21. （14分）函数1()()2ln f x p x x x
=--，2()e g x x
=
，p R ∈，
（1）若()f x 在2x =处取得极值，求p 的值；
（2）若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；
（3）若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求p 的取值范围.
（2）由已知，0)('
≥x f 恒成立，或0)('
≤x f 恒成立. 若0)('
≥x f 恒成立，即1
22+≥
x x
p 在()+∞∈,0x 恒成立，即max
2
12????
??+≥x
x
p
则当1=x 时，1)(max =x h ；当0→x 或+∞→x 时，0)(min →x h 0≤∴p 或1≥p ………9分
（3）)(x g 在[]e ,1上单调递减，)(x g ∴的值域为[]e 2,2. ………10分 ①若1≥p ，由（2）知：)(x f 在[]e ,1上单调递增，)(x f ∴的值域为??
?
??
?-
-2)1(,0e e p . 要满足题意，则22)1
(>--
e
e p 即可，1
42
->
∴e
e
p ………12分
min max )(20)(x g x f =<= ，∴此时不满足题意. ………13分
min )(221
x g e
e =<--
，∴此时不满足题意.
22．（本小题满分14分）已知函数()ln ()1
a f x x a x =+∈+R ．
（1）当29
=a 时，如果函数k x f x g -=
)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围；
（2）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小；（3）求证：1
21715131)1ln(++
+++>
+n n （n *
N ∈）
22解：（1）当2
9=
a 时，)
1(29ln )(++
=x x x f ，定义域是),0(+∞，
2
2
)
1(2)2)(12()
1(291)(+--=
+-
=
'x x x x x x
x f ， 令0)(='x f ，得2
1=
x 或2=x ． …2分
当2
10<
22
1< ∴函数)(x f 在)21 ,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,2 1 (上单调递减． ……………4分 )(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 2 3 )2(+=f ． 当0+→x 时，-∞→)(x f ； 当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 2 3+< k ．……………5分 （2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞． 令11 2 ln 1)()(-++ =-=x x x f x h ， 0) 1(1) 1(21)(2 2 2 >++= +-='x x x x x x h ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数． …………………………………7分 ①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10< ③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………9分 （3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，11 2ln >++ x x ，即1 1ln +-> x x x ． 令k k x 1+= ，则有1 211ln +> +k k k ， ∑ ∑==+>+∴n k n k k k k 1 1 1 211ln ． ……………12分 ∑=+=+n k k k n 1 1ln )1ln( ， 1 215 13 1)1ln(++++ > +∴n n ． ……………………………………14分 (法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=． 3ln 2ln 81=> ，1ln 23 ∴> ，即1n =时命题成立． ………………………………10分 设当n k =时，命题成立，即 111 ln(1)3521 k k +> +++ + ． 1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112 ln 35211 k k k +>++++++ ． 根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即1 1 ln +-> x x x ． 令21k x k +=+，则有21 ln 123 k k k +> ++， 则有1111 ln(2)352123 k k k +>++++ ++ ，即1n k =+时命题也成立．……………13分 因此，由数学归纳法可知不等式成立． ………………………………14分 20.(本小题满分13分)设函数2()ln f x x m x =-，2()h x x x a =-+. （1）当2m =时，若方程()()0f x h x -=在[]1,3上恰好有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围； （2）是否存在实数m ，使函数()f x 和函数()h x 在公共定义域上具有相同的单调区间？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由. 20．（本小题满分13分） （1）解：()()0f x h x -=222ln x x x x a ?-=-+2ln a x x ?=- 令()2ln g x x x =-'2 22 ()1x x g x -=-= 得：函数()2ln g x x x =-在[]1,2内单调递减； 函数()2ln g x x x =-在[]2,3内单调递增。 又因为(1)1,(2)22ln 2,(3)32ln 3g g g ==-=- 故22ln 232ln 3a -<≤- （2） 2()h x x x a =-+在12(0,)单调递减；12 (,)+∞单调递增 ∴2 ()ln f x x m x =-也应在12(0,)单调递减；12 (,)+∞单调递增 ' 22()2m x m x x f x x -=- = ， 当0m ≤时，2()ln f x x m x =-在(0,)+∞单调递增，不满足条件. 所以当0m >且 2 12 m = 即12 m =. 46． 已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． (1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值； (2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex > - 成立． 46．【参考答案】 [解析]： (1) '()ln 1f x x =+，当1(0,)x e ∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1(,)x e ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增． ① 102t t e <<+<，t 无解； ② 102t t e <<<+，即10t e << 时，m in 11()()f x f e e ==- ； ③ 12t t e ≤<+，即1t e ≥ 时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==； 所以m in 1 10()1ln t e e f x t t t e ?-< ?≥ ?? ， ，． (2) 22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x ≤++ ， 设3()2ln (0)h x x x x x =++ >， 则2 (3) (1)'()x x h x x +-=，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞，'()0h x >， ()h x 单调递增，所以m in ()(1)4h x h ==． 因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=． （3） 问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e >- ∈+∞，由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的 最小值是1e -，当且仅当1x e = 时取到． 