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《贝叶斯统计》PPT课件

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《贝叶斯估计》PPT课件

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前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数θ
已有一个认识，这个认识就是先验分布π (θ )。通
过试验，获得样本。从而对θ 的先验分布进行调整，
调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整的结
果就是后验分布 ( x1,。, xn后) 验分布是三种信息 的综合。获得后验分布使人们对θ 的认识又前进一
1)
,
x

0,1, n
( x)
(n 2)
x (1 )nx ,0 1
(x 1)(n x 1)
即
X ~ Be(x 1, n x 1)
9
贝叶斯统计学首先要想方设法先去寻求θ的先验分布。 先验分布的确定大致可分以下几步： 第一步，选一个适应面较广的分布族作先验分布族， 使它在数学处理上方便一些，这里我们选用β分布族
步，可看出，获得样本的的效果是把我们对θ的认识
由π(θ)调整到 应建立在后验分布
( 。x1,所,以xn)对θ的统计推断就 ( 的x1,基础, xn上) 。
7
例1 设事件A(产品为废品)的概率为 ，即P(A) 。 为了估计 而作n次独立观察，其中事件A出现次数
为X，则有X服从二项分布 b(n, )
第三章 贝叶斯估计
§3.1贝叶斯推断方法 一 、统计推断中可用的三种信息
美籍波兰统计学家耐(E.L.Lehmann1894~1981) 高度概括了在统计推断中可用的三种信息：
1．总体信息，即总体分布或所属分布族给我们 的信息。譬如“总体是指数分布”或“总体是正 态分布”在统计推断中都发挥重要作用，只要有 总体信息，就要想方设法在统计推断中使用。
假设Ⅱ 当给定θ后，从总体p(x|θ)中随机抽取一个样 本X1，…，Xn，该样本中含有θ的有关信息。这种信 息就是样本信息。

贝叶斯统计ppt课件

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29
二 参数的Bayes点估计
（3）后验中位数估计
若 Me是后验分布h(θ| x )的中位数， 则 Me称为θ的后验中位数估计。即若
u0.5 h( x)d 0.5
则后验分布中位数估计
Me u0.5
30
二 参数的Bayes点估计
以上三种估计统称θ的Bayes估计，记为
或简记B 为 。它们 皆是样本观察值
18
历史迭代图
不收敛 收敛
19
(2)观察自相关性图 （m）
自相关性图用于描述（m）序列在不同迭代
延迟下的相关性，延迟i的自相关性是指相 距i步的两迭代之间的相关性。具有较差的 性质的链随着迭代延迟的增加会表现出较 慢的自相关衰弱。
20
21
22
23
Bayes Bayes统计推断
Bayes统计推断概述 参数的Bayes点估计 Bayes区间估计 Bayes假设检验
选择检验统计量，确定抽样分布，等等。
41
四 Bayes假设检验
Bayes假设检验不同型：
简单假设 简单假设
复杂假设 复杂假设 假单假设 复杂假设
42
四 Bayes假设检验
Bayes因子
设两个假设Θ0，Θ1的先验概率分布为π0与π1，
即：
0 P( 0 ),1 P( 1)
则 0 1 称为先验概率比。
3
（一）预备知识
4
5
（二）基本思想
6
（三）常用MCMC算法 Gibbs抽样（吉布斯采样算法）
7
8
立即更新的Gibbs抽样
每次迭带的时候 的一些元素已经被跟新了，如果在更
新其他的元素时不使用这些更新后的元素会造成一定程度 的浪费。事实上， Gibbs抽样 可通过在每一步都利用近似 得到的其他元素的值来获得更好的效果。这种方法改进了 练的混合，换句话说，链能更加迅速，更加详尽的搜索目 标分布的支撑空间。

