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“放缩法”技巧

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例谈“放缩法”证明不等式的基本策略近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。

特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。

“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。

因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。

下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。

1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。

由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。

本题在放缩时就舍去了22k-，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+. 证明：由f (n )=nn 414+=1-1111422n n>-+⋅ 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n22112211221121⋅-++⋅-+⋅-Λ)(2121)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。

如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知a n =n ，求证：∑nk=1k a 2k＜3．证明：∑nk=12k a =∑nk=1＜1＋∑nk=21(k －1)k (k ＋1)＜１＋∑nk=22(k －1)(k ＋1) ( k ＋1＋k －1 ) =1nk =+=1＋ ∑nk=2(1(k－1) －1(k ＋1))=1＋1＋2－1(n ＋1) ＜2＋2＜3． 本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列{}n a 满足2111,0,2n na a a +=<≤求证：1211().32nk k k k a a a ++=-<∑ 证明 22112131110,,,.2416n n a a a a a a +<≤=∴=≤≤Q L 2311,0,16k k a a +∴≥<≤≤当时 1211111111()()().161632nn k k k k k n k k a a a a a a a ++++==∴-≤-=-<∑∑ 本题通过对因式2k a +放大，而得到一个容易求和的式子11()nkk k aa +=-∑，最终得出证明.5、逐项放大或缩小例5、设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n Λ求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n证明：∵ n n n n =>+2)1( 212)21()1(2+=+<+n n n n ∴ 212)1(+<+<n n n n∴ 2)12(31321++++<<++++n a n n ΛΛ， ∴2)1(2)1(2+<<+n a n n n本题利用212n n +<<，对n a 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。

6、固定一部分项，放缩另外的项； 例6、求证：2222111171234n ++++<L 证明：21111(1)1n n n n n<=---Q2222211111111151171()().1232231424n n n n ∴++++<++-++-=+-<-L L 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

7、利用基本不等式放缩例7、已知54n a n =-1对任何正整数m n ，都成立.1，只要证 51mn m n a a a >++因为 54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++，故只要证 5(54)12520()16mn mn m n ->+-+++即只要证 202037m n +->因为558m n a a m n ≤+=+-558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-， 所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由m n a a +放大即可.8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩例8、.已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n .(1)证明：n iA i m ＜m iA i n ；(2)证明：(1+m )n＞(1+n )m证明：(1)对于1＜i ≤m ，且A i m =m ·…·(m －i +1)，n i n n n n n n m i m m m m m m ii m i i m 11A ,11A +-⋅⋅-⋅=+-⋅⋅-⋅=ΛΛ同理， 由于m ＜n ，对于整数k =1，2，…，i －1，有mkm n k n ->-， 所以i m i i n i i i mi i n n m mn A A ,A A >>即(2)由二项式定理有：(1+m )n=1+C 1n m +C 2n m 2+…+C nn m n，(1+n )m=1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m，由(1)知miA i n＞niA i m(1＜i ≤m ＜n )，而C i m=!A C ,!A i i i ni n i m = ∴m i C in ＞n i C im (1＜m ＜n )∴m 0C 0n =n 0C 0n =1，m C 1n =n C 1m =m ·n ，m 2C 2n ＞n 2C 2m ，…，m m C m n ＞n m C m m ，m m +1C 1+m n＞0，…，m n C n n ＞0， ∴1+C 1n m +C 2n m 2+…+C n n m n ＞1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m，即(1+m )n ＞(1+n )m成立.以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。

在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。

但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。

因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。

要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。

掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。

希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.求证证明本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。

求证证明说明：若本题从第二项起放大，则左边<1+1-1n <2 ,这使的证明失败. 例 1 4分析12112112111!1222111112!3!!111112221112,(2)11133k n n n k n k ---⨯⨯⨯--<=>∴+++++<+++++=+=-<L Q L L 111112!3!!13n +++++<L 2222221111(1)111123111111123341211122471()1()()()1()K k k k kn n n n ---<=-∴++++<++-+-++-=++-<Q L L 1()1,(0)1,2(1)(1),2(1)(1)(1)(1)2, 1.2(1)(1)2,2(1)(1)24, 2.(2)424211,f x f c b f f b f f f f b a f f c a f f c a f a b c a b c ≤≤∴=≤=--∴=--≤+-≤∴≤=+--∴=+-+≤∴≤=++≤++=Q Q 当x 时，总有若不符合要求.(2)42()3(1)38,f a b c a b c a b f a b =++=++++≤++=注意到f(1)=a+b+c若也不符合要求.2(),1()1,(2)7.f x ax bx c f x f =++≤≤≤设当x 时，总有求证：浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。