设2()((0,))x x m x x e e = -∈+∞，则1'()x x m x e -= ，易得m a x 1 ()(1)m x m e ==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切 (0,) x ∈+∞，都有12ln x x e ex >- 成立． 47．已知函数2 ()(,)m x x n f x m n R += ∈在1x =处取得极值2. ⑴求()f x 的解析式； ⑵设A 是曲线()y f x =上除原点O 外的任意一点,过O A 的中点且垂直于x 轴的直线交曲线于点B ,试问：是否存在这样的点A ,使得曲线在点B 处的切线与O A 平行？若存在,求出点A 的坐标；若不存在,说明理由； ⑶设函数2()2g x x ax a =-+,若对于任意1x R ∈,总存在2[1,1]x ∈-,使得21()()g x f x ≤,求 实数a 的取值范围. 47．【参考答案】 解：⑴∵2 ()m x x n f x += ,∴2 22 2 2 2 ()2() () ()m x n mx x mn mx x n x n f x +-?-++'= = .又()f x 在1x =处取得极值2. ∴(1)0 (1)2f f '=??=?,即2(1)(1)102m n n m n -++?=??=??,解得1n =,4m =,经检验满足题意,∴241()x x f x +=. ⑵由⑴知22 2 44(1) ()x x f x -+'= .假设存在满足条件的点A ,且02 0041 (, )x x A x +,则2 041 OA x k += , 又2 02 002 2 220044( )16(4)2 2 (4) [()1]2 ( )x x x x x f --++'= = .则由02 ( )O A x k f '=,得 2 02 2 2 0016(4)41 (4) x x x -++= ,∴420054x x =,∵00x ≠, ∴2045 x = ,得0255 x =± .故存在满足条件的点A ,此时点A 的坐标为25855 9 ( , )或25855 9 (,)- - . ⑶解法1：2 2 4(1)(1) (1) ()x x x f x -+-+'= ,令()0f x '=,得1x =-或1x =. 当x 变化时,()f x '、()f x 的变化情况如下表： x (,1)-∞- 1- (1,1)- 1 (1,)+∞ ()f x ' - + - ()f x 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ∴()f x 在1x =-处取得极小值(1)2f -=-,在1x =处取得极大值(1)2f =. 又0x >时,()0f x >,∴()f x 的最小值为(1)2f -=-. ∵对于任意的1x R ∈,总存在2[1,1]x ∈-,使得21()()g x f x ≤,∴当[1,1]x ∈-时,()g x 最小值不大于2-.又 222 ()2()g x x ax a x a a a =-+=-+-. ∴当 1a ≤-时,()g x 的最小值为(1)13g a -=+,由132a +≤-,得1a ≤-； 当1a ≥时,()g x 最小值为(1)1g a =-,由12a -≤-,得3a ≥； 当11a -<<时,()g x 的最小值为2()g a a a =-.由22a a -≤-,即220a a --≥,解得1a ≤-或2a ≥.又11a -<<,∴此时a 不存在. 综上,a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞ . 解法2：同解法1得()f x 的最小值为2-. ∵对于任意的1x R ∈,总存在2[1,1]x ∈-,使得21()()g x f x ≤,∴当[1,1]x ∈-时,()2g x ≤-有解,即2220x ax a -++≤在 [1,1]-上有解.设2 ()22h x x ax a =-++,则 244(2)4(1)(2)011 (1)330(1)30a a a a a h a h a ??=-+=+->? -≤≤?? -=+≥??=-+≥? 得a ∈?, 或(1)(1)(33)(3)0h h a a -=+-+≤,得1a ≤-或3a ≥. ∴1a ≤-或3a ≥时,2220x ax a -++≤在[1,1]-上有解,故a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞ . 解法3：同解法1得()f x 的最小值为2-. ∵对于任意的1x R ∈,总存在2[1,1]x ∈-,使得21()()g x f x ≤,∴当[1,1]x ∈-时,2()22g x x ax a =-+≤-有解,即 2 (21)2x a x -≥+在[1,1]-上有解.令21x t -=,则2 2 214 t t x ++= ,∴2 294 ,[3,1]t t at t ++≥ ∈-. ∴当[3,0)t ∈-时,191194 2 4 (2)[()()]1t t a t t ≤++=--+-≤-；当0t =时,得94 0≥ ,不成立,∴a 不存在； 当(0,1)t ∈时,194 (2)t a t ≥ ++ .令9()2,(0,1]t t t t ?=++ ∈,∵(0,1]t ∈时,2 9()10t x ?'=- <,∴()t ?在(0,1] 上为减函数,∴()(1)12t ??≥=,∴14 123a ≥?=. 综上,a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞ . 19．（本小题满分13分） 已知函数()ln(1)1 ax f x x x =++ +()a ∈R ． （Ⅰ）当2a =时，求函数()x f y =的图象在0x =处的切线方程； （Ⅱ）判断函数()f x 的单调性； （Ⅲ）求证：2 111 ln 1n n n ? ?+ >- ???（*n N ∈）． 19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当2a =时，2()ln(1)1 x f x x x =+++， ∴2 2 123()1 (1) (1) x f x x x x +'= + = +++， ···································································· 1分 ∴ (0)3f '=，所以所求的切线的斜率为3. ······················································· 2分 又∵()00f =，所以切点为()0,0. ··································································· 3分 故所求的切线方程为：3y x =. ········································································ 4分 （Ⅱ）∵()ln(1)1 ax f x x x =+++(1)x >-， ∴2 2 1(1)1()1 (1) (1) a x ax x a f x x x x +-++'= + = +++． ··························································· 5分 ①当0a ≥时，∵1x >-，∴()0f x '>； ······························································ 6分 ②当0a <时， 由()01 f x x ' >-?，得11x a -<<--；由()01 f x x '>?? >-?，得1x a >--；·························· 7分 综上，当0a ≥时，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增； 当0a <时，函数()f x 在(1,1)a ---单调递减，在(1,)a --+∞上单调递增． ········ 8分 （Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当1a =-时， ()()ln 11 x f x x x =+- +在()0,+∞上单调递增． ···················································· 9分 ∴ 当0x >时，()()00f x f >=，即()ln 11 x x x +> +． ····································10分 令1x n = （*n ∈N ），则1 11ln 111 1n n n n ? ?+ >= ? +? ?+． ··············································· 11分 另一方面，∵()2 111n n n < +，即2 1111 n n n - <+, ∴ 2 1111 n n n >- +．··························································································12分 ∴ 2111ln 1n n n ? ?+ >- ?? ?（*n ∈N ）．