中考数学综合训练(三)解析

2021年中考数学一轮专题训练：菱形性质与判定综合（三）1．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE．（1）求证：OE＝CB；（2）如果OC：OB＝1：2，CD＝，求菱形的面积．2．在菱形ABCD中，点O是对角线的交点，E点是边CD的中点，点F在BC延长线上，且CF＝BC．（1）求证：四边形OCEF是平行四边形；（2）连接DF，如果DF⊥CF，请你写出图中所有的等边三角形．3．已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD＝30°，求CE的长．4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长．5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，连接AF，CE．（1）求证：AF＝CE；（2）试确定，当菱形ABCD再满足一个什么条件时，四边形AECF为矩形？请说明理由．6．如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，且BE＝CE，AB＝2，求：（1）∠BAD的度数；（2）对角线AC的长及菱形ABCD的周长．7．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：△ADG≌△CDG；（2）若＝，EG＝4，求AG的长．8．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P．判断四边形MDPE的形状，并说明理由．9．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC 与BD相交于点O，连接CD．（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．10．如图，已知BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于E，EF∥AC交AB于F．（1）求证：BE＝AF；（2）连接DF，试探究当△ABC满足什么条件时，使得四边形BEDF是菱形，并说明理由．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵CE∥BD，EB∥AC，∴四边形OCEB是平行四边形，∴四边形OCEB是矩形，∴OE＝CB；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝，由（1）知，AC⊥BD，OC：OB＝1：2，∴在Rt△BOC中，由勾股定理得BC2＝OC2+OB2，∴CO＝1，OB＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2，BD＝4，∴菱形ABCD的面积＝BD•AC＝4；2．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO，∵E点是边CD的中点，∴OE是△BDC的中位线，∴OE∥BC且OE＝BC，∵CF＝BC，∴OE＝CF，∵OE∥CF，∴四边形OCFE是平行四边形；（2）解：∵DF⊥CF，E点是边CD的中点，∴EF＝，∵CE＝，CF＝＝CD，∴△ECF为等边三角形；∵四边形OCFE是平行四边形，∴OC＝EF＝CE＝CF＝OE，∴△OCE为等边三角形；∵△ECF为等边三角形，∴∠ECF＝60°，∴∠ABC＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴△ABC为等边三角形；同理得△ADC为等边三角形；∴图中的等边三角形有：△OCE，△ECF，△ABC，△ADC3．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）解：∵∠BAD＝60°，∴∠DAO＝∠BAD＝×60°＝30°，∵∠EOD＝30°，∴∠AOE＝90°﹣30°＝60°，∴∠AEF＝180°﹣∠DAO﹣∠AOE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∵菱形的边长为2，∠DAO＝30°，∴OD＝AD＝×2＝1，∴AO＝＝＝，∴AE＝CF＝×＝，∵菱形的边长为2，∠BAD＝60°，∴高EF＝2×＝，在Rt△CEF中，CE＝＝＝．4．（1）证明：∵DE＝OC，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝4，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝2，∴在△ACE中，AE＝＝2．5．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD．∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF．又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE；（2）菱形ABCD的内角∠B＝60°时，则四边形AECF为矩形，理由如下：连接AC，∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∵AE＝BE，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴四边形AECF为矩形．6．解：（1）∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∵AE⊥BC，E为垂足，且BE＝CE，∴△ABC等腰三角形，∴AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAD＝2∠BAC＝120°；（2）∵AB＝2，AB＝AC∴AC＝AB＝2，菱形ABCD的周长＝4AB＝8．7．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F＝∠FCD，在△ADG与△CDG中，，∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，∴AG＝CG；（2）∵＝，AD∥BC，∴BC＝3AE，∴ED：BC＝2：3，∴EG：CG＝2：3，∵EG＝4，∴CG＝6，∵△ADG≌△CDG，∴AG＝6．8．证明：四边形MDPE为菱形，理由：连接AM．∵ME⊥AC，DF⊥AC，∴ME∥DF，∵MD⊥AB，EG⊥AB，∴MD∥EG，∴四边形MDPE是平行四边形；∵AB＝AC，M是BC的中点，∴AM是角平分线，∴MD＝ME，∴四边形MDPE为菱形．9．（1）解：∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，＝180°，∴∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，∴∠AOD＝90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．10．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠BDE＝∠DBE，∴BE＝DE，∵EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF＝DE，∴AF＝BE；（2）解：当AB＝BC时，四边形BEDF是菱形，理由如下：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵EF∥AC，∴∠A＝∠BFE，∠C＝∠BFE，∴∠BFE＝∠BFE，∴BF＝BE，∵DE＝BE，∴BF＝DE，∵DE∥AB，∴四边形BEDF是菱形．。

2021中考数学复习圆的综合题专项训练3（填空题 附答案详解）
1．如图，在平面直角坐标系中，等边 的边 在 轴正半轴上，点 ， ，点 、 分别从 、 出发以相同的速度向 、 运动，连接 、 交于点 ， 是 轴上一点，则 的最小值为______.