常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。

所谓放缩的技巧：即欲证B A ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使B C A ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”。

常用的放缩技巧还有：（1）若,A t A ,A t A ,0t <->+>（2）,n 1n <-n n 2>,1n 11n ,1n ->-+-+),0n (n n )1n (n 2>=>+<<+=+-2n 1)1n (n 11n 1n 1 ).1n n (2n1n n 21n n 2)n 1n (2),1n (n 11n 1)1n (n 1--<=+<++=-+>--=-（3）若,R m b a +∈、、则.b m a b a ,m b a b a +<+>（4）+++<++++221211!n 1!31!211Λ.211n -+Λ（5）.n 12)n 11n 1()3121()211(1n 131211222-=--++-+-+<++++ΛΛ（6）11n n 1n 11n 11n 1n 212n 11n 1<+=++++++≤+++++ΛΛ或≥+++++n 212n 11n 1Λ.21n 2n n 21n 21n 21==++Λ（7）nn n n 1n 1n 1n 131211==+++>++++ΛΛ等等。

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放缩法技巧及经典例题讲解

放缩法技巧及经典例题讲解

放缩法技巧及经典例题讲解一．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若0,,t a t a a t a >+>-<（2）<>，11>n >= （3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++-- （4）=<=<= （5）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b +><+ （6）21111111112!3!!222n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+ （7）2221111111111(1)()()232231n n n+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-） （7）1111111112321111n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++ 或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （8）1⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+== （9）)1(11)1(12-<<+k k k k k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211 （10）12112-+<<++k k k k k【经典例题】例1、设数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n（1） 求{}n a 的通项公式；（2） 若11111,1,1++-=-=-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证：数列{}n n d b ⋅的前n 项和31<n S例2、已知正项数列{}n a 满足()()*21111,1N n a n a a a n n n ∈⋅++==+ （1） 判断数列{}n a 的单调性；（2） 求证：()2111112111+<-<+-++n a a n n n n经典方法归纳：一．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a s ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为,n B ，求证：21<n B例2、已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例1．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n n n as a a 22=+.(1) 求证：4221++<n a a S n n ；(2) 求证：2121321-<+⋅⋅⋅+++<+n n n s s s s s s例2．已知数列{}n a 满足：()⋅⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+3,2,121,111n a n a a n n n ．求证:11213-++-≥≥n n n n a a .2．放缩后成等比数列，再求和例2．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：()()n nn a a a a 12+≥--； （2）等比数列{a n }中，211-=a ，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12 ， 数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：31<n B ．3．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列()()32111⋅⋅⋅-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数.63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令,11nn n n n a a a a b +++=，证明,32221+<+⋅⋅⋅++<n b b b n n ⋅⋅⋅=2,1n三. 裂项放缩1、若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