····································································13分 方法二：构造函数2()ln(1)F x x x x =+-+，(01)x ≤≤ ····································· 9分 ∴1(21)'()1211 x x F x x x x += -+= ++， ······························································10分 ∴当01x <≤时,'()0F x >； ∴函数()F x 在(0,1]单调递增． ········································································ 11分 ∴函数()(0)F x F > ，即()0F x > ∴(0,1]x ?∈，2ln(1)0x x x +-+>，即2ln(1)x x x +>- ································12分 令1x n =（*n ∈N ），则有2 111 ln 1n n n ? ?+ >- ?? ?．····················································13分 22．（本小题满分12分）设x m =和x n =是函数2 1()ln (2)2 f x x x a x =+ -+的两个极 值点，其中m n <，a R ∈．（Ⅰ） 求()()f m f n +的取值范围； （Ⅱ） 若12a e e ≥+-，求()()f n f m -的最大值． 22．(Ⅰ)解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2 1(2)1 ()(2)x a x f x x a x x -++'= +-+= ． 依题意，方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ，n （其中m n <）．故 2(2)40 020a a a ?+->?>? +>? ，并且2,1m n a mn +=+=． 所以，22 1()()ln ()(2)()2 f m f n mn m n a m n +=+ +-++ 2 2 11[()2](2)()(2)132 2 m n mn a m n a =+--++=- +-<- 故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-． …………5分 (Ⅱ)解:当12a e e ≥+ -时，2 1(2)2a e e +≥++．若设(1)n t t m =>，则 2 22 ()11(2)()22m n a m n t e mn t e ++=+= =+ +≥+ +． 于是有111()(1)0t e t e t e t e te +≥+ ?--≥?≥ …………8分 2 2 2 2 11()()ln ()(2)()ln ()()()2 2 n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+- 22 2 2 111ln ()ln ()ln () 22211 ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t -=--=-=--=- -………10分 构造函数1 1()ln ()2g t t t t =--（其中t e ≥），则2 22 111(1) ()(1)022t g t t t t -'=-+=-<． 所以()g t 在[,)e +∞上单调递减，1()()12 2e g t g e e ≤=- + ． 故()()f n f m -的最大值是112 2e e -+ ． …………12分 21. (本小题满分12分) 已知函数x a x a x x g ln )12()(2++-= (1) 当1=a 时, 求函数)(x g 的单调增区间； (2) 求函数)(x g 在区间[]e ,1上的最小值； (3) 在(1)的条件下，设x x x x g x f ln 24)()(2--+=, 证明：)2() 1(23) (12 2 ≥+--> -∑ =n n n n n k f k n k .参考数据：6931.02ln ≈． 21、(Ⅰ)当1=a 时，x x x x g ln 3)(2 +-=，01 32)(2 >+-= 'x x x x g 1>x 或2 1< x 。函数)(x f 的单调增区间为),1(),2 1 ,0(+∞……………… 3分 (Ⅱ) x a x a x x g ln )12()(2 ++-=，0) )(12()12(2)12(2)(2 =--= ++-= + +-='x a x x x a x a x x a a x x g 当1≤a ，[])(,0)(,,1x g x g e x ≥'∈单调增。a x g 2)(min -= 当e a <<1，)(,0)(),,1(x g x g a x <'∈单调减. )(,0)(),,(x g x g e a x >'∈单调增。a a a a a g x g ln )()(2 min +--== 当e a ≥，[])(,0)(,,1x g x g e x ≤'∈单调减，a e a e e g x g ++-==)12()()(2min ?? ??? ≥++-<<+--≤-=e a a e a e e a a a a a a a x g ,)12(1,ln 1,2)(22 ………………………………………… 8分 （Ⅲ）令)1(4 1ln )(2 -- =x x x h ， [)+∞∈,2x , 022)(2 <-='x x x h 04 32ln )2()(<-=≤∴h x h 即)1(4 1ln 2 -< x x )1 11 1(2) 1)(1(4ln 1+--=+-> ∴ x x x x x k k f k ln )(=-，>++ == -∑∑ ==n k k f k n k n k ln 13 ln 12 ln 1ln 1 )(1 2 2 )1 11 112 1 4 12 13 11(2+--+ --+ - + - n n n n =+- - + >)1 11211(2n n )2() 1(232 ≥+--n n n n n ……………………………………… 12分 错误！未指定书签。．（本小题满分13分） 已知函数()()ln 1x f x e x =-+ （I ）求函数()f x 的单调区间； （II ）证明：()()1 1 1 32ln 1,n e e e e n n n N e *++++≥++∈ 为常数。 21．（本小题满分13分） 解：()11,1 x x f x e x '>-=-+ （I ）由于()1 1 x f x e x '=- +在()1,-+∞上递增，且()00f '= ∴当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()1,0x ∈-时，()0f x '< 故函数()f x 的递增区间为()0,+∞，递减区间为()1,0- （II ）由（I ）知：当0x =时()f x 取得最小值，即()()01f x f ≥= 所以()ln 11x e x -+≥，即()ln 11x e x ≥++ 取()1x n N n * = ∈，则()1 1ln 11ln 1ln 1n e n n n ?? ≥++=+-+ ??? 易得()()1 1 132ln 1,n e e e e n n n N e *++++≥++∈ 为常数，故得证。 20．（本小题满分14分）已知函数()()()x a x a x x f ln 2463 13 -+-+=，()b x x x g ++-=22 （Ⅰ）若2=a ，求()x f 的单调区间； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对()+∞∈?,0,21x x ，都有()()21x g x f >，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）若()x f 在()m ,0，()+∞,n 上单调递增，在()n m ,上单调递减，求实数a 的取值范围。 20.解析： （1）)(x f 定义域为)(0,+∞ 当2=a 时，x x x f 43 1)(3 -= ，4)('2 -=x x f 令0)('=x f 得2=x 或2-=x （舍） x （0，2） 2 ),2(+∞ )('x f - 0 + )(x f ↘ ↗ 20．（本小题满分14分） 已知函数2(2),0,(), 0x x ax e x f x bx x -?+<=?≥?，()ln()g x c x b =-+，且2x =-是函数()y f x =的极值点。 （Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）若方程()0f x m -=有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）若直线l 是函数()y f x =的图象在点(2,(2))f --处的切线，且直线l 与函数()y g x =的图象相切于点00(,)P x y ， 01 [,]x e e ∈--，求实数b 的取值范围。 