贝叶斯估计PPT课件

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贝 叶 斯 统 计(Bayesian Statistics)
（Bayes，Thomas）(1702─1761)
贝叶斯是英国数学家.1702年生于伦敦；1761年4月17日 卒于坦布里奇韦尔斯.
贝叶斯是一位自学成才的数学家.曾助理宗教事务，后来 长期担任坦布里奇韦尔斯地方教堂的牧师.1742年，贝叶斯被 选为英国皇家学会会员.
如今在概率、数理统计学中以贝叶斯姓氏命名的有贝叶 斯公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯决策规则、贝 叶斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计等等.
贝叶斯方法(Bayesian approach )
• 贝叶斯方法是基于贝叶斯定理而发展起来用于系 统地阐述和解决统计问题的方法(Samuel Kotz和 吴喜之,2000)。
P(
i) n
i
,i
1,2,...,n
若这个分布的概率部 绝分 大在 0附近,那么,该产品为 "信得过产"品 ,
可见假定以后每天取 都几 抽件产品与历史的 资不 料合格率分布一 ,
使用单位就可以确"认 免为 检产品 ".
基于上述三种信息（总体信息、样本信息和先验信息）进行的 统计推断被称为贝叶斯统计学。它与经典统计学的主要差别在于 是否利用先验信息。贝叶斯统计学派把任意一个未知参数都看成 随机变量，应用一个概率分布去描述它的未知状况，该分布称为 先验分布。
信息处理
样 本 信 息
先 验 信 息 贝 叶 斯 定 理
后 验 信 息
统 计 推 断
从概率论的Bayes公式谈起
设自然状态有k种， 1，2，…， k， P（i）表示自然状态i发生的先验概率分布， P（x︱i）表示在状态i条件，事件为x的概 率。 P（i ︱x ）为i发生的后验概率。

Bayes统计Full ppt课件

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A:试制5个产品，全是高质量的产品。 依Bayes思想，A的发生可以用来修正原先的判断
即求： (1|A), (2|A)
12
Bayes统计Full
P(A|1)=0.95=0.590 P(A|2)=0.75=0.168 由离散Bayes公式：
(1|A)=P(A|1)(1)/P(A) (2|A)=P(A|2)(2)/P(A)
18
Bayes统计Full
贝叶斯推断的基本步骤如下：
选择一个概率密度函数 f ( ) ，用来表示在取得数据之
前我们对某个参数 的信念。我们称之为先验分布。
选择一个模型 f ( x | )（在参数推断中记为 f ( x ; ) ） 来
反映在给定参数 情况下我们对x的信念。
当得到数据 X1, X2,…Xn 后，我们更新我们的信念并且
为了得到后验的均值，我们必须计算
n
f |xn d
nf n fd
在这个例子中可以解析计算。后验恰好为Beta分布
f p; ,
p11 p 1
其中参数
p s1 n2
f p |x n
s 1， n s 1，均值为
n2
ps111pns11
s1 ns1
25
Bayes统计Full
p的极大似然估计为 p s n ，为无偏估计。
②后验分布。
根据样本分布和未知参数的先验分布，用概率论中求条件概 率分布的方法，求出的在样本已知下，未知参数的条件分布。 因为这个分布是在抽样以后才得到的，故称为后验分布。
贝叶斯推断方法的关键是任何推断都必须且只须根据 后验分布，而不能再涉及样本分布，即对没有观察到 的样本不予考虑。
9
Bayes统计Full
值。 将 视为随机变量且具有先验分布具有实际意义，能拓广