基本不等式放缩法

基本不等式放缩法

基本不等式放缩法是解决数学问题中的一种常用技巧，特别是在证明不等式时。

放缩法的核心思想是通过适当的放大或缩小某些项，使得原始的不等式更容易处理或者更容易证明。

以下是一些常见的放缩技巧：
1. 添加或舍弃一些正项（或负项）：在保持不等式方向不变的前提下，可以适当添加或去掉一些不影响不等式成立的正项或负项。

2. 先放缩再求和（或先求和再放缩）：根据问题的需要，可以先对某些项进行放缩，然后再进行求和，或者先求和再对结果进行放缩。

3. 逐项放大或缩小：对不等式中的每项单独进行放缩，然后合并结果。

4. 固定一部分项，放缩另外的项：在某些情况下，可以固定一部分项不变，只对其他项进行放缩。

5. 函数放缩：利用函数的单调性进行放缩，例如，对于递增函数，可以放大小的值，缩小大的值。

6. 裂项放缩：将复杂的项分解成更简单的形式，然后进行放缩。

7. 均值不等式放缩：利用算术平均值大于等于几何平均值的性质进行放缩。

8. 二项放缩：在涉及二项式的情况下，可以利用二项式的性质进行放缩。

9. 指数函数放缩：例如，对于指数函数e^x，有e^x ≥x + 1 当x ≥0。

10. 利用导数判断函数的单调性：通过求导数来判断函数的单调性，然后根据单调性进行放缩。

在实际应用中，放缩法往往需要结合具体问题灵活运用，有时还需要与其他数学方法（如代换法、综合法、反证法等）结合使用。

通过放缩，可以将复杂的不等式转化为更易于处理的形式，从而简化问题的解决过程。

十种放缩法技巧全总结

十种放缩法技巧全总结

十种放缩法技巧全总结放缩法（Scaling）是一种常用的图像处理技术，通过对图像进行放缩，可以改变图像的尺寸和像素分布，以满足不同的需求。

本文将总结十种常用的放缩法技巧，包括等比例缩放、非等比例缩放、双线性插值、最近邻插值等。

1. 等比例缩放等比例缩放是最常用的一种放缩法技巧，通过保持图像的宽高比不变，按比例减小或增大图像的尺寸。

在图像处理软件中，可以直接设置缩放比例或输入目标尺寸来实现等比例缩放。

代码示例：1. 设置缩放比例为0.5：scale_factor = 0.52. 设置目标尺寸为宽度为500px：target_width = 500, target_height = original_height * (target_width / original_width)2. 非等比例缩放非等比例缩放是一种在宽高比不变的情况下，分别按比例减小或增大图像的宽度和高度的放缩法技巧。

与等比例缩放相比，非等比例缩放会改变图像的形状，导致图像的扭曲或拉伸。

代码示例：1. 分别设置缩放比例：scale_factor_x = 0.8, scale_factor_y = 1.22. 分别设置目标尺寸：target_width = original_width * scale_factor_x, targ et_height = original_height * scale_factor_y3. 双线性插值双线性插值是一种用于图像放缩的插值算法，通过对图像的像素进行线性插值计算，以获得更平滑、更真实的放缩效果。

双线性插值通过对目标图像的每个像素，根据原图像的相邻像素的灰度值进行加权平均计算，从而得到最终的像素值。

代码示例：1. 计算目标像素的位置：target_x = (x / scale_factor_x), target_y = (y / s cale_factor_y)2. 计算四个相邻像素的坐标：top_left_x, top_left_y, top_right_x, top_right_y, bottom_left_x, bottom_left_y, bottom_right_x, bottom_right_y3. 分别计算四个相邻像素的灰度值：top_left_gray, top_right_gray, bottom_left_gray, bottom_right_gray4. 根据四个相邻像素的灰度值和目标像素的位置，进行插值计算得到最终的像素值4. 最近邻插值最近邻插值是一种快速的插值算法，通过选择离目标像素最近的原图像像素的灰度值作为目标像素的灰度值。

用放缩法证明方法与技巧

用放缩法证明方法与技巧


二、常见的放缩法技巧 １、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩
b bm (m 0, a b) . 2、糖水不等式放缩： a am
3、添（减）项放缩 4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） 5、逐项放大或缩小：
三、常用公式
1 1 1 1． 2 k (k 1) k k (k 1)
0, a t a, a t a
n 1 n ， 2 n n n 1 ， n 1 1 n 1 ， n(n 1) n 2 n 1 1 1 1 1 1 1 （3） 2 (n 1) n n 1 n(n 1) n n(n 1) n 1 n 2 2 1 2 （4） 2( n 1 n ) 2( n n 1) n 1 n n n n n n 1 a a a am , （5）若 a, b, m R ，则 b bm b b 1 1 1 1 1 1 1 2 n 1 （6） 1 2! 3! n! 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) （7） （因为 ） 22 32 n2 2 2 3 n 1 n n 2 (n 1)n 1 1 1 1 1 1 1 n 1 （7） n 1 n 2 n 3 2n n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 或 n 1 n 2 n 3 2n 2n 2n 2n 2n 2 1 1 1 1 1 1 n n 等等。 （8） 1 2 3 n n n n n
一、放缩法原理 为了证明不等式 A B ， 我们可以找一个或多个中间变量 C 作比较， 即若能判定 A C, C B 同时成立， 那么 A B 显然正确。 所谓 “放” 即把 A 放大到 C,再把 C 放大到 B；反之，由 B 缩小经过 C 而变到 A, 则称为“缩” ，统称为放缩法。放缩是一种技巧性较强的不等变形，必 须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及” 。