20.解：（Ⅰ）当0 ①当2- +∞-∈e x f ；……3分 ②当02<<-x 时，0)(' >x f ，)(x f 单调递增，)0,)222(()(2 e x f -∈；…4分 综上，当0 +∞-∈e x f ， ………………5分 要使方程()0f x m -=有两个不相等的实数根，即函数)(x f y =的图象与直线m y =有两个不同的交点，结合图象得：当0 )222(e m -=；………6分 当0=b 时，)0,)222((2 e m -∈；7分，当0>b 时，),)222((2 +∞-=e m .8分 （Ⅲ）当0 e x x x f -+=)2()(2 ，x e x x f --=)2()(2'， ∵,0)2(=-f 2 ' 2)2(e f -=-，∴函数()y f x =的图象在点(2,(2))f --处的切线方程为 )2(22 +-=x e y ，即2 2 42e x e y --=. ………………9分 ∵直线l 与函数()y g x =的图象相切于点00(,)P x y ，01 [,] x e e ∈--， ∴b x c y +-=)ln(00，又x c x g =)('，∴切线l 的斜率为0 0' )(x c x g =， ∴切线l 的方程为)(00 0x x x c y y -= -，即b x c c x x c y +-+-= )ln(00 ，…………10分 所以?? ? ??-=+-+--=2 02 04)ln(2e b x c c e x c ， ………………11分 ∴)2)ln((24)ln(000220+---=---=x x x e e x c c b ， ………………12分 令2)ln()(0000+--=x x x x h ，01[,] x e e ∈--， 所以)ln()(00'x x h --=，令0)(0'=x h ，得10-=x ， 当10-<≤-x e 时，0)(0' x 110- ≤<-时，0)(0'>x h ，)(0x h 单调递增， ………………13分 又1)1(=-h ，2)1()(=-=-e h e h ，所以2)(10≤≤x h ，2224e b e -≤≤-， 所以实数b 的取值范围是]2,4[22e e --. ………………14分 19．（本小题满分16分） 已知32()2,()ln f x x ax x g x x x =+-+= (1)如果函数()f x 的单调递减区间为1 (,1)3-，求函数()f x 的解析式； (2)在(1)的条件下,求函数()y f x =的图像过点P(1,1)的切线方程； (3)对一切的()+∞∈,0x ,()22()f x g x '+≥恒成立,求实数a 的取值范围 . 22.（本题满分12分）. 已知函数2()ln 2(0).f x a x a x = +-> （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间； （2）若对(0,)x ?∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求实数a 的取值范围； （3）记()()()g x f x x b b R =+-∈，当a=1时，函数()g x 在区间1 [,]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围。 22.解: (1) 直线2y x =+的斜率为1. 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2 2()a f x x x '=-+ ， 所以2 2(1)111 a f '=-+ =-，解得1a = ………2分 所以2()ln 2f x x x = +-,2 2()x f x x -'= 0)(>'x f 由，得x>2; 0)(<'x f 由得0 所以f(x)的单调递增区间是（2，+∞）,单调递减区间（0,2） ………4分 （2）)(x f '=x a x +- 2 2= 2 2x ax -， 0>a ， 0)(>'x f 由得a x 2>，0)(<'x f 由得a x 20<< 所以f(x)的单调递增区间是（a 2，+∞）,单调递减区间（0, a 2） 当x= a 2时， )(x f 取极小值，也就是最小值min )(x f =)2 (a f ………6分 对(0,)x ?∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，∴)2 (a f >2()1(-a 22ln 2 2-+a a a >2()1(-a ,………8分 ∴a a a >2ln , 12ln >a ,e a 20<<.实数a 的取值范围(0, e 2) ………9分 (3) 当a =1时，)(x g = b x x x --++2ln 2，(x>0) )(x g '=22 2 x x x -+，由)(x g '>0得x>1, 由)(x g '<0得0 所以)(x g 的单调递增区间是（1，+∞）,单调递减区间（0, 1） x=1时)(x g 取得极小值)1(g . ………10分 因为函数()g x 在区间1[,]e e -上有两个零点，所以?? ? ??<≥≥-0)1(0)(0)(1g e g e g ……………11分 解得211b e e <+-≤ . 所以b 的取值范围是2(1, 1]e e +-. ……………12分 22．(本题满分15分)已知定义在R 上的偶函数()f x 的最小值为1，当[0,)x ∈+∞时，()x f x ae =． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求最大的整数(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈，就有()f x t ex +≤． 解：（Ⅰ）因为()x f x ae =为单调函数，故(0)1f =，得1a =, ………………2分 当0x <时，0x ->，则()()3x f x f x e -=-= 综上：,0 (),0 x x e x f x e x -?≥?=? （Ⅱ）因为任意[1,]x m ∈，都有()f x t ex +≤ 故(1)f t e +≤且()f m t em +≤ 当10t +≥时，1t e e +≤，从而11t +≤，10t ∴-≤≤ 当10t +<时，(1)t e e -+≤，从而(1)1t -+≤，21t ∴-≤<- 综上20t -≤≤ 2m ≥ ，故0m t +> 故()f m t em +≤得：m t e em +≤ 即存在[2,0]t ∈-，满足t m em e e ≤ 2 m in {}t m em e e e -∴≥=，即30m e e m -≤ 令3()x g x e e x =-，[2,)x ∈+∞，则3'()x g x e e =- 当(2,3)x ∈时，'()0g x <，()g x 单调递减 当(3,)x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 单调递增 又3(3)20g e =-<，3(2)0g e =-<，3(4)(4)0g e e =-<，32(5)(4)0g e e =-> 由此可见，方程()0g x =在区间[2,)+∞上有唯一解0(4,5)m ∈， 且当0[2,]x m ∈时()0g x ≤，当0[,)x m ∈+∞时()0g x ≥ m Z ∈ ，故m ax 4m =，此时2t =-. ………………………………12分 下面证明：|2|(2)x f x e ex --=≤对任意[1,4]x ∈恒成立 ①当[1,2]x ∈时，即2x e ex -≤，等价于x e xe ≤ [1,2]x ∈ ，,1x e e x ∴≥≥，x xe e ≥ ②当[2,4]x ∈时，即2 x e ex -≤，等价于3 m ax {}0x e x --≤ 令3 ()x h x e x -=-，则3 '()1x h x e -=- ()h x ∴在(2,3)上递减，在(3,4)上递增 max max{(2),(4)}h h h ∴= 而1(2)20,(4)40h h e e = -<=-< 综上所述，(2)f x ex -≤对任意[1,4]x ∈恒成立. …………………15分 22.（本题满分16分）已知函数mx x x f ++=21ln )(. (Ⅰ)若)(x f 为定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； (Ⅱ)当1-=m 时,求函数)(x f 的最大值； (Ⅲ)当1=m ,且10≤<≤a b 时，证明:2)()(34<--< b a b f a f . 22、解: (Ⅰ))21()21ln(2121ln )(- >++=++=x mx x mx x x f , ∴m x x f ++= 211)('---------2分 若f (x )在),2 1(+∞-上是增函数,则0211)('≥++=m x x f ,即x m 211+- ≥在),2 1 (+∞-恒成立, 而0211<+- x ,故m ≥0;-----------------------------------------2分 若f (x )在),2 1 (+∞-上是减函数,则0211)('≤++= m x x f ,即x m 211+- ≤在),2 1 (+∞-恒成立, 而0211<+- x ,故这样的m 不存在.