2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝___________．
14．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．
15．如图，⊙ 上三点 ， ， ，半径 ， ，⊙ 的切线 交 延长线于点 ，从现图中选取一条以P为端点的线段，此线段的长为_____．（注明选取的线段）
∴点F是经过点A，B，F的圆上的点，记圆心为O’，在圆O’上取一点N，使
点N和点F在弦AB的两侧，连接AN，BN，
∴∠ANB=180°-∠AFB=60°，
连接O’A，O’B，
∴∠AO’B=2∠ANB=120°，
∵O’A=O’B，
∴∠ABO’=∠BAO’，
∴∠ABO’= (180°-∠AO’B)= (180°-120°)=30°，
30．在 中， ， ， ，圆 在 内自由移动.若 的半径为1，则圆心 在 内所能到达的区域的面积为______.
参考答案
1．
【解析】
【分析】
先证明 ，即可得出∠AFB=120°，即可判断出点F的轨迹是以O’为圆心的圆上的一段弧（劣弧AB），然后确定出圆心O’的位置及其坐标，即可确定点M和点F的位置，使FM的长度最小.
25．如图,⊙P的半径为10，A、B是圆上任意两点,且AB=12，以AB为边作正方形ABCD(点D、P在直线AB两侧)，若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的面积为_____

A.5B. C.7D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积,进而可求出
正方形 边长,再利用勾股定理得出答案．
【详解】∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置,
∴四边形AECF 面积等于正方形ABCD的面积等于25,
∴AD=DC=5,
∵DE=2,
∴Rt△ADE中,
这次统计共抽查了______名学生；在扇形统计图中,表示”QQ”的扇形圆心角的度数为______；
将条形统计图补充完整；
该校共有1500名学生,请估计该校最喜欢用”微信”进行沟通的学生有多少名.
25.如图,直线OA与反比例函数 ( )的图像交于点A(3,3),将直线OA沿y轴向下平移,与反比例函数 ( )的图像交于点B(6,m),与y轴交于点C．
8.如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为()
A. 5B. C. 7D.
9.如图,点 , , ,在 上, 是 的一条弦,则 ()．
A. B. C. D.
10.已知抛物线 中, , ,抛物线与 轴有两个不同的交点,且这两个交点之间的距离小于2,则下列判断错误的是()．
【详解】∵ ,
∴ , , ,
三式相加得： ,
∴ ,
∴ 或 ,
当 时, ,
当 时,
则 ,
∴ ,
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质,熟练掌握比例的性质是解题的关键．注意不要忘记 这个解．
5.要使分式 的值为0,你认为x可取得数是
A 9B. ±3C. ﹣3D. 3
【答案】D

2021年中考数学一轮复习专题《三角形综合：全等与相似》高频考点训练（三）1．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．（1）如图1，若点D是AC的中点，求证：AD＝CE；（2）如图2，若点D不是AC的中点，AD＝CE是否成立？证明你的结论；（3）如图3，若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由．2．阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△AC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC ＝3.6，求BC的长．小明的想法：因为CD平分∠ACB，所以可利用“翻折”来解决该问题．即在BC边上取点E，使EC＝AC，并连接DE（如图2）．（1）如图2，根据小明的想法，回答下面问题：①△DEC和△DAC的关系是，判断的依据是；②△BDE是三角形；③BC的长为．（2）参考小明的想法，解决下面问题：已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2，求AD的长．3．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．①若点M在DE上，连接MC且DC＝DM，请判断△MCD的形状，并给出证明；②若点N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．4．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．（1）如图1，当AD＝AF时，求证：BD＝CF；（2）如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK＝，求DF的长．5．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）如图1，当B、C在AE的异侧时，求证：BD＝DE+CE；（2）如图2，当B、C在AE的同侧时（BD＜CE），问BD与DE、CE的关系如何，请予证明；（3）如图3，当B、C在AE的同侧时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系怎样？请直接写出结果，不需证明；（4）归纳（1）、（2）、（3），请用简洁的语言表述BD、DE、CE的关系．6．如图，以△ABC的两边AB，AC为边向外作等边△ABD和△ACE，DC，BE相交于点O．（1）求证：DC＝BE；（2）求∠BOC的度数；（3）∠BAC的度数发生变化时，∠BOC的度数是否变化？若不变化，请求出∠BOC的度数；若发生变化，请说明理由．7．在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA 于点F．请解答下列问题：（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若DE＝2AE＝6，则CF＝．8．问题引入：（1）如图①所示，△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝（用α表示）：不用说明理由，直接填空．如图②所示，∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，若∠A＝α，则∠BOC＝（用α表示），不用说明理由，直接填空．