧-≥==⎨-<⎩（1）若()()f x g x ≤，求x 的取值范围．（2）记{}(),max ,(),a ab a b b a b ⎧≥=⎨<⎩已知函数()(){}max ,2y f x g x ax =--有k 个不同的零点．①若2k =，求a 的取值范围；②若3k =，且,αβ是其中两个非零的零点，求11αβ+的取值范围．【答案】（1）,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）①[]{}2,02-⋃；②()11αβ+∈+∞【解析】【分析】（1）根据题意，分[]0,1x ∈与[)1,0x ∈-代入计算，求解不等式，即可得到结果；（2）（ⅰ）将问题转化为()2h x ax =+的实根个数问题，然后求得212x -≤≤与12x -≤≤时，根的个数，从而可得a 的范围，然后分别检验，即可得到结果；（ⅱ）结合（ⅰ）中的结论可得()11311,24a a aαβ+=++∈，再由对勾函数的单调性，即可得到结果.【小问1详解】由题意得函数()g x 的定义域为[]1,1-．当[]0,1x ∈时，不等式()()f x g x ≤等价于21x -≤，显然满足条件；当[)1,0x ∈-时，不等式()()f x g x ≤等价于2x -≤221x ≤，解得02x -≤<．综上，()()f x g x ≤的解集为,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即当x的取值范围为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x ≤成立．【小问2详解】（ⅰ）令()()(){}()(),12max ,,1,2f x x h x f x g x g x x ⎧-≤<-⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩原题可转化为()2h x ax =+的实根个数问题（二重根为一个零点）．当212x -≤≤-时，即为()2f x ax =+，所以22x ax -=+至多一个实根①；当212x -≤≤时，即为()2g x ax =+，所以2ax =+至多两个实根②．由①知，221,22x a ⎡-=∈--⎢+⎣），所以02a ≤<-，由②知，2ax =+，所以0x =或24,142ax a ⎡⎤=-∈-⎢⎥+⎣⎦，所以2a ≤-或2a ≥+，且0a ≠．当2k =时，若0a =，则有两个零点0和1-，符合题意．当a<0时，①无实根，对于②，只要2414ax a =-≤+，化简得2(2)0a +≥，则20a -≤<，符合题意．当0a >时，若02a <<-，则有三个不等实根，不符合题意．若2a =，则有两个零点0和22-，符合题意．若2a >，则仅有一个零点0，不符合题意．综上所述，当2k =时，a 的取值范围为[]{}2,02-⋃-.（ⅱ）由（ⅰ）得当3k =时，02a <<-，且三个零点分别为224,,024aa a --++，显然,0αβ≠，所以()11311,24a a aαβ+=++∈．易得函数3114y a a =++在()0,2上单调递减，所以3114y a a=++>所以()11αβ+∈+∞．【点睛】关键点点睛：本题关键是分段讨论零点个数.。