------------------------------1分 经检验,当m ≥0时,0211)('>++=m x x f 对2 1- >x 恒成立, ∴当m ≥0时，f (x )在定义域上是单调增函数.---------------------1分 (Ⅱ)当m =－1时,x x x f -+=21ln )(,则x x x x f 2121211)('+- =-+=----------1分 当)0,2 1(- ∈x 时,0)('>x f ,此时f (x )为增函数, 当),0(+∞∈x 时,0)(' 1)21ln(2 134)()(- += - =,) 21(3)1(23 1211)('x x x x g +-= -+= --1分 在[0,1]上总有0)('≥x g ,即)(x g 在[0,1]上递增------------------------------1分 ∴当10≤<≤a b 时,)()(b g a g >,即3 4)()(34)(3 4)(>--? - >-b a b f a f b b f a a f ----1分 令x x x x f x h -+= -=)21ln(2 12)()(,由(Ⅱ)知它在[0,1]上递减,所以当10≤<≤a b 时,)()(b h a h <,即2)()(2)(2)(<--? -<-b a b f a f b b f a a f -----------------1分 综上所述,当m = 1,且10≤<≤a b 时,2)()(34<--< b a b f a f ---------------1分 22．设函数()(0)kx f x xe k =≠， （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性； （3）设2 ()2 4.g x x bx =-+，当1=k 时，若对任意R x ∈1，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范 围. 22. 解：（1）kx e kx x f )1()(/+=， 因为0)0(=f ，且1)0(/=f ， 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为：x y = -------------4分 （2）令0)1()(/>+=kx e kx x f ，所以01>+kx ， 当0>k 时，k x 1->， 此时()f x 在)1,(k --∞上单调递减，在),1(+∞- k 上单调递增； 当0 此时()f x 在)1,(k - -∞上单调递增，在),1(+∞- k 上单调递减. ----------8分 （3）当1=k 时，()f x 在)1,(--∞上单调递减，在),1(+∞-上单调递增， 所以对任意R x ∈1，有e f x f 1)1()(1- =-≥， 又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以)(12x g e ≥-，[]21,2x ∈， 即存在[]1,2x ∈，使e bx x x g 142)(2 - ≤+-=，即x e x b 1 42-++ ≥， 即因为当[]1,2x ∈， ]15,214[41 e e x e x + + ∈++ -， 所以e b 2142+ ≥，即实数b 取值范围是e b 412+≥. ----------14分 高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若 对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b = 2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） A ． 1142+a b B ．2133+a b C ．11 24 +a b D ．1 233 + a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面 4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ） A ．1205秒 B ．1200秒 C ．1195秒 D ．1190秒 5、（2011广东） 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 学校 年级 姓名 装 装 订 线 一．选择题（共26小题） 1．设实数x ，y 满足 ，则z= +的取值范围是（ ） A ．[4，] B ．[，] C ．[4，] D ．[，] 2．已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，且，AC=2AB ，PA=1，BC=3， 则该三棱锥的外接球的体积等于（ ） A ． B ． C ． D ． 3．三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA=2，△ABC 是边长为的等边三角形， 则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ． B ．4π C ．8π D ．20π 4．已知函数f （x +1）是偶函数，且x ＞1时，f ′（x ）＜0恒成立，又f （4）=0，则（x +3）f （x +4）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） B ．（﹣6，﹣3）∪（0，4） C ．（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞） D ．（﹣6，﹣3）∪（0，+∞） 5．当a ＞0时，函数f （x ）=（x 2﹣2ax ）e x 的图象大致是（ ） A ． B ． C D ． 6．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，M 为抛物线上的动点，又已知点N （﹣1，0），则 的取值范围是（ ） A ．[1，2 ] B ． [ ， ] C ．[ ，2] D ．[1， ] 7．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多 织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14+a 15+a 16+a 17的值为（ ） A ．55 B ．52 C ．39 D ．26 8．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x ≥0时，f （x ）=x 3+x 2，若不等式f （﹣4t ）＞f （2m +mt 2）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 9．将函数 的图象向左平移 个单位得到y=g （x ）的图象，若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|=2的x 1、x 2，|x 1﹣x 2|min = ，则φ的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的下顶点， M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若α∈ （，]，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．（0， ] B ．（0 ， ] C ．[ ， ] D ．[ ， ] 高考数学最具参考价值选择填空（适合一本学生） 1、点O 在ABC ?内部且满足230OA OB OC ++=，则AOB ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 3 2 C 、 3 D 、 53 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ? ??成中心对称图形，且满足 3 ()() 2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦 点是 2 F ， 1 C 与 2 C 的一个交点为P ，则 2 PF 的值为 A 、4 3 B 、83 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、、设 32 ()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件 20 40250x y x y x y -+≥?? +-≥??--≤? 则 24 z x y =+-的最大值为 A 、 21 B 、 20 C 、 19 D 、 18 7、三棱锥P ABC -中，顶点P 在平面ABC 的射影为O ，满足0OA OB OC ++=，A 点 新青蓝教育高考数学压轴100题1二次函数 2复合函数 3创新性函数 4抽象函数 5导函数（极值，单调区间）--不等式 6函数在实际中的应用 7函数与数列综合 8数列的概念和性质 9 Sn与an的关系 10创新型数列 11数列与不等式 12数列与解析几何 13椭圆 14双曲线 15抛物线 16解析几何中的参数范围问题 17解析几何中的最值问题 18解析几何中的定值问题 19解析几何与向量 20探究性问题 15.