6.4贝叶斯估计ppt课件

6.4贝叶斯估计ppt课件
其中
是x1, x2 , …, xn 的边际概率函数，它与 无关，不
含 是条的件任分m ( 何布x 1 , 信L (, 息x n ) 。x 1因 , xh 2此( ,x …1 能, L ,用x,x nn 来), ，对) 它d 的 作 计 出p 算( x 推1 公, L 断式,x 的n 是|仅)() d
(|x 1 ,L ,x n ) h m (x ( 1 x ,1 L 6,.4L 贝,叶x ,斯n x 估,n 计))p p ( (x x 1 1 ,,L L ,,x x n n ||
)() )()d
这个条件分布称为 的后验分布，它集中了总体、 样本和先验中有关 的一切信息。
后验分布( x1, x2 , …, xn )的计算公式就是
• 条件概率
f (x | y) f ( y)dy
• 利用贝叶斯规则将数据和参数的分布联合起来
f ( | x) f (x | ) f ( )
f (x | ) f ( )d
6.4贝叶斯估计
贝叶斯方法
贝叶斯推断的基本步骤如下：
• 选择一个概率密度函数 f ( )，用来表示在取得
数据之前我们对某个参数 为先验分布。
6.4贝叶斯估计
批评1：置信区间
• 置信区间：
• 解释：区间[u1,u2]覆盖u的概率
•
不是u位于区间的概率
• 缺点：u不是变量
6.4贝叶斯估计
批评2：评价方法
• 假设检验、参数估计等都是多次重复的结果； • 想知道：
• 一次实验发生的可能性
6.4贝叶斯估计
回忆贝叶斯规则
• 亦称贝叶斯定理
f (y | x) f (x | y) f (y)
•
参数作为随机变量

ch0 引言 贝叶斯统计课件

ch0 引言 贝叶斯统计课件
4.贾乃光编著，数理统计——贝叶斯统计学，中国林业 出版社，
5.James等著，贝叶斯统计学：原理、模型与应用，中 国统计出版社，1992
2020/9/19
2020/9/19
在统计推断的基本理论和方法之间的差异
• 1.频率统计学派与贝叶斯学派在进行统计推断时 的依据不同；
• 2.对概率的概念的理解有差别：频率学派坚持概 率的频率解释，并在这个基础上去理解一切统计 推断的结论；与此相反，贝叶斯学派赞成主观概 率，概率是认识主体对事件出现可能性大小的相 信程度，它不依赖事件能否重复；（Page4例1.3 ）
2020/9/19
2.后验分布的统计推断
后验分布是贝叶斯统计推断的出发点与 关键所在，对于一般参数先验分布而言，其 后验分布都相当复杂，很难纳入目前已知的 统计分布类别之中，因此常用基于计算机的 方法来计算或近似参数后验分布特征。
2020/9/19
总体信息：即总体分布或所属分布族给我 们的信息。譬如“总体是指数分布”或“总体 是正态分布”在统计推断中都发挥重要作用， 只要有总体信息，就要想方设法在统计推断中 使用。
样本信息：即从总体抽取的样本提供给我 们的信息，这是最“新鲜”的信息，且越多越 好，这是任一种统计推断中都必不可少的。
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可查标准正态 N(0,1) 的表，得双侧 α 分位点的值 ，
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2020/9/19
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（2）标准不妥
2020/9/19
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1.先验分布理论的研究
先验分布的选择是贝叶斯统计推断的前提，它 大体上可以分为无信息先验分布和共轭先验分布两 大类，当然，大多数所谓无信息先验分布实际上很 可能包含一些或很多信息，例如，最常用的无信息 先验分布为局部均匀分布，也就是在参数θ的值域 Θ上的均匀分布，然而均匀分布在参数变换时一般 不满足不变性，即变换后的分布不是均匀分布。又 如对标准差σ的均匀分布就不会变成σ2的一个均匀 分布。无信息先验分布一般应满足以下几条性质： 不变性、相合的边缘化、相合的抽样性质、普遍性 和容许性。