（2）如图③所示，∠OBC＝∠DBC，∠OCB＝∠ECB，若∠A＝α，则∠BOC＝（用α表示），填空并说明理由．9．如图，点O为直线AB上一点，将一个等腰直角三角尺（三个内角分别是90°、45°、45°）的直角顶点和另一个含30°角的直角三角尺的60°角顶点都放在O处．（1）如图①，∠AOM＝°；（2）如图②，将等腰直角三角尺绕点O旋转一定角度到图②的位置，OM恰好平分∠EOB 时，求出∠AOE和∠MOF的度数；（3）如图③，将等腰直角三角尺绕点O旋转一定角度到图③的位置，若∠AOE是∠MOF 的3倍，则等腰直角三角尺所旋转的角∠BOF＝°．10．探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝27°，则∠ACD的度数是．拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别存CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E．若AC＝CB＝13，BE＝5，则DE＝．应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E 在射线CP上，连结AD、BE、AE．且使∠MCN＝∠ADP＝∠BEP．当AC＝BC，CD＝2DE，且S＝8时，则△ACE的面积是．△CBE参考答案1．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，∵D为AC中点，∴∠DBC＝30°，AD＝DC，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE，∵AD＝DC，∴AD＝CE；（2）成立，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，则∠ADF＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AFD是等边三角形，∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，在△BFD和△DCE中，∴△BFD≌△DCE（AAS），∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．（3）AD＝CE．证明：如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，在△BPD和△DCE中，，∴△BPD≌△DCE（AAS），∴PD＝CE，∴AD＝CE．2．解：（1）如答图1，①在△ACD与△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS）；②由①知，△ACD≌△ECD，∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形；③由①知，△ACD≌△ECD，则EC＝AC＝3.6，DE＝AD＝2.2．又∵BE＝DE，∴BE＝AD＝2.2．∴BC＝BE+EC＝2.2+3.6＝5.8．故答案是：①△ACD≌△ECD；SAS；②等腰；③5.8；（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°∠BDC＝60°，如答图2，在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，则△DEB≌△DBC，∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，则△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．3．（1）证明：∵CB＝CA，DB＝DA，∴CD垂直平分线段AB，∴CD⊥AB．（2）①△MCD为等边三角形，理由如下：如图，连接MC，∵AC＝BC，∴∠CBA＝∠CAB，又∵∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，又∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠DBA＝∠DAB＝30°，∴∠BDE＝30°+30°＝60°，∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD＝15°，BD＝AD，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDE＝60°，又∵DC＝DM，∴△MCD为等边三角形；②∵∠CAD＝15°，CE＝CA，∴∠E＝∠CAE＝15°．当EN＝EC时，∠ENC＝＝82.5°或∠ENC＝∠E＝∠7.5°；当CE＝CN时，点N与点A重合，此时∠ENC＝∠E＝15°；当EN＝CN时，∠ENC＝180°﹣2×15°＝150°；所以∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．4．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD，∴∠ADB＝∠AFC，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD＝CF．（2）结论：∠ACE＝90°．理由：如图2中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．（3）如图3中，连接EK．∵∠BAC+∠ACE＝180°，∴AB∥CE，∴＝＝，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a﹣，∵DA＝DE，DK⊥AE，∴AP＝PE，∴AK＝KE＝3a﹣，∵EK2＝CK2+EC2，∴（3a﹣）2＝（）2+a2，解得a＝4或0（舍弃），∴EC＝4，AB＝AC＝12，∴AE＝＝＝4，∴DP＝PA＝PE＝AE＝2，EF＝AE＝，∴PF＝EF＝，∵∠DPF＝90°，∴DF＝＝＝5．5．证明：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝90°，又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠EAC，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE＝AD+DE＝CE+DE，∴BD＝DE+CE．（2）BD＝DE﹣CE．理由如下：同理可证：△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∵DE＝AD+AE＝CE+DE，∴BD＝DE﹣CE．