抛物线 例1．已知抛物线C ：2 2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ． （Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行； （Ⅱ）是否存在实数k 使0=?NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）如图，设 211(2) A x x ，， 222(2) B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得 122k x x += ，121x x =-， ∴ 1224N M x x k x x +=== ，∴N 点的坐标为248k k ?? ???，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为 284k k y m x ? ?-=- ? ??， 将2 2y x =代入上式得2 2 2048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切， 22 22282()0 48mk k m m mk k m k ??∴?=--=-+=-= ???，m k ∴=． 即l AB ∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB = ，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点， 1 ||||2MN AB ∴= ． 由（Ⅰ）知121212111 ()(22)[()4] 222M y y y kx kx k x x =+=+++=++ 2 2142224k k ??=+=+ ???． MN ⊥ x 轴，22216 ||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-= ． 又 222121212 ||1||1()4AB k x x k x x x x =+-=++- x A y 1 1 2 M N B O 高考数学填空选择压轴题试题汇编（理科） 目录（120题） 第一部分函数导数(47题)······································2/23 第二部分解析几何(23题)······································9/29第三部分立体几何（11题）·····································12/31 第四部分三角函数及解三角形（10题）··························14/32 第五部分数列（10题）········································15/33 第六部分概率统计（6题）·····································17/35 第七部分向量（7题）·········································18/36 第八部分排列组合（6题）······································19/37 第九部分不等式（7题）········································20/38 第十部分 算法（2 题）··········································21/40 第十一部分 交叉部分（2 题）·····································22/40 第十二部分 参考答 案············································23/40 【说明】：汇编试题来源 河南五年高考真题5套；郑州市2011年2012年一模二模三模试题6套；2012年河南省各地市检测试题12套；2012年全国高考文科试题17套。共计40套试题.试题为每套试卷选择题最后两题，填空最后一题。 第一部分 函数导数 1.【12年新课标】（12）设点P 在曲线1 2 x y e = 上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的 最小值为( ) 2.【11年新课标】(12)函数x y -= 11 的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于( ) 3.【10年新课标】（11）()??? ??>+-≤<=10,62 1100,lg x x x x x f ，若c b a ,,均不相等，且 ()()()c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（ ） 4.【09年新课标】（12）用{}c b a ,,m in 表示c b a ,,三个数中的最小值。设 (){}()010,2m in ≥-+=x x x x f ,则()x f 的最大值为( ) 5.【11年郑州一模】12．若定义在R 上的偶函数()(2)()f x f x f x +=满足，且当 [0,1],(),x f x x ∈=时则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 6.【11年郑州二模】 7.【11年郑州二模】设()x f 是R 上的奇函数，且()01=-f ，当0>x 时， () ()()021'2 <-+x xf x f x ，则不等式()0>x f 的解集为________. 导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数,为的导数．证明： （1）在区间 存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ???时,单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ??? , 可得在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,. 所以在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当时, ,故()f x 在单调递减,又,从而是()f x 在的唯 一零点. ()sin ln(1)f x x x =-+()f x '()f x ()f x '(1,)2 π-()f x ()g'x ()g'x α()0g'x <()g x ()g x (1,)-+∞(1,0)x ∈-()0f 'x <(1,0)-(0)=0f 0x =(1,0]- （ii ）当0,2x π?? ∈ ??? 时,由（1）知,在单调递增,在单调递减,而 ,02f π??'< ???,所以存在,2πβα?? ∈ ???,使得,且当时, ；当,2x πβ??∈ ???时,.故在单调递增,在,2πβ?? ???单调递 减.又,1ln 1022f ππ???? =-+> ? ???? ?,所以当时,. 从而()f x 在0,2π?? ??? 没有零点. （iii ）当,2x ππ??∈ ???时,()0f x '<,所以()f x 在,2ππ?? ???单调递减.而 ()0,02f f ππ??>< ??? ,所以()f x 在,2ππ?? ??? 有唯一零点. （iv ）当时,()l n 11x +>,所以<0,从而()f x 在没有零点. 综上, ()f x 有且仅有2个零点. 【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2 f x ax x a R =-∈且 在,0,2π?? ????上的最大值为32π-， （1）求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )在（0，π）内的零点个数，并加以证明 【解析】(1)由已知得()(sin cos )f x a x x x =+对于任意的x∈(0, 2 π)， 有sin cos 0x x x +>,当a=0时,f(x)=? 3 2 ，不合题意； 当a<0时,x∈(0, 2π),f′(x)<0,从而f(x)在(0, 2 π )单调递减， 又函数3 ()sin 2f x ax x =- (a∈R)在[0, 2 π]上图象是连续不断的， 故函数在[0, 2 π ]上的最大值为f(0)，不合题意； ()f 'x (0,)α,2απ?? ???(0)=0f '()0f 'β=(0,)x β∈()0f 'x >()0f 'x <()f x (0,)β(0)=0f 0,2x ?π?∈ ???