贝叶斯统计ppt课件

贝叶斯统计ppt课件
3
（一）预备知识
4
5
（二）基本思想
6
（三）常用MCMC算法 Gibbs抽样（吉布斯采样算法）
7
8
立即更新的Gibbs抽样
每次迭带的时候 的一些元素已经被跟新了，如果在更
新其他的元素时不使用这些更新后的元素会造成一定程度 的浪费。事实上， Gibbs抽样 可通过在每一步都利用近似 得到的其他元素的值来获得更好的效果。这种方法改进了 练的混合，换句话说，链能更加迅速，更加详尽的搜索目 标分布的支撑空间。
x=(x1,x2,…,xn)T 的函数，即
(x) (x1,x2, , xn )
在一般场合下，这三种估计是不同的，
当后验分布h(θ| x )对称时，这三种估计 是相等的。
31
三 Bayes区间估计
经典区间估计
参数θ是未知常数（非随机变量），其置信 度为1-α的区间估计[θL ,θU]满足
P(L U ) 1
理解为进行了大量重复试验，随机区间 [θL ,θU ]包含常数θ的概率为1-α （θL ,Θu样本x的 函数，是随机变量）。
32
三 Bayes区间估计
经典统计学中，对给定的样本容量n，若进 行多次反复的抽样，得到了众多个不同的 区间，其中每个区间，要么包含θ的真值， 要么不包含θ的真值。
=
0 0
建议分布为N( 0 ，I)，再由它生成一个随机向量作为 0
1，然后看接受概率a,设先验 ( )为均匀分布，设 p(x,x' )=p（x'，x），则a min(1, ( ' ))
( )
15
三、MCMC方法的收敛性诊断
要多久链才可以不依赖于其初始值以及需 要多久该链能完全挖掘目标分布函数支撑 的信息。

贝叶斯决策理论课件(PPT90页)

贝叶斯决策理论课件(PPT90页)

Some about Bayes(2)
一所学校里面有 60% 的男生，40% 的女生。男生总是穿长 裤，女生则一半穿长裤一半穿裙子。假设你走在校园中， 迎面走来一个穿长裤的学生（很不幸的是你高度近似，你 只看得见他（她）穿的是否长裤，而无法确定他（她）的 性别），你能够推断出他（她）是女生的概率是多大吗？
要决策分类的类别数是一定的
引言
在连续情况下，假设对要识别的物理对象有d种特征
观察量x1,x2,…xd，这些特征的所有可能的取值范围构 成了d维特征空间。
称向量 x x1, x2, , xd T x Rd 为d维特征向量。
假设要研究的分类问题有c个类别，类型空间表示
为：
1,2 , ,i ,c
P(B|LB)∝P(LB|B)P(B)∝0.75P(B) P(~B|LB)∝P(LB|~B)P(~B)∝0.25(1-P(B)) 而西安的出租车10辆中有9辆是绿色的，则给出了先验概率P(B)=0.1，于 是有 P(B|LB)∝0.75×0.1=0.075 P(~B|LB)∝0.25(1-P(B))=0.25×0.9=0.225 P(B|LB)=0.075/0.072+0.225=0.25 P(~B|LB)=0.225/0.072+0.225=0.75 因此肇事车辆为绿色。
Neyman-Pearson准则
问题：先验概率和损失未知
通常情况下，无法确定损失。 先验概率未知，是一个确定的值 某一种错误较另一种错误更为重要。
基本思想：
要求一类错误率控制在很小，在满足此条件的 前提下再使另一类错误率尽可能小。
用lagrange乘子法求条件极值
Neyman-Pearson准则
和绿色的区分的可靠度是75%； 假设随后你又了解到第3条信息：（3）西安的出租车10辆

第3讲 统计分类(一)贝叶斯分类器精品PPT课件

第3讲 统计分类(一)贝叶斯分类器精品PPT课件
X1＝X1(e)， X2＝X2(e)，…， Xn＝Xn(e)是定义在S上的 随机向量，由它们构成的一个n维向量(X1,X2,…,Xn) 叫 做n维随机向量或n维随机变量。
（2）对于任意n个实数x1,x2,…,xn，n元函数
F ( x 1 , x 2 ,x . n ) . P { . X 1 , x 1 , X 2 x 2 ,X .n .x n . } ,
k!
5
一、数理统计基础
4、随机变量的分布函数 （1）概念
设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
F(x)P{Xx}
称为X的分布函数。 （2）性质
（a）F（x）是一个不减函数
0 F(x) 1,且 （b） F() lim F(x) 0
x
F() lim F(x) 1
x
6
一、数理统计基础
5、连续型随机变量的概率密度
e
X(e)
S
3
一、数理统计基础
3、离散型随机变量及其分布 （1）概念
如果随机变量的全部取值是有限个或可列无限多 个，则称为离散型随机变量
（2）离散型随机变量的概率分布 设离散型随机变量X所有可能取的值为xk（k＝1，
2，…），X取各个可能值的概率，即事件{X=xk}的概 率，为 P{X=xk}=pk，k ＝1，2，…
模式识别
第三讲 统计模式识别（一） －－贝叶斯分类方法
•数理统计基础 •贝叶斯分类的基本原理 •最小错误率贝叶斯分类 •最小风险贝叶斯分类 •最大似然比贝叶斯分类
一、数理统计基础
1、全概率公式和贝叶斯公式 （1）条件概率： 设A、B是两个事件，且P(B)>0，则称
P(A| B) P(AB) P(B)
x2 x1