（3）BD＝DE+CE，理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝90°，又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠EAC，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∵DE＝AD+AE＝BD+CE，∴BD＝DE+CE．（4）归纳（1）、（2）、（3）可知：当B、C在AE的异侧时，BD＝DE+CE或CE＝BD+DE；当B、C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE．6．解：（1）∵△ADB和△AEC都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，AD＝AB，AE＝AC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，AD＝AB，∠DAC＝∠BAE，AC＝AE，∴△DAC≌△BAE（SAS）；∴DC＝BE；（2）∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC＝∠ABE，∴∠ODB+∠OBD＝∠ADB﹣∠ADC+∠ABD+∠ABE＝∠ADB+∠ABD＝120°，∴∠BOC＝∠ODB+∠OBD＝120°；（3）不变化，为120°，理由：∵由（2）可得∠BOC＝∠ODB+∠OBD＝120°；∴∠BOC和∠BAC大小无关．7．解：（1）如图①，延长CD，FE交于点M．∵AB＝BC，EF∥BC，∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，∴AE＝EF，∴MF∥BC，∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，又∵∠FCM＝∠BCM，∴∠M＝∠FCM，∴CF＝MF，又∵BD＝DE，∴△MED≌△CBD（AAS），∴ME＝BC，∴CF＝MF＝ME+EF＝BC+AE，即AE+BC＝CF；（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE+CF，如图②，延长CD，EF交于点M．由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），∴ME＝BC，由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，∴BC＝ME＝EF+MF＝AE+CF；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF+BC．如图③，延长CD交EF于点M，由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，又∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，∵EF∥BC，∴∠F＝∠FCB，∴EF＝AE，∴AE＝FE＝FM+ME＝CF+BC；（3）CF＝18或6，当DE＝2AE＝6时，图①中，由（1）得：AE＝3，BC＝AB＝BD+DE+AE＝15，∴CF＝AE+BC＝3+15＝18；图②中，由（2）得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD+AD＝9，∴CF＝BC﹣AE＝9﹣3＝6；图③中，DE小于AE，故不存在．故答案为18或6．8．解：（1）在△ABC中，∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α．如图①所示，∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB．∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣α）＝180°﹣90°+α＝90°+α；如图②所示，∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣α）＝180°﹣60°+α＝120°+α．故答案为：90°+α；120°+α．（2）∠BOC＝120°﹣α，理由如下：∵∠OBC＝∠DBC，∠OCB＝∠ECB，∠A＝α，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），＝180°﹣（∠DBC+∠ECB），＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A），＝180°﹣（180°+∠A），＝180°﹣60°﹣α，＝120°﹣α．故答案为：120°﹣α．9．解：（1）∵∠MON＝60°，∴∠AOM＝180°﹣60°＝120°，故答案为120；（2）由题意得∠BOM＝∠EOM＝∠BOE，∵∠BOM＝60°，∴∠EOM＝60°，∠BOE＝120°∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°，∠MOF＝90°﹣∠EOM＝30°；（3）设等腰直角三角尺所旋转的角∠BOF＝α，∴∠AOE＝90°﹣α，∠MOF＝60°﹣α，∵∠AOE是∠MOF的3倍，∴90°﹣α＝3（60°﹣α），解得α＝45°，∴∠BOF＝45°，故答案为45．10．解：探究：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵∠B＝27°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝63°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝27°，故答案为：27°；拓展：∵∠MCN＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE，AD＝CE，∵AD⊥CP，∴∠ADC＝90°，∵AC＝13，BE＝CD＝5，∴AD＝＝＝12，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE＝12﹣5＝7，故答案为：7；应用：∵∠MCN＝∠ACD+∠BCD，∠MCN＝∠ADP，∴∠ADP＝∠ACD+∠BCD，∵∠ADP＝∠ACD+∠CAD，∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADP＝∠BEP，∴∠ADC＝∠CEB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴S△ACD ＝S△CBE，∵S△CBE＝8，∴S△ACD＝8，∵CD＝2DE，∴S△ACD ＝2S△ADE，∴S△ADE ＝S△ACD＝4，∴S△ACE ＝S△ACD+S△ADE＝8+4＝12，故答案为：12．。