()0f x >(,)x ∈π+∞()f x (,)π+∞ 高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程； （3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证 明FM FQ λ=-. (14分) 2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S 4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值； （2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有 最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。 （1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围； （Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f 2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意. 秒杀压轴题第五章关于秒杀法的最难掌握的一层，便是对于高考数很多朋友留言说想掌握秒杀的最后一层。压轴题，各省的难度不一致，但毫无疑问，尤其是理科的，会难倒很多学压轴题的把握。很多很多人。出题人很怕很怕全省没多少做出来的，相反，压轴题并不是那般神秘难解，不过，明白么？他很怕。那种思想，在群里面我也说过，在这里就不多啰嗦了。想领悟、把握压轴题的思路，给大家推荐几道题目。08的除的外我都没做过，所以不在推荐围）。09全是数学压轴题，且是理科（全国一07，08，07全国二，08全国一，可脉络依然清晰。虽然一年过去了，做过之后，但这几道题，很多题目都忘了，一年过去了，都是一些可以秒杀的典型压轴题，望冲击清华北大的同学细细研究。记住，压轴题是出题人在微笑着和你对话。会在以后的视频里面讲以及怎么发挥和压榨一道经典题目的最大价值，，”精“具体的题目的解的很清楚。 \ 不过，我还是要说一下数列压轴题这块大家应该会什么（难度以及要求依次增高）尤其推荐通项公式的求法（不甚解的去看一下以前的教案，或者问老师，这里必考。：1 ）我押题的第一道数列解答题。裂项相消（各种形式的都要会）、迭加、迭乘、错位相减求和（这几个是最基本和简：2. 单的数列考察方式，一般会在第二问考）数学归纳法、不等式缩放：3 基本所有题目都是这几个的组合了，要做到每一类在脑中都至少有一道经典题想对应才行哦。开始 解答题了哦，先来一道最简单的。貌似的大多挺简单的。意义在只能说不大。这道题意义在什么呢？对于这道题在高考中出现的可能性我不做解释，于，提醒大家四个字，必须必须必须谨记的四个字：分类讨论！！！！！！！年高考的这道导数题，对分类讨论的考察尤为经典，很具参考性，类似的题目07下面年高考题中见了很多。10、09、08在) 分14本小题满分(22)(2≠0.b其中+1),x ln(b+x)=x(f设函数在定义域上的单调性；)x(f时，判断函数> b当)Ⅰ( 的极值点；)x(f（Ⅱ）求函数n（Ⅲ）证明对任意的正整数. 都成立ln( )不等式, ~ 有点鸡肋了..这道题我觉得重点在于前两问，最后一问这道题，太明显了对吧？ 1 第三问其实就是直接看出来么？想想我之前关于压轴题思路的讲解，，看压轴问的形式这道题就出来了。x 为1/n 很明显的令利用第一问和第二问的结论，绝大多数压轴题都是这样的。当然这只是例子之一了，这也证明了我之前对压轴题的评述吧。重点来了。下面，下面，下面，你可以利用导数去证明这个不等式的正确性， ln X<= X--1 大家是否眼熟这个不等式呢？但我想说的是，这个小小的不等式，太有用了。多么漂亮的一这样简单的线性函数，X--1 将一个对数形式的函数转化为一个什么用？个式子！可以说，导数不等式证明中，见到自然对数，我第一个想的就会是这个不等式，看能否利用这个不等式将题目转化为特别容易做的一道 历年高考数学压轴题题选 （2012文） 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =） （3）设100m =，常数1,12a ?? ∈ ??? ，若(1)22 (1) n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列， 求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +- （2012理） 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于数集{}121,,,...,n X x x x =-，其中120...n x x x <<<<，2n ≥，定义向量集{} (,),,Y a a s t s X t X ==∈∈，若对任意1a Y ∈，存在2a Y ∈，使得120a a ?=，则称X 具有性质P ，例如{}1,1,2-具有性质P （1）若2x >，且{}1,1,2,x -具有性质P ，求x 的值 （2）若X 具有性质P ，求证：1X ∈，且当1n x >时，11x = （3）若X 具有性质P ，且11x =、2x q =（q 为常数），求有穷数列12,,...,n x x x 的通项公式 一．方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练． 立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体, 涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解. 二．解题策略 类型一距离最值问题 【例1】【河南省焦作市2019届高三三模】在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（） A．B．1 C．D．2 【指点迷津】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C 1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可．利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，故选D. 【举一反三】 1、【江西省吉安市2019届高三上学期期末】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为 A ． B ． C ． D ． 2、【河南省顶级名校2019届高三第四次联合测评】在侧棱长为的正三棱锥中，侧棱OA ，OB ， OC 两两垂直，现有一小球P 在该几何体内，则小球P 最大的半径为 A ． B ． C ． D ． 3、如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ?周长的最小值为_______． 类型二 面积的最值问题 【例2】【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】在长方体 中，， ， 分别是棱 的中点，是底面 内一动点，若直线 与平面 没有公共点， 则三角形面积的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 【指点迷津】截面问题，往往涉及线面平行，面面平行定义的应用等，考查空间想象能力、逻辑思维能力及计算求解能力.解题的关键是注意明确截面形状，确定几何量.本题由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P 所在线段，得解． 【举一反三】 1、【湖南省衡阳市2019届高三二模】如图，直角三角形， ， ，将 绕 边 旋转至 位置，若二面角 的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为（ ） 2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题 【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++ （I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2 ． 【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '= ++，依题意有(1)0f '-=，故32a =． 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当1 12 x -<<-时，()0f x '<； 当1 2 x >- 时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????，，， ∞单调增加，在区间112?? -- ??? ，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221 ()x ax f x x a ++'=+． 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-． （ⅰ）若0?< ，即a << ()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值． （ⅱ）若0?