贝叶斯统计及其推断(ppt 123页)

贝叶斯统计及其推断(ppt 123页)

边缘密度和后验密度
设X的密度为P(x|),现有 观察值x,及()，求 边缘密度m(x),后验密度(| x) 解 ： m (x)p(x,)dp(x|)()d, (|x)p(x,)/p(x,)dp(x|)()/m (x).
求解的例子
设 x b ( n ,) ,~ U ( 0 ,1 ) . 求 m ( x ) ,(|x )
则 P (x)
1
( x 1)2
e 24 , x R
2 2
2
1
2
x2 2 x1
e
2 4
x2 2 x
e 8 h(x)
计算的简化---边缘密度的核
例3.2.设 x的 密 度 核 为 x a1 (1 x)b1, 0 x 1, 求 P ( x)
解 ： 法1.P ( x) c.h( x)
计算的简化---后验密度的核
例 2.3.设 后 验 密 度 为 （ | x ) C nx x (1 ) n x / m ( x ) x (1 ) n x h ( )
注 ： 在 后 验 密 度 (|x)中 ， x要 视 作 常 数 ，
后 验 密 度 是 一 个 条 件 密 度 。 实 际 上 贝 叶 斯 统 计 式 基 于 当 前 观 察 Xx的 条 件 统 计 推 断
计算的简化---边缘密度的核
例 4.1.设 X b(n, ), u (0，1)， 求 ( | x)
解 ： P(x| )=C nx x(1- )n x ( ) 1, 0 1
0 1
( | x ) P ( x | ) / m ( x)
C nx x (1 ) n x 1 x (1 ) n x
经 典 统 计 认 为 是 个 常 数 ， 但 未 知 。
贝 叶 斯 统 计 认 为 是 个 随 机 变 量 ， 无 论 是 否 可 变 。

ch2 贝叶斯推断 贝叶斯统计课件

ch2 贝叶斯推断 贝叶斯统计课件

(3)因为 E( 2 X 3) 17 80 ,所以:
Var( x) E( 2 x) E2( x) 17 80 (17 40)2 51 1600
ˆMD 的后验均方差为
MSE(ˆ
x)
Var(
x) (ˆE
ˆ)2
51 1600 (1
4 17
40)2
1 16
15
例2.6 在例2.3中，在选用共轭分布下，不合格品率θ的后验分布 为贝塔分布，它的后验方差为：
r
p(t | ) [ p(ti | )][1 F (tr )]nr r exp{sr / } i 1
其中F(t)为彩电的寿命的分布函数，sr t1 tr (n r)tr 称
为总试验时间。
21
具体实施的步骤：
(1)确定参数θ的先验分布：倒伽玛分布IGa(α,β) (2)利用历史资料确定两个超参数α和β的值（用第三 种方法） (3)求出θ的后验分布：IGa(α+r,β+Sr) (4)用后验均值作为θ的贝叶斯估计：
4
§2.2 估计
1.贝叶斯估计
定估布为计的贝义；期叶2.1后望斯使验值估后分计验ˆE布，称密的记为度中为位(ˆ的B数x后。)ˆ达验Me到期称最望为大值后的估验值计中，位M这数D 称三估为个计最估；大计后后都验验称分
5
例 2.2 设 x1,, xn 是来自正态总体 N ( , 2 ) 的一个样 本，其中 2 已知，若取 的共轭先验分布 N (, 2 ) 作为 的先 验分布，其中 与 2 已知，求 的 Bayes 估计。
Eˆ(x) ˆ(x) p(x | )dx x
其中平均是对样本空间中所有可能出现的样本而求的，可实 际中样本空间中绝大多数样本尚为出现过，而多数从未出现 的样本也要参与平均是实际工作者难以理解的。故在贝叶斯 推断中不用无偏性，而条件方法是容易被实际工作者理解和 接受的。