= ，则a a = 若a = ()x ∈+ ，2 ()f x '= ． 当x =时，()0f x '=， 当2 x ? ??∈-+ ? ????? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值． 若a =)x ∈+，()0f x '= >，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>，即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值． 当a > 1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值． 综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=． 【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （Ⅰ）求()f x 的解析式： （Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）2 1 ()() f x a x b '=- +， 2014江苏高考数学压轴题二 1. (本小题满分12分) 已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n– ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ≥ a , 证明f`n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n`(n) 2. (本小题满分12分) 已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤| u –v | . (1) 判断函数p ( x ) = x2– 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)= 1,[1,0] 1,[0,1] x x x x +∈- ? ? -∈ ? ，是否满足题设条件？ 已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1 x x +(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ≠ 0 ). (1) 求证：| ac | ≥ 4; (2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分） 设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当 x= －1时，f (x)取得极大值 23 ，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称． （1） 求f (x)的表达式； （2） 试在函数 f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间 ??上； （3） 若+213),(N )23n n n n n n x y n --==∈，求证：4()().3 n n f x f y -< 高考数学填空压轴题专题 复习学生版 Newly compiled on November 23, 2020 高考数学填空题的解题策略 特点：形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等. 解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意. （一）数学填空题的解题方法 1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变 形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法.它是解填空题的最基本、最常 用的方法.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采 取灵活、简捷的解法. 2、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设 条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程. 3、数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符 合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果. 4、等价转化法：通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果. 5、构造法：根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认 识和解决问题的一种方法. 6、分析法：根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论. （二）减少填空题失分的检验方法 1、回顾检验 2、赋值检验.若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误. 2014年包九中数学压轴模拟卷一（理科） （试卷总分150分 考试时间120分钟） 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集{2}x M x y ==,集合2 {|lg(2)}N x y x x ==-,则M N =（ ） A ．(0,2) B ．),2(+∞ C ．),0[+∞ D ．),2()0,(+∞?-∞ 2． 在复平面内，复数31 1z i i = --，则复数z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．关于直线m ，n 与平面 α，β，有下列四个命题： ①m ∥α，n ∥β 且 α∥β，则m ∥n ； ②m ⊥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α，n ∥β 且 α∥β，则m ⊥n ； ④m ∥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ∥n ． 其中真命题的序号是( )． A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 4.已知)(x g 为三次函数cx ax x a x f ++= 23 3 )(的导函数，则函数)(x g 与)(x f 的图像可能是（ ） 5.已知数列12463579{}1(),18,log ()n n n a a a n N a a a a a a ++=+∈++=++满足且则等于（ ） A ．2 B ．3 C ．—3 D ．—2 6．执行右面的程序框图，如果输出的是341a =，那么判断框（ ） A ．4?k < B ．5?k < C ．6?k < D ．7?k < 7． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下 罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款． 据《法制晚报》报道，2013年8月15日至8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血 导数压轴 一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数． （1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围； （2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设． （1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）． （1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性； （2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）． （Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1． （Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围； （Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）． （2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a； （Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）．高考数学选择题之压轴题
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