贝叶斯决策理论与统计判别方法PPT课件

贝叶斯决策理论与统计判别方法PPT课件

• P(ωi)=P(ωj)时决策面方程
WT(X－X1)＝0
第32页/共55页
W＝μi-μj W＝μi-μj
正态分布概率模型下的最小错误率贝叶斯决策
一维特征
第33页/共55页
正态分布概率模型下的最小错误率贝叶斯决策
二维特征
第34页/共55页
正态分布概率模型下的最小错误率贝叶斯决策
三维特征
第35页/共55页
第14页/共55页
二维向量的协方差矩阵
第15页/共55页
多元正态分布
• 协方差矩阵 • 协方差矩阵并不只对正态分布有用 • 特性: 协方差矩阵是一个对称矩阵 • 特性: 协方差矩是正定的
第16页/共55页
多元正态分布的性质
• (1)参数μ与Σ对分布具有决定性
• 与单变量相似，记作p(X)～N(μ，Σ)
The action of a linear transformation on the feature space will convert an arbitrary normal distribution into another normal distribution.
第20页/共55页
正态分布概率模型下的最小错误率贝叶斯决策
第46页/共55页
正态分布概率模型下的最小错误率贝叶斯决策
• 最小距离分类器与线性分类器
• 两者都是线性分类器 • 最小距离分类器是线性分类器的一个特例 • 最小距离分类器在正态分布情况下，是按超球体分布以及先验概率相
等的前提下，才体现最小错误率的 • 只有在一定条件下，最小距离分类器同时又是最小错误率分类器 • 最小距离分类器的概念是分类器中是最常用的，因为它体现了基于最
• 前者是一个椭圆，而后者则是圆
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0 ，I)，再由它生成一个随机向量作为 0 1，然后看接受概率a, 设先验 ( )为均匀分布，设
建议分布为N( p(x,x' )=p（x'，x），则a min(1,
( ' ) ) ( )
三、MCMC方法的收敛性诊断

要多久链才可以不依赖于其初始值以及需 要多久该链能完全挖掘目标分布函数支撑 的信息。 在一个序列中观测值之间要隔多远才可以 看作是近似独立的。 该链是否近似达到其平稳分布。


诊断方法


观察样本路径 观察自相关性图 方差比收敛性诊断
（1）观察样本路径
产生多条马尔可夫链，观察样本路径（对多个 初始值产生多个马尔可夫链）
样本路径是一个描述迭代数对应 的实现 图。样本路径有时也称为历史图。如果链的混合不 是很好，那么在很多次迭代中它会取 相同或者相近 的数值。一个好的链能够快速地远离初始值，无论 以何值开始。

经典统计学中，对给定的样本容量n，若进 行多次反复的抽样，得到了众多个不同的 区间，其中每个区间，要么包含θ的真值， 要么不包含θ的真值。
三 Bayes区间估计

Bayes区间估计
参数θ是随机变量，其后验分布h(θ| x )（x是 样本观测值），θ的可信度为1-α的区间估计满 足
P( L U x) h( x)d 1
MCMC方法
一、贝叶斯统计的框架分析
后验分布先验信息 似然函数
困难: 后验分布是复杂的、高维的分布
解决方法:马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法

目前，MCMC已经成为一种处理复杂统 计问题的特别流行的工具，尤其在经常需 要复杂的高维积分运算的贝叶斯分析领域 更是如此。在那里，高维积分运算主要是 用来求取普通方法无法得到的后验分布密 度。如果合理的定义和实施，MCMC总能得 到一条或几条收敛的马尔可夫链，该马尔 可夫链的极限分布就是所需的后验分布

以上三种估计统称θ的Bayes估计，记为 或简记为 。它们皆是样本观察值 B x=(x1,x2,…,xn)T 的函数，即
( x) ( x1 , x 2 ,, xn )




在一般场合下，这三种估计是不同的， 当后验分布h(θ| x )对称时，这三种估计 是相等的。

（m）
历史迭代图
不收敛
收敛
(2)观察自相关性图
（m）
自相关性图用于描述（m） 序列在不同迭代 延迟下的相关性，延迟i的自相关性是指相 距i步的两迭代之间的相关性。具有较差的 性质的链随着迭代延迟的增加会表现出较 慢的自相关衰弱。
Bayes Bayes统计推断


Bayes统计推断概述 参数的Bayes点估计 Bayes区间估计 Bayes假设检验
L U
即在得到样本观测值x的条件下，随机变量θ 落入区间[θL ,θU ]的概率是1-α（θL ,θU）样本观测 值x的函数，是确定的量）。
三 Bayes区间估计


经典统计学认为，参数可以有一个取值范 围，但本身不具有随机性，因此未知参数 不是一个随机变量，仅是一个未知数而已。 这是经典统计方法与Bayes统计方法的根本 区别之一。

样本分布f( x |θ)中未知参数为θ；其中 T x=(x1,x2,…,xn) ；设θ的先验分布为π(θ)。 有Bayes公式， θ的后验分布：
h( x) ( ) f ( x ) ( ) L( x )

这个后验分布h(θ| x )是进行θ 的Bayes点估 计的出发点。
一 Bayes统计推断概述

所研究的问题有一个确定的总体，其总体 分布未知或部分未知，通过从该总体中抽 取的样本（观测数据）作出与未知分布有 关的某种结论。
目的：利用问题的基本假定及包含在观测 数据中的信息，作出尽量精确和可靠的结 论。

一 Bayes统计推断概述

Bayes推断
二 参数的Bayes点估计
三 Bayes区间估计

Beyas等尾可信区间 θL =后验分布h(θ| x )的α/ 2分位数；
三 Bayes区间估计

经典区间估计
参数θ是未知常数（非随机变量），其置信 度为1-α的区间估计[θL ,θU]满足
P( L U ) 1
理解为进行了大量重复试验，随机区间 [θL ,θU ]包含常数θ的概率为1-α （θL ,Θu样本x的 函数，是随机变量）。
三 Bayes区间估计
二 参数的Bayes点估计

（1）最大后验估计
设θ∈Θ，使后验分布h(θ| x )达到最大 值的点 MD 称为θ的最大后验估计，即：
h( MD x) sup h( x)


二 参数的Bayes点估计

（2）后验均值估计（后验期望估计） 后验分布h(θ| x )的均值称为θ的后验 均值估计（或后验期望估计），记为， 即： E

（一）预备知识

（二）基本思想

（三）常用MCMC算法 Gibbs抽样（吉布斯采样算法）

立即更新的Gibbs抽样
每次迭带的时候 的一些元素已经被跟新了，如果在更 新其他的元素时不使用这些更新后的元素会造成一定程度 的浪费。事实上， Gibbs抽样 可通过在每一步都利用近似 得到的其他元素的值来获得更好的效果。这种方法改进了 练的混合，换句话说，链能更加迅速，更加详尽的搜索目 标分布的支撑空间。
E E ( x) h( x)d


二 参数的Bayes点估计

（3）后验中位数估计 若 Me是后验分布h(θ| x )的中位数， 则 Me称为θ的后验中位数估计。即若

h( x)d 0.5 则后验分布中位数估计

u0.5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Me u0.5

二 参数的Bayes点估计

立即更新的Gibbs抽样描述如下：
（0）
（1）选择初始值 （2）逐个生成。

（0） 。

（3）增加m,返回第（2）步。

Metropolis-Hastings抽样
假设数据是N（1,4）的1000个随机数；
0和 0的初值是0和1，用随机移动的正态分布作为建议
分布做法就应该是